Гусев А.Н. Дисперсионный анализ в экспериментальной психологии

Подождите немного. Документ загружается.

êî, ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî, ÷òî øêàëüíûå çíà÷åíèÿ öâåòî-

âûõ îùóùåíèé áóäóò ó íèõ ðàçíûå.

1.4. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÄÎÏÓÙÅÍÈß ÄÀ

Êàê ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ÄÀ îñíîâûâàåò-

ñÿ íà ðÿäå äîïóùåíèé î ñâîéñòâàõ è ïàðàìåòðàõ ðàñïðåäåëå-

íèÿ íàáëþäàåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Ïåðâîå äîïóùåíèå ÄÀ òðåáóåò, ÷òîáû çíà÷åíèÿ ïðèçíà-

êîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîìó óðîâíþ êîíòðîëèðóåìîãî

ôàêòîðà, áûëè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíû âîêðóã ñâîåãî ñðåä-

íåãî. Ãðàôè÷åñêè ýòî äîïóùåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

íåñêîëüêèõ êðèâûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè, ñîîòâåòñòâóþ-

ùèõ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ (ñì. ðèñ. 1). Ýòî, â ñâîþ

î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé áóäåò

õàðàêòåðèçîâàòüñÿ òîëüêî äâóìÿ ïàðàìåòðàìè  ñðåäíèì (m)

è äèñïåðñèåé (s

) ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé.

Ðèñ. 1. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðàñïðåäåëåíèé çíà÷åíèé èçìåðÿåìîãî ïðèç-

íàêà, ïîëó÷åííûõ ïðè êàæäîì èç ïÿòè óðîâíåé ôàêòîðà (ñì. Õàóýëë, 1998, ñ.302)

Âòîðîå äîïóùåíèå ïðåäïîëàãàåò ðàâåíñòâî äèñïåðñèé âû-

áîðî÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîìó óðîâ-

íþ êîíòðîëèðóåìîãî ôàêòîðà, ò.å. s

= s

. Ýòî äîïóùå-

íèå òàêæå íàçûâàþò òðåáîâàíèåì îäíîðîäíîñòè, èëè ãîìîãåí-

íîñòè, äèñïåðñèé.

Òðåòüå äîïóùåíèå êàñàåòñÿ íåçàâèñèìîñòè ïîëó÷åííûõ

íàáëþäåíèé. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ

äâóõ íàáëþäåíèé ìû íå ìîæåì ïðåäñêàçàòü ïî çíà÷åíèþ

îäíîãî íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèÿ äðóãîãî. Â íàøåì ýêñïåðèìåí-

òå äàííîå ïðåäïîëîæåíèå íå âûïîëíÿëîñü áû â òîì ñëó÷àå,

åñëè èñïûòóåìûå îäíîé ãðóïïû, çàïèñàâ â õîäå îïûòà ïîñ-

ëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäúÿâëÿâøèõñÿ ñòèìóëîâ, ñîîáùèëè áû

îá ýòîì èñïûòóåìûì äðóãîé ãðóïïû. Èëè îäíà è òà æå ãðóï-

ïà èñïûòóåìûõ ó÷àñòâîâàëà áû â ýêñïåðèìåíòå äâàæäû: íà-

ïðèìåð, óòðîì è âå÷åðîì (ôàêòîð: «âðåìÿ ñóòîê»). Â ýòîì

ñëó÷àå áîëåå «ìåäëåííûå» èñïûòóåìûå, ó÷àñòâîâàâøèå â

îïûòå óòðîì, â öåëîì ïîêàæóò è âå÷åðîì áóëüøèå çíà÷åíèÿ

âðåìåíè ðåàêöèè, à «áûñòðûå» áóäóò ðàáîòàòü âå÷åðîì òàê-

æå áûñòðåå. Ñîáëþäåíèå íåçàâèñèìîñòè íàáëþäåíèé ÿâëÿ-

åòñÿ âàæíåéøåé ïðè÷èíîé, îáóñëàâëèâàþùåé â ôàêòîðíîì

ýêñïåðèìåíòå íåîáõîäèìîñòü îòáîðà èñïûòóåìûõ â ãðóïïû

ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Íåñîáëþäåíèå íåçàâèñèìîñòè íàáëþäå-

íèé ìîæåò èìåòü ñåðüåçíûå ïîñëåäñòâèÿ äëÿ ðåçóëüòàòîâ ÄÀ.

1.5. ÏÎÑËÅÄÑÒÂÈß ÍÀÐÓØÅÍÈß ÄÎÏÓÙÅÍÈÉ ÄÀ

Ïîñêîëüêó ÄÀ ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé ïðîöåäóðîé ñòàòèñòè÷åñ-

êèõ ðàñ÷åòîâ, òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, íàðóøåíèÿ íå ìîãóò íå

ïîâëèÿòü íà òî÷íîñòü êîíå÷íûõ îöåíîê äîñòîâåðíîñòè ðàç-

ëè÷èÿ ñðåäíèõ. Òåì íå ìåíåå, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî â

ðåàëüíûõ äàííûõ ïåðâûå äâà äîïóùåíèÿ íå âñåãäà ñòðîãî

ñîáëþäàþòñÿ, ìàòåìàòèêè ïðîâîäèëè ñïåöèàëüíûå èññëå-

äîâàíèÿ î âëèÿíèè âîçìîæíûõ íàðóøåíèé íà ðåçóëüòàòû ÄÀ.

Çäåñü ìû êîðîòêî îïèøåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èçó÷åíèÿ

óñòîé÷èâîñòè (èëè ðîáàñòíîñòè) ÄÀ è äàäèì ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå ðåêîìåíäàöèè (áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ñì. Øåôôå, 1980;

Ãëàññ, Ñòýíëè, 1976; Õàóýëë, 1998).

Ïî äàííûì Ã.Øåôôå (1962) è äð. èññëåäîâàòåëåé (öèò. ïî

Ãëàññ, Ñòýíëè, 1976), âëèÿíèå íåîäíîðîäíîñòè äèñïåðñèé â

îäíîôàêòîðíîì ÄÀ íà âåëè÷èíó îøèáêè I ðîäà ïîêàçàëî,

÷òî âåðîÿòíîñòü îøèáêè çàâèñèò îò ðàçìåðà âûáîðîê, ÷èñëà

óðîâíåé ôàêòîðà è ðåàëüíîãî îòíîøåíèÿ âûáîðî÷íûõ äèñ-

ïåðñèé. Íàïðèìåð, åñëè ïðè 3-õ óðîâíÿõ ôàêòîðà ÷èñëî íà-

áëþäåíèé â êàæäîé ãðóïïå, ñîîòâåòñòâåííî, áûëî 9, 5 è 3, à

ñîîòâåòñòâóþùèå äèñïåðñèè  10, 10 è 30 (ò.å. íàõîäèëèñü â

îòíîøåíèè 1:1:3), òî âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà ðàâíà 0.17,

òîãäà êàê ýêñïåðèìåíòàòîð òðàäèöèîííî èñõîäèë èç òîãî,

÷òî îíà ðàâíà 0.05. È, ñëåäîâàòåëüíî, âîçðàñòàåò âåðîÿòíîñòü

îòáðîñèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó, êîãäà îíà äåéñòâèòåëüíî âåðíà.

Ñïåöèàëüíûå ðàñ÷åòû, îäíàêî, ïîêàçàëè, ÷òî âëèÿíèå íà-

ðóøåíèÿ äîïóùåíèÿ î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé ìîæåò áûòü êîì-

ïåíñèðîâàíî, êîãäà:

1) îáúåìû âûáîðîê ðàâíû èëè îòëè÷àþòñÿ íåçíà÷èòåëüíî;

2) èñïîëüçóþòñÿ âûáîðêè áîëüøîãî îáúåìà.

Òàêèì îáðàçîì, ÄÀ ìîæåò áûòü óñòîé÷èâûì ê íåîäíî-

ðîäíîñòè äèñïåðñèé è, åñëè äèñïåðñèè âûáîðî÷íûõ ãðóïï

îòëè÷àþòñÿ íå î÷åíü çíà÷èòåëüíî è èñïîëüçóþòñÿ âûáîðêè

ðàâíîãî îáúåìà, òî åãî ïðèìåíåíèå îêàçûâàåòñÿ âïîëíå êîð-

ðåêòíûì.

Ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè î÷åíü ñëàáóþ

÷óâñòâèòåëüíîñòü ÄÀ ê íàðóøåíèþ ïðåäïîëîæåíèÿ î íîð-

ìàëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, íàðóøåíèå ïðåäïîëîæåíèÿ î

íîðìàëüíîñòè èìååò äëÿ ÄÀ íåáîëüøîå çíà÷åíèå, è ôàêòè-

÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àåò-

ñÿ îò óñòàíàâëèâàåìîé ýêñïåðèìåíòàòîðîì.

1.6. ÊÐÈÒÅÐÈÈ ÏÐÎÂÅÐÊÈ ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÑÒÈ ÄÈÑÏÅÐÑÈÉ

Â òîì ñëó÷àå, êîãäà åñòü îñíîâàíèÿ äóìàòü î íåîäíîðîä-

íîñòè ãðóïïîâûõ äèñïåðñèé, ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíèì

èç ìåòîäîâ ïðîâåðêè. Ïîñêîëüêó òàêàÿ ïðîâåðêà íîñèò ÷èñòî

òåõíè÷åñêèé õàðàêòåð, òî ìû ëèøü óïîìÿíåì íåêîòîðûå èç

êðèòåðèåâ, èñïîëüçóåìûõ â ñîâðåìåííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ êîì-

ïüþòåðíûõ ïðîãðàììàõ, ÷òîáû ÷èòàòåëü, çíàÿ î íèõ, ìîã, â

ïðèíöèïå, èìè âîñïîëüçîâàòüñÿ.

Êðèòåðèé Áàðòëåòòà ñèëüíî ÷óâñòâèòåëåí ê ïðåäïîëî-

æåíèþ î íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, ïîýòîìó åãî èñïîëü-

çîâàíèå â èçâåñòíîì ñìûñëå îãðàíè÷åíî. Îäíàêî, êàê ñïðà-

âåäëèâî óòâåðæäàþò Äæ.Ãëàññ è Äæ.Ñòýíëè (1976), ýòî ïî-

çâîëÿåò åãî èñïîëüçîâàòü êàê ñðåäñòâî îöåíêè íîðìàëüíîñòè.

Êðèòåðèé Øåôôå íå ñòîëü ÷óâñòâèòåëåí ê íàðóøåíèþ íîð-

ìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, ïîýòîìó ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà

ïðàêòèêå. Äîñòàòî÷íî ÷àñòî â ðàçëè÷íûõ êîìïüþòåðíûõ ïðî-

ãðàììàõ ïðèìåíÿåòñÿ òàêæå êðèòåðèé Ëèâèíÿ, êîòîðûé íå

çàâèñèò îò ïðåäïîëîæåíèÿ î íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé.

1.7. ÎÁÙÀß ËÎÃÈÊÀ ÄÀ

Ëîãè÷åñêèå îñíîâàíèÿ, ëåæàùèå â îñíîâå ÄÀ, ïðîñòû,

è èõ ïîíèìàíèå íå òðåáóåò îò ïñèõîëîãà ñåðüåçíîé ìàòåìà-

òè÷åñêîé ïîäãîòîâêè.

Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ âñå äîïóùåíèÿ ÄÀ è ìû èìååì íå-

ñêîëüêî âûáîðîê ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì íàáëþäåíèé (n

ñîîòâåòñòâóþùèõ óðîâíÿì îäíîãî ôàêòîðà

. Ïîêà ìû íå áó-

äåì äåëàòü íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé î ëîæíîñòè èëè èñòèí-

íîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû. Äëÿ ëþáîãî óðîâíÿ ôàêòîðà äèñ-

ïåðñèÿ çíà÷åíèé íàáëþäàåìîãî ïðèçíàêà áóäåò îöåíêîé äèñ-

ïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èç êîòîðîé âçÿòû ýòè

çíà÷åíèÿ. Íî ïîñêîëüêó ìû äîïóñòèëè, ÷òî âñå ãåíåðàëüíûå

ñîâîêóïíîñòè (ñîîòâåòñòâóþùèå óðîâíÿì èññëåäóåìîãî ôàê-

òîðà) èìåþò îäèíàêîâûå äèñïåðñèè, òî îíè òàêæå ÿâëÿþò-

ñÿ îöåíêàìè äèñïåðñèè îáùåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âñåõ

çíà÷åíèé ïðèçíàêà â öåëîì (s

total

). Ïåðåõîäÿ ê âûáîðî÷íûì

îöåíêàì äèñïåðñèé ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, çàìåíèì

ñèìâîë s

íà s

= s

, s

= s

, s

= s

, ..., s

= s

, (3)

ãäå çíàê «

=» îçíà÷àåò, ÷òî s

îöåíèâàåòñÿ ïî s

, à k  ÷èñëî

óðîâíåé ôàêòîðà. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ íàäåæíîñòè îöåíêè äèñ-

ïåðñèè îáùåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè óñðåäíèì äèñïåð-

ñèè îòäåëüíûõ âûáîðîê, è ïðè ïðèíÿòîì íàìè óñëîâèè, ÷òî

= n

= ... = n

, ïîëó÷èì:

...

totaltotal

ssss

++++

. (4)

Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíåå ïî âñåì âûáîðî÷íûì îöåíêàì

äèñïåðñèé è áóäåò íàèëó÷øåé îöåíêîé s

total1

. Â ÄÀ ýòà îäíà èç

âîçìîæíûõ îöåíîê îáùåé äèñïåðñèè ïðèçíàêà ïîëó÷èëà íà-

çâàíèå âíóòðèãðóïïîâîé äèñïåðñèè è îáîçíà÷àåòñÿ êàê

(àá-

áðåâèàòóðà àíãëèéñêîãî âûðàæåíèÿ within group  âíóòðè-

ãðóïïîâîé). Âíóòðèãðóïïîâàÿ äèñïåðñèÿ îòðàæàåò òó ÷àñòü âà-

ðèàöèè íàáëþäàåìîãî ïðèçíàêà, êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà

âëèÿíèåì ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ è íå çàâèñèò îò âëèÿíèÿ êîí-

òðîëèðóåìîãî ôàêòîðà.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýòà îöåíêà íå çàâèñèò îò òîãî, ëîæíà

èëè èñòèííà H

, ò.ê.

âû÷èñëÿåòñÿ êàê ïðîñòîå ñðåäíåå

àðèôìåòè÷åñêîå îäíîðîäíûõ s

... s

Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, äëÿ ÄÀ òðåáîâàíèå ðàâåíñòâà ÷èñëà íàáëþäåíèé

îòíþäü íå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì.

Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà H

âåðíà. Åñëè ýòî òàê,

òî k âûáîðîê ïî n íàáëþäåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê k

íåçàâèñèìûõ âûáîðîê èç îäíîé è òîé æå ãåíåðàëüíîé ñîâî-

êóïíîñòè íàáëþäåíèé. Â òàêîì ñëó÷àå ìû ìîæåì èñïîëüçî-

âàòü äðóãóþ îöåíêó

total

. Ìû ìîæåì îöåíèòü

îáùóþ äèñïåð-

ñèþ ÷åðåç âàðèàòèâíîñòü ãðóïïîâûõ ñðåäíèõ îòíîñèòåëüíî

îáùåãî ñðåäíåãî. Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñëå-

äóåò, ÷òî âàðèàòèâíîñòü ñðåäíèõ, âçÿòûõ èç îäíîé ãåíåðàëü-

íîé ñîâîêóïíîñòè, ðàâíà äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóï-

íîñòè, äåëåííîé íà ðàçìåð âûáîðêè:

total

. (5)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âòîðàÿ îöåíêà äèñïåðñèè 

total



ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

2total

=⋅=

. (6)

Ýòó (âòîðóþ) îöåíêó

2total

íàçûâàþò ìåæãðóïïîâîé äèñ-

ïåðñèåé è îáîçíà÷àþò êàê

(àááðåâèàòóðà àíãëèéñêîãî âû-

ðàæåíèÿ between groups  ìåæãðóïïîâîé). Â îòëè÷èå îò

âíóòðèãðóïïîâîé, ìåæãðóïïîâàÿ äèñïåðñèÿ îòðàæàåò íå ñëó-

÷àéíóþ, à ñèñòåìàòè÷åñêóþ âàðèàöèþ, ò.å. òå ðàçëè÷èÿ â âå-

ëè÷èíå íàáëþäàåìîãî ïðèçíàêà, êîòîðûå âîçíèêàþò ïîä

âëèÿíèåì èçó÷àåìîãî ôàêòîðà, óðîâíÿì êîòîðîãî è ñîîòâåò-

ñòâóþò âûäåëÿåìûå ãðóïïû.

Â ñâîþ î÷åðåäü

îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1−

−

∑

total

)(

, (7)

ãäå

total

 ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ íàáëþäåíèé,

 îòäåëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, à k  ÷èñëî âûáîðîê.

Òàêèì îáðàçîì, îáùàÿ äèñïåðñèÿ îöåíåíà äâîÿêî: (1) êàê

ñðåäíåå íåñêîëüêèõ âûáîðî÷íûõ (ïî ÷èñëó óðîâíåé ôàêòîðà)

äèñïåðñèé, è (2) êàê ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå âûáî-

ðî÷íûõ ñðåäíèõ îò îáùåãî ñðåäíåãî. Ïðè÷åì î÷åâèäíî, ÷òî

ïåðâàÿ îöåíêà (

) íå çàâèñèò îò èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè

íóëåâîé ãèïîòåçû, òîãäà êàê âòîðàÿ (

) ìîæåò áûòü àäåê-

âàòíîé îöåíêîé îáùåé äèñïåðñèè òîëüêî ïðè óñëîâèè èñ-

òèííîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòûõ ÷èñëîâûõ ïðèìåðà ñ âû-

ìûøëåííûìè äàííûìè, ïîäîáðàííûìè ñïåöèàëüíî äëÿ èë-

ëþñòðàöèè òîãî, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà íóëåâàÿ ãèïîòåçà

èñòèííà èëè ëîæíà. Äîïóñòèì, ÷òî ìû ïðîâåëè ýêñïåðèìåíò

ñ òðåìÿ ãðóïïàìè èñïûòóåìûõ ðàçíîãî âîçðàñòà (ñðåäíèé

âîçðàñò â ãðóïïàõ  20, 30 è 40 ëåò, ñîîòâåòñòâåííî). Â êàæ-

äîé ãðóïïå áûëî ïî 10 ÷åëîâåê, âûïîëíÿâøèõ òåñò íà îïðå-

äåëåíèå âðåìåíè ðåàêöèè (ÂÐ) â óñëîâèÿõ òðåõàëüòåðíàòèâ-

íîãî âûáîðà (ñì. òàáë. 1, 2).

Ñëó÷àé 1: H

âåðíà. Â ñëó÷àå èñòèííîñòè H

(äàííûå èç

òàáë. 1) âñå ñðåäíèå ïî òðåì ãðóïïàì ðàâíû:

321

XXX ==

è êàæäîå çíà÷åíèå ÂÐ, âçÿòîå èç ëþáîé âûáîðêè, ñîîòâåò-

ñòâóåò îäíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.

Îöåíèì âíóòðèãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ:

5196

469460064889

Äàëåå âû÷èñëèì ìåæãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ:

ñíà÷àëà

525

750)(755750)(725750)(770

222

−

−+−+−

è íàêîíåö

525010525 =⋅=⋅= n

Òàêèì îáðàçîì, äâå ðàçëè÷íûå îöåíêè îáùåé äèñïåðñèè

ïðàêòè÷åñêè íå ðàçëè÷àþòñÿ (ñðàâíèòå: 5196 ïðîòèâ 5250),

÷òî è ñîîòâåòñòâóåò íàøåìó èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ îá

èñòèííîñòè H

Ñëó÷àé 2: H

ëîæíà. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî âòîðîì

ýêñïåðèìåíòå (äàííûå èç òàáë. 2) â îäíó èç ãðóïï (íàïðèìåð, â

ãðóïïó 2) ïîïàëè èñïûòóåìûå, ðàíåå óæå ó÷àñòâîâàâøèå â òà-

êîì æå îïûòå ïî èçìåðåíèþ ÂÐ. Òàêèì îáðàçîì, ýòî áûëè õî-

ðîøî òðåíèðîâàííûå èñïûòóåìûå, ïîýòîìó ìû ìîæåì îæè-

äàòü, ÷òî ó íèõ â öåëîì çíà÷åíèÿ ÂÐ áóäóò ìåíüøå, ÷åì â äâóõ

äðóãèõ ãðóïïàõ. Äëÿ ñèìóëÿöèè ïîäîáíîãî ýôôåêòà ìû óìåíü-

øèëè âñå çíà÷åíèÿ ÂÐ èñïûòóåìûõ ãðóïïû 2 íà 50 ìñ.

Òàê æå îöåíèì è â ýòîì ïðèìåðå âíóòðèãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ:

5196

469460064889

Î÷åâèäíî, ÷òî âíóòðèãðóïïîâàÿ äèñïåðñèÿ íå äîëæíà

áûëà èçìåíèòüñÿ.

Òàáëèöà 1

Äàííûå ýêñïåðèìåíòà ïî îïðåäåëåíèþ ÂÐ äëÿ ñëó÷àÿ: H

èñòèííà

ÂÐ ãðóïïû 1,

ìñ

ÂÐ ãðóïïû 2,

ìñ

ÂÐ ãðóïïû 3,

ìñ

630 690 760

780 810 760

830 740 860

730 790 810

680 690 660

780 740 810

830 690 660

830 840 810

780 690 710

830 570 710

10 10 10

total

= 30

770 725 755

total

= 750

4889 6006 4694

5200

total

Òàáëèöà 2

Äàííûå ýêñïåðèìåíòà ïî îïðåäåëåíèþ ÂÐ äëÿ ñëó÷àÿ: H

ëîæíà

ÂÐ ãðóïïû 1,

ìñ

ÂÐ ãðóïïû 2,

ìñ

ÂÐ ãðóïïû 3,

ìñ

630 640 760

780 760 760

830 690 860

730 740 810

680 640 660

780 690 810

830 640 660

830 790 810

780 640 710

830 520 710

n 10 10 10 N

total

= 30

770 675 755

total

= 733

ìñ

4889 6006 4694

total

= 6637

Âû÷èñëèì ìåæãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ:

ñíà÷àëà

2608.5

733)(755733)(675733)(770

222

−

−+−+−

è äàëåå

26085102608.5 =⋅=⋅= n

Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì ïðèìåðîì ìåæãðóïïîâàÿ

äèñïåðñèÿ (â îòëè÷èå îò âíóòðèãðóïïîâîé!) âîçðîñëà çíà÷è-

òåëüíî, ÷òî îòðàçèëî âëèÿíèå ðàçëè÷èé ìåæäó òðåìÿ ãðóï-

ïîâûìè ñðåäíèìè.

Òàêèì îáðàçîì, äàííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, è ýòî ìû

ïîä÷åðêèâàåì îñîáî, ÷òî

ÿâëÿåòñÿ íå ïðîñòî åùå îäíîé

îöåíêîé äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè (

total

), íî

êðîìå ýòîãî è îöåíêîé ðàçáðîñà ñàìèõ âûáîðî÷íûõ ñðåäíèõ.

Äðóãèìè ñëîâàìè, ñðåäíèå òðåõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ãðóïï

îòëè÷àþòñÿ ïðåæäå âñåãî íå â ñèëó ñëó÷àéíîé âàðèàöèè âå-

ëè÷èíû ÂÐ, à ïî ïðè÷èíå áîëåå óñïåøíîãî âûïîëíåíèÿ äàí-

íîãî òåñòà òðåíèðîâàííûìè èñïûòóåìûìè ãðóïïû 2.

Â çàêëþ÷åíèå åùå ðàç äàäèì êðàòêóþ õàðàêòåðèñòèêó îá-

ùåé ëîãèêè ÄÀ. Äëÿ ïðîâåðêè H

ìû äîëæíû âû÷èñëèòü äâå

îöåíêè äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè:

, êîòîðàÿ

íå çàâèñèò îò èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû,

, çàâèñÿùóþ îò èñòèííîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû. Êîãäà

îáå ýòè îöåíêè õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ, ó íàñ íåò îñíîâàíèé

îòâåðãàòü H

. Â ñëó÷àå èõ ñèëüíîãî ðàñõîæäåíèÿ (êîãäà

íàìíîãî áîëüøå

) îäíî èëè íåñêîëüêî ñðåäíèõ îòëè÷à-

þòñÿ äðóã îò äðóãà, è ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âàðüè-

ðóåìûé ôàêòîð âíåñ ñóùåñòâåííûé âêëàä â èõ ðàçëè÷èÿ. Òîãäà

äîëæíà áûòü îòâåðãíóòà.

ÃËÀÂÀ 2

ÎÄÍÎÔÀÊÒÎÐÍÛÉ ÄÈÑÏÅÐÑÈÎÍÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ

Â äâóõ ïðåäûäóùèõ ïðèìåðàõ (ñì. ãë. 1) ìû èìåëè äåëî ñ

àíàëèçîì äàííûõ òèïè÷íîãî îäíîôàêòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà.

Îáðàòèìñÿ ê ýòèì äàííûì åùå ðàç è ïðîäåëàåì ÄÀ äî êîí-

öà, ò.å. ñòðîãî ïðîâåðèì íóëåâóþ ãèïîòåçó è îöåíèì åå ñòà-

òèñòè÷åñêóþ äîñòîâåðíîñòü. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïîíÿòèÿ

F-îòíîøåíèÿ è ñòåïåíè ñâîáîäû.

2.1. ÏÐÎÖÅÄÓÐÀ ÎÖÅÍÊÈ F-ÎÒÍÎØÅÍÈß

F-îòíîøåíèå, èëè êðèòåðèé Ôèøåðà  ýòî ñòàòèñòèêà,

ðàññ÷èòûâàåìàÿ â ÄÀ. Ýòîò ïîêàçàòåëü õàðàêòåðèçóåò ñðàâíå-

íèå äèñïåðñèè, îáóñëîâëåííîé âàðèàöèåé ñàìèõ ãðóïïîâûõ

ñðåäíèõ îòíîñèòåëüíî îáùåãî ñðåäíåãî, ñ äèñïåðñèåé, îáóñ-

ëîâëåííîé âàðèàöèåé ïðèçíàêà âíóòðè êàæäîé îòäåëüíîé

ãðóïïû îòíîñèòåëüíî ñðåäíåãî ïî ãðóïïå. Îäíàêî, ïðè âû-

÷èñëåíèè F-îòíîøåíèÿ ïðÿìî íå èñïîëüçóþòñÿ îöåíêè

, ââåäåííûå íàìè ðàíåå, à ïðèìåíÿþòñÿ íåñêîëüêî

äðóãèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà ðàñ÷åòå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóìì

êâàäðàòîâ è ñîîòíåñåíèè èõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì êàæäîìó

èñòî÷íèêó âàðèàöèè ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ðàññìîòðèì

âñå íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ ïîäðîáíî.

Íàïîìíèì, ÷òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ïðèçíàêà âû÷èñ-

ëÿåòñÿ êàê ñðåäíÿÿ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé êàæäîãî

çíà÷åíèÿ âûáîðêè îò ñðåäíåãî:

−

∑

)(

, (8)

îòñþäà

∑

⋅−=

)(

, (9)

ãäå

∑

è îáîçíà÷àåò ñóììó êâàäðàòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ

îòêëîíåíèé, è, åñòåñòâåííî, òàêæå õàðàêòåðèçóåò âåëè÷èíó

âàðèàöèè ïðèçíàêà îòíîñèòåëüíî ñðåäíåãî. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ

ïîëó÷åíèÿ íåñìåùåííîé îöåíêè âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè

âìåñòî N â ôîðìóëå èñïîëüçóþò âåëè÷èíó (N  1).

Îáðàòèìñÿ âíîâü ê äàííûì ïðèìåðà 1 (ñì. òàáë. 3).

Òàáëèöà 3

Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïî äàííûì ïðèìåðà 1

Ãðóïïà 1 Ãðóïïà 2 Ãðóïïà 3

n 10 10 10 N

total

= 30

770 725 755

total

= 750

4889 6006 4694

total

= 5200

150800

∑

total

, df

total

= 29

10500

∑

, df

= 2

140300

∑

, df

= 27

5250

5389

F = 1.01

Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíþþ ôîðìóëó, ëåãêî ðàññ÷èòàòü îáùóþ

ïî âñåì òðåì ãðóïïàì ñóììó êâàäðàòîâ:

.)( 1508005200291 =⋅=⋅−=

∑

totaltotaltotal

Ìåæãðóïïîâóþ (èëè ôàêòîðíóþ) ñóììó êâàäðàòîâ (â îò-

ëè÷èå îò îáùåé ñóììû êâàäðàòîâ) ðàññ÷èòûâàþò ïî ñëåäóþ-

ùåé ôîðìóëå:

∑













−⋅=

jBG

Xnd

(10)

ãäå n  ÷èñëî íàáëþäåíèé â êàæäîé ãðóïïå, j  çíàê ñóì-

ìèðîâàíèÿ êâàäðàòîâ ñðåäíèõ ïî k ãðóïïàì, à i  ñóììèðî-

âàíèÿ çíà÷åíèé âñåõ íàáëþäåíèé â îòäåëüíîñòè. Ïîäñòàâëÿÿ

÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì:

10500.1687500016885500

(22500)

75572577010

=−=

=−++⋅=

∑

2222

)(