Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
311
а)
cos cos
zz z
lx y
α
β
∂∂ ∂
=+
∂∂ ∂
; б) sin sin
zz z
lx y
α
β
∂∂ ∂
=+
∂∂ ∂
;
в)
cos sin
zz z
lx y
α
β
∂
∂∂
=+
∂∂ ∂
;
г)
sin cos
zz z
lx y
α
β
∂∂ ∂
=+
∂∂ ∂
; д) інша відповідь.
4.2.22. Похідна функції
()
,,ufxyz=
за напрямом векто-
ра
l
G
, який складає кути
α
,
β
і
γ
з координат-
ними осями знаходиться за формулою:
а)
sin sin sin
uu u u
lx y z
α
βγ
∂
∂∂∂
=++
∂∂ ∂ ∂
;
б)
cos cos cos
uu u u
lx y z
α
βγ
∂
∂∂∂
=++
∂∂ ∂ ∂
;
в)
sin sin sin
uu u u
lx y z
α
βγ
∂∂ ∂ ∂
=++
∂∂ ∂ ∂
;
г)
22 2
222
cos cos cos
uu u u
lx y z
α
βγ
∂∂ ∂ ∂
=++
∂∂ ∂ ∂
; д) інша відповідь.
4.2.23. Повний диференціал
n -го порядку функції
(
)
,
z
fxy=
знаходиться за формулою:
а)
nn
nnn
nn
zz
d z dx dy
xy
∂∂
=+
∂∂
; б)
()
nn
nnn
nn
zz
d z dx dy
xy
⎛⎞
∂∂
=+ +
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
;
в)
n
n
d z dx dy z
xy
⎛⎞
∂∂
=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
; г)
nn
nnn
nn
zz
d z dx dy
xy
∂∂
=
∂∂
;
д) інша відповідь.
4.2.24. Повний диференціал другого порядку функції
(
)
yxfz ,= знаходиться за формулою:
312
а)
2
2
2
2
2
2
2
dy
y
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂
∂
=
;
б)
2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdx
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
;
в)
2
2
22
2
2
2
2
dy
y
z
dxdx
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
;
г)
22
2
2
2
2
2
dydx
y
z
x
z
zd
∂
∂
∂
∂
=
; д) інша відповідь.
4.2.25. Повний диференціал третього порядку функції
()
yxfz ,=
знаходиться за формулою:
а)
()
33
3
3
3
3
3
dydx
y
z
x
z
zd
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
;
б)
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
3
dy
y
z
dxdy
yx
z
dydx
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
;
в)
3
3
3
3
3
3
3
dy
y
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂
∂
=
;
г)
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
3
33 dy
y
z
dxdy
yx
z
dydx
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
;
д) інша відповідь.
4.2.26. Функція
(
)
,
z
fxy=
має неперервні частинні по-
хідні до четвертого порядку включно. Які з по-
даних нижче похідних співпадають?
1)
4
2
z
x
yx
∂
∂∂ ∂
; 2)
4
2
z
x
yx
∂
∂
∂∂
; 3)
4
3
z
x
y
∂
∂
∂
;
4)
4
22
z
x
y
∂
∂∂
; 5)
4
3
z
x
y
∂
∂
∂
; 6)
4
2
z
yxy
∂
∂
∂∂
.
313
а) 1 і 4, 2 і 5, 3 і 6 ; б) 1 і 5, 2 і 4, 3 і 6 ;
в) 1 і 6, 2 і 5, 3 і 4 ;
г) 1 і 3, 2 і 4, 5 і 6 ; д) інша відповідь.
4.2.27. Функція
(
)
,
z
fxy=
має неперервні частинні по-
хідні до п’ятого порядку включно. Які з поданих
нижче похідних співпадають?
1)
23
5
yx
z
∂∂
∂
; 2)
32
5
yx
z
∂∂
∂
; 3)
4
5
yx
z
∂∂
∂
;
4)
22
5
yxy
z
∂∂∂
∂
; 5)
xyx
z
∂∂∂
∂
22
5
; 6)
yxyx
z
∂∂∂∂
∂
2
5
;
а) 1 і 2, 3 і 4, 5 і 6; б)1 і 5, 2 і 6, 3 і 4;
в) 1 і 4, 2 і 5, 3 і 6;
г) 1 і 6, 2 і 4, 3 і 5; д) інша відповідь.
4.2.28. Стаціонарною точкою функції
(
)
,
z
fxy=
назива-
ється точка
(
)
000
,
M
xy, в якій:
а)
(
)
0x
f
M
′
не існує,
(
)
0
0
y
fM
′
=
;
б)
(
)
0
0
x
fM
′
=
,
()
0y
f
M
′
не існує ;
в)
(
)
0x
f
M
′
,
(
)
0y
f
M
′
не існують ;
г)
()
0
0
x
fM
′
=
,
(
)
0
0
y
fM
′
=
; д) інша відповідь.
4.2.29. Нехай функція
(
)
,
z
fxy=
має в деякому околі
точки
(
)
000
,
M
xy неперервні частинні похідні
першого і другого порядків, причому
()
(
)
00
0
xy
fM fM
′′
=
= . Тоді функція має в точці
0
M
екстремум, якщо:
а)
() () ()
()
2
00 0
0
xx yy xy
fM fM fM
′′ ′′ ′′
⋅
−=;
314
б)
() () ()
(
)
2
00 0
0
xx yy xy
fM fM fM
′′ ′′ ′′
⋅
−<;
в)
() () ()
(
)
2
00 0
0
xx yy xy
fM fM fM
′′ ′′ ′′
⋅
−>;
г)
() () ()
(
)
2
00 0
0
xx yy xy
fM fM fM
′′ ′′ ′′
⋅
−≤;
д) інша відповідь.
4.2.30. Нехай функція
(
)
,
z
fxy=
має в деякому околі
точки
(
)
000
,
M
xy неперервні частинні похідні
першого і другого порядків, причому
()
(
)
00
0
xy
fM fM
′′
==
. Тоді функція має в точці
0
M
максимум, якщо:
а)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − = = > ;
б)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = > ;
в)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = < ;
г)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xy
fM fM fM BfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = > ;
д) інша відповідь.
4.2.31. Нехай функція
(
)
,
z
fxy=
має в деякому околі
точки
(
)
000
,
M
xy неперервні частинні похідні
першого і другого порядків, причому
()
(
)
00
0
xy
fM fM
′′
==
. Тоді функція має в точці
0
M
мінімум, якщо:
а)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − = = < ;
б)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = > ;
в)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = = ;
315
г)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xy
fM fM fM BfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = > ;
д) інша відповідь.
4.2.32. Нехай функція
(
)
,
z
fxy=
має в деякому околі
точки
(
)
000
,
M
xy неперервні частинні похідні
першого і другого порядків, причому
()
(
)
00
0
xy
fM fM
′′
=
= . Тоді функція не має в точці
0
M
екстремуму, якщо:
а)
() () ()
(
)
2
00 0
0
xx yy xy
fM fM fM
′′ ′′ ′′
Δ
=⋅− <;
б)
() () ()
(
)
2
00 0
0
xx yy xy
fM fM fM
′′ ′′ ′′
Δ
=⋅− >;
в)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy xx
fM fM fM AfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = < ;
г)
() () ()
(
)
()
2
00 0 0
0, 0
xx yy xy yy
fM fM fM CfM
′′ ′′ ′′ ′′
Δ= ⋅ − > = < ;
д) інша відповідь.
4.2.33. Формула Тейлора для функції
(
)
,zfxy=
має
вид:
а)
() ( )
(
)
...
!2
,
,,
00
2
00
++=
yxfd
yxdfyxf
()
(
)
()
10,
!1
,
!
,
00
1
00
<<
+
Δ+Δ+
++
+
θ
θθ
n
yyxxfd
n
yxfd
nn
;
б)
()()
(
)
...
!2
,
,,
00
2
0000
++=Δ
yxfd
yxdfyxf
()
(
)
()
10,
!1
,
!
,
00
1
00
<<
+
Δ+Δ+
++
+
θ
θθ
n
yyxxfd
n
yxfd
nn
;
316
в)
(
)
(
)
(
)
2
00 00 00
, , , ...fxy dfxy dfxyΔ= + +
()
(
)
1
00 0 0
,,,01
nn
dfxy d fx xy y
θθ θ
+
+ + +Δ +Δ < < ;
г)
()
(
)()
2
00 00
, , 2 , ...fxy dfxy dfxy
=
++
(
)
00
,,01
n
nd f x x y y
θθ θ
++Δ+Δ<<;
д) інша відповідь.
4.2.34. При знаходженні екстремуму функції
(
)
,zfxy=
при умові
(
)
,0xy
ϕ
=
складається функція Лагра-
нжа
()
,,
F
xy
λ
, яка має вид:
а)
()
(
)
,,
f
xy xy
λϕ
+ ; б)
()
()
,
,
fxy
x
y
λ
ϕ
+
;
в)
()
()
,
,
fxy
x
y
ϕ
λ
+ ; г)
(
)
(
)
,,
f
xy xy
λϕ
+ ;
д) інша відповідь.
4.2.35. Координати точок, підозрілих на екстремум фу-
нкції
(
)
yxfz ,=
при умові
(
)
0,
=
yx
ϕ
знаходять-
ся із системи рівнянь:
а)
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
.0
,0
,0,
yy
f
xx
f
yx
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
б)
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=
=
.0,
,0,
yxf
yx
ϕ
в)
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
+
∂
∂
=
.0
,0,
y
f
x
f
yx
ϕ
г)
()
() ()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
+
∂
∂
=+
=
.0
,0,,
,0,
yx
f
yxyxf
yx
ϕ
λ
λϕ
ϕ
д) інша відповідь.
317
4.3 Тестові практичні завдання
4.3.1. Встановити відповідність між функціями і
областями визначення.
1)
22
4 yxz −−= ; 1) 4
22
≥+ yx ;
2)
4
1
22
−+
=
yx
z ; 2) 4
22
≤+ yx ;
3)
4
22
4−+= yxz ; 3) 4
22
>+ yx .
а) 1-2,2-1,3-3; б) 1-2,2-3,3-1; в) 1-3,2-1,3-2;
г) 1-1,2-3,3-2; д)інша відповідь.
4.3.2.
Встановити відповідність між функціями і
областями визначення.
1)
(
)
yxz
+
= arccos ; 1) 1xy
+
< ;
2)
()
(
)
2
1ln yxz +−=
; 2)
1≥+ yx ;
3)
()
1
2
−+= yxz ; 3) 1≤+ yx .
а) 1-1,2-3,3-2; б) 1-2,2-3,3-1; в) 1-3,2-1,3-2;
г) 1-3,2-2,3-1; д) інша відповідь.
4.3.3. Встановити відповідність між функціями і
областями визначення.
1)
22
9436 yxz −−= ; 1) 1
49
22
≥+
yx
;
2)
(
)
3694ln
22
−+= yxz ; 2) 1
49
22
>+
yx
;
3)
22
94
36
arcsin
yx
z
+
= ; 3)
1
49
22
≤+
yx
.
а) 1-3,2-2,3-1; б) 1-1,2-2,3-3; в) 1-2,2-1,3-3;
г) 1-3,2-1,3-2; д) інша відповідь.
318
4.3.4. Встановити відповідність між функціями і
областями визначення.
1)
(
)
2
ln xyz −= ; 1)
2
xy ≥ ;
2)
2
xyz −= ; 2)
2
xy > ;
3)
yx
z
−
=
2
1
; 3)
2
xy<
.
а) 1-1,2-2,3-3; б) 1-2,2-3,3-1; в) 1-3,2-1,3-2;
г) 1-2,2-1,3-3; д) інша відповідь.
4.3.5. Встановити відповідність між функціями і
областями визначення.
1)
xy
z
1
arcsin= ; 1)
1≥xy ;
2)
(
)
22
1ln yxz −= ; 2) 1≤xy ;
3)
()
xyz arccos= ; 3) 1<xy .
а) 1-1,2-2,3-3; б) 1-1,2-3,3-2; в) 1-2,2-3,3-1;
г) 1-3,2-2,3-1; д) інша відповідь.
4.3.6. Знайти область визначення функції
2
2
2
2
1
b
y
a
x
z −−=
.
а)
1
2
2
2
2
≥+
b
y
a
x
; б) 1
2
2
2
2
≤+
b
y
a
x
; в) 1
2
2
2
2
≤−
b
y
a
x
;
г)
1
2
2
2
2
≥−
b
y
a
x
; д) інша відповідь.
4.3.7. Знайти область визначення функції
222
1
yxR
z
−−
=
.
а)
222
Ryx ≠+ ; б)
222
Ryx =+ ; в)
222
Ryx ≤+ ;
г)
222
Ryx ≥+ ; д) інша відповідь.
4.3.8. Знайти область визначення функції
y
x
z arccos
+
=
.
319
а) 11
≤
≤
− y ; б) 1≥y ; в) 1
−
≤
y ;
г)
1
≤
y ; д) інша відповідь.
4.3.9. Знайти область визначення функції
22
11 yxz −+−= .
а)
⎩
⎨
⎧
≤≤−
≤≤−
11
11
y
x
; б)
⎩
⎨
⎧
≤<
≤≤−
10
11
y
x
; в)
⎩
⎨
⎧
≤≤
≤≤
10
10
y
x
;
г)
⎩
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
11
10
y
x
; д) інша відповідь.
4.3.10. Знайти область визначення функції
(
)
22
4ln yxz −−= .
а) 4
22
>+ yx ; б) 4
22
≤+ yx ; в) 4
22
<+ yx ;
г) 4
22
≥+ yx ; д) інша відповідь.
4.3.11. Вказати точки або лінії розриву функції
()()
22
11
10
++−
=
yx
x
z
.
а)
(
)
0;0 ; б)
(
)
1;1
−
; в)
(
)
1;1
−
;
г)
(
)
1;1
−
−
; д) інша відповідь.
4.3.12. Вказати точки або лінії розриву функції
3
2
x
z
x
y
=
−
.
а)
2
x
y = ; б)
(
)
0;0
; в) xy 2
=
;
г) xy 2
−
=
; д) інша відповідь.
4.3.13. Вказати точки або лінії розриву функції
42
22
2
−−
=
yx
x
z .
320
а) 42
22
=− yx ; б) 42
22
−=− yx ; в)
(
)
0;0 ;
г) 42
22
=+ yx ; д) інша відповідь.
4.3.14. Вказати точки або лінії розриву функції
22
3
1
yx
z
+
= .
а)
(
)
0;0 ; б)
(
)
1;0 ; в)
(
)
0;1 ;
г) немає точок розриву; д) інша відповідь.
4.3.15. Вказати точки або лінії розриву функції
yx
z
−
=
1
.
а)
x
y −=
; б)
x
y
=
; в)
(
)
0;0 - одна точка розриву;
г) немає точок розриву; д) інша відповідь.
4.3.16. Вказати точки або лінії розриву функції
xy
xy
z
2
2
2
2
−
+
= .
а) xy 2
2
= ; б) xy 2
2
−= ; в)
(
)
0;0 - одна точка розриву;
г) немає точок розриву; д) інша відповідь.
4.3.17. Вказати точки або лінії розриву функції
xy
yx
z
2
22
+
+
=
.
а)
x
y
−= ; б) xy 2
−
=
; в)
(
)
0;0 - одна точка розриву;
г) немає точок розриву; д) інша відповідь.
4.3.18. Вказати точки або лінії розриву функції
1
1
22
2
−+
=
yx
z .
а) 1
22
=+ yx ; б) 1
22
≠+ yx ; в)
(
)
1;0 ;
г)
(
)
0;1 ; д) інша відповідь.