Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
301
а)
19
5
π
; б)
21
5
π
; в)
24
5
π
; г)
26
5
π
;
д) інша відповідь.
3.3.399. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX
фігури, обмеженої лініями
2
,
2
x
y
xy=− = .
а)
4
3
π
; б)
5
3
π
; в)
7
3
π
; г)
8
3
π
; д) інша відповідь.
3.3.400. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX
фігури, обмеженої лініями
22
9, 0, 1
x
yxx+= = = .
а)
22
3
π
; б)
25
3
π
; в)
26
3
π
; г)
28
3
π
;
д) інша відповідь.
3.3.401. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
()
2
2
1, 1 1
4
x
yxx
+
==> .
а)
1
12
π
; б)
5
12
π
; в)
7
12
π
; г)
π
; д) інша відповідь.
3.3.402. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
22
,
y
xx y==− .
а)
3
10
π
; б)
7
10
π
; в)
9
10
π
; г)
π
; д) інша відповідь.
3.3.403. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
2
,2
y
xy x== .
302
а)
58
15
π
; б)
61
15
π
; в)
63
15
π
; г)
64
15
π
; д) інша відпо-
відь.
3.3.404. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX
фігури, обмеженої лініями
22
1, 2xy x−= = .
а)
1
3
π
; б)
2
3
π
; в)
4
3
π
; г)
5
3
π
; д) інша відповідь.
3.3.405. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
11
,0, ,1
2
yyxx
x
==== .
а)
2
π
; б)
π
; в) 2
π
; г) 3
π
; д) інша відповідь.
3.3.406. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
,0,0,ln2
x
ye y x x= === .
а)
3
2
π
; б)
π
; в)
2
π
; г)
3
π
; д) інша відповідь.
3.3.407. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
,0,0,ln2
x
ye y x x
−
==== .
а)
8
π
; б)
4
π
; в)
3
8
π
; г)
2
π
; д) інша відповідь.
3.3.408. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX
фігури, обмеженої лініями
1
1, 0, 1,
2
xy y x x===−=− .
303
а)
2
π
; б)
3
π
; в)
4
π
; г)
π
; д) інша відповідь.
3.3.409. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX
фігури, обмеженої лініями
2
2,1
y
xy=− = .
а)
53
15
π
; б)
56
15
π
; в)
58
15
π
; г)
62
15
π
; д) інша відповідь.
3.3.410. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням на-
вколо осі
OX фігури, обмеженої лініями
2
2, 1, 0yx y x=− =− = .
а)
28
15
π
; б)
27
15
π
; в)
26
15
π
; г)
23
15
π
;
д) інша відповідь.
304
4 Диференціальне числення
функцій декількох змінних
4.1 Теоретичні питання
4.1.1. Поняття функції декількох змінних. Область ви-
значення, границя і неперервність функції декі-
лькох змінних.
4.1.2. Частинні похідні функції декількох змінних, по-
хідна в напрямі, градієнт.
4.1.3. Диференційованість і повний диференціал функ-
ції декількох змінних. Застосування повного ди-
ференціала до наближених обчислень.
4.1.4. Геометричний зміст повного диференціала. Доти-
чна площина та нормаль до поверхні.
4.1.5. Похідні складеної функції декількох змінних. По-
вна похідна. Похідні функцій, заданих неявно.
4.1.6. Частинні похідні та повні диференціали вищих
порядків. Незалежність результату від порядку
диференціювання.
4.1.7. Формула Тейлора для функції декількох змінних.
4.1.8. Екстремум функції декількох змінних. Необхідні
та достатні умови екстремуму. Найменше та най-
більше значення функції декількох змінних в об-
меженій замкненій області.
4.1.9. Умовний екстремум функції декількох змінних.
4.1.10. Метод найменших квадратів. Побудова емпірич-
ної формули у випадку, коли шукана функція є
лінійною.
305
4.2 Тестові теоретичні завдання
4.2.1. Функція
(
)
,zfxy= зображається графічно:
а) деякою лінією в просторі ;
б) деякою лініює на площині;
в) деякою поверхнею в просторі ;
г) деякою областю на площині ; д) інша відповідь.
4.2.2. Вставити пропущений вираз. Означення границі
функції: Число A називається границею функції
(
)
,zfxy= в точці
(
)
000
;
M
xy, якщо
_____________________, що для всіх точок
()
;
M
xy
таких, що
(
)
0
;MM
ρ
δ
<
виконується нері-
вність
(
)
,fxy A
ε
−
< .
а) для будь-якого 0
ε
> , для будь-якого 0
δ
> ;
б) для будь-якого
0
ε
> існує таке 0
δ
> ;
в) існує таке
0
ε
> , існує таке 0
δ
> ;
г) існує таке
0
ε
>
, що для будь-якого
0
δ
>
;
д) інша відповідь.
4.2.3. Точка
(
)
000
;
M
xy є точкою розриву функції
(
)
,zfxy=
, якщо із умов:
1)
Функція визначена в точці
0
M
.
2)
Існує
(
)
0
lim
MM
f
M
→
.
3)
(
)
(
)
0
0
lim
MM
f
MfM
→
= .
порушується:
а) тільки 1; б) тільки 2; в) тільки 3;
г) хоча б одна; д) інша відповідь.
306
4.2.4.
Якщо функція
(
)
,zfxy= неперервна в обме-
женій замкненій області
D, то вона там:
а) обмежена ; б) додатна ; в) необмежена;
г) постійна ; д) інша відповідь.
4.2.5.
Яка з наведених нижче рівностей завжди викону-
ється для функції
(
)
,zfxy= при умові, що відпо-
відні похідні неперервні.
а)
zz
x
y
∂∂
=
∂∂
; б) 0
zz
xy
∂
∂
+
=
∂∂
; в)
22
22
zz
x
y
∂
∂
=
∂
∂
;
г)
22
zz
x
yyx
∂
∂
=
∂
∂∂∂
; д) інша відповідь.
4.2.6.
Повний диференціал функції
(
)
,zfxy= знахо-
диться за формулою:
а)
zz
dz dx dy
x
y
∂
∂
=−
∂∂
; б)
zz
dz dx dy
x
y
∂
∂
=+
∂∂
;
в)
22
zz
dz dx dy
xy
∂
∂
=+
∂∂
; г)
zz
dz dxdy
xy
∂
∂
=
∂∂
;
д) інша відповідь.
4.2.7.
Яка з наступних формул використовується в на-
ближених обчисленнях?
а)
()
(
)
(
)
yyxfxyxfyyxxf
yx
Δ
′
+
Δ
′
≈
Δ
+
Δ+ ,,,;
б)
()
(
)()
(
)
yyxfxyxfyxfyyxxf
yx
Δ
′
−
Δ
′
−
≈
Δ
+
Δ+ ,,,,
;
в)
()
(
)()
(
)
yyxfxyxfyxfyyxxf
yx
Δ
′
+
Δ
′
+
≈
Δ
+
Δ+ ,,,,
;
г)
()
(
)()
(
)
yxyxfyxfyxfyyxxf
yx
Δ
Δ
′
⋅
′
+
≈
Δ
+
Δ+ ,,,,
;
д) інша відповідь.
307
4.2.8.
Яке з рівнянь визначає дотичну площину до
поверхні
(
)
,zfxy=
в точці
(
)
0000
;;
M
xyz
?
а)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0 00 0 0
,,
xy
f
xy xx f xy yy zz
′′
−
=−+−;
б)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0 00 0 0
,,
yx
f
xy yy f xy xx zz
′′
−
=−+−;
в)
(
)
(
)
(
)
(
)
0000 000
,,
xy
zz fxy xx fxy yy
′′
−= − + − ;
г)
(
)
(
)
(
)
(
)
0000 000
,,
yx
zz fxy xx fxy yy
′′
−= − + − ;
д) інша відповідь.
4.2.9.
Яке з рівнянь визначає нормаль до поверхні
(
)
,zfxy= в точці
(
)
0000
,,
M
xyz?
а)
()()
000
00 00
,,1
zy
zz yy xx
fxy fxy
−
−−
==
′′
−
;
б)
()()
000
00 00
,,1
xy
x
xyyzz
fxy fxy
−
−−
==
′′
−
;
в)
()()
000
00 00
,,1
xy
x
xyyzz
fxy fxy
−
−−
==
′′
;
г)
()()
000
00 00
,,1
xz
x
xzzyy
fxy fxy
−−−
==
′′
−
; д) інша відповідь.
4.2.10.
Яке з рівнянь визначає дотичну площину до по-
верхні, заданої рівнянням
(
)
,, 0Fxyz
=
, в точці
()
0000
,,
M
xyz?
а)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0 0 00
0
xyz
FM xx FM yy FM zz
′′ ′
−
+−+−=;
б)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0 0 00
0
xyz
FM xx FM yy FM zz
′′ ′
−
+−−−=;
в)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 00 00
0
xyz
FM yy FM xx FM zz
′′′
−
+−+−=;
г)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0 0 00
0
zyx
FM xx FM yy FM zz
′′ ′
−
+−+−=
;
308
д) інша відповідь.
4.2.11. Яке з рівнянь визначає нормаль до поверхні, за-
даної рівнянням
(
)
,, 0Fxyz
=
в точці
()
0000
,,
M
xyz?
а)
() () ()
00 0
00 0
;
xy z
xx yy zz
FM FM FM
−
−−
==
′′ ′
−
б)
() () ()
000
000
;
zxy
xx yy zz
FM FM FM
−
−−
==
′′′
в)
() () ()
000
000
;
xyz
xx yy zz
FM FM FM
−
−−
==
′′′
г)
() () ()
000
000
;
yxz
xx yy zz
FM FM FM
−−−
==
′′′
д) інша відповідь.
4.2.12. Якщо
(
)
,zfxy= , де
(
)
yx
ϕ
= , то яка з рівностей є
правильною:
а)
dz z dy
dx x dx
∂
=+
∂
; б)
dz z dy
dx x dx
∂
=
∂
; в)
dz z z dy
dx x y dx
∂
∂
=+
∂∂
;
г)
dz z dy
dx y dx
∂
=
∂
; д) інша відповідь.
4.2.13. Якщо
(
)
,zfxy= , де
()
(
)
,
x
ty t
ϕψ
==, то яка з
рівностей є правильною:
а)
dz z z dy
dt x y dt
∂∂
=+
∂∂
; б)
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂
∂
=+
∂∂
; в)
dz z dx
dt x dt
∂
=
∂
;
г)
dz z z dx dy
dt x y dt dt
⎛⎞
∂∂
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
; д) інша відповідь.
4.2.14. Якщо
(
)
,
z
fxy=
, де
(
)
(
)
,, ,
x
uv y uv
ϕψ
==, то яка
з рівностей є правильною:
309
а)
zzxzy
uxuyu
∂∂∂∂∂
=+
∂∂∂∂∂
; б)
zzx
uxu
∂
∂∂
=
∂
∂∂
;
в)
zzzxy
uxyuu
⎛⎞
∂
∂∂ ∂∂
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠
;
г)
zzy
uyu
∂
∂∂
=
∂
∂∂
; д) інша відповідь.
4.2.15. Якщо
(
)
,
z
fxy=
, де
(
)
(
)
,, ,
x
uv y uv
ϕψ
==
, то яка
з рівностей є правильною:
а)
zzx
vxv
∂∂∂
=
∂∂∂
; б)
zzxzy
vxvyv
∂
∂∂ ∂∂
=−
∂
∂∂ ∂∂
; в)
zzy
vyv
∂
∂∂
=
∂
∂∂
;
г)
zzxzy
vxvyv
∂∂∂∂∂
=+
∂∂∂∂∂
; д) інша відповідь.
4.2.16. Яка з формул є правильною, якщо неявна функ-
ція однієї змінної задана рівнянням
(
)
,0Fxy
=
:
а)
x
x
y
F
y
F
′
′
=
′
; б)
x
x
y
F
y
F
′
′
=
−
′
; в)
y
x
x
F
y
F
′
′
=
′
;
г)
y
x
x
F
y
F
′
′
=
−
′
; д) інша відповідь.
4.2.17. Яка з формул є правильною, якщо неявна функ-
ція двох змінних задана рівнянням
(
)
,, 0Fxyz
=
:
а)
x
x
y
F
z
F
′
′
=
−
′
; б)
x
x
z
F
z
F
′
′
=
′
; в)
x
x
z
F
z
F
′
′
=
−
′
;
г)
z
x
x
F
z
F
′
′
=
−
′
; д) інша відповідь.
4.2.18. Яка з формул є правильною, якщо неявна функ-
ція двох змінних задана рівнянням
(
)
,, 0Fxyz
=
:
310
а)
y
y
z
F
z
F
′
′
=
′
; б)
y
y
z
F
z
F
′
′
=−
′
; в)
z
y
y
F
z
F
′
′
=−
′
;
г)
z
y
y
F
z
F
′
′
=
′
; д) інша відповідь.
4.2.19. Градієнтом функції
(
)
,
z
fxy=
називається:
а) скаляр
2
2
zz
grad z
x
y
⎛⎞
∂∂
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
;
б) вектор
zz
grad z i j
x
y
∂
∂
=+
∂
∂
GG
;
в) вектор
2
2
zz
grad z i j
xy
⎛⎞
∂∂
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
GG
;
г) скаляр
zz
grad z
x
y
∂
∂
=+
∂
∂
; д) інша відповідь.
4.2.20. Градієнтом функції
(
)
,,ufxyz= називається:
а) вектор
uuu
grad u i j k
x
yz
∂∂∂
=++
∂∂∂
G
G
G
;
б) скаляр
2
22
uuu
grad u
x
yz
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
=++
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
;
в) скаляр
uuu
grad u
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
;
г) вектор
uuu
grad u i j k
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
G
G
G
; д) інша відповідь.
4.2.21. Похідна функції
(
)
,
z
fxy=
за напрямом вектора
l
G
, який складає кути
α
і
β
з координатними
осями знаходиться за формулою: