Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

322

ГЛАВА 1 г

или климатических различий. Различия между блоками не изучаются, глав-

ное значение плана заключается в том, что для каждого сорта зерна поведе-

ние внутри блока более однородно, чем между блоками. При таком распоряд-

ке устраняется внутриблочная изменчивость и, таким образом, если этот

план осуществляется, уменьшается величина изменчивости от неучтенных

причин и эксперимент становится более чувствительным, а меньшая ошибка

позволяет исследователю выделять более тонкие различия в наборе средних

значений.

С другой стороны, в большинстве случаев при геологических экспери-

ментах также представляет интерес вторая классификация, соответствующая

агрономическим блокам, ибо исследователь старается оценить изменчивость

Источник

изменчивости

Степени

свободы

Ожидаемый

средний квадрат

Между а.

а - J

+ +

brcl

Между β

Ь - J

е + +

0Γσ

а. и β

(o-J) (A-J)

2 +

ητ

Ошибка S+6

ab(r-l)

Сумма

abr-1

/ 2 з

Фиг. 19.2. Экспериментальное решение и способ отбора; двухфакторная классифика-

ция с повторением,

μ + Cc

+ β; + «Pij + (6

ft aj)

ijh

и из этого источника. Подобный эксперимент — пример классификации по

двум признакам, и его не следует смешивать с планом случайных блоков.

19.2. ПРИМЕР ДВУХФАКТОРНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРИСТОСТИ ДВУМЯ МЕТОДАМИ

Цель эксперимента, описанного в разделе 18.2, состояла в сравнении двух

процедур определения пористости нефтеносных песчаников. Исходные дан-

ные были расклассифицированы двумя способами на основании нескольких

Таблица 19.1

Пористость пяти образцов пород, определенная

каждым из двух методов

Процент g

Номер

образца

метод 1

метод 2

Средняя, %

17.1

20,1

19,3

10.2

25,9

16,92

20,68

18,05

10,39

26,00

34,02

40,78

37,35

20,59

51,90

17,01

20,39

18,675

10,29

25,95

92,60

92,04 184,64

18,52 18,408

= 18,464

ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

323

определений, выполненных над различными случайно отобранными образца-

ми пород каждым методом. Известно, что различные породы обладают весьма

различной пористостью, поэтому полученные данные при планировании

эксперимента следует использовать весьма осторожно. Потребовался широ-

кий диапазон пористости, пять случайно отобранных образцов охватили

этот диапазон, причем каждый образец был подразделен на две части; на этих

частях были опробованы обе процедуры и полученные данные могли быть

представлены двумя классификациями для сравнения различий между

результатами обоих методов и различий между образцами. Данные фикси-

ровались на основании этих двух классификаций (табл. 19.1) (сравните

с табл. 18.1).

Анализ этих данных производится точно так же, как описано в разде-

ле 18.3 для общей суммы квадратов и суммы квадратов, отражающей различия

между методами; однако здесь мы можем подсчитать также сумму квадратов,

которая характеризует различия между к образцами, обозначаемую

через SS

Σ(Σ*)

= ^-I CT,

5 2

Σ (Σ Χ)

=7332,9994

1 1

2 = 3666,4747

- CT = 3409,19296 = 257,28174 = SS

Остаточным членом будет

Ошибка (SS

) = SS

—

(SS

+ SS

) =

= 258,27044 - (0,03156 + 257,28174) = 0,95714.

Дисперсионный анализ иллюстрируется таблицей 19.2.

Таблица 19.2

Сравнение результатов двух методов определения пористости

—

двухфакторный дисперсионный анализ

Число

групп

Источник из-

менчивости

Число степеней

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат

Отношение

дисперсий,F

S = 2

Между мето-

*-1 = 1

0,03156

0,131

7,71

1Я

дами

Среди образцов

Ошибка

257,28174

0,95714

64,32043

0,23928

268,808*** 6,39

gk = 10

Сумма

gk —1 = 9

258,27044

При этом выдвигаются следующие нулевые гипотезы:

1. H

: средние, полученные по образцам, представляют средние случайных выборок

из одной однородной популяции; следовательно, σξ = 0.

2. #

: средние, полученные одним из методов, являются средними случайных выбо-

рок из одной однородной популяции; следовательно, σ| = 0.

Для первой гипотезы отношение дисперсий (σ| +

go%)

σ| имеет

.F-распределение CocTeneHHMncBoeoflbiv

= 4 и V

= 4. По таблицам при

уровне значимости а = 0.05 IiMeeMi

05j4i4

= 6,39 [15]; F, полученное по на-

блюдениям, превышает это значение; следовательно, при вероятности 0,05

(даже при 0,001) нулевая гипотеза отвергается. Очевидно, образцы пород

21*

324

ГЛАВА 1 г

различаются по средней пористости. С другой стороны, согласно второй

гипотезе, отношение дисперсий F = (σ| + &σ|)/σ| имеет /"-распределение

с V

= 1 и V

= 4, табличное значение F

lll4

= 7,71 [15]. Вторая гипотеза

не отвергается, и, по-видимому, эти два метода не дают значительных раз-

личий по средним показателям.

Этот пример иллюстрирует важность планирования экспериментов,

когда с помощью соответственного способа отбора достигается значительное

сокращение тех изменений, которые связаны с неопределенными (ошибочно

определенными) причинами. Стратификация или блокировка (в данном слу-

чае рассматривание образцов попарно) дает возможность экспериментатору

избавить процедуру определения дисперсии от остаточного члена и таким

образом улучшить качество работы при тех же наблюдениях и затратах.

Надо заметить, что изменение классификации сопровождается уменьшением

числа степеней свободы для погрешности; и если стратификация не приводит

к уменьшению изменений, равносильному такому уменьшению числа степеней

свободы, то эксперимент становится менее эффективным. Так как для дости-

жения этого сокращения при стратификации требуется меньше изменений

в переделах слоев, чем между слоями, то соответственная процедура может

быть использована для проверки на существование стратифицированности

в пределах совокупности.

19.3. ПРИМЕР ДВУХФАКТОРНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

С ПОВТОРЕНИЯМИ — ИЗМЕНЧИВОСТЬ ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ

В ПЕСЧАНИКАХ ПОКОНО

Цель эксперимента — получить оценки изменчивости объемной плот-

ности одного слоя песчаников, что существенно зависит от способа отбора.

Пласт песчаника мощностью 10 футов обнажен в дорожной выемке и в 6 ми-

лях северо-западнее Порт-Матильды, Пенсильвания, по дороге № 322. Пес-

чаник представлен оползшим пластом с крупными перитовыми конкрециями

диаметром 2—3 дюйма. В остальном это однородный массивный слой.

Из этого пласта было взято 6 образцов, из которых четыре на равном

расстоянии друг от друга по вертикальному пересечению поперек пласта

и два — также на равном расстоянии, но по обе стороны от этого вертикаль-

ного пересечения. Расстояние между образцами равнялось 2 футам. Плот-

ность определялась на кусочках образцов весом от 8 до 10 г на ртутных весах

(гл. 11), и каждый из пяти операторов обработал каждый из шести образцов

по четыре раза, что дало в общей сложности 120 определений.

19.4. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Образцы можно рассматривать как случайные выборки из бесконечной

совокупности, так как данный эксперимент предназначен для оценки выбороч-

ной !"изменчивости как основания для последующих опытов, пять операто-

ров рассматриваются тоже как случайная выборка из бесконечной совокуп-

ности операторов. Аналогично повторения изменений являются четырьмя

из возможной бесконечной совокупности. Таким образом, мы имеем дело

с моделью совокупности бесконечного объема, т. е. со второй моделью

Беннетта и Франклина [27], или с моделью дисперсионных компонент Эйзен-

харта [109], или же с моделью случайных эффектов Шеффе [385].

Планирование эксперимента заключается в классификации по двум

признакам (образцы и операторы) с повторениями, которые предполагаются

полученными случайно для каждого образца и оператора. Каждое наблюде-

ние может быть записано как

х« Jk = μ + «г + Pj + Уи + (Kij) +

i i к),

ОДНОФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

325

что выражает структуру эксперимента. Каждое наблюдение представлено

постоянной (общее среднее μ), эффектом от образца а

·, от оператора β^

и от смешанного эффекта взаимодействия операторов и образцов уц плюс

окончательный (суммарный) эффект от повторений 8цц) и от влияния неуч-

тенных причин, в остальном выступающих в качестве ошибки ецц)

Предположениями, которые необходимо принять при дисперсионном

анализе этих данных, являются:

1. Результаты наблюдений X

ijh

рассматриваются как случайные величины.

2. Эти случайные величины содержат в качестве слагаемых щ и ft], математические

ожидания которых предполагаются равными нулю.

3. Эти случайные величины распределены с дисперсиями σ^, σ|, σ| и все ковариации

равны нулю.

19.5. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

Для удобства из каждого из 120 наблюдений Xjjh вычиталась константа

(= 2,46) и результат умножался на IO

(для ликвидации десятичных дробей).

Преобразованные данные приведены в табл. 19.3 и представлены гистограм-

мой на фиг. 19.3.

Распределения полученных значений описываются следующими общими

статистиками:

Х = 2,518, σ = 0,016, /^=-0,367*, Ъ

= -3,686**.

Распределение этих 120 наблюдений асимметрично (величина I^b

зна-

чительна при уровне значимости 5%) и с эксцессом меньше нормального (Ь

незначимо при уровне значимости 1%).

X = 582,50

& = 757,672

= 8,65 d.t.

0,5 >Р > 0,2

(...) слагаемое в X

(0,05)

5 операторов

6 образцов

4 повторения

200 400 600 800 . ЮОО

Кодированная объемная плотность, X= IO

(Х- 2,46)

Φ и г. 19.3. Распределение объемной плотности по шести образцам из граувакк Поконо.

При сравнении классов между собой и отклонений наблюдаемых частот

от частот, ожидаемых из нормального распределения с таким же средним

и дисперсией, как у выборочного распределения, получаем χ

= 8,65: Нуле-

вая гипотеза H

представляет утверждение: данные 120 наблюдении — это

случайная выборка из нормальной совокупности со средним μ = 2,518

и стандартным отклонением а = 0,016. Статистика в данном случае у

имеет

число степеней свободы, равное числу сравниваемых классов за вычетом чис-

ла наложенных ограничений, т. е. с — г = 6 — 3 = 3, чему соответствуют

Заметим, что повторные определения, относящиеся к операторам и образцам,

относятся ко всем значениям (г/). Этот остаточный член включает изменения также и от

разницы между повторными определениями плюс изменения от всех других неучтенных

причин.

326 ГЛАВА 1 г

Таблица 19.3

Объемная плотность песчаников Поконо; данные кодированы в D = IO

-4

j—2,46)

Образец

Опера-

Повто-

УХ!

тор

рение

1 2

А 1

379

567

619

861

669

843

468

377 557

752 670

797

485 402

647

780

648

776

343

375

599 728

626

793

Сумма

1675

1721

2 422 3121

2 613

3 209

14 761

409 635

564

710

561

770

500

536

562

677

604

713

456

528 482

566 336 646

870 570

576

705

459

782

Сумма

2 235

2 269

2184

2 658

1960 2 911 14 217

1 338

27 438 794

660 719

397 549 529

807 677 791

405

554 498 849 681

763

441 510

568

809 755

790

Сумма

1581

1640 2 033

3 259

2 773 3 063

14 329

D 1 294

442 525

630

695

524

333

518

603

611 735 516

442 516

632 772

743 724

308 512

641 710

736

724

Сумма

1377 1988 2 401 2 723

2 909

2 488 13 886

E 1 364

350 477

406

515

810

361 577

473

603

512

787

502 526

603

402 466

769

4 338

317 621 586 268

784

Сумма

1565

1 770

2 174

1 997

1761

3150

12 417

Общая сумма 8 433

9 388

11214 13 758

12 016 14 821

69 630

критические значения χ„

5ι3

= 7,815; χ„

2ι3

= 9,837. Полученные значения при-

водят к следующему выводу: если мы имеем дело действительно со случайной

выборкой из нормальной совокупности с установленными параметрами, то

подобная выборка может встретиться от двух до пяти раз на каждые

100 случаев. Поэтому гипотеза отвергается, т. е. распределение совокупности

ненормально и эти наблюдения неслучайны. Но так как маловероятно, чтобы

6 образцов из 20 определений по каждому из них оказались случайными выбор-

ками из бесконечной серии повторных определений при бесконечном числе

образцов из данного песчаника, то при отклонении такой гипотезы фактиче-

ски подвергается сомнению скорее случайность отбора, чем форма распре-

деления генеральной совокупности.

В качестве дополнительной иллюстрации такого положения получен-

ные данные нанесены на контрольную карту (фиг. 19.4). Ожидается, что три

ОДНОФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

327

наблюдения из 1000 окажутся за пределами границ стандартных откло-

нений (даже в случае нестрогой нормальности распределения); здесь же видим,

что 5 значений из 120 лежат за пределами ±3σ, что определенно свидетель-

ствует о неслучайности отклонений от среднего по совокупности.

Отклонения от среднего по каждому образцу также велики и имеют

одинаковый порядок значений. Разброс наблюдений вокруг средних по каж-

дому образцу более или менее симметричен, как и следовало ожидать, и пред-

ставляется вероятным, что для адекватной характеристики объемной плот-

ности данного песчанпка потребуется большее количество образцов. Пред-

ставляется также вероятным, что повторные замеры показывают гораздо

,к>

2,56

2,54

2,50

2,48

2,46

Оператор

Образец

» · -

—* ? ·

-Xs

-Λ,

_1 1 L

BCDE

ABCDE

Фиг. 19.4. Карточка качественного контроля, показывающая изменения в определе-

ниях объемной плотности шести образцов песчаников Поконо.

больший разброс выборочных средних, чем мы ожидали встретить по работе

опытных контролируемых операторов.

Иначе говоря, для последующих экспериментов потребуются лучше

обученные операторы, а качество их работы следует проверять до проведения

эксперимента. И второе — для надлежащей оценки средней объемной плот-

ности из этого слоя потребуется большее количество образцов. Наблюдение,

которое наиболее отличается от всех приведенных,— 2,4627 — вероятно,

представляет собой наибольшую ошибку и, возможно, должно быть перене-

сено в раздел ошибочных значений.

На графике средних значений в зависимости от разных операторов

и образцов не отразилось какой-либо закономерности по отношению к соот-

ветствующим стандартным отклонениям; следовательно, можно уверенно

предполагать аддитивность этих средних.

19.6. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Далее следует подсчет сумм квадратов; сначала определяют попра-

вочный член, затем общую сумму квадратов. То и другое берется из табл. 19.3.

Суммы квадратов для обоих главных факторов и для их взаимодействия нахо-

дят из итоговых значений в табл. 19.4. Дисперсионный анализ суммирован

в табл. 19.6.

328 ГЛАВА 1 г

Таблица 19.4

Общие результаты по данным различных операторов

и по различным образцам

Выборка

Оператор

Сумма

Выборка

в с D

Сумма

1675 2 235

1581

1377

1565

8 433

1 721

2 269

1640

1988 1770

9 388

2 422

2184

2 033 2 401 2174

11214

3121 2 658

3 259

2 723

1997

13 758

2 613

1960

2 773

2 909

1 761

12016

6 3 209

2 911

3 063

2 488 3150

821

Сумма

14 761 14217

349

886

12 417 69 630

Таблица 19.5

Выборочные средние значения объемной плотности песчаников

Поконо по данным различных операторов

Оператор

Выборка

Оператор

3 4

5 6

418,75

558,75

395,25

344,25

391,25

430,25

567,25

410,0

497,0

442,5

605,5

546,0

508,25

600,25

543,50

780,25

664,5

814,75

680,75

499,25

653,25

490,0

693,25

727,25

440,25

802,25

727,75

765,75

622,0

787,5

615,042

592,375

597,875

578,583

517,375

421,65

469,40 560,70 687,90 600,80

741,05 580,25=¾

Таблица 19.6·

Дисперсионный анализ определений объемной

плотности песчаников Поконо

Источник

изменчивости

Число степеней

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат

Отношение

дисперсий,F

Fos

Foi

Fooi

Шесть образцов

Пять операто-

ров

Операторы χ

образцы

Четыре ошибки

т —

= 5

р—1=4

1513 827,0

134 979,83

302 765,4

33 744,96

9,31***

1,037

2,71

2,87 4,43

6,46

Шесть образцов

Пять операто-

ров

Операторы χ

образцы

Четыре ошибки

(р-1) (m-1) = 20

pm (г—1) = 90

650 549,67

742 292,00

32 527,48

8 247,69

3,94** 1,69

2,09

Сумма 120

ртг—1 = 119

3 041 648,50

сг

= 90,817 Декодиро-

ванное

=0,0091

5g=2,518025

Объемная плотность граувакк Поконо; расчет сумм квадратов

1. Поправочный член CT

(

120 \ 2

, - ' = 40 402 807,50;

i=i 120

X = 580,250.

ОДНОФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

2. Сумма квадратов (SStot)

120

2 X

444 456,00

i=l

CT = 40 402 807,50

tot

= 3 041 648,50.

3. Сумма квадратов SS

по образцам пород

20 \ 2

= 838 332 690,0

328

6/20 \

Σ( Σ*«)

i=i \ Jh= I /

CT= 40402 807,5

= 1513 827,0.

4. Сумма квадратов SS

для операторов

5/24 \ 2

Σ ( Σ

O =

J=I \ift=i /

972 906 896,00

CT= 40402 807,50

= 134 979,83.

5. Сумма квадратов в зависимости от операторов и образцов^ЗБщр

30/4 \ 2

ΣΙ Σ

4 =170 808 656,0

ij Vft=I /

CT= 40402 807,5

= 2 299 356,5

(SS

+SS

)= 1648 806,83

= 650 549,67. j

. 6. Ошибка в сумме квадратов SS

tot

= 3 041648,56

(SS

+SS

+ SS

)= 2299356,56

= 742 292,00.

Вычисления при подобном эксперименте должны проводиться по схеме,

показанной на табл. 19.7. Сначала проверяется гипотеза Omp = 0. Проверка

выполняется с помощью отношения дисперсий

-2 ,

Oe-f- Г Omp

Из табл. 19.6 берем соответственные значения и получаем 32527,48/

/8247,69 = 3,94. Критические значения будут: для 5-процентного уровня

F05,20,90 =1,69, а для 1-процентного /'01,20,90 = 2,09.

Таблица 19.7

Таблица модели двухфакторпого дисперсионного анализа с повторениями

Источник

изменчивости

Число степеней свободы Ожидаемый средний квадрат

Операторы

р —1=4

•

I+

Inp +

mra

Образцы

т —1 = 5

1 +

<р + Р™т

Операторы X образцы

(т — 1) (р-1) = 20

1 +

га

тр

Повторение (ошибка)

тор (г—1) = 90

Сумма торг —1 = 119

330

ГЛАВА 1 г

Следовательно, так как наблюдаемая величина F превышает ожидаемую,

гипотеза отклоняется и Omp φ 0; изменчивость значений плотности за счет

различных операторов по разным образцам превышает изменчивость за счет

ошибок.

На этой стадии анализ прерывается, так как значительная величина вза-

имодействия ясно показывает, что действия операторов не согласуются. Воз-

можно, имеется и другое проявление недостаточности контроля: вследствие

неполадок в самом эксперименте. В последующих экспериментах, поставлен-

ных более точно, такая причина несогласованности данных была устране-

на [159].

При значительном взаимодействии нельзя дать каких-либо общих реко-

мендаций; значительное взаимодействие делает фактически бесполезной сум-

мирующую таблицу. Причины изменчивости на этом уровне не аддитивны,

и, для того чтобы.можно было сравнить действия операторов, каждый обра-

зец должен рассматриваться отдельно, а чтобы -можно было сравнивать дан-

ные по образцам, надо одновременно рассматривать результаты работы только

одного оператора. Если же различия в определениях плотности образцов

у разных операторов не совпадают, нет смысла пытаться делать какие-либо

выводы из полученных различающихся данных. С целью иллюстрации ска-

занного можно продолжить проверку, предположив, что эффект взаимодей-

ствия, обусловленный оператором и характером образца, является ошибкой,

вносимой главными факторами. Вначале можем сравнить средний квадрат

оператора и средний квадрат взаимодействия:

ol + rbm

+ rma% 33 744,96

1,037,

Os + гЬтр 32 527,48

что не превышает F

= 2,87, т. е. средние показания операторов меня-

ются не более, чем средние взаимодействия, что звучит не очень утешительно

при наличии сильного взаимодействия.

Предположим, что взаимодействие незначительно, т. е оно практически

нулевое; тогда можно проверить изменения, вносимые оператором, используя

отношение дисперсий

I +

mp +

rma

I _ 33 744,96

:4,091,

σ| 8 247,69

так как полученный результат превышает критические значения .F

oli 4

= 3,56, a F

01j4j 10

0 = 3,51; из этого следует, что различия данных оператора

значительно больше, чем изменения от неопределенных причин или источ-

ника погрешности.

Наконец, сравнивая различия между средними и смешанный эффект,

получим

302 765,4

σ2 32 527,48

ε " τπώ

9,31.

ибо F

01J5J8

о = 4,76; следовательно, такое значение F существенно за пре-

делами уровня 0,001. Гипотеза отсутствия различий между средними по

образцам отклоняется, несмотря на значительное взаимодействие.

Здесь весьма интересно отметить, что, если не проводилось повторных

измерений, эффект взаимодействия не мог быть оценен отдельно и этот сред-

ний квадрат не должен был бы использоваться в качестве остаточного члена.

Однако наше решение о том, что повторные измерения были «однородны»

(так как средние значения оператора показали изменчивость .менее значи-

тельную, чем эта ошибка), не было бы оправдано. Аналогично в классифика-

ции по двум признакам отсутствие различий между средними по образцам

еще не означает, что данная порода «однородна»; просто это свидетельствует

ОДНОФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

331

о незначительном различии между средними значениями по образцам [385].

Фактически, чтобы разрешить это спорное положение, во-первых, необ-

ходимо убедиться, что эффект взаимодействия равен нулю; следовательно,

нужны повторные измерения в качестве остаточного члена для проверки взаи-

модействия; во-вторых, необходимо определить (до эксперимента!), какое

значение различий между средними по образцам можно допустить при сохра-

нении предположения об однородности породы (сравните с работой [59]).

В общем мы не можем проверить однородность в форме нулевой гипотезы;

необходимо иметь первоначальное утверждение, согласно которому, если

различия менее некоторой определенной величины, данная совокупность

может рассматриваться как однородная (сравните с работой [256]).

19.7. ГРАФИЧЕСКИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ РАЗЛИЧИЙ

МЕЖДУ СРЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Этот эксперимент был направлен скорее на оценку изменчивости, чем

на изучение различий между средними значениями; однако для иллюстрации

интересно изучить как эти различия, так и то, что они могут дать.

Различия между средними для обоих главных результатов изображены

на фиг. 19.5 (см. также табл. 19.5), где ясно видны наиболее распространен-

ные средние по образцам,

сравниваемые с исполнитель-

скими средними.

На фиг. 19.6 и 19.7 при-

ведены два графика, на

абсциссах которых отложены

или средние по образцам,

или средние по операторам.

Средние по образцам даны

на фиг. 19.6, а средние по

операторам — на фиг. 19.7.

По фиг. 19.6 можно су-

дить об общей тенденции

операторов давать возра-

стающую оценку объемной

плотности по мере перехода

от образца 1 к образцу 6 с не-

значительным нарушением

этой закономерности при ра-

боте с образцом 5. Разумеет-

ся, порядок обработки образ-

цов произволен, однако

вполне допускается сравнение. Например, оператор В в противоположность

всем другим исполнителям дает результаты, идущие вразрез с отмеченной

тенденцией при обработке образцов 1—4. Оператор D дает противоположную

закономерность для образцов 5 и 6. Таково графическое отображение вза-

имодействия. Перекрещивание ломаных на фиг. 19.7 иллюстрирует эту же

черту поведения исполнителей по абсциссе.

Расхождение или взаимодействие между главными результатами можно

также представить путем сравнения средних каждой ячейки табл. 19.5;

пример дается табл. 19.8.

Если бы эффект взаимодействия действительно равнялся нулю, не было

бы расхождений, а различия между любой парой исполнителей по образцам

были бы постоянны. Иначе говоря, если на одном и том же образце один

из операторов получает более высокое значение плотности, чем другой, эта

зависимость сохранилась бы по всем образцам. Исполнитель А находит,

<э

700

650 2,525

S 600 1 2,520

S S

«55О «2,5/5

S "

S 500 1 2,5IO

I I

I 450 1^505

^400^2,500

5 Ji

3SO ^ 2,495'

300 2,490

Номер

образца.

Оператор

Фиг. 19.5. Различия между средними по главным

эффектам в зависимости от операторов и образцов:

1 — только одна серия повторений; 2 — четыре серии,

з — операторы.