Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 16

Однофакторный дисперсионный анализ

Именно то обстоятельство, что изменчивость результатов наблю-

дений в точных науках и в определенных областях техники была умень-

шена, заставило как-то аабыть, что, с одной стороны, непрактично

полностью ликвидировать изменчивость, с другой — что измерение

изменчивости не только более важно, чем ее сокращение, но даже весьма

желательно.

Η. М. Davies, The Application of Variance Analysis to Some

Problems of Petroleum Technology, J. Inst. Petrol., 32 (212), 466,

1946

18.1. ВВЕДЕНИЕ

В большинстве случаев в наших экспериментах мы обычно имеем дело

со сравнением более двух серий измерений, и тогда применяется дисперси-

онный анализ. Oja заключается в одновременном сравнении средних и диспер-

сий, и при помощи соответствующим образом подобранных критериев эти

источники информации могут быть использованы отдельно. Дисперсионный

анализ по существу заключается в разложении общей изменчивости на части,

которым приписываются отдельные причины, приводящие к общим измене-

ниям. Можно сказать, что предела этому разложению нет, при соответственно

подготовленном эксперименте таких способов существует очень много; каж-

дый из них приспособлен к определенной исследовательской ситуации. Одна-

ко исследователю необходимо перед каждым экспериментом определить

свою цель и способ ее достижения. Начинающий обычно ошибается, когда

он предпочитает слишком сложное решение, надеясь получить максималь-

ную информацию; но сложные эксперименты редко бывают удачными, если

не имеется достаточных сведений о природе тех изменений, которые можно

представить в виде случайной величины. Поэтому следует начинать с просто-

го способа и постепенно его надстраивать на базе накопленного опыта.

Разложение общей дисперсии может быть записано следующим образом:

Jw*'-μ)* = Jli (18.1)

Видно, что общая изменчивость наблюдений относительно истинного сред-

него состоит из изменчивости наблюдений внутри каждой выборки относи-

тельно выборочных средних и изменчивости выборочных средних относи-

тельно истинного. Чтобы получить такое разложение, необходимо собирать

данные небольшими выборками; так как истинное среднее неизвестно, то для

его оценки практически используют итоговое среднее X

ОТ

всего набора, что

дает

-X.)

= 2 + (18.2)

i, J=I i, i=l

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

303

Искусство экспериментального решения основывается на выборе под-

ходящей серии данных, что позволяет выделить причины изменчивости.

Допустим, каждое наблюдение записывается как

= μ+ ει, (18.3)

т. е. в нем содержится истинное среднее μ плюс дополнительная случайная

величина 8;. Например, при взвешивании одно ι и той же пробы на аналити-

ческих весах каждый раз результат взвешивания немного отличается от всех

других; Это изменение от наблюдения к наблюдению и представляет собой

величину ε,; каждое взвешивание также содержит оценку постоянного пара-

метра μ — истинного веса пробы. Предположим, экспериментатор решил,

что для отклонений X

от μ важную роль играют температурные изменения.

Сделав затем к наблюдений

по j различным температу- "

рам а, он может написать: -¾- -¾.

I I II

Источник Степени

Ожидаемый

изменчивости

свободы

средний квадрат

Между X

а-1

+ га£

В предела* X

а(г~1)

Сумма

Ctr-I

°L·

= μ + а

}

+ S

, (18--4)

т. е. каждое наблюдение Хц

есть оценка для μ, к которой

добавляется некоторая вели-

чина, появляющаяся вслед-

ствие изменения температу-

ры: α j плюс другая величина

от неизвестных причин E

(,·),

обычно называемая ошибкой

(см., например, фиг. 18.1).

Индексы i (/) обозначают

ошибку по ί в пределах j.

Ясно, что каждый экспе-

римент обладает структурой,

которая может быть представ-

лена в форме равенства связывающего результата наблюдений с причинами

изменчивости относительно истинного значения параметра, скажем истин-

ного среднего (фиг. 18.1). Кроме того, если полученное экспериментальное

распределение данных удачно, изменчивость параметра, приписываемая

некоторому фактору, например температуре, сократит ошибку, повысится

чувствительность эксперимента. Если же Z

(

·) остается прежним как с из-

менением температуры, так и без него, можно заключить, что не температура

является существенной причиной изменений. К тому же каждый эксперимент,

который может быть записан в форме равенства, сходного с равенством

(18.4), имеет свой выборочный план и таблицу дисперсионного анализа,?как

это показано на фиг. 18.1.

Фиг. 18.1. Экспериментальное решение и способ

отбора; однофакторная классификация.

= μ + aj + e

(_,).

18.2. ПРИМЕР ОДНОФАКТОРНОГО ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА:

ПОРИСТОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНА ДВУМЯ МЕТОДАМИ

Предположим, что предложена новая процедура измерения некоторого

свойства материалов; например, величина X

представляет результат изме-

рения пористости. Чтобы показать преимущество нового метода, произведены

определения пористости двух серий Образцов обоими методами — новым

и старым. В качестве иллюстрации предположим, что эти две серии образцов

выбраны случайно из одной совокупности — нефтеносного песчаника

Пять образцов опробованы обоими*методами независимо друг от друга, при-

О сравнении этих методик С использованием двухфакторной классификации см.

в разделе 19.2.

304

ГЛАВА 1 г

чем пористость была определена в одних и тех же условиях. Ясно, что пока-

зать границы применения этого метода в пределах широкой области

изменчивости — значит определить его точность. Данные представлены

в табл. 18.1.

Таблица 18.1

Пористость пяти образцов нефтеносных песчаников,

определенная двумя методами ([339], а также см. табл. 16.4)

Номер образца

По Пайлу

и Шерборну

По Коберли

17.1

20,1

19,3

10.2

25,9

16,92

20,68

18,05

10,39

26,00

92,60

92,04

Χ.

18,52

18,408

{¥)

8574,7600

8471,3616

1843,7600

1823,7034

Структура такого эксперимента может быть выражена следующим опре-

делением каждого наблюдения:

^ο· = μ +

ί(7

·,.

(18.5)

В выбранном случае / = 1,2 означает номер серии наблюдения, каждо-

му из которых приписан номер ί = 1, 2, 3, 4, 5. Расположение выборок

иллюстрируется фиг. 18.1, а наблюдения Xij — случайные в пределах каж-

дой серии.

18.3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Чтобы упростить вычисления, необходимо сократить общую формулу,

определенную равенством (18.2), путем следующего разложения его правой

части:

Σ Σ (χ

ί}

-Τ..Υ = 2 2 [(Z

-χ.))+(х.з-%.)]*=

j=l 1=1 J=I »=1

= Σ 2 (Xii-X.i)

+ Σ Σ (x.i-%.)

;=1 t=l

3=1

i=l

+ 2 2 2

j-X

)(X.j-T..),

(18.2)

i=i i=l

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 305

где g— число групп, к— число наблюдений в группах. Третий член этого

разложения равен нулю, так как сумма отклонений от среднего равна нулю.

Отсюда

2 2 (х

~I..)

= 2 2 (Xtj-хj)*+к 2 (x.J-X..)

· (ВД

3=1 i=l э'=1 t=l 3=1

Затем, используя соотношение

-X)^ J

XI-^pl

где п = kg, вычисленную формулу можно представить как

ZXl

-(J^j)- = SS

tou

(18.7)

2 (2 ( 2

i=l

ij=l

3=1

—*

13 1

= SS между средними по каждому методу. (18.8)

Общий член (

LXij)

Igk принято для краткости называть поправочным членом,

который мы обозначим СТ. Теперь можем начать вычисления, причем реко-

мендуем производить их в, определенном порядке; в представленном выше

случае порядок вычислений следующий:

чУ

jj —

3409,19296 = СТ.

gk 10 '

Подсчитываем общую сумму квадратов SS

t [см. равенство (18.7)]:

^J Xif = 3667,46340

CT = 83409,19296

258,27044 = SS

lot

Подсчитывая член, оценивающий изменчивость выборочных средних отно-

сительно генеральной средней, или [уравнение (18.8)]:

2 (.2 XijY= 17046,2126

1 1-1

к = 3409,22452

-CT = 3409,19296

0,03156 = SS

tot

Конечный член находят по разности, т. е. вычитанием изменчивости в выбор-

ках из общей изменчивости; можно также оценить изменчивость внутри каж-

дой выборки отдельно, что может понадобиться при неравных количествах

наблюдений в выборках. Можно заметить, что есть серьезное теоретическое

основание для применения выборок равных объемов независимо от упро-

щений в арифметике [44].

Все вычисления могут быть обобщены в виде таблицы дисперсионного

анализа (табл. 18.2).

20-429

306

ГЛАВА 1 г

Таблица 18.2

Сравнение двух методов определения пористости;

однофакторный дисперсионный анализ

Число

групп

Источник

изменчивости

Число

степеней

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат

Отношение

дисперсий,

? = 2

к = 5

gfc=10

Различия между

методами

В пределах мето-

да (ошибка)

Сумма

е-1 = 1

*(k-l) = 8

gk—1 = 9

0,03136

258,23908

258,27044

0,03136

32,2799

0,0009.

5,32

18.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Таблица однофакторного дисперсионного анализа с одним уровнем

изменчивости, как в разобранном примере, может быть представлена в общей

форме, показанной табл. 18.3.

Таблица 18.3

Однофакторный дисперсионный анализ с одним уровнем изменчивости

Источник изменчивости

Число

степеней

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат

Ожидаемый

средний

квадрат

Между сериями наблюдений

/ —

= 1

SSj

SS/

/—1

ol + io*

В пределах серий (ошибка)

/(¢-1)=8

/(;-1)

Сумма

fi —1 = 9

Stot

/(;-1)

Нулевая гипотеза может быть сформулирована в следующем виде:

«данные две выборки являются случайными и относятся к одной и той же

(нормальной) совокупности», причем изменения между выборочными данными

в среднем равны нулю, т. е. of = 0, а отношение дисперсий (σ| + ia))la\ = 1.

Для выборок небольших объемов, как в случае разобранного выше примера,

дисперсии заменены их оценками. Так как числитель этой дроби обычно

больше знаменателя, такое отношение подчиняется ^-распределению [44]

с числом степеней свободы соответственно g — 1 и g (к — 1), и критерий для

проверки гипотезы представляет собой ,Р-критерий, как описано в предыду-

щей главе (стр. 298). Если разница между выборочными средними превышает

различия между наблюдениями в пределах выборок, это отношение будет

больше табличного значения F-критерия и сформулированную выше гипотезу

следует отвергнуть при соответствующем уровне значимости.

В примере, приведенном в табл. 18.2, вычисленное значение F -критерия

меньше 1, и гипотеза принимается; иначе говоря, средние по этим двум

выборкам обладают изменчивостью, не превышающей изменчивость между

отдельными выборочными наблюдениями; поэтому обе методики изменчиво-

сти дают аналогичные выборочные средние.

Практически, разумеется, это еще не позволяет определить, какая

из двух методик лучшая, еще предстоит решить, что же следует пз критерия

«лучшей методики». Можно утверждать, например, что одна из методик более

точна и что можно проверить с помощью отношения дисперсий для двух

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

307

групп наблюдений. Так, если отдельные выборочные дисперсии

al = 32,2020,

σ*

= 32,3578,

то отношение дисперсий о\1а\ = 1,0048. Табличное значение F при уровне

значимости 0,05 с V

= 4 и V

= 4 будет F

0t 05)4

= 6,39; следовательно, нет

причин для предпочтения точности одного метода по сравнению с другим

(сравнение этих двух методик продолжается в разделе 19.2).

18.5. ЭКСПЕРИМЕНТ, ПРИВОДЯЩИЙ

К ОДНОФАКТОРНОМУ АППАРАТУ

С ДВУМЯ УРОВНЯМИ ИЗМЕНЧИВОСТИ

Когда нет данных о результатах эксперимента, принято использовать

простейшие из возможных способов упорядочивания данных, чтобы при

последующих исследованиях можно было более эффективно и с большим

основанием планировать эксперименты. В некоторых случаях, если, напри-

мер, факты отбираются многоступенчатым способом, выбор ограничен,

и экспериментальное решение предопределено способом отбора. Оба ограни-

чения очень распространены в геологии.

В такой ситуации важно провести предварительный эксперимент для

определения диапазона изменений, в частности определить тот диапазон,

в котором неизвестные причины изменчивости, обычно квалифицируемые

как ошибки наблюдений, представляют лишь незначительную часть общей

изменчивости. В качестве примера эксперимента такого типа возьмем иссле-

дование объемной плотности осадков с помощью ртутных весов [148]. Пусть

взяты 5 выборок пород t по всем заданным типам пород: образец керна (5516)

среднемиоценовых отложений Тринидада представлял субграувакки \ обра-

зец керна (В-8) верхнедевонских брадфордских песков Пенсильвании — более

кварцевый тип субграувакк [268], образец керна (Н-13) верхнедевонской

формации Венанго — протокварциты, а образец (5292), взятый из обнажения

ортокварцитов Орискани нижнего девона Западной Виргинии, завершил

этот композиционный ряд от граувакк до кварцитов. Для сопоставления

в выборку был также включен образец аркозовых песчаников из керна оли-

гоценовой формации Cecne (Калифорния). Каждая проба была разделена

на три части т; отличия между этими частями являются мерой однородности

типов пород. Затем каждая восьмая, девятая и десятая подпробы были про-

анализированы 5 (к) раз. Различия между этими повторными замерами

представляют различия, возникающие в результате действия неучтенных

факторов, и характеризуют ошибку эксперимента. Способ отбора и экспе-

риментальная процедура обобщенно показаны в табл. 18.4, а последователь-

ность отбора — на фиг. 18.2. Затем каждое определение объемной плотности

для каждой подвыборки повторяется случайно, т. е. переизмерение 1 из под-

выборкн 1 из выборки (5292) не имеет никакого отношения к любому другому

повторному измерению 1; таким образом, отбор является совершенно слу-

чайным. Если каждое повторное измерение 1 — первое из каждой выборки,

различия между этими измерениями будут содержать систематическую ошиб-

ку, возникающую при измерении. В таком случае эмпирическая ранжировка

должна быть совершенно другой, т. е. двухфакторной. Подобной прикидкой

преследуется две пели. Первая, основная, заключается в том. что изменчи-

вость определяется на двух уровнях, так что большое значение для экспери-

мента имеют дисперсии. Чтобы эти дисперсии можно было считать подходя-

щими оценками, выборки (типы пород и подвыборки) должны быть случай-

ными. Так как объемная плотность в пределах любого петрографического

Все петрографические термины приводятся по Крынину [270].

20*

308

ГЛАВА 1 г

Таблица 18.4

Многостадийное опробование для однофакторной классификации

с двумя уровнями изменчивости

Тип пород

Ортокварциты Протоквар-

Граувакки Третичные

Аркозовые

песчаники

Cecn

Тип пород

Орискани

циты Венанго

Брадфорд граувакки

Аркозовые

песчаники

Cecn

Возраст

Нижний Верхний

Верхний

Миоцен

Олигоцен

девон

девон средний

Me стопо ложение

Западная

Пенсильва-

Тринидад

Калифорния

Виргиния НИЯ НИЯ

Калифорния

Номер образца

5292

Н-13

В-8

5516

5293

Подвыборка

ABC

в с

В С

ABC

ABC Подвыборка

111

1 1 1 1 1 1

Повторные серии к

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 Повторные серии к

3 3 3

3 3 3 3

3 3

3 3 3

4 4 4

4 4

4 4 4

5 5-5 5 5 5

5 5 5

Подвыборка т

Xjn Xm Xm

Xm Xm Xm Хщ Xm Xjn

Хщ Хщ Xjn

Xm Xm Xm

Тип пород ί

Xt Xt Xi Xt

— 5

образцов пород; т —3 подвыборки; к = 5 повторений.

класса изменяется в широких пределах, то взятые образцы отображают лишь

часть^довольно обширного диапазона независимо от того, случайны они

I 1 1

I I I I ί I

• А,·

I 1 1

в, B

Π Π Π ΓΊ ΓΊ ΓΊ

^r C

С;

Pj(I)

-k(ij)

Источник

Степени Ожидаемый

изменчивости

свободы средний квадрат

Между А

Ctj

а - ί

+ kal + kbsl

Между B-.ipj(i)

а(Ь-V

аI + Ασ,Ι

В пределах

В: ε* (ij)

ab(k-l)

Сумма

abk-1

-L

Фиг. 18.2. Экспериментальное решение и способ отбора; однофакторная классифика-

ция с двумя уровнями изменчивости.

ijh

=μ + α

+ β

+ ε

ίί

(

.).

или же представительность их может быть определена лишь после более тща-

тельного исследования. Вторая цель совершенно другая. Она касается вопро-

са о положении объемной плотности аркозовых песчаников; находится ли она

за пределами последовательности кварциты — граувакки или включается

в этот ряд? Вопрос решается путем исследования различий между средними

значениями плотности по типам пород.

Здесь важно помнить, что если мы будем исходить из этих же данных, то

на эти два вопроса практически нам будет трудно ответить. Резкие различия

среди средних имеют отношение к оценке среднего значения всей совокупно-

сти, а имеется всего четыре типа обломочных пород: кварциты, субграувакки,

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

309

метаморфические граувакковые и аркозовые песчаники; из них в экспери-

менте участвуют три типа. Такого рода вопросы приводят к построению моде-

ли анализа первого типа (см., например, работы [27, 44, 109]); они главным

образом касаются различий между средними, а дисперсии не столь суще-

ственны. С другой стороны, когда поставленные вопросы касаются изменений,

отбор характеризуется как случайный из бесконечной совокупности. Такое

положение известно как аналитическая модель второго типа. Модель 1 иногда

называют фиксированной, модель 2 — случайной; разумеется, существуют

и смешанные модели, а фиксированные и случайные представляют собой

крайние случаи. Для иллюстраций всегда имеется возможность рассматри-

вать имеющиеся данные под углом зрения модели 1 (фиксированного типа)

или модели 2 (случайного типа). Фактически, однако, эксперимент выпол-

няется обычно с некоторой определенной целью; и одна из моделей может

быть подходящей, а другая — нет вследствие того, что способ отбора и сово-

купности в этпх двух случаях различны. Примеры фиксированной, случай-

ной и смешанной моделей будут приведены в последующих главах. Так как

решения становятся более сложными и более определенными, случаи приме-

нения модели 1 или 2 встречаются реже, часто только одна из них подходит

к условиям проводимого эксперимента. Решение вопроса о выборе модели

должно быть принято до начала эксперимента, и обычно этот выбор опреде-

ляется характером задачи, подлежащей экспериментальному разрешению.

18.6. ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Итак, эксперимент заключается в пяти повторных определениях по трем

нодвыборкам каждого из пяти типов пород объемной плотности, выражаю-

Таблица 18.5

Общая форма вычислений при однофакторном дисперсионном анализе

с двумя уровнями изменчивости

Источник

изменчивости

Число степе-

ней свободы

Сумма квадратов

Средние

квадраты

Ожидаемый сред-

ний квадрат

t mh 2

Σ(Σ*)

Между средни-

ми по типам

пород

Между средни-

ми по нодвы-

боркам

Различия меж-

ду повторны-

ми замерами

(погреш-

ность экспе-

римента)

Сумма

—1

t(m —1) = 10

tm (к — 1) =

= 60

tmk — 1

1 1

тк

tm к 2

Σ(Σ

)

1 1

-CT = SS

-CT-SSe = SS

tmk

2 X

-CT-SS

-SS

SSft

tmh

2 X

- CT=SS

tot

SSj

ί —1

+ Kn+

ί (те —1)

SSft

tm (к — 1)

tmk

(Σ*)

^^ tmk

Вычисления сумм, средних

сумм квадратов однофакторногс

Возраст

Типь

Ортокварциты Орискани

нижний девон

Протокварциты Венанго

верхний девон

Местоположение

Западная Виргиния

Пенсильвания

5292А

5292В 5292С

Н-13-А Н-13-В Н-13-С

2,461

2,487

2,459

2,235

2,242 2,222

2,465

2,505

2,471

2,219

2,228

2,221

2,440

2,466 2,453 2,206

2,233

2,222

2,422

2,472

2,450

2,210

2,230

2,211

2,447 2,469 2,496

2,221

-2,225

2,243

12,255

12,399

12,329

11,091

11,158

11,119

2,4510

2,4798

2,4658

2,2182

2,2316

2,2238

150,185025 153,735201 152,004241

123,010281

124,500964

123,63216

36,983

33,368

2,4655 2,2245

Номер образца

Объемная плотность

Повторные серии

к 5

jsr

1 1

(Ж*'Г

mk 3 5

S=SS

i 1 1

(

mk \

/15 \ 2

?') -(?*)

t Imk

?(?')

H- (тк) = 15

t т ( к

??(?')

-т-5

tmk 75

tot

1 1

tmk 75

CT = S

= S

(

tmh \ 2 /75

г) Ч?·

-т- tmk -j- 75

h \ 2

1367,742289

161,771

26169,856441

348,931419

30,037519 30,748095 30,402347

30,037005 30,747040 30,400848

1113,423424

5280,27565

352,018377

1760,155033

352,030607

352,067205

=2,156946

24,602563 24,900362 24,72697

24,602056 24,900193 24,72643

дисперсионного анализа с двумя уровнями изменчивости

Таблица 18.6

пород

Граувакки Брадфорд Третичные граувакки

Аркозовые песчаники Cecn

верхний девон Миоцен (средний)

Олигоцен

Пенсильвания Тринидад

Калифорния

В-8-А В-8-В В-8-С 5516А

5516В 5516С

5293А 5293В

5293G

2,182 2,193

2,181

1,816

1,994

1,878

2,097 2,096

2,109

2,146 2,135

2,108 1,798

1,832 1,847

2,076 2,096

2,091

2,176 2,163

2,147

1,813

1,812

1,852

2,087 2,098

2,092

2,179 2,148 2,167 1,802

1,822 1,855

2,089 2,083 2,108

2,179 2,177

2,171 1,790

1,813

1,848

2,091 2,093

2,097

10,862 10,816

10,774

9,019

9,273 9,273

10,440 10,466

10,497

2,1724 2,1632

2,1548

1,8038 1,8546

1,8546

2,0880 2,0932

2,0994

117,983044 116,985856 116,079076

81,342261 85,988529

85,988529

108,993600 109,537156 110,187009

32,452

27,565

31,403

2,16346 1,8376

2,09353

1053,132304 759,829225

986,14840?

23,597498 23,399276 23,219164 16,268933

17,222257

17,198083

21,798956 21,907574

22,037699

23,596609 23,377171

23.21581Е 16,268472

17,197706

21,798720 21,907431

22,037402