Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

312

ГЛАВА 1 г

щейся в граммах на кубический сантиметр; всего получается 75 значений

плотности. Экспериментальная процедура описана в разделе 11.2.

Вычисления могут быть суммированы в обобщенной форме в виде табли-

цы однофакторного дисперсионного анализа с двумя уровнями изменчивости

(табл. 18.5): имеем t (= 5) типов пород и

тп

(= 3) подвыборок, г (= 5) число

повторений. Вычислительная процедура начинается с подсчета величины CT

(см. сноску в табл. 18.5). Затем вычисляется общая сумма квадратов SSt

после которой подсчитавается величина SS

, расположенная в верху

табл. 18.5. «Компонента ошибок» SS

(в данном случае SS

) вычисляется как

разность. Эти суммы и средние значения рассматриваемого примера приве-

ведены в табл. 18.6, а результаты дисперсионного анализа показаны

в табл. 18.7.

Таблица 18.7

Дисперсионный анализ объемной плотности образцов осадочных пород

Источник

изменчивости

Число

степеней

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат

Отношение

дисперсий,

^05

Foi

Fooi

Между средними

по типам пород

Между средними

подвыборками

Между повторны-

ми замерами

(ошибка)

3,086958

0,012230

0,036598

0,771795

0,0012230

0,00060996

631,0217***

2,0050*

3,48

1,99

5,99

2,63

11,28

3,87

Сумма

74 3,135786

Последовательность проверочных процедур определяется ожидаемыми

средними значениями квадратов, приведенными в табл. 18.5.

Сначала сравнивается изменчивость средних по группам (подвыборкам)

с изменчивостью среди повторений внутри групп. При этом нулевая гипотеза

формулируется как утвержденная: «Эти группы (подвыборки) взяты наудачу

из одной и той же нормальной совокупности». Этому утверждению равносиль-

но равенство σ™ = 0, из чего следует

_о

1·

Используя оценки σ! и Om для величин of и о™, получим

^ σΐ +

kbm

0,0012230

о! 0,00060996

2,005.

Допустимое значение F при 5-процентном уровне значимости с 10 и 60

степенями свободы равно 1,99; так как вычисленное значение F превышает

I,99, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернатива ah Φ 0.

Теперь мы можем изучить изменчивость средних по типам пород, вычис-

лив отношение

АО Λ 2 А 2

+ tom+ferngf _0,7717395_gg^ Q2|j

~~ Ы +

кЬт

0,0012230

Допустимое значение F при уровне значимости 0,001 и 4 и 10 степенях

свободы равно 11,28. Так как вычисленное значение F сильно превышает

II,28, гипотеза о? = 0 уверенно отклоняется и принимается альтернатива

о? Φ 0.

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

313

Таким образом, можно сделать вывод, что изменчивость между средними

по группам превышает изменчивость среди повторений внутри групп. Кроме

того, изменчивость средних по типам пород прревышает изменчивость двух

упомянутых типов. Ясно, что с помощью этой процедуры можно выявить

различия между средними значениями плотности заполнения по типам пород.

Это единственный вывод, который можно сделать на основе дисперсионного

анализа. Для установления положения существенных различий и оценки

изменчивости на каждом уровне требуются дополнительные критерии.

18.7. ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИОННЫХ КОМПОНЕНТОВ

Одна из задач данного эксперимента заключается в изучении характе-

ристик изменчивости на различных уровнях с целью использования их при

выборе наилучшего выборочного плана в последующих экспериментах

в сходных условиях. Если бы мы смогли сократить число повторений, то это,

возможно, позволило бы увеличить число образцов пород, т. е. получить

больше информации, соответствующей наиболее интересному для нас уровню

изменчивости. В данном случае мы рассматриваем модель 2, в которой пред-

полагается, что все выборки взяты из бесконечной совокупности. Это спра-

ведливо, если мы рассматриваем образцы одной породы, а не несколько петро-

графических классов для существующих типов пород.

Для того чтобы оценить изменчивость на различных уровнях или полу-

чить точечные оценки дисперсий, нужно рассмотреть дисперсионные компо-

ненты.

Так, средняя дисперсия повторений, характеризующая эксперимент σ|,

оценивается с помощью величины а\, равной в нашем примере 0,000610.

Точечную оценку дисперсии на уровне подвыборки можно получить из вы-

ражения

bl + kam—ot _ 0,001223—0,000610 _

Q00123

к 5 ' '

а оценку дисперсии

—

на уровне типов пород по формуле

(aj + kbm+mkat) — (σ| + khm)

0,7717395—0,0012230 _

051353

тк ~ 15 '

Эти оценки вместе с соответствующими или стандартными отклонениями

приведены в табл. 18.8. Отчетливо видно, что изменчивость средних по образ-

Таблица 18.8

Точечные оценки дисперсии по различным

выборочным уровням

Источник изменчивости

Дисперсия

Стандартное

отклонение

Среднее по типам пород t

0,051368

0,227

Среднее подвыборок т 0,000123

0,011

Повторение (ошибка) г

0,000610

0,025

цам пород значительно превышает изменчивость, обусловленную всеми дру-

гими источниками, что позволяет значительно упростить метод анализа и ис-

пользовать изменчивость этого уровня в качестве диагностического при-

знания.

С другой стороны, изменчивость между подвыборками из одного и того

же образца составляет только одну пятую изменчивости повторений. Из этого

314

ГЛАВА 1 г

следует, что если требуется установить различия между иодвыборками, то

для этого нужно не менее пяти повторений.

Комбинируя описанные оценки, можно получить оценку генеральной

выборочной средней. Так как

=. Oi

Var (X..) =-L +

-»!

tmh

можно записать

Var (X .);

σ| + кот+тко*

tmk

0,000610 + 5 χ 0,000123 + 15 X 0,051368

(18.9)

:0,010290. (18.10)

Соответствующее стандартное отклонение σ-^ =0,1. Если требуется

изучить различия в средних по подвыборкам, для этого желательно сокра-

тить дисперсию ошибок, чего можно достигнуть, согласно выражению (18.9),

путем увеличения числа повторений. Если же нужно выявить различия

в средних для образцов, для этого достаточно только подвыборок.

18.8. РАЗЛИЧИЯ МЕЖДУ СРЕДНИМИ

Можно вычислить средние для различных уровней (табл. 18.9). Вместе

с оценками дисперсий для различных уровней мы можем затем исследовать

различия между этими средними. Результат одного из сравнений — между

Таблица 18.9

Средняя плотность по типам пород и подвыборкам

Тип породы

Среднее по

типам пород

Среднее подвыборок

Тип породы

Среднее по

типам пород

Орискани (5292)

Венанго (Н-13)

Брадфорд (В-8)

Миоцен (5516)

Cecn (5293)

2,4655

2,2245

2,1635

1,8376

2,0935

2,4510

2,2182

2,1724

1,8038

2,0880

2,4793

2,2316

2,1632

1,8546

2,0932

2,465$

2,2238

2,1548

1,8546

2,0994

данными по аркозовым песчаникам Cecn и остальными породами — ожидался

еще при планировании эксперимента, и если мы предположим, что дисперсия

постоянна

J а выборки случайны, можем перейти к построению доверитель-

ного интервала, использовав для этого дисперсию, скажем, средних значений

по типам пород:

Var (X

) = = О.™» + 0,000610 = 0,0000816, т. е.

Kvar(X

) = 0,009.

Тогда доверительный интервал для среднего по типам пород будет

— t

, \Gx

< μ < Xt + ta, 4<ϊχ

{

где t

,v — значение ί-критерия Стьюдента, соответствующее заданной веро-

ятности (надежности) а, скажем 95% (t

= |ίι-

|) при числе степеней сво-

боды ν = 14; отсюда J

= 2,14. Для среднего по аркозовым песчаникам

Cecn это даст

2,0935-2,14 χ 0,009 < μ < 2,0935 + 2,14 χ 0,009,

или

2,075 <μ< 2,113.

Ниже будет показано, что то предположение не обосновано (см. раздел 18.9).

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 315

Очевидно, что средняя объемная плотность аркозовых песчаников Cecn

при 5-процентном уровне значимости отличается от средних по всем другим

образцам (фиг. 18.3).

Если мы хотим выявить все различия, которые не анализировались

в эксперименте, необходимо использовать методы, впервые описанные

•J ρ Δ

I 2,2

Б:

ft 2,1

I 2,0

I '-9

ι, a

-1

5292 H-13 B-8 5518 5293

Орискани Венанго Брадфорд Миоцен Cecn

Фиг. 18.3. Средняя объемная плотность по типам пород.

Шеффе [385], в частности метод «всех контрастов». В этом случае мы определя-

ем различия (контрасты) как

k h

Θ= Sc

Xi, где 2

(18.11)

1 1

Оценку для θ обозначим через Н, и

H=^c

Ее дисперсия равна

Var (Я) =2 с!-5-, (18-12)

а соответствующая дисперсии оценка будет

1 1

В представленном примере

Я = (X

+ X

- 4Х

a Ci = 1, 1, 1, 1, —4, сумма их равна нулю. X* — это средние но типам

пород, тогда H = 2,4655 + 2,2245 + 2,1635 + 1,8376-4 (2,0935) = 0,317.

Теперь можем построить доверительный интервал, но для этого нужно заме-

нить значение ί-распределение Стьюдента коэффициентом Шеффе, т. е. коэф-

фициентом S:

H-sVfw<Q<H+s Vf^j

(18-13)

а значение S получаем из выражения

S* =

(k-l)F*(k-l,f),

(18.14)

где к— количество средних, α

—

заданный вероятностный уровень, а /

—

число степеней свободы, связанное с оценкой σ

. Для средней объемной

плотности типов пород

= (5

—

1) F

I (4,14) = 4 χ 8,62 = 34,48; S = 5,87.

316

ГЛАВА 1 г

Необходимый доверительный интервал

H-5,87 χ 0,009 < θ <H + 5,87 X 0,009.

Для образца аркозовых песчаников Gecn получаем

2,041 <θ< 2,147,

что может быть записано как H + 0,053, где H = 0,317, и тогда доверитель-

ный интервал становится равным 0,264—0,370; так как данный интервал

не содержит нуля, аркозовые песчаники Cecn по средней объемной плотности

отличаются от других четырех образцов.

Большинство прочих критериев для проверки гипотез равенства сред-

ними значениями отвечает другим требованиям. Например, используя кри-

терий, предложенный Тюки, мы можем предполагать, что дисперсии вокруг

каждого среднего равны и что числа наблюдений в классах тоже равны [44].

Даннет [104] предложил критерий для сравнения к средних с проверкой. Эти

критерии имеют различные назначения и приводят к различным интервалам

Проверка гипотез с помощью дисперсионного анализа основана на пред-

положении, что дисперсии для различных групп равны и что равны дисперсии

для заданного уровня изменчивости. Если эти предположения не оправды-

ваются и дисперсии одного уровня, в частности уровня ошибки, неоднородны,

Фиг. 18.4. Средняя объемная плотность для подвыборок в пределах типов пород.

то увеличивается вероятность того, что выводы, полученные из анализа,

окажутся ошибочными. Признаком неоднородности дисперсий может служить

необычно большая величина отношения дисперсий, или значения F. Если

эксперимент построен на выявлении различий между средними, то обычно

не ожидают, что различия будут большими; следовательно, необычно боль-

шое значение F. например такое, как приведено в табл. 18.7 на уровне типов

пород, является основанием для предположения неоднородности дисперсии.

В таком случае следует проверить гипотезу однородности дисперсий; крите-

рий для этого выведен Бартлеттом [20], Этот критерий определен следующей

формулой (см. также раздел 17.12)

[44, 385].

18.9. ОДНОРОДНОСТЬ НАБОРА ДИСПЕРСИЙ

. ' I ' ' 1 ! 1 ! I I 1 I

ABCABC ABC ABCABC

.6292 Н-1Я B-B 55/8 5293 ,

Орискани Венанво Брадфорд Миоцен Cecn

52.'.92 H-13 B-B

В = ±- («1πσ

-2 Μησί) ,

(18.15)

Более общая формула для выборок разных объемов дана Беннеттом и Франкли-

ном [27] и Браунли [44].

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

317

или

в = (

log^fc

IogQl)

C = 1

^ (Uk

)-Uk

3(ra — l)

где присутствует η оценок дисперсии, причем каждая из них получена по

наблюдениям, а σ

является средним из дисперсионных значений. В данном

примере η = 15 дисперсиям по трем подвыборкам в каждом из пяти типов

пород; на основе It

= 5 наблюдениям в каждой данные сведены в табл. 18.10.

Таблица 18.10

Проверка гипотезы однородности дисперсий ошибки при оценке объемной

плотности; критерий Бартлетта; выборки одинакового объема

п= 15; ft= 5

Выборка Дисперсия log

<j2

0,000514

4,71096

0,001055

3,02325

0,001399

3,14582

0,000507

4,70501

5 0,000169

4,22789

0,000547

4,73799

0,000889

4,94890

' 0,002105

3,32325

9 0,004349

3,63839

0,000461

4,66370

11 0,024551

2,39007

0,000377

4,57634

0,000236

4,37291

14 0,000143

4,15534

15 0,000297

4,47276

Сумма

54 + 7,09258

^lOgCTi

2 <4=0,037599;

σ2

= 0,0025066,

log

σ2

= 3,399088; η log

σ~2

= 40,986320;

η log

ста —

2 log σ! = 40,986320—47,092580 = 7,89344;

= 2,3026 (k

— 1) (га

log а*—^ logσ!)

C = 1

Jv.-

= 2,3026x4x7,89344

= 72,701740.

1 1

3(„_l)L^A-l 2(fc-1)

= 1 + 4- (Ш-L·) =1 + 4 = 1,0889.

]

3(15-1)[Σ

5-1 у (5-1)

1—1

5 —IU

60 60

Исправленное значение χ

= ^

72,70174

1,0889

= 66,762 при числе степеней свободы

η —1 = 14, Xooi

= 36,123; поэтому гипотеза однородной дисперсии отвергается.

318

ГЛАВА 1 г

Отношение BIC в условиях нулевой гипотезы — все дисперсии равны —

распределено как χ

с η — 1 степенями свободы. Это значение превышает

табличное значение χ

при уровне значимости 0,01; следовательно, гипотеза

отвергается и дисперсии неоднородны.

В таких условиях необходимо рассматривать каждый тип породы отдель-

но; дисперсионный анализ для отдельных образцов приведен в табл. 18.11.

Таблица 18.11

Дисперсионный анализ объемной плотности для каждого типа пород отдельно

Источник изменчивости

Число

степеней

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат

F05

Орискани

между выборками

между сериями повторений

0,002074

0,002968

0,001037

0,0002473...

4,19*

3,88

6,93

Сумма

0,005042

Венанго

между выборками

между сериями повторений

0,000453

0,001223

0,0002265

0,000101916...

2,22

3,88

6,93

Сумма 14

0,001676

Брадфорд

между выборками

между сериями повторений

0,000775

0,006343

0,0003875

0,000528583...

0,73

3,88

6,93

Сумма 14

0,007118

Тринидад, миоцен

между выборками

между сериями повторений

0,008602

0,025389

0,004301

0,00211575

2,03

3,88

6,93

Сумма 14

0,033991

Cecn

между выборками

между сериями повторений

0,000326

0,000676

0,000163

0,0000563...

2,89

3,88

6,93

Сумма

14 0,001002

Видно, что только одна дисперсия для подвыборки ортокварцитов Орискани

значительно превышает данные повторных замеров (фиг. 18.4).

Компоненты дисперсии, стандартное отклонение и коэффициент

изменчивости CV

[CV %

100 (σ/Χ)] для каждого типа пород сведены

в табл. 18.12. Изменчивость ошибок довольно велика и меняется соответствен-

Таблица 18.12

Дисперсии и стандартные отклонения подвыборочных средних,

ошибки и коэффициенты изменчивости по каждому типу пород

Тип породы

Подвыборка

Ошибка

cv. %

Тип породы

cv. %

Орискани

Венанго

Брадфорд

Миоцен

Cecn

0,000263

0,000041

0,000728

0,000036

0,016

0,006

0,000

0,027

0,006

0,000247

0,000102

0,000529

0,002116

0,000056

0,016

0,010

0,023

0,046

0,008

0,64

0,45

1,38

2,50

0,36

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

319

но с изменчивостью подвыборок. По-видимому, изменчивость ошибок

миоце-

новом образце велика вследствие рыхлости образца.

Изменчивость средних в подвыборках ортокварцитов Орискани могла

бы отражать также и неравномерное распределение карбонатного цемента.

18.10. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

На основании проведенного эксперимента ясно, что метод определения

объемной плотности малыми навесками («8 г) пород на ртутных весах адек-

ватен определению различий между средними по типам пород. Если мы инте-

ресуемся изменениями значений подвыборок, необходимы соответственные

повторные замеры для уменьшения ложных изменений с целью выявления

различий между средними подвыборок из одной и той же выборки. При выбо-

ре способа отбора с целью достичь этого уменьшения необходимо эксперимен-

тально получить оценку величины изменчивости за счет ошибок, а в рыхлом

образце породы оно может быть довольно значительным вследствие потери

при перекладывании образцов. С другой стороны, в плотных породах пятни-

стое распределение карбонатного цемента приводит к возрастанию изменчи-

вости на уровне подвыборок. Необходимо оценить причины этих изменений

еще до начала тщательного исследования какой-либо совокупности осадоч-

ных пород (см., например, работы [74 и 158], а также раздел 11.3).

18.11. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО

ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА ПРИ РЕШЕНИИ

ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

При анализе совокупностей пород обычно применяется многостадийный,

или последовательный, способ отбора. В результате однофакторный дис-

персионный анализ с одним или несколькими уровнями изменчивости стано-

вится обычным экспериментальным способом анализа при изучении пород.

Более того, выборочный план, основанный на совершенно случайном отборе,

наиболее подходит там, где совсем нет предварительных данных или же

информация об относительной оценке изменчивости на различных уровнях

мала. Экспериментальное ранжирование при этом настолько просто, что его

можно приспособить к неравным количествам образцов в подразделениях

выборок. Последнее обстоятельство может возникнуть при невозможности

получить равные подвыборки или же при утере образцов во время лаборатор-

ной обработки. Следовательно, по этому плану с успехом можно работать

при предварительных исследованиях, и, в частности, он также подходит

для контроля неучтенных причин изменчивости, так как этот самый низкий

уровень обладает максимальным числом степеней свободы.

В геологической литературе имеются примеры различных выборочных

планов — от простейших до весьма сложных (см., например, работу [299]).

Один уровень изменчивости бывает весьма необходим для отделения ошибки

эксперимента. Особый план выборки, который иллюстрируется на фпг. 2.2,

впервые предложен Крамбейном [239]; впоследствии этот план был исполь-

зован для дисперсионного анализа [155]. Он весьма эффективен прп сравне-

нии изменчивости по выборкам с изменчивостью других типов для установле-

ния изменчивости помимо ошибки эксперимента (оцененной в этом примере

бороздовым опробованием).

Подробный анализ дисперсионных компонент и их использование для

определения наиболее эффективного способа отбора посредством оценки

стоимости описан Олсоном и Поттером [314]. Гнездовый (многоступенчатый)

способ с сокращением числа уровней изменчивости, рекомендуемый при реги-

ональных исследованиях, описали Крамбейн и Слак [262].

ГЛАВА 19

Двухфакторный дисперсионный анализ

Всегда присутствует компонент, не поддающийся объяснению...

который, по крайней мере частично, возникает вследствие влияния фак-

торов, не учтенных в модели. Такие компоненты называются «остаточ-

ными», или «случайными», переменными. Если эти переменные в итоге

обусловливают изменения, превосходящие те, которые явно учтены в на-

ших моделях, мы не сможем получить достаточно ясного представления

об изучаемой системе. В этом случае требуется насколько возможно

сократить эти необъяснимые изменения.

R. L. А с к о f f, The Meaning, Scope and Methods of Operations

Research (R. L. А с к о f f, Progr. in Operat. Res., p. 29, ORSA

publ. 5, John Wiley and Sons, Inc., 1961)

19.1. ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей главе рассматривалась иерархическая классификация,

в которой каждый подкласс вкладывался в исходный класс. Предположим,

что можно подразделять совокупность, на основании двух классификацион-

ных признаков; тогда подклассы одной серии будут соответствовать подклас-

сам другой. Это — стратифицированный выборочный метод, геологическая

стратификация здесь имеет второстепенное значение. Принцип стратифика-

ции, или блокировки, однако, применяется очень широко. Однако, если гео-

логическая стратификация в общем связана с порядком перенесения материа-

ла и часто представляет временную последовательность, под статистической

стратификацией не обязательно надо подразумевать порядок расположения.

Предположим, например, что несколько серий образцов разделены на классы

по цвету и в то же время по типам пород, а случайной величиной является

содержание карбоната или размер зерен. Классы по цвету и типы пород

получаются не любьщ способом; другими словами, такая классификационная

шкала может быть номинальной. С другой стороны, конечно, эта классифика-

ция может быть переведена в порядковую, интервальную шкалу или же шка-

лу отношений. В общем, если мы пользуемся порядковой или номинальной

шкалой, или шкалой отношений, то планы экспериментов мыслятся как фак-

торные (т. е. зависящие от многих причин.— Ред.), поскольку, если имеем

дело с номинальной шкалой, они принимают вид просто классификаций

по двум признакам без ограничений. Когда нет упорядоченности, вопросы

касаются различий между средними по классам (главный эффект) по одному

или по обоим основаниям классификации и независимости или связи между

классификациями (вопрос о взаимодействии). Если классы уже определены

или обладают более высокой шкалой, могут быть разрешены и дополнитель-

ные вопросы, касающиеся зависимости изменчивости от порядка классов

в одной или в обеих классифкациях. Здесь снова можно провести проверку

на постоянство связи в одном измерении (эквивалентно одному основанию

классификации) по отношению к другому измерению.

Структура простейшей классификации по двум признакам, соответствен-

ный способ отбора и таблица дисперсионного анализа даны на фиг.19.1;

ОДНОФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

321

каждое наблюдение можно представить в виде

U =

+ «г + β/ + («Po- + ευ)·

(19.1)

Это означает, что каждое наблюдение содержит оценку истинного значения

μ, к которому добавляются эффекты от первого главного фактора а

;

плюс

влияние второго главного фактора β

· плюс влияние всех других (неопреде-

ленных) факторов. Равенство (19.1) означает, что член, соответствующий

ошибке, состоит из величины смешанного эффекта αβ ^ плюс случайная вели-

чина B

J, являющаяся следствием всех неучтенных причин. В этом эмпири-

ческом распорядке эффект а может рассматриваться отдельно от эффекта β

только в том случае, если αβ

ί-7

· = 0; иными словами, эффект а, скажем в пер-

вом классе при сравнении со вторым, может оказаться разным для разных

J·

X-A X-B

-С X-D X--ZZU

Источник

изменчивости

Степени

свободы.

Ожидаемый

средний квадрат

Между сц

а-1

«е

+ Ьа£

Между Pj

Ь -1

+ ασρ2

Ошибка

«Ptf+¾

(а-1)(Ъ-1)

*е

Сумма

аЪ-1

Фиг. 19.1. Экспериментальное решение и способ отбора; двухфакторная классифи-

кация.

= μ + а, + P

+ Ofi

№

к(ф

+еф

классов. Именно поэтому необходимо убедиться, что αβ,·; = 0, что является

одним из модельных предположений. На практике всегда следует определить,

выполнено ли такое требование, поэтому необходима отдельная оценка члена

αβ^· вместе с соответствующим остаточным членом и проверка гипотезы

αβ;

· = 0. Для этого нужно получить более чем одно наблюдение по каждой

ячейке и эти повторные наблюдения разместить внутри каждой клетки двух-

факторной классификации. Структура эксперимента приобретает облик,

показанный на фиг. 19.2, и описывается формулой

ΧΐΛ = μ + αι + Ρ^ + οφν + (δ

Λ(

+ β

<ΙιΜ)

). (19.2)

Каждое наблюдение содержит оценку истинного среднего μ вместе с не-

которой величиной

а%

от первого главного эффекта плюс величина β^ от вто-

рого главного эффекта плюс величина αβ,

· от взаимодействия а

;

и β, плюс

изменения от всех неучтенных причин. Этот последний член содержит измен-

чивость, получаемую при повторных наблюдениях 8цц), плюс изменчивость

от всех других причин

г^ць),

a (ij) означает положение δ

в клетке ц н β

·.

Структура эксперимента, порядок отбора и таблица дисперсионного анализа

показаны на фиг. 19.2. Количества повторных определений взяты случайно.

Выборочный план двухфакторной классификации, заимствованный из прие-

мов полевой агрономии, называется планом случайных блоков. Действуя

таким образом, агроном получает возможность сравнивать урожайность

нескольких сортов зерна, помещая в блок некоторое число растений каждого

сорта [79]. Различия между производительностью сортов представляют основ-

ной интерес, и блокировка пли стратификация используется для устранения

эффекта различных местных обстоятельств, например неоднородности почвы

21-429