Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

292 ГЛАВА 1 г

При использовании χ

в качестве критерия проверки гипотезы незави-

симости следует усвоить, что мы обрабатываем частоты в любом одном ряду

или колонке, как будто они биномиальны. Убедитесь, что количество наблю-

дений адекватно: в общем случае ожидаемая частота в любой клетке таблицы

может превышать 5; таблицы 2x2 Йейтс [459] разработал на улучшенном

базисе оценочных требований, который известен как поправка Йейтса

на непрерывность [127, 77, 290].

17.6. ПРИМЕНЕНИЕ χ

-ΚΡΗΤΕΡΗΗ

ПРИ РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ

Во многих интересных случаях мы сталкиваемся с более чем двумя

классами по одному или обоим признакам, в частности если наблюдения

представлены частотами. Предположим, например, что имеем достаточно

большой массив данных о частотах встречаемости тяжелых минералов в не-

которой формации и что взят образец, который надо сравнить с «параметрами»

этой совокупности, как это показано на модельном примере, приводимом

в табл. 17.6. Здесь мы рассматриваем значения совокупности как ожидаемые,

Таблица 17.6

Сравнение выборки тяжелых акцессориев с акцессориями предполагаемых

материнских пород

Минерал

Циркон Рутил

Турма-

лин

Гранат

Хлори-

тоид

Ставро-

лит

Итого

Формация E

27 7 25

.13

100

Выборка О

18 4

100

Разность

О —

-2

-1

-2

-4

(O-E) 2

9 4

36 70

(О—EYIE 0,15 0,14 2,25

0,20

2,0

2,77

7;51-широв

Число степеней свободы = (числу сравниваемых классов) — (число ограничений) = 6 —1 = 5

20 > P > 10

основывая это предположение на большом количестве предыдущих оценок.

В этом случае можно различать 5 из 6 частотных классов, но коль зафикси-

рованы частоты по 5 классам и зафиксирована общая сумма встреченных

частот, то тем самым фиксирован также и 6-й класс; иначе говоря, имеется

6 степеней свободы. Вычисленная статистика χ

имеет х

-распределение

с этим числом степеней свободы, и из таблиц х

-распределения [15] получаем,

что значение 7,51 лежит между значением χ

для P = 0,20 и значением для

P = 0,10; поэтому можем написать, что 0,20 > P > 0,10. Другими сло-

вами, мы имеем дело со случайной выборкой из данной совокупности (форма-

ции): указанные частоты встречаемости (минералов) могут быть в среднем

от 10 до 20 раз на 100 в «случаях опробования». Следовательно, это не дает

основания отвергнуть гипотезу. Такой образец может считаться принадле-

жащим данной формации.

Теперь предположим, что приведенные частоты взяты по двум образцам,

и следует узнать, сходны ли они, т. е. взяты ли оба образца из одной и той же

совокупности. Вычисление сведено в табл. 17.7. Прежде всего очевидно,

что возможностей заметить разницу возникает больше, когда сравнивается

один образец с другим, а не образец с совокупностью

; поэтому значение χ

будет ожидаться большим, однако в данном примере оно фактически меньше,

и вероятностное утверждение будет 0,80 > P > 0,70. Это тот случай, когда

Так как параметры в последнем случае фиксированы.

БОЛЕЕ ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ - χ«- И F-КРИТЕРИИ 293

Таблица 17.7

Сравнение частоты встречаемости акцессорных минералов по двум выборкам

с целью определить, принадлежат ли обе выборки к одной и той же совокупности.

Минерал

Циркон

Рутил

Турма-

лин

Гранат

Хлори-

тоид

Ставро-

лит

Итого '

Выборка А

Выборка В

100

Итого 52 13 53

12 32

200

Ожидаемое значение

O-E(A)

O-E(B)

-1

6,5

+0,5

-0,5

26,5

-1,5

1,5

-1

-2

-3

100

Итого 0

0 0

То же (В)

1 0,25 2,25

То же (В)

6,5

0,25

26,5

2,25

То же (В)

0,038

6,5

0,038

26,5

0,085

0,053

0,667

0,563

Сумма

0,076 0,076

0,170

0,106

1,334 1,126

= 2,888

Число степеней свободы = (числу сравниваемых классов)

—

(число ограничений) =

= (с —1)(г—1) = 5

80 > P > 70

иа основании упомянутой гипотезы данные два образца могут встретиться

в одной и той же совокупности от 70 до 80 раз в среднем на каждые 100 испы-

таний. Следовательно, эти два образца, вероятно, взяты из одной совокуп-

ности (формации).

Число степеней свободы вычисляют по общей формуле, которая пригод-

на для таблиц любой сложности. На практике часто бывает удобно подсчитать

число переменных в выборках, что не служит препятствием для применения

. Фактически же использование процентных отношений или пропорций

вместо прямых подсчетов может привести к потере информации и к снижению

чувствительности критерия, когда количество подсчетов гораздо больше ста.

а данные фиксированы в процентах. Когда же подсчет содержит менее ста

индексов, вычисление соотношения в расчете на сто ведет к «ошибке».

Итак: х

-критерий можно применять и в более сложных случаях, как

это показано в табл. 17.8, в которой отчасти повторяется случай табл. 12.2.

В обеих таблицах видна определенная связь между цветом породы и размер-

ностью зерен, и с помощью критерия χ

становится ясным, что эти два призна-

ка в представленной серии данных не независимы, т. е. выявленная связь

характерна и для всей совокупности.

Может быть более реален вопрос, нужна ли вообще мера степени изучае-

мой зависимости? Однако х

-критерий мало что может дать для ответа на та-

кой вопрос [233]. С целью дать оценку степени зависимости было предложено

множество различных критериев; их достоинства и слабые стороны рассмот-

рены в работах [233, 1; 144, 398]. Одни из таких критериев — коэффициент

сопряженности Пирсона — С [233] равен:

294

ГЛАВА 1 г

Таблица 17.8

Зависимость между цветом и размером зерен по образцам трехдюймового керна

из пачки Солт-Уош формации Моррисон, плато Колорадо

А —все прочие классы (остальные обозначения см. в табл. 12.1)

Цвет

Структура

Сумма

Цвет

Сумма

Cs Ms MsA Fs FsA

S+ Mst

А. Наблюдаемые частоты

Красный

38 38

Красный и зеленый

116 132

Зеленый 5 21

Красный, белый и зе-

1 1

леный

Белый и зеленый

116

2 30 2

151

Белый 38

2 1

Сумма

49 144

28 179 463

Б. Ожидаемые значения

для части А

Красный

4,0 11,8 0,8 4,3 2,3 14,7 38

Красный и зеленый

14,0

41,1

2,9

15,1

8,0

51,0

132

Зеленый 5,8 17,1

1,2

6,3 3,3 21,3

Красный, белый и зе- 4,2

12,4

0,9

4,6

2,4

15,5

леный

Белый и зеленый 16,0

47,0 3,3 17,3

9,1

58,4

151

Белый 5,0

14,6

1,0

5,4 2,8

18,2

Сумма

49 144

179

463

В. Вклад в вычисление критерия (О

-E)

/ E

= X

Красный 4,0

11,8 0,8 4,3 2,3

36,9

60,1

Красный и зеленый

14,0

41,1

2,9

15,1

8,0

82,8

163,9

Зеленый

5,8 17,1 12,0

34,3 0,1 0,6

69,9

Красный, белый и зе-

8,0 7,4 0,0

2,8 5,4

15,5

39,1

леный

Белый и зеленый

14,1

10,3

0,5

9,3 6,7

58,4

99,3

Белый

217,8

5,1

1,0

3,6

2,8

18,2

248,5

Сумма

263,7 92,8

17,2

69,4

25,3

212,4 χ2 = 680,8

Число степеней св

ободы =

(с-1) (г -1) = (6

-1) (5-

-1) = 20

P < 0,0С 1

Для рассматриваемого случая

К сожалению, точное значение коэффициента Сне очень ясно; в то время как

существует возможность применять χ

-κρπτβρπή для выявления независимо-

сти, степень взаимозависимости не поддается столь строгой проверке. Кен-

далл [233] показал, что в таблице порядка t X t, где имеется наивысшая

степень зависимости данных,

БОЛЕЕ ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ - χ«- И F-КРИТЕРИИ

295

Так, в таблице 2x2 значение С не может превышать 0,707, а значение С

для табл. 17.4, к примеру, будет

Г —

,66 — A 9QQC;

° ~~ 263,66 -

yyo

Здесь наблюдается определенная зависимость между данными, но не очень

сильная. В таблице порядка Зх 3 C^ 0,816, в таблице 4 X 4 C^ 0,866.

Этот коэффициент возрастает вместе с числом классов в таблице. Возможно,

было бы понятнее, если бы этот коэффициент оказался единым для всех таких

крайних случаев взаимозависимости. Полный обзор всех таких возможно-

стей дан Гудманом и Краскалом [144] и Стюартом [417].

17.7. РАЗЛОЖЕНИЕ χ

Другое важное свойство */

-критерия заключается в его аддитивном

характере, которое в общем сводится к следующему: «Значения χ

сами под-

чиняются х

-распределению с числом степеней свободы, равным сумме степе-

ней свободы для каждого независимого значения χ

» [127].

Такая формулировка допускает увеличение серии выборок на столько,

что в конечном счете можно выявить гораздо меньшие отклонения от ожида-

мых, если они сохраняются в большей части независимых испытаний. Более

того, аддитивный характер критерия χ

делает возможным такое его разло-

жение, что различные влияющие эффекты могут быть оценены отдельно

'[269, 290, 444].

Группа из 11 студентов расклассифицировала штуфы доломитов Ниттани

из обнажения у дороги 545 близ Белфонта (Пенсильвания). Образцы разли-

чались по оттенкам серого цвета и размерам зерен, причем каждый признак

имел три градации для разделения выборки на три класса. Результаты

представлены в табл. 17,9А. Работа проводилась следующим образом.

В качестве первой стадии опыта на земле перед обнажением был раз-

ложен набор образцов; в соответствии с пределами изменений выбранных

признаков образцы были разложены в виде таблицы 3x3. Они должны были

использоваться в дальнейшем как стандарты для сравнения. Затем каждый

студент отобрал образцы, начав отбор с одного края обнажения, в случайно

выбранных точках по однофутовым интервалам вдоль обнажения. Каждый

образец сравнивался с эталонным набором и результат заносился в таблицу

частот по классам.

Вначале определялось, соответствует ли размер зерен и цвет этим образ-

цам и, разумеется, совокупности, представляемой данным обнажением.

Вклад каждого параметра в вычисление χ

приведен в табл. 17,9 Б. В усло-

виях гипотезы, согласно которой два изучаемых признака независимы, зна-

чение χ

подчинено х

-распределению с числом степеней свободы ν = 4. Высо-

кое значение этого критерия привело к отклонению данной гипотезы, т. е.

зернистость и цвет в данной совокупности взаимосвязаны.

Темные доломиты в общем чаще оказывались более крупнозернистыми,

в то время как светлые — мелкозернистыми. Нелишне также отметить, что

средний класс (среднезернистые) по обоим признакам выделялся не очень

хорошо. Это, возможно, свидетельствовало о том, что данные классы были

выделены слишком подробно и что средний класс оказался фактически резер-

вным — им пользовались лишь в том случае, когда наблюдатель не был уве-

рен, к какому из классов отнести образец.

Результаты, полученные каждым студентом, были занесены в таблицу,

которая позволяла применить 11 независимых критериев для проверки упо-

мянутой гипотезы. Как и следовало ожидать, различные операторы получили

различные результаты, что отражено в данных табл. 17.10. Вначале надо,

было убедиться, что эти несовпадения не настолько велики, чтобы считать

296

ГЛАВА 1 г

Таблица 17.9

Классификация образцов доломитов из обнажения у дороги 545

близ Белфонта (Пенсильвания)

Цвет

крупный

Размер зерен

средний

тонкий

Итого

А. Наблюдаемая частота

Темный

176

Средний

116

104

287

Светлый

14 57 121

192

Итого

134

244

277 655

В. Вклад в χ

по каждой клетке (O-E)

Темный

8,02

0,44 6,74

15,20

Средний

1,17 0,77 2,49

4,43

Светлый 16,29

2,94

19,51 38,74

Сумма 25,49

4,15 28,74

= 58,37

Число степеней свободы = (с —

(г —1) = 4; P « 0,001

что результаты слишком разнородны для объединения; затем требовалось

использовать наиболее чувствительный критерий, т. е. критерий по возмож-

ности с наибольшим числом степеней свободы. Учитывая свойства χ

, мы

можем суммировать отдельные результаты, получая обобщенное значение

Таблица 17.10

Проверка зависимости цвета и размерности зерен

в доломитах по показаниям каждого наблюдателя

Оператор

Число степе-

Оператор

ней свободы

11,81

0,02—0,01

58 4

18,32

0,01—0,001

51 4

2,76

0,70—0,50

8,83 0,10—0,05

E 54

12,28

0,02—0,01

19,21

<0,001

13,70

0,02-0,01

H 52

4 4,92

0,30-0,20

6,94

0,20-0,10

4 3,27

0,70—0,50

4 10,80

0,05-0,02

Сумма 655

112,94

Объединенный результат

655

4 58,37 « 0,001

= 112,94 с числом степеней свободы 44. Большая часть χ

ограничена, зна-

чением ν = 30, поэтому при ν > 30 приходится вводить дополнительную

процедуру. Обычно при ν > 30 можно использовать критерий, предложенный

БОЛЕЕ ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ - χ«- И F-КРИТЕРИИ 297

Фишером; этот критерий определен выражением

= ]/¾

-/^!. (17.11)

Величина t в условиях проверяемой гипотезы независимости распределена

нормально с параметрами 0,1

В данном примере

ί = /2χ* —J/2v —1 = /225,88-/87 = 5,702. (17.12)

Вероятность превышения такого значения может быть установлена по таб-

лицам площадей под нормальными кривыми, а так как выражение (17.12)

относится к одной половине кривой, искомая вероятность равна удвоенной

табличной. Ввиду того что значение t = 5,7 в условиях нормального распре-

деления может появиться меньше чем в трех на 100

ООО

случаев, что для χ

составит шесть случаев на 100 000, то представляется нереальной и прове-

ряемая гипотеза, которую следует отклонить.

-Критерий может быть разложен далее для выявления неоднородности

среди наблюдателей. Соответственная процедура обобщена в табл. 17.11;

вычисление вероятности дает

f =/2^—/2ν^ΐ =/109,14-/79 = 1,57.

Таблица 17.11'

Проверка на однородность показании среди наблюдателей

при классификации образцов доломитов

Источник изменчивости

Число степеней

Компоненты

Источник изменчивости

свободы

Сумма

112,94 <6 в 105

Объединенный результат

4 58,37

« 0,001

Расхождение между операторами

54,57 < 12 в IO

По таблицам площадей под нормальными кривыми такое отклонение дает

0,5000—0,4418 = 0,0582, чему соответствует 2 X 0,0582 = 0,1164. Другими

словами, такое значение критерия будет появляться в условиях гипотез

однородности в среднем более двенадцати раз на 100. Это не дает основания

для отклонения гипотезы, из чего следует, что отдельные значения критерия

не меняются более, чем этого можно было бы ожидать. Для последующих

исследований следовало бы сократить это несоответствие более тщательной

стандартизацией методики.

Разложение может быть намного эффективнее для выделения составных

частей данного критерия при соответственно спланированных более слож-

ных экспериментах (см., например, работы [79, 127, 290, 409]).

17.8. ПРОЧИЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ χ

Имеется множество других ситуаций, в которых %

-распределение играет

важную роль, например при проверке однородности, описанной прн рассмот-

рении показателя рассеяния на стр. 247. О критерии, необходимом для опре-

деления однофазности дисперсий, впервые предложенном Бартлеттом [21],

см. в разделе 17.12.

В работах Кокрана [77], Кимбалла [235] и Максуэлла [79] разобраны

многие другие случаи применения χ

; там же дана и литература по этим

вопросам.

Критический разбор альтернативной процедуры проверки принадлежит Кен-

даллу [233].

298

ГЛАВА 1 г

Статистика χ

эффективна во всех тех ситуациях, когда мы имеем дело

с частотами или с классами частот. Например, если изучаемые случайные

величины принимают значения на номинальной или порядковой шкале,

статистика χ

обычно является наиболее эффективным критерием для про-

верки гипотез; примеры приводит Зигель [398].

17.9. КРИТЕРИЙ ДИСПЕРСИОННОГО ОТНОШЕНИЯ

-Критерий может быть рассмотрен как критерий сравнения сумм квад-

ратов нормальных отклонений с соответствующей дисперсией; этот критерий

можно использовать для сравнения двух выборочных дисперсий. Так, начи-

ная οχ

= Tis

и предполагая, что имеются две выборки, по которым можно

подсчитать выборочные дисперсии sf по

наблюдениям и по п

наблюдени-

ям (где Ti

= тг

), мы можем выразить соответственные χ

как

a 2ifl

a ^sfl

λι

2 I Aa-

2 ·

Теперь предположим, что требуется проверить гипотезу, что две выборки

взяты из нормальной совокупности с дисперсией о

. Тогда гипотезу можно

записать как σ

= σ

χ! Μ/®

и "определить критерий, впервые выведенный Фишером и названный им F

вычесть Снедекора [409]; этот критерий определен выражением

'М/(»1-1) =XjΙμ.

(17ЛЗ)

sl/(n

—

χ!/V

Отношение дисперсий F имеет распределение

i (р\

—

г * [(Vi-2)/2]

1К

+Vl

/4vi+v

)/2 ·

для которого составлены подробные таблицы [15, 128]. Заметим, что, прежде

чем. применять таблицы отношений дисперсий, надо найти три числа: V

, V

и F В эгих таблицах для разных значений V

обычно отводятся колонки,

для V

— строки, а значения F составляют массив таблицы. Таблицы состав-

лены для каждого вероятностного уровня; наиболее обычны таблицы для

5-процентного (P

) и 1-процентного (Pqi) уровней; более обширные таблицы

составили Фишер и Йейтс [128] по дополнительным 10-, 20- и 0,1-процент-

ным уровням значимости. Важно отметить, что первое отношение дисперсии,

определенное Фишером и обозначенное им e

, эквивалентно критерию F.

F-распределение симметрично, поэтому в таблицах даются значения

только для одной половины этой кривой; принято подставлять наибольшее

значение в числитель и рассматривать это как s

, следовательно, значение ν,

будет соответствовать этой дисперсии.

17.10. ПРИМЕНЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ

Главное применение отношение дисперсий находит в дисперсионном

анализе, описанном в гл. 18—20. В разделе 7.6 приведен геологический при-

мер, иллюстрирующий значение данного критерия, которое в этом случае

заключается в экспериментальной проверке преимущественной ориентации.

Распределение результатов наблюдений в самых общих чертах имеет

унимодальный характер, и дисперсионный минимум может быть найден

методом, который описан Чейсом [61]. Так как мы проверяем гипотезу слу-

БОЛЕЕ ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ - χ«- И F-КРИТЕРИИ

299

чайного распределения, которому в этих условиях соответствует равномер-

ное (прямоугольное) распределение в интервале ±90°, то ожидаемая диспер-

сия может быть вычислена как σ

= 2700. Это будет максимальная диспер-

сия: во всех других случаях наблюденная дисперсия будет меньше. Кроме

того, число степеней свободы, связанных с этой дисперсией, действительно

бесконечно, так как оно является параметром совокупности. Тогда для про-

верки гипотезы равенства дисперсий можно воспользоваться отношением

= V

= OO, V

= W-1,

где

„ 2700 .

F = -^-, V

= OO, V

= W-I.

Практически предполагается, что может быть использован более консер-

вативный критерий, в котором V

= V

= η — число наблюдений в выборке.

Выбирая для η значение, скажем 200, мы определим, что значение S

должно

достигать больших значений F. При V

= V

= η = 200 5-процентное значе-

2700 2700

ние F будет 1,26 [15], так что можем написать: 1,26 = или s

= , или

s> 46,29.

Следовательно, чтобы гипотезу случайной ориентации в структуре

можно было отклонить, наблюдаемая дисперсия должна быть меньше 2143,

или стандартное отклонение может быть меньше 46,3°. Множество аналогич-

ных примеров приводится в статьях, описывающих подобную процедуру

проверки ([156, 153]; см. также разделы 7.6 и 7.7). Если наблюдаемое рас-

пределение ориентации близко к нормальному, то ожидаемое значение при-

2700

близительно равно 30° (s « 30°, см. стр. 131) и s

= 900; тогда F = -g^- = 3,

и при этом требуется, чтобы число наблюдений было около 20. В общем

выявляемая степень преобладающей ориентации бывает обычно меньше, чем

этого можно ожидать для нормального распределения [164], хотя такие рас-

пределения все же встречаются [113—115].

Использование отношения дисперсий в качестве критерия проверки пред-

положения, что данные две выборки взяты из совокупности с дисперсией

, — процедура весьма обычная. Например, о стандартном отклонении

длинных осей кварцитовых галек (о) из монтурсвиллского карьера гравия,

выраженных в ф-единицах, свидетельствует табл. 17.12

Таблица 17.12

Методы отбора проб «2 η

Бороздовый

0,707

525

Послойный

0,659

450

Так как обе эти выборки взяты из одной и той же генеральной сово-

купности и так как распределение, возможно, нормальное, мы можем сопо-

ставить эти оценки с помощью отношения дисперсий, где F = 0.707/0,659=

= 1,072с V

= 524, V

= 449. 5-процентное значение для V

= 500. V

= 400

будет F

= 1,16, a F

= 1,24. Так как значение F = 1,072 меньше, чем

оба эти значения, оснований для отклонения данной гипотезы нет; следова-

тельно, эти две выборки взяты из одной совокупности с единой дисперсией.

Неопубликованные данные; заметим, что s

может быть использовано в качестве

σ*, если η η — 1, для η = 200, пЦп — 1) = 1,005025.

300

ГЛАВА 1 г

17.11. КРИТЕРИЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ

ОДНОРОДНОСТИ НАБОРА ДИСПЕРСИЙ

(КРИТЕРИЙ КОКРАНА)

Из более обширных исследований имеем семь оценок дисперсии длинных

(а) осей кварцитовых галек совокупности, представляющей монтурсвиллский

гравий, причем одна из них значительно больше остальных:

= 0,928,

= 0,769,

= 0,590,

= 0,725, s\ = 0,651,

= 0,707.

= 0,689,

Объемы выборок неодинаковы, но U

= 104, а все остальные превышают

= 300. Следовательно, предположив, что последние равны, ибо они все

«большие», мы можем использовать критерий Кокрана для приблизительной

проверки гипотезы однородности всего набора оценок. Критерий Кокрана

выражается отношением

Наибольшее значение s

. .

IP ,

= 1, ...,6,

что дает

4,101 U,ZZoo.

По специальным таблицам, содержащим значения критерия Кокрана [96, 110],

находим, что при η = 144 и к = 7 и процентном уровне значимости критиче-

ское значение равно 0,1929; таким образом, приходим к выводу, что макси-

мальная оценка, видимо, выходит за пределы оценок дисперсии этой совокуп-

ности. Такой критерий дает возможность предположить, что для получения

стабильной оценки дисперсии данной совокупности требуется гораздо боль-

ше 100 наблюдений при данном объеме выборок и при данной процедуре

измерений.

При подобной проверке объемы выборок вообще-то должны быть равны-

ми; однако в приведенном примере это требование не обязательно, так как

все выборки достаточно большие.

17.12. КРИТЕРИЙ ОДНОРОДНОСТИ НАБОРА ДИСПЕРСИЙ

Теперь можно отвергнуть значение дисперсии, выходящее за допусти-

мые пределы, и опять задаться вопросом: представляют ли остающиеся 6 выбо-

рочных дисперсий однородный набор оценок одной и той же дисперсии?

Процедура такой проверки впервые была предложена Бартлеттом [20] и опи-

сана Снедекором [409], Беннетом и Франклином [27], а общая математическая

основа рассмотрена Хартли [186].

Данный критерий определен как [27]

Я = 1 (vInS

-I] V

?)=

^ (logs

- 2 Vi logβϊ) , (17.14)

г i

где In

—

натуральные логарифмы,- log

—

десятичные. Символом С обозначена

поправка на смещение, определяемая как

2(l/vi)-l/v

С =

3(.-1) . (

17Л5

)

БОЛЕЕ ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ - χ«- И F-КРИТЕРИИ 301

тде V

— степени свободы при индивидуальных оценках дисперсий, к —

количество таких оценок. Тогда v= V

+ V

+ ··· +V

. Подсчет лучше

всего делать таблично, как это показано Снедекором [409] и в табл. 17.13.

Таблица 17.13.

Проверка гипотезы однородности дисперсий длинных осей кварцевых галек

гравия Монтурсвилл

Выборка

V;S|

Число

степеней

свободы

Обратная

величина

1/V;

Диспер-

сия

log S-

log sf

244,542 318

0,003145 0,769 -0,11407 -36,27426

2 190,570

323

0,003096

0,590

-0,22915

-74,01545

242,875

335 0,002985 0,725

-0,13966

-46,78610

4 194,649

299

0,003344

0,651

-0,18642 -55,73958

370,468

524

0,001908

0,707

-0,15058 -78,90392

295,891

449 0,002227 0,659

-0,18111

-81,31839

к = 6

1538,995 2248 0,016705

-373,03770

s2=

g;f

=0,684606; logs

= _

,16455;

ν log

= 2248 X — 0,16455 =

—

369,90840.

Тогда B =

-^-

(ν In s2—2 V

In sf)

2,30259 / . „ лп .

= ^ Iv Iogs

Iogs

O qnp^Q

0956

(—369,90840 + 373,03770) = 7,1986.

C=I + 0.016705- 0.000445

(Ο

тогда B = 7,1977.

Для значений V; = 5 или более распределение В приближается к χ

распределению с числом степеней свободы к — 1. В этом случае Ar — 1=5,

и подходящим значением χ

будут 7,289 при вероятности 0,20 и χ

= 6,064

при вероятности 30; следовательно, если эти значения выборочных диспер-

сий характеризуют одну и ту же дисперсию совокупности, такое значение В

встретится в среднем от 20 до 30 раз на каждые 100 испытаний, и гипотеза

об однородности не отвергается. Очевидно, что эти дисперсии могут служить

для оценки дисперсии совокупности и что они дадут лучшую оценку S

для σ

где S

= 0,685 с числом степеней свободы 2,248.