Грамагин Е.А. Теория дискретных систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

Грамагин Е.А. ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЯЗРИ ПВО

ОГЛАВЛЕНИЕ:

1. УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

1.1. Классификация дискретных систем

1.2. Особенности процессов в дискретных системах

1.3. Линейные разностные уравнения

1.4. Дискретное преобразование Лапласа

1.5. Частотный спектр дискретного процесса

1.6. Динамические характеристики

1.7. Типовые дискретные звенья

1.8. Частотные характеристики и структурная схема дискретной следящей системы

1.9. Структурная схема цифровой следящей системы

2. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

2.1. Устойчивость линейных дискретных систем

2.2. Качество дискретных систем в переходном режиме

2.3. Качество дискретных систем в установившемся режиме при регулярных воздействиях

2.4. Статистический анализ точности в установившемся режиме

1. УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

1.1. Классификация дискретных систем

Рассмотрим системы автоматического управления, в которых передача, обработка и

преобразование информации осуществляются только в определенные моменты времени, то есть

дискретно. В этом случае в системах действуют сигналы, являющиеся некоторой

последовательностью импульсов, и такие системы называются дискретными. Создание

дискретных систем может быть вызвано многими причинами.

Во-первых, принцип действия некоторых элементов, входящих в систему, может быть

дискретным. К примеру, в системе управления ракетой имеется импульсная радиолокационная

станция (РЛС), измеряющая координаты цели и ракеты (рис. 1.1). По своему принципу действия

она выдает информацию дискретно с частотой следования импульсов станции, поэтому и вся

система управления будет дискретной. В качестве другого примера можно указать на САУ,

имеющие в своем составе цифровые вычислительные машины (ЦВМ), являющиеся дискретными

устройствами.

Рис.11.1. Блок - схема системы автоматического управления

Во-вторых, в дискретных системах проще реализовать сложные алгоритмы управления. Так, при

использовании ЦВМ алгоритм задается в виде программы, сложность которой практически не

влияет на конструкцию системы. Смена программы, то есть алгоритма управления, производится

без больших затрат времени. В непрерывных же САУ повышение сложности алгоритма

управления требует включения в состав системы новых элементов, а замена алгоритма связана с

существенным усложнением конструкции.

В-третьих, точность решения алгоритмов управления с помощью дискретных устройств

(например, ЦВМ) обычно выше, чем с помощью непрерывных. Это положение требует более

подробного объяснения. Дискретная обработка информации за счет импульсного характера

сигналов неизбежно приводит к ее потере, так как на интервалах, где импульсы отсутствуют,

полезная информация не используется. Поэтому, если для решения одного и того же алгоритма

использовать дискретные и непрерывные устройства, то точность последних в идеальном случае

будет выше. За счет потери части информации дискретные устройства обладают методической

погрешностью, то есть такой, которая зависит от метода обработки. Однако как дискретные, так и

непрерывные устройства имеют и другие погрешности - инструментальные, зависящие от

неточностей изготовления отдельных элементов, нестабильностей параметров, внутренних шумов

и помех. Оказывается, что инструментальные погрешности непрерывных устройств значительно

больше, чем устройств дискретных, и сильно растут с усложнением алгоритма обработки. В итоге

суммарная погрешность дискретных устройств оказывается меньше инструментальной

погрешности непрерывных, что и позволяет говорить о более высокой точности работы

дискретных систем.

Перечисленные преимущества привели к широкому использованию дискретных систем. Особенно

большое распространение получили системы с ЦВМ. Классификация дискретных систем

базируется на признаках, определяющих особенности протекания процессов управления и

методики исследования. По этим признакам дискретные системы можно разделить на линейные и

нелинейные (в зависимости от применимости к ним принципа суперпозиции) и на стационарные и

нестационарные (по степени изменения параметров во времени). Кроме них имеются и другие

признаки, характерные только для дискретных систем. Перечислим их и дадим дополнительную

классификацию дискретных САУ.

При изучении теории дискретных систем следует четко различать такие понятия, как процесс и

сигнал. Процесс отображает ту информацию, которая преобразуется системой, а сигнал является

физическим носителем этой информации. В непрерывных системах оба эти понятия

отождествляются, так как значения сигнала в любой момент времени пропорциональны значениям

процесса. В теории дискретных систем указанные понятия надо различать. Благодаря наличию

импульсных сигналов информация в системе передается отдельными частями, квантами.

Процессы, описывающие преобразование этой информации, называются дискретными, а

преобразование непрерывных процессов в дискретные называется квантованием. Существует три

вида квантования: по времени, по уровню и по времени и уровню одновременно. При квантовании

по времени исходная непрерывная функция x(t) преобразуется в последовательность дискретных

значений x(t

), где t

-это дискретные моменты времени на временной оси. Расстояние между

значениями t

1может быть произвольным, однако на практике чаще всего имеет место случай

периодического квантования с постоянным периодом повторения Т

, показанный на рис.1.2, а.

При этом t

1=iT

, где число i может принимать все целые значения от -∞ до +∞. При квантовании

по уровню вся область возможных х разбивается на отдельные дискретные уровни и дискретный

процесс может принимать только те значения, которые совпадают с выбранными уровнями. На

рис.1.2, б показано квантование по уровню процесса x(t) в случае постоянного шага квантования

Δ. Комбинированный случай квантования по времени и уровню при постоянном периоде T

1и шаге

Δ показан на рис.1.2, в. Информация о значениях дискретного процесса передается с помощью

импульсных сигналов путем модуляции их параметров: амплитуды, длительности, фазы, частоты.

Отсюда различают системы с амплитудной, широтной, фазовой и частотной модуляциями.

Особую группу составляют системы с кодовой модуляцией, когда значения процесса передаются

путем выбора числа импульсов и их местоположения в группе. Сразу заметим, что такой вид

модуляции применяется в цифровых вычислительных машинах. В некоторых дискретных

системах вид модуляции и форма используемых импульсов могут влиять на качество обработки

информации, что усложняет методику исследования. Одним из достоинств кодовой модуляции

является то, что форма импульсов и тип кода практически не влияют на работу системы.

Рис.11.2. Квантование сигналов по времени (а); уровню (б); по времени и по уровню (в)

Если каждый квант информации дискретного процесса, квантованного только по времени,

передается с помощью импульса при определенном виде модуляции его параметров, то

дискретные системы называются импульсными. В итоге различают импульсные системы с

амплитудной (АИМ), широтной (ШИМ), фазовой (ФИМ), частотной (ЧИМ) видами модуляции.

Кроме того, бывают системы с комбинированными видами модуляции. Если в системах с АИМ

амплитуда импульсов пропорциональна значениям квантованного процесса, то такие импульсные

системы могут быть линейными. При всех других видах модуляции они относятся к классу

нелинейных систем.

Если в дискретных САУ преобразуются процессы, квантованные по уровню, то они называются

релейными. Системы с квантованием процессов по времени и уровню называются цифровыми.

Как релейные, так и цифровые системы являются нелинейными. Если все сигналы в системе

являются дискретными, то она называется чисто дискретной, если же часть сигналов остается

непрерывными, то дискретно-непрерывной. Так как в чисто дискретной системе все сигналы и,

следовательно, процессы имеют одинаковую дискретную структуру, то теория таких систем

сравнительно проще. Дискретно-непрерывные системы являются промежуточным случаем между

непрерывными и чисто дискретными, поэтому методика их исследования сложнее, так как она

должна включать в себя элементы теории как непрерывных, так и чисто дискретных систем.

Исходя из этого, целесообразно теорию дискретных систем начинать с изучения систем чисто

дискретных, распространив затем полученные результаты на дискретно-непрерывные. Чтобы не

усложнять терминологию, чисто дискретные системы в дальнейшем будем называть просто

дискретными. Там, где это необходимо по ходу описания, будет применяться полный термин

"чисто дискретная система". В развитие теории дискретных систем большой вклад внесли

советские ученые Я. 3. Ципкин [16], Л. Т. Кузин [10] и целый ряд других.

В процессе изложения дальнейшего материала мы не будем касаться вопросов теории релейных

систем, а также импульсных систем с ШИМ, ФИМ и ЧИМ. Основные сведения по этим системам

можно найти в указанной выше литературе. Таким образом, мы сосредоточим наше внимание на

цифровых системах и импульсных с амплитудно-импульсной модуляцией. С точки зрения видов

квантования, показанных на рис. 1.2, будем рассматривать только процессы с квантованием по

времени и по времени и уровню одновременно (рис. 1.2, а и б).

1.2. Особенности процессов в дискретных системах

В дискретных системах осуществляется преобразование информации, заданной в виде дискретных

процессов, квантованных по времени или по времени и уровню одновременно. Введем

специальные обозначения для этих процессов. Исходные непрерывные процессы, из которых

получаются дискретные, называются огибающими и обозначаются обычными символами,

например x(t).

Соответствующие им дискретные процессы с квантованием по времени (рис. 1.2, а) и постоянным

периодом T

, обозначают через x(iT

), имея в виду, что i может быть любым целым числом. Чтобы

получить дискретный процесс, квантованный по времени, по заданной огибающей достаточно в

функции x(t) положить значение t = iT

, то есть

x(iT

) = x(t = iT

Дискретный процесс, квантованный по времени с постоянным периодом T

1и по уровню с

постоянным шагом Δ, будем обозначать символом х(iT

) (рис. 1.2, б). Получить его по заданной

функции огибающей можно по формуле

где F обозначает операцию нахождения ближайшего к значению х(iТ

) числа с шагом квантования

по уровню Δ. Операция F является нелинейной, поэтому цифровые системы с квантованием

процессов по времени и уровню относятся к классу нелинейных. Их особенности мы будем

рассматривать отдельно в дальнейшем, а сейчас остановимся на линейных дискретных системах с

процессами х(iТ

), квантованными по времени.

Рис.11.3. Изображение

дискретной системы

Рис.11.4. Неоднозначность дискретной функции

Работа дискретной системы сводится к преобразованию входных процессов x(iT

) в выходные

у(iТ

) с некоторыми заданными условиями. Схематически это отображено на рис. 1.3. По

характеру желаемого преобразования дискретные системы подразделяются на те же классы, что и

непрерывные, то есть на следящие, стабилизирующие, интегрирующие и др., однако возможности

преобразования процессов в них имеют свои характерные особенности, которые мы и рассмотрим.

Главной особенностью дискретных процессов x(iT

) является их неоднозначность. Заключается

она в том, что одним и тем же дискретным процессам может соответствовать множество

различных огибающих. Для примера на рис. 1.4 показаны две функции x

(t) и x

(t), которым

соответствует один и тот же процесс х(iТ

). Неоднозначность дискретных функций, в частности

выходного процесса у(iТ

) системы (рис. 1.3), может привести к неправильным выводам по

результатам работы системы, поэтому предварительно должны быть изучены те условия, при

которых возникающая неоднозначность была бы сведена к минимуму. Возникновение

неоднозначности является следствием потери информации на интервалах между моментами

квантования. Рассмотрим подробнее, как это происходит. Пусть квантованию с периодом T

1и

частотой

Ω = 1

2π

подвергается гармонический процесс х(t) = a cos ωt.

Найдем зависимость между частотой исходного процесса и частотой огибающей ω

1квантованного

процесса х(iT

). Первоначально положим, что частота ω << Ω. Квантованный сигнал для этого

случая показан на рис. 1.5, а. Так как в полупериод исходного процесса x(t) укладывается большое

число дискретных значений x(iT

), то по ним наблюдателю легко получить значение частоты

огибающей, которая будет совпадать с частотой исходного процесса. Таким образом, при малой

частоте неоднозначности в ее оценке по дискретным данным не будет. Если построить

зависимость ω

1от ω (рис. 1.6), то при ω << Ω она будет линейной.

Рис.11.5. Квантование гармонического сигнала

Рис.11.6. Стробоскопический эффект

Предельным случаем для правильной оценки частоты ω будет тот, когда на каждом полупериоде

окажется одно значение x(iT

). Этот случай изображен на рис. 1.5, б, и он соответствует частоте

ω = 1

При1ω >1 1на каждый полупериод будет приходиться меньше одного значения x(iT

), что

приведет к неоднозначности в определении ω. Так, если взять ω = Ω, то частота огибающей

выходного процесса, как это видно из рис. 1.5, в, будет равна ω

1= 0, это и показано на рис. 1.6.

При ω = 3Ω/2 (рис. 1.5, г) мы получим дискретный процесс, совпадающий с x(iT

) при1ω =1 1

(рис. 1.5, б). Подобные рассуждения можно продолжить и показать, что оценка частоты ω

исходного процесса по частоте огибающей ω

1дискретного процесса будет неоднозначной. График

этой зависимости изображен на рис. 1.6. Однозначность сохраняется лишь в диапазоне

0 < ω < 1

Описанное свойство называется стробоскопическим эффектом и является важнейшей

особенностью дискретных систем. Из него следует важный для практики создания дискретных

систем вывод: чтобы дискретная система была работоспособной и ее выходные данные имели

однозначную интерпретацию, частоту квантования следует выбирать из условия Ω > 2ω

гр

, где ω

гр

максимальная частота спектра входного сообщения. Впервые это условие в более широкой

постановке в виде теоремы было получено в 1933 году академиком В. А. Котельниковым. Теорема

Котельникова устанавливает минимальное допустимое значение частоты квантования Ω или

максимальный период дискретности T

, обеспечивающие преобразование информации без

больших потерь при квантовании по времени.

1.3. Линейные разностные уравнения

Перейдем к математическому описанию линейных дискретных систем с помощью так называемых

разностных уравнений. По своей структуре эти уравнения во многом напоминают

дифференциальные уравнения непрерывных систем. Чтобы эта аналогия была более полной,

рассмотрим вначале понятия о конечных разностях, для чего изобразим на рис. 1.7 дискретную

функцию х(iТ

). Нулевой конечной разностью называется само значение дискретной функции и

обозначается через

1x(iT

) = x(iT

)

Это понятие аналогично нулевой производной непрерывной функции.

Первой конечной разностью называется выражение

1x(iT

) = (iT

) - x[(i-1)T

], 1 1 1 1 1 1 (1.1)

где x[(i-1)T

] - значение функции в предшествующем периоде следования (рис. 1.7). Δ

1x(iT

)

определяет приращение функции на период и по смыслу близко к понятию первой производной

непрерывных функций.

Рис.11.7. Определение конечных разностей

Вторая разность равна разности первых разностей:

1x(iT

) = Δ

1- Δ

1x[(i-1)T

] = x(iT

)-2x[(i-1)T

]+ x[(i-2)T

]. 1 1 1 1 1 1 (1.2)

Третья разность равна разности вторых разностей:

1x(iT

) = Δ

1x(iT

) - Δ

1x[(i-1)T

] =

= x(iT

) - 3x[(i-1)T

] + 3x[(i-2)T

] - 3x[(i-2)T

]- x[(i-3)T

и, в общем случае, разность k-го порядка

1x(iT

) = Δ

k-1

1x(iT

) - Δ

k-1

1x[(i-1)T

], 1 1 1 1 1 1 (1.3)

Этой разности можно сопоставить понятие k-й производной непрерывной функции. k-ю разность

можно выразить через значения дискретной функции следующим образом:

1x(iT

) = x(iT

) - kx[(i-1)T

] + C

1x[(i-2)T

] - C

1x[(i-3)T

] +

+ ... - C

k-1

1x[(i-k+1)T

] + x[(i-k)T

], 1 1 1 1 1 1 (1.4)

где С

1- число сочетаний из k по r.

Разностное уравнение дискретной системы устанавливает соответствие между входным и

выходным дискретными процессами и их разностями. Линейным системам соответствует

линейное соотношение между этими переменными, которое имеет вид:

(iT

) +

1y(iT

) + ... +

1y(iT

) =

(iT

) + ... +

1x(iT

)

1 1 1 1 1 1 (1.5)

Уравнение (1.5) называется линейным конечно-разностным уравнением и по своей структуре

соответствует линейному дифференциальному уравнению (1.4). Коэффициенты1 1и1 1

определяются параметрами системы, в том числе они зависят от периода повторения T

. Если

параметры системы не зависят от времени, то коэффициенты уравнения (1.5) будут постоянными

и система называется стационарной. В дальнейшем, впредь до особых оговорок, займемся

изучением только стационарных систем. Максимальный порядок п разности выходного процесса

называется порядком уравнения или порядком дискретной системы.

Решение разностного уравнения можно записать в виде суммы

y(iT

) = y

(iT

)+ y

(iT

), 1 1 1 1 1 1 (1.6)

которая состоит из дискретного переходного процесса y

(iT

) и вынужденного процесса y

(iT

Переходный процесс находится из решения однородного уравнения

(iT

) +

(iT

) + ... +

(iT

) = 0

1 1 1 1 1 1 (1.7)

при начальных условиях у(0), Δ

1y(0), ... , Δ

n-1

1y(0) для момента включения системы t = 0.

Вынужденный процесс y

(iT

) является частным решением уравнения (1.5) при нулевых

начальных условиях и заданном воздействии х(iT

Таким образом, как с точки зрения структуры уравнений, так и с точки зрения характера решения

линейные дифференциальные и конечно-разностные уравнения имеют много общего, что и

приводит ко многим аналогиям в методиках исследования непрерывных и дискретных систем.

Линейное разностное уравнение можно представить и в другой форме записи, для чего в

уравнении (1.5) надо раскрыть конечные разности по формуле (1.4) и сгруппировать все слагаемые

с общими множителями вида у[(i-k)T

] и х[(i-r)Т

], где число k будет иметь значения 0, 1, 2, ..., n, а

число r значения 0, 1, 2, ..., m. После группировки уравнение примет следующий вид:

1y(iT

) + c

1y[(i-1)T

] + ... + c

y[(i-n)T

] =

= b

1x(T

)+ b

1x[(i-1)T

] + ... + b

1x[(i-m)T

], 1 1 1 1 1 1 (1.8)

где коэффициенты с и b определяются коэффициентами1 1и1 1уравнения (1.5). В уравнение (1.8)

вошли входная и выходная переменные с учетом их запаздывания на конечное число периодов.

Уравнения такого вида называются разностными в рекуррентной форме записи. Для объяснения

такого названия выразим из уравнения (1.8) значение выходной переменной

y(iT

) =

x(iT

) + b

x[(i-1)T

] + ... + b

1x[(i-m)T

]} -

- c

1y[(i-1)T

]- c

1y[(i-2)T

] - ... - c

1y[(i-n)T

Очевидно, что полученную формулу можно рассматривать как алгоритм вычисления выходной

переменной по значениям входной переменной в m предшествующих моментах времени и (n-1)

значениям выходной переменной, найденным на предыдущих этапах вычислений. Такая методика

носит название рекуррентной, откуда и следует название уравнения.

Так как уравнения (1.5) и (1.8) по своему содержанию подобны, то решение рекуррентного

уравнения полностью совпадает с решением (1.6) конечно-разностного уравнения. При этом

переходный процесс находится из решения однородного уравнения

(iT

) + c

[(i-1)T

] + ... + c

[(i-n)T

] = 0 1 1 1 1 1 1 (1.9)

с начальными условиями y(0), у(-Т

), у(-2T

), ... , у[-(n-1)T

]. Вынужденный процесс является

решением уравнения (1.8) при нулевых начальных условиях и заданной функции x(iT

). Для

исследования дискретных систем используются обе формы записи разностного уравнения в

зависимости от конкретных решаемых задач.

Пример 1.1.

Предположим, что дискретная система описывается конечно-разностным уравнением второго

порядка

1y(iT

) +

1y(iT

) +

1y(iT

) =

x(iT

Составим уравнение в рекуррентной форме, для чего воспользуемся выражениями конечных

разностей (1.1) и (1.2). Левая часть уравнения запишется в виде

(iT

) - y[(i-1)T

]} +

{ y

(iT

) - 2y[(i-1)T

] + y[(i-2)T

]} =

) y

(iT

) - (

[(i-1)T

] +

[(i-2)T

Обозначая

1= (

); C

1= ( -

); C

; b

получаем уравнение второго порядка в рекуррентной форме

1y(iT

)+ C

1y[(i-1)T

]+ C

1y[(i-2)T

] = b

(iT

Выразим в явном виде значение выходной переменной

y(iT

) =

1x(iT

) - C

1y[(i-1)T

]- C

1y[(i-1)T

]}.

Пусть огибающая входного процесса является линейной функцией

x(t) = t,

тогда дискретная функция равна

x(iT

) = iT

Найдем несколько значений выходного процесса при нулевых начальных условиях

у(0) = 0; y(-T

) = 0.

Полагая i = 1, находим значение выходной переменной на первом шаге

y(T

) = 1 {b

1x(T

) - C

1y(0)] = b