Грамагин Е.А. Теория дискретных систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

1- z

-1

) + ... +

1- z

-1

)

Q*(z)

В выражениях (1.28) и (1.29) коэффициенты1 1и1 1определяются параметрами дискретной

системы. Порядок астатизма ν определяется количеством коэффициентов1

1=1

1= ... =1

ν - 1

1= 0

или, что одно и то же, количеством суммирующих звеньев.

Уравнение замкнутой следящей системы получается из выражения (1.28) путем замены r(iT

) =

x(iT

) - y(iT

) и после группировки слагаемых принимает вид

y(iT

) +

1y(iT

) + ... +

1y(iT

) =

1 1 1 1 1 1 1 1

y(iT

) +

1y(iT

) + ... +

1y(iT

1 1 1 1 1 1 (1.30)

где коэффициенты

1=1 1+1 .

Передаточная функция замкнутой системы, получаемая из формулы (1.30) или по рис. 1.16,

оказывается равной

(z) =

K*(z)

1- z

-1

) + ... +

1- z

-1

)

P*(z)

. 1 1 1 1 1 1 (1.31)

1 + K*(z)

1- z

-1

) + ... +

1- z

-1

)

D*(z)

где полином знаменателя

D*(z) = P*(z) + Q*(z).

В следящих системах ошибка e(iT

) совпадает с рассогласованием r(iT

) и, следовательно,

передаточная функция ошибки по задающему воздействию согласно рис. 1.16 равна

(z) = 1 - K

(z)

1- z

-1

) + ...

1- z

)

Q*(z)

. 1 1 1 1 1 1

(1.32)

1 + K*(z)

1- z

-1

) + ...

1- z

)

D*(z)

Передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию, как и в непрерывных системах,

равна

(z) = - K

(z),

то есть с точностью до знака совпадает с передаточной функцией системы по этому воздействию и

согласно рис. 1.16 равна

(z) = - K

(z) =

(z)

1 + K*(z)

, 1 1 1 1 1 1 (1.33)

где K

(z) - передаточная функция по возмущающему воздействию разомкнутой системы.

Таким образом, соотношения (1.28) - (1.33) для дискретных следящих систем имеют ту же

структуру, что и соответствующие им соотношения для непрерывных следящих систем.

Отметим, что если исходное уравнение разомкнутой следящей системы (1.28) записывается в

рекуррентной форме (см. п. 1.3)

1y(iT

) + a

1y[(i-1)T

] + ... + a

1y[(i-n)T

] =1

= b

1r(iT

) + b

1r[(i-1)T

] + ... + b

1r[(i-m)T

то уравнение замкнутой примет вид

1y(iT

) + c

1y[(i-1)T

] + ... + c

1y[(i-n)T

] = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

= b

1x(iT

) + b

1x[(i-1)T

] + ... + b

1x[(i-m)T

]. 1 1 1 1 1 1 (1.34)

При этом полиномы P*(z), Q*(z) и D*(z) меняют свою структуру и передаточные функции

дискретной следящей системы записываются в следующем виде:

K(z) =

1+ b

-1

1+ ... + b

-m

1+ a

-1

1+ ... + a

-n

P*(z)

Q*(z)

. 1 1 1 1 1 1 (1.35)

(z) =

1+ b

-1

1+ ... + b

-m

1+ c

-1

1+ ... + c

-n

P*(z)

D*(z)

. 1 1 1 1 1 1 (1.36)

(z) =

1+ a

-1

1+ ... + a

-n

1+ c

-1

1+ ... + c

-n

Q*(z)

D*(z)

. 1 1 1 1 1 1 (1.37)

Использование передаточных функций следящих систем в виде соотношений (1.29), (1.31) и (1.32)

или соотношений (1.35) - (1.37) определяется характером решаемой задачи.

1.9. Структурная схема цифровой следящей системы

Использование цифровых методов обработки информации в системах автоматического

управления позволяет реализовывать сложные алгоритмы управления и обеспечивать их быструю

сменяемость. Кроме того, цифровые устройства, как правило, более надежны в работе и имеют

меньшие габариты и массу. Автоматические системы, полностью построенные на цифровых

элементах, называются цифровыми САУ (ЦСАУ). Особенно широкое распространение ЦСАУ

получили в радиотехнических системах для обработки информации о параметрах радиосигналов.

Например, в радиолокационных системах эти параметры (амплитуда, частота, фаза и др.) несут

информацию о координатах объектов, поэтому в них используют ЦСАУ для слежения за

угловыми координатами, дальностью и скоростью перемещения целей. В радиотехнических

следящих системах входная информация передается с помощью радиосигналов, а выходная, как

правило, в виде электрических сигналов, что дает возможность выполнить систему только из

электронных элементов и устройств. В том случае, когда выходная информация должна

выдаваться в виде линейных или угловых перемещений, используют электрические и

электромеханические цифровые элементы. Сигналы в ЦСАУ формируются в виде

последовательности импульсов, образующих некоторый код, с помощью которого записываются

мгновенные значения процессов, подлежащих обработке.

Кодовая модуляция сигналов приводит к тому, что информация в системе квантуется как по

времени, так и по уровню. Квантование по времени происходит из-за импульсного "характера

сигналов, в результате чего полезная информация выдается в виде дискретной функции x(iT

Квантование по уровню происходит за счет конечного числа импульсов в коде, называемого

числом разрядов. При конечном числе разрядов можно отобразить лишь конечное число

дискретных значений передаваемого процесса. Например, в случае двоичного кода при числе

разрядов q максимальное число дискретных значений процесса

N = 2

1- 1.

Так, если код имеет 8 разрядов, то N = 225; если q = 12, то N = 4095. При заданном числе разрядов

передаваемый процесс x(iT

) может отображаться не более чем N дискретными значениями.

Рис.11.19. Два способа квантования по уровню

Если максимальное значение процесса равно x

mах

, а минимальное x

min

, то шаг квантования по

уровню

Δ = x

mах

1- x

min

В результате квантования по уровню получается процесс1 (iT

), который будет лишь

приближенно отражать характер изменения процесса x(iT

). Ошибка приближения (округления)

будет зависеть от шага квантования и способа квантования по уровню, два из которых показаны

на рис. 1.19. В первом случае квантование по уровню происходит по правилу: принимается

значение1 (iT

), ближайшее к x(iT

) (рис. 1.19, а). Во втором принимается значение1 (iT

ближайшее к x(iT

) снизу для x(iT

) > 0 и сверху для x(iT

) < 0 (рис. 1.19,б). Квантование по

уровню является безынерционным нелинейным преобразованием типа многоступенчатой

релейной характеристики, показанной на рис. 1.19, и обозначается в виде функции

Статическая характеристика квантователя для первого способа квантования показана на рис. 1.20,

а, а для второго - на рис. 1.20, б. Прямые, проходящие через начало координат, соответствуют

случаю линейного преобразования. Из характеристик на рис. 1.20 видно, что ошибка округления

при первом способе квантования равна 0.5Δ, а при втором - Δ. Хотя первый способ квантования

обладает более высокой точностью, однако его техническая реализация сложнее второго. Ошибка

округления является инструментальной погрешностью ЦСАУ, определяющей точность работы в

статике, и большей точности в цифровых системах достигнуть невозможно. Величину ошибок

округления можно уменьшить путем увеличения числа разрядов кода, однако это приводит к

усложнению конструкции цифровых элементов. В динамических условиях работы ошибки могут

быть значительно выше ошибок округления и играют определяющую роль, поэтому методике их

расчета в дальнейшем уделяется особое внимание. Наличие квантования по уровню может

приводить к появлению автоколебаний, амплитуда и частота которых зависят от шага квантования

Δ.

Рис.11.20. Статические характеристики квантователей

Таким образом, цифровая обработка информации имеет ряд специфических особенностей,

которые надо учитывать в процессе исследования ЦСАУ.

Рис.11.21. Структурная схема

квантователя

1 Рис.11.22. Функциональная схема ЦСАУ

Рис.11. 23. Функциональная схема ЦВМ

Цифровое представление информации в ЦСАУ можно отобразить с помощью двух

последовательно выполняемых операций: квантования по времени и квантования по уровню.

Квантование по времени является операцией линейной, а по уровню - нелинейной, в результате

чего ЦСАУ относятся к классу нелинейных систем. На структурных схемах операцию

квантования по уровню отображают нелинейным звеном с характеристикой (рис. 1.21). Наиболее

широкое распространение получили электронные цифровые следящие системы на базе цифровых

вычислительных машин (ЦВМ), функциональная схема которых изображена на рис. 1.22. В

цифровом измерителе рассогласования (ЦИР) формируется в цифровой форме рассогласование

которое поступает и обрабатывается на ЦВМ. На рисунке 1.23 изображена упрощенная

функциональная схема машины, где ВВ и ВЫВ - устройства ввода и вывода; ПР - процессор; ОП -

оперативная память; ВП - внешняя память. ПР предназначен для проведения операций над

числами, ОП - для хранения промежуточных результатов и команд, ВП - для хранения алгоритмов

обработки информации и исходных данных. Главной особенностью ЦВМ является работа в

реальном масштабе времени. Это значит, что вся обработка поступающей информации должна

заканчиваться за время Т

1(период квантования процессов по времени), и это накладывает жесткие

требования на быстродействие машины, а оно, в свою очередь, часто определяет минимальное

значение Т

Так как частота квантования

Ω =

2 π

должна удовлетворять теореме Котельникова (п.1.2), то быстродействие ЦВМ может существенно

влиять на качество работы системы. Время обработки информации машиной Т

1складывается из

времени ввода и вывода данных, времени обращения к памяти и времени проведения операций в

процессоре. При работе в реальном масштабе времени

1= α T

где коэффициент 0 < α ≤ 1. Таким образом, выдача данных из ЦВМ будет происходить с

запаздыванием на время αT

1относительно момента их поступления, поэтому машина в составе

ЦСАУ может рассматриваться как запаздывающее звено с передаточной функцией

цвм

(p) = e

-p α Tn

Так как в теории z-преобразования e

-p Tn

1= z

-1

, то передаточная функция ЦВМ как дискретного

звена равна K

цвм

(p) = z

-α

1где 0 ≤ α ≤ 1.

За время T

1= α T

1информация обрабатывается в соответствии с заложенными в машину

алгоритмами, которые задаются в виде разностных уравнений. Если эти уравнения линейные,

например вида (1.5) или (1.8), то алгоритму будет соответствовать передаточная функция K

(z),

которая в виде дискретного звена должна отображаться на структурной схеме.

Рис.11. 24. Структурная схема цифровой следящей системы

Подводя итоги всему сказанному выше, можно представить структурную схему ЦСАУ в виде рис.

1.24, где суммирующими и нелинейными звеньями обозначен цифровой измеритель

рассогласования, запаздывающим звеном z

-α

1- цифровая вычислительная машина, а дискретным

звеном K

(z) - линейный алгоритм обработки информации. Последовательное соединение

запаздывающего и алгоритмического звеньев образует передаточную функцию линейной части

ЦСАУ

K*(z) = z

-α

(z).

В том случае, когда период квантования T

1определяется только быстродействием ЦВМ, можно

полагать α = 1, а если время обработки T

1<< T

, то α = 0. Выбором достаточно большого числа

разрядов цифрового кода можно сделать шаг квантования Δ и ошибку округления настолько

малыми, что влиянием нелинейного звена можно пренебречь и считать ЦСАУ линейной

дискретной системой.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

2.1. Устойчивость линейных дискретных систем

Исследование дискретных систем начинается с оценки их принципиальной работоспособности, то

есть устойчивости. В классе линейных систем задача решается так же, как и в теории линейных

непрерывных САУ, но с учетом особенностей, связанных с квантованием сигналов, и вытекающей

из них специфики аппарата.

Напомним, что устойчивость непрерывных линейных систем определялась по поведению

переходной составляющей y

(t) общего решения однородного дифференциального уравнения

исследуемой системы. Аналогично решается задача и для дискретных систем, описываемых

линейными разностными уравнениями (1.34). Общее решение таких уравнений представляет

собой сумму

y(iT

) = y

(iT

) + y

(iT

)

где y

(iT

) - вынужденная составляющая процесса, зависящая от внешнего воздействия, а

(iT

) =

k = 1

, 1 1 1 1 1 1 (2.1)

- переходная составляющая, представляющая собой сумму экспоненциальных дискретных

функций

1= e

piTn

с начальными значениями A

. В выражении (2.1) z

1- корни характеристического уравнения

замкнутой системы D*(z) = 0 (или уравнения Q*(z) = 0, если исследуется устойчивость

разомкнутой системы), зависящие от параметров системы.

Дискретная система называется устойчивой, если с течением времени y

(iT

) стремится к нулю.

Примеры поведения переходной составляющей показаны на рис. 2.1, где позициями а и б

обозначены монотонные, а в и г - колебательные процессы устойчивых и неустойчивых систем.

При i → ∞ y

(iT

) будет равна нулю, если все корни z

1характеристического уравнения D*(z) = 0 по

модулю будут меньше единицы: |z

| < 1.

Рис.12.1. Устойчивые (а и в) и неустойчивые (б и г) процессы в дискретных системах

Таким образом, необходимое и достаточное условие устойчивости линейных дискретных систем

может быть сформулировано так: замкнутая система будет устойчивой, если корни

характеристического уравнения D*(z) = 0 находятся внутри круга единичного радиуса. Условия

устойчивости на комплексной плоскости иллюстрируются рис. 2.2. Если речь идет об

устойчивости разомкнутой системы, то оценивается расположение корней уравнения Q*(z) = 0 и

применяются сформулированные выше условия. Исследование дискретных систем

автоматического управления базируется в основном на аппарате z-преобразования. Определение

при этом устойчивости по расположению корней характеристического уравнения относительно

круга единичного радиуса в реальных случаях может быть сложным и неудобным (высокий

порядок уравнения, повторение громоздкой процедуры вычисления при неудовлетворительных

предыдущих результатах и т.п.). Для упрощения задачи, как и в случае непрерывных линейных

систем, можно использовать критерии устойчивости, позволяющие избежать решения

характеристического уравнения D*(z) = 0.

Естественно попытаться при этом приспособить уже известные критерии теории непрерывных

систем, связывающие устойчивость с расположением корней характеристического уравнения в

левой полуплоскости, к анализу дискретных систем, устойчивых в случае расположения корней

своего характеристического уравнения внутри круга единичного радиуса. Очевидно, что задача

сводится к преобразованию единичного круга в полуплоскость, которое может быть произведено

подстановкой

z =

1 + w

1 - w

или w =

z - 1

z + 1

, 1 1 1 1 1 1 (2.2)

называемой билинейным или w-преобразованием. Если комплексное число w представить в

алгебраической форме

w = β + jν,

то условие устойчивости дискретной системы |z

| < 1 примет вид

11 1 1 1 1 1 (2.3)

Неравенство (2.3) соблюдается только тогда, когда β

1< 0. Следовательно, если ввести подстановку

(2.2) в характеристический полином D*(z), то можно получить характеристическое уравнение в

форме

D*(w) = 0.

Если корни этого уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости w, то

дискретная система устойчива. Отображение единичного круга в полуплоскость показано на рис.

2.3, где заштрихованы области расположения корней характеристических уравнений устойчивой

системы.

Рис.12.2. Условия

устойчивости в плоскости

корней (а)

Рис.12.3. Преобразование единичного круга в

полуплоскость (б)

Отметим, что переменная w является аналогом переменной р в теории непрерывных систем, но в

отличие от последней безразмерна. Если анализ системы ведется в частотной области, то по

аналогии с заменой р = jω в непрерывных системах вводят подстановку w = jν в дискретных

системах. Связь безразмерной псевдочастоты ν с размерной w определяется из условия (2.2)

подстановками

откуда псевдочастота

ν = tg

ω T

. 1 1 1 1 1 1 (2.4)

Введение билинейного преобразования (2.2) позволяет использовать для анализа устойчивости

дискретных систем алгебраические и частотные критерии устойчивости непрерывных систем.

Методика решения задачи рассматривается на примере.

Пример 2.1.

Передаточная функция разомкнутой следящей системы (рис. 1.15) задана в виде

K*(z) =

k z

-1

1 - z

-1

P*(z)

Q*(z)

то есть система состоит из запаздывающего и суммирующего звеньев. Определим условия

устойчивости замкнутой дискретной системы, используя способы, описанные выше.

1. Непосредственное решение разностного уравнения.

Для замкнутой системы получаем

(z) =

k z

-1

1 - (1 - k)z

-1

P*(z)

D*(z)

y*(z)

x*(z)

. 1 1 1 1 1 1 (2.5)

Разностное уравнение в z-изображениях

y*(z) - (1 - k)z

-1

y*(z) = k z

-1

x*(z). 1 1 1 1 1 1 (2.6)