Грамагин Е.А. Теория дискретных систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
S
*
ex
(z) = K
*
ex
(z
-1
) K
*
ex
(z) S
x
(z). 1 1 1 1 1 1 (2. 26)
По аналогии с теорией непрерывных систем
S
*
x
(z) = F
*
x
(z) F
*
x
(
-1
), 1 1 1 1 1 1 (2. 27)
где F
*
x
(z) - передаточная функция формирующего фильтра. Тогда формула (2.25) для вычисления
дисперсии ошибки с учетом соотношений (2.26) и (2.27) принимает вид
D
ex
1=
1
2 π j
|z|=1
F
*
x
(z) K
*
ex
(z) F
*
x
(z
-1
) K
*
ex
(z
-1
) z
-1
1dz. 1 1 1 1 1 1 (2.28)
При вычислении дисперсии (2.28) удобно пользоваться дискретным аналогом теоремы Парсеваля ,
согласно которому
D
ex
1=
1
2 π j
j∞
∫
-j∞
F
*
x
(ω) K
*
ex
(ω)
1 + ω
.
F
*
x
(-ω) K
*
ex
(-ω)
1 - ω
dω. 1 1 1 1 1 1 (2.29)
Таким образом, дисперсия ошибки отработки задающего воздействия в дискретной системе равна
удвоенному значению табулированного интеграла:
D
ex
1= 2I1[
F
*
x
(ω) K
*
ex
(ω)
1 + ω
], 1 1 1 1 1 1 (2.30)
где, как и раньше, w - преобразование определяется формулами (2.2).
Дисперсия ошибки, обусловленной возмущающим воздействием ν(iT
n
) вычисляется аналогично:
D
ex
1= 2I1[
F
*
ν
(ω) K
*
eν
(ω)
1 + ω
], 1 1 1 1 1 1 (2.31)
где F
*
ν
(ω) определяется разложением спектральной плотности помехи S
*
ν
(z) на сопряженные
сомножители F
*
ν
(z) F
*
ν
(z
-1
) с последующей подстановкой
z =
1 + ω
1 - ω
,
a K
*
eν
(ω) - билинейное преобразование передаточной функции ошибки системы по возмущающему
воздействию, совпадающее с точностью до знака с функцией K
*
yν
(ω).
61
Отметим, что в формулах (2.30) и (2.31) в знаменателе аргумента можно использовать 1 - ω вместо
1 + ω, если это упрощает выкладки. Равноценность замены следует из формулы (2.29).
Пример 2.5.
Структурная схема следящей системы изображена на рис. 1.16. Полагая, что помеха приложена ко
входу системы, то есть K
*
ν
(z) = K
*
(z) вычислим дисперсию флюктуационной ошибки, если
K*(z) =
k z
-1
1 - z
-1
,
а помеха - дискретный белый шум с корреляционной функцией R
ν
(kT
n
) = N
ν
δ(kT
n
) и спектральной
плотностью S
*
ν
(z) = N
ν
. Воспользуемся формулой (2.33). Представим S
*
ν
(z) =1 1откуда
F
*
ν
(w) =1 . Найдем K
*
eν
(z) из рис. 1.15. Так как помеха приложена ко входу, то
K
*
eν
(z) = -K
*
yx
(z) = -
P*(z)
D*(z)
= -
k z
-1
1 + z
-1
(k - 1)
.
Отсюда при
z
-1
1=
1 - ω
1 + ω
K
*
eν
1= -
k(1 -ω)
ω(2 - k) + k
, а
F
*
ν
(ω) K
*
eν
(ω)
1 - ω
= -
k
k + ω(2 - k)
.
Дисперсия ошибки согласно табл. П.3
D
eν
1= 2I [
1k
] = 2 α
2
0
2 β
0
β
1
= N
ν
k
2 - k
.
62
k + ω(2 - k)
По условиям устойчивости (см. пример 2.1) в этой системе 0 < k < 2. В этих пределах дисперсия
ошибки растет с увеличением коэффициента k, что объясняется расширением полосы пропускания
системы.
63