Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли
элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5.
Задача 35*. Определить способ задания множества А = {x | x – натуральное
число}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно.
Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы
данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5.
Задача 36*. Определить способ задания множества А = {Январь, Февраль,
Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь,
Декабрь}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно.
Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы
данному множеству: среда, Март, 165, *, ф, зима, Август, 3,14.
II тип.
Задача 37**.
Определить о каком отношении между множествами идет речь.
Записать отношения между множествами с помощью условных записей.
Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.
e)
А – множество людей, живущих в Европе, В – множество людей,
живущих в Европе;
f)
С – множество голубоглазых людей, D – кареглазых млекопитающих;
g)
G – множество атмосферных осадков, H – множество автомобилей;
h)
I – множество студентов, J – множество спортсменов.
Задача 38**.
Сравнить множество А со множествами B, C, D. Если множества
пересекаются, найти их пересечение. Для данного множества найти
универсальное множество. Изобразить отношения между множествами с
помощью кругов Эйлера-Венна.
А – розы, фиалки, гладиолусы, камелии, B – георгины, лилии, C – гладиолусы,
фиалки,
D – гвоздики, розы, ирисы, тюльпаны.
III тип.
Задача 39**. Найти множество, являющееся пересечением множеств А={д, е,
ф, ж, в, г, п, с} и
В={а, б, г, и, к, л. ж о} и мощность найденного множества.
Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Задача 40**. Найти множество, являющееся объединением множеств А={h, l,
m, p, q} и
В={l, p, o, g, t, s, h} и мощность найденного множества. Найти
универсальное множество для множеств
А и В. Построить диаграммы Эйлера-
Венна.
Задача 41**. Найти множество, являющееся разностью множеств А={a, b, ,c, d,
e, f, g} и
В={h, i, j, a, k, l, f} и мощность найденного множества. Найти
универсальное множество для множеств
А и В. Построить диаграммы Эйлера-
Венна.
Задача 42**. Даны множества А = {10, 26, 17, 34, 56, 84} и В = {2, 4, 28, 46}. В
результате каких операций над множествами
А и В получены множества С={10,
26, 17, 34, 56, 84, 2, 4, 28, 46},
D – все натуральные числа, E={}, F={10, 26, 17,
34, 56, 84},
G = {2, 4, 28, 46}.
IV тип.
Задача 43**. Доказать следующие свойства операций над множествами,
записать названия свойств:
А
В
В
А
∪
=
∪
;
А
В
В
А
∩=∩
;
)()(
С
В
А
С
В
А
∩∩=∩∩ .
Задача 44**. Доказать следующие законы теории множеств, записать названия
законов:
А
В
А
А
=
∪
∩ )(;
А
А
А
=∩ .
Задача 45***. Доказать следующие свойства разности множеств:
(
А\В)\С = (А\С)\В;
(
В
А
∪
)\С =)
\
()
\
(
С
В
С
А
∪
;
)(
\
)()
\
(
С
В
С
А
С
В
А
∩∩=∩ ;
)
\
()
\
()(
\
С
А
В
А
С
В
А
∩=
∪
;
)
\
()
\
()(
\
С
А
В
А
С
В
А
∪
=∩ .
V тип.
Задача 46***.
Определить основание классификации. Проверить является ли
классификация правильной, если нет – найти ошибку.
Зима, весна, лето, осень
Понедельник, вторник, четверг, суббота
Задача 47***. Каким способом следует задать множество в следующих
ситуациях:
Замечание тренера: «При температуре ниже -20
0
С не следует кататься на
лыжах».
Преподаватель сообщает студентам: «В течение педагогической практики
вы должны будете провести внеклассное мероприятие для учащихся
старших классов».
Задача 48***. Исключите лишние элементы:
Белка, утка, лебедь, пеликан
Я, п, д, t, ъ,э
Бег, плавание, езда на велосипеде, лыжи
126, 843, 711, 163, 540
Задача 49 ***. В видеотеке ОРТ имеется 1000 фильмов российского
производства и 2000 фильмов американского производства. А всего в видеотеке
2350 фильмов. Сколько фильмов только российского, только американского и
совместного производства имеется в видеотеке ОРТ?
Домашнее задание
Вариант 1.
Определить способ задания множества А={x | x – символ арифметической
операции}. Перейти к другому способу задания множества, если это
возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат
ли элементы данному множеству: а, =, 12, +, h, t, :
Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать
отношения между множествами с помощью условных записей.
Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-
Венна
А – множество спортсменов, В – множество бегунов.
Найти множество, являющееся пересечением множеств А = { ⊂ , ⊆ , =,
∪
,
∩ } и В = {
∪
, ∩ , \} и мощность найденного множества. Построить
диаграммы Эйлера-Венна.
Доказать свойство операций над множествами, записать название
свойства
)()()(
С
А
В
А
С
В
А
∪
∩
∪
=∩
∪
.
Вариант 2.
Определить способ задания множества А={∩, U , \}. Перейти к другому
способу задания множества, если это возможно. Определить мощность
множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: б,
д, 136, -28, =, ∩,
⇔
.
Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать
отношения между множествами с помощью условных записей.
Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-
Венна
А – множество крокодилов, В – множество аллигаторов.
Найти множество, являющееся объединением множеств А = {рубль,
доллар, евро} и
В = {марка, йена, эскудо} и мощность найденного
множества. Найти универсальное множество для множеств
А и В.
Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона:
А
А
А
=
∪
.
Вариант 3.
Определить способ задания множества А={x | x – операции между
множествами}. Перейти к другому способу задания множества, если это
возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат
ли элементы данному множеству: ~,
⊂ , =, д, f, №, 248.
Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать
отношения между множествами с помощью условных записей.
Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-
Венна
А – множество учителей, В – множество специалистов по
географии.
Найти множество, являющееся разностью множеств А = {чашки, тарелки,
блюдца} и
В = {супницы, стаканы, чайники, блюдца} и мощность
найденного множества. Найти универсальное множество для множеств
А
и
В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона:
А
В
А
А
=∩
∪
)(.
Вариант 4.
Определить способ задания множества А={красный, оранжевый, желтый,
зеленый, голубой, синий, фиолетовый}. Перейти к другому способу
задания множества, если это возможно. Определить мощность
множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству:
5486, -, &,
∨
, синий, фиолетовый.
Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать
отношения между множествами с помощью условных записей.
Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-
Венна
А – множество видов общественного транспорта, В – множество
грузовиков.
Найти множество, являющееся разностью множеств В = {Пролог,
Фортран, Алгол, Паскаль, Си} и
А = {Паскаль, Си, Ассемблер} и
мощность найденного множества. Найти универсальное множество для
множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Доказать свойство операций над множествами, записать название
свойства
)()(
С
В
А
С
В
А
∪
∪
=
∪
∪
.
Контрольные вопросы
Что такое множество?
Как множества задаются?
Как определить принадлежит ли элемент множеству или нет?
Каким символом обозначается принадлежность, непринадлежность
элемента множеству?
Чем характеризуется множество с позиции количества элементов?
Как принято обозначать характеристику, связанную с количеством
элементов множества?
На какие классы подразделяются множества по количеству элементов?
Что такое универсальное множество?
Какие отношения между двумя множествами существуют?
Как задаются отношения между двумя множествами?
Какие условные записи соответствуют отношениям между двумя
множествами?
Какие существуют операции над множествами?
Как определяются операции над множествами?
Какими символами обозначаются операции над множествами?
Какими характеристическими свойствами обладают множества,
полученные в результате различных операций?
Какими свойствами обладают операции над множествами?
Какие существуют типы задач, решаемые в рамках теории множеств и с
ее помощью?
Библиографический список
Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.:
ил. – с. 50 - 64.
Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос,
2003. – 120 с. – с. 33 – 45.
Турецкий В. Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.:
ИНФРА-М, 2002. – 560 с. – (Серия «Высшее образование»). – С. 22 – 35.
Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И.
Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос.
пед. ун-та, 2003. – 46 с. – С.
Гришин М. П. Математика и информатика: Учебное пособие. 2-е изд.,
стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – 116 с. – С. 8 – 18.
Тема 3. Системы счисления
Цель:
Овладеть навыками оперирования числами в различных системах
счисления.
Задачи:
18) научиться осуществлять перевод из 10-ной системы счисления в
любую
q-ичную;
19)
научиться осуществлять перевод из любой q-ичной системы
счисления в 10-ную;
20)
научиться осуществлять прямой перевод из системы счисления с
оcнованием 2
n
в другую систему с оcнованием 2
k
;
21)
научиться выполнять операции сложения и вычитания чисел в
различных системах счисления;
22)
научиться по результатам арифметических действий распознавать
систему счисления, в которой произведено действие.
Общие теоретические сведения
Система счисления (с. с.) – язык для наименования, записи чисел и
выполнения действий над ними.
Базис системы счисления – алфавит с. с., состоящий из знаков,
называемых
цифрами. Количество цифр (знаков) в базисе с. с. называется
основанием системы счисления.
В
позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные
числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи
числа. В
непозиционных системах каждый знак всегда обозначает одно и то же
число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи
числа.
Примеры различных позиционных систем счисления приведены в
таблице 11.
Таблица 11.
Примеры позиционных систем счисления
Название с. с.
Основание,
количество
цифр в базисе
Базис (алфавит) с. с.
Двоичная 2 {0, 1}
Троичная 3 {0, 1, 2}
Четверичная 4 {0, 1, 2, 3}
Восьмеричная 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Десятичная 10 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Шестнадцатиричная 16 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,
E, F}
q-ичная
q
{0, 1, 2, …, q-1}
Запись
числа выполняется в форме слова, составленного из алфавита с. с.:
x
q
= (a
n-1
a
n-2
…a
1
a
0
)
q
= a
n-1
• q
n-1
+ a
n-2
• q
n-2
+
… + a
1
• q
1
+ a
0
• q
0
, где q - основание
с. с., в которой записано число
х, n – число разрядов, занимаемых числом х, a
n
,
a
n-1
,
…, a
2
, a
1
– цифры числа, стоящие в соответствующих разрядах n-1, n-2, …,
1, 0.
Форма записи числа в виде многочлена
x
q
= a
n-1
• q
n-1
+ a
n-2
• q
n-2
+
… + a
1
•
q
1
+ a
0
• q
0
называется развернутой формой записи числа.
Дробные числа имеют следующую развернутую форму:
x
q
= (a
n-1
a
n-2
…a
1
a
0
, b
1
b
2
…b
m
)
q
= a
n-1
• q
n-1
+ a
n-2
• q
n-2
+
… + a
1
• q
1
+ a
0
• q
0
+ b
1
• q
-1
+ b
2
• q
-2
+ … b
m
• q
-m
, где b
1
b
2
…b
m
– цифры, стоящие после запятой
обозначающие дробную часть числа,
m – количество знаков после запятой.
Примечание: Если в числе не указано основание системы счисления, то
считается, что оно представлено в десятичной системе.
Правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления
Для перевода числа из любой q-ичной системы счисления в 10-ую
достаточно записать число в развернутой форме, и затем все действия
выполнить по правилам, принятым в десятичной с. с.
Правило перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления целых чисел
5. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с. с. и все
последующие действия производить в десятичной с. с.
6.
Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых
неполных частных на основании новой системы счисления до тех пор,
пока не получим неполное частное, меньшее делителя.
7.
Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе
счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы
счисления.
8.
Составить число в новой системе счисления: первая цифра - последнее
неполное частное, вторая цифра – последний остаток, третья цифра –
предпоследний остаток, и т. д. записывая остатки в обратном порядке (их
получения).
Правило перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления дробных чисел
5. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с. с. и все
последующие действия производить в десятичной с. с.
6.
Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части
произведений на основание новой с. с. до тех пор, пока дробная часть
произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая
точность представления числа в новой системе счисления.
7.
Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в
новой с. с., привести в соответствие с алфавитом новой с. с.
8.
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с
целой части первого произведения.
Правило перевода целого числа из
2-ной системы счисления в систему
счисления с основанием q =
2
n