Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
B
A
∨
Z
X
⇔
QP
⇒
B
A
∧
T
O
⇒
W
Y
⇔
Задача 12**.
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
TQP ∧⇒
C
B
A
⇒
∧
HGD ∨
⇒
C
B
A
∨
⇒
)(
C
B
A
∨
⇔
Z
Y
X
⇔
∨ )(
Задача 13***.
Представить логический закон в виде высказывания на русском языке:
чисто условное умозаключение
)())()((
C
A
C
B
B
A
⇒
⇒
⇒
∧
⇒
закон де Моргана
ВАВА ∧⇒∨ )(
закон Дунса Скотта
В
А
А
⇒
∧
закон косвенного доказательства
(
)
АВВА ⇒∧⇒ )(
modus ponens (модус утвердительный)
В
А
В
А
⇒
∧
⇒
))((
modus tollens (модус отрицательный)
АВВА ⇒∧⇒ )(
Разделительно-категорическое умозаключение
ВАВА
⇒
∧∨ ))((
Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)
)())()()(( D
B
C
A
D
С
В
А
∨
⇒
∧∧
⇒
∧
⇒
Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма)
)())()()(( CADВDСВА ∨⇒∨∧⇒∧⇒
IV тип
Задача 14*.
Построить таблицы истинности для формул:
а)
BAC
⇒
∧
б)
CACA ∧∨∧
в) YZX
⇒
∨
г)
CABA ∧
⇔
∨
д)
(
)
ZYX ∧⇒
е)
ZYZX ∨
⇒
∧
Задача 15**.
Определить являются ли формулы тождественно истинными:
а)
CBCACBA ∧∨∧
⇔
∧∨ )(
б)
BABA ∧
⇔
⇒
в)
ABA ∧
⇒
г)
BABA ∨
⇔
⇒
д)
()()()
CABACBA ∨∧∨
⇔
∧∨
е)
BABA ∧
⇔
⇒
Задача 16***.
Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:
а)
BABA ∨
⇔
⇒
б)
BABA ∧
⇔
∨
в) чисто условное умозаключение
г) modus ponens (модус утвердительный)
д) modus tollens (модус отрицательный)
е) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)
V тип
Задача 17*. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр.
Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно
Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось,
что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Андреем?
Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей, если
известно, что если она угостит
А и С, то и В получит свою порцию. Также известно,
что
А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С.
Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель начальника.
Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена видеокамера, охранник
выдал заведомо ложную информацию о том, что если в кабинете в момент поломки
был заместитель, и не было начальника, то в кабинете присутствовал секретарь. Кто
сломал калькулятор?
Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее
могли находится три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе допроса
смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не было уборщицы
или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель солгал. Кто украл
полотно?
Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был инициатором,
если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь: «Если я инициировала
прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»?
Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали домашнее
задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин сказал:
«Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил: «Списал
Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали неправду. Кто
списал на самом деле?
Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала царевна-
лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев попали в болото».
Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались в болоте». Старший
произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или стрела младшего угодила
туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из
братьев только один сказал правду?
Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они
получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже
выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня выйдет
замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала, что ни одно
предсказание не сбылось. Кто вышел замуж?
Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за сессию.
Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима сказал, что
Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него нет
задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из них
сказал неправду.
Кто на самом деле имеет долги за сессию?
VI тип
Задача 26*.
После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и
«Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины были
разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания свидетелей позволили
выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигули» возил владельца машины
желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во-вторых, пассажирами на
синей
машине видели водителей «Волги» и «Запорожца». В-третьих, водитель «Жигули» не
любит синий цвет, так же сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет.
Какой цвет соответствовал каждой марке машины до угона?
Задача 27*. Один из друзей Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог, другой
юрист, третий физик, четвертый художник. Определить у кого какая профессия, если
известно, что Владимир учился с археологом и юристом в одном вузе. Археолог с
Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник написал портреты Владимира
и Григория.
Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой,
Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился, Лена
сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с Викой». Даша
ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с кем поссорился?
Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах
другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на средней,
старший не на старшей. Какой брат, на какой сестре женился, если известно, что
старшая сестра вышла замуж не за младшего брата?
Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии, третий
– фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут их мужья.
Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их матери. Какой
жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей, если жена фантаста
не любит детективы?
Задача 31***. У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не
соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья брюнетка.
Девушки носят костюмы цвета не соответствующего цвету волос и фамилии. У кого
какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки, если Чернова не
блондинка?
Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют фамилиям, но
при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего Петром. Отчества
юношей не соответствуют ни их фамилиям, ни именам. Но их отчества: Петрович,
Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество, если Максимова точно зовут
не Иваном?
Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой, сумочки и
кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой девушки цвет
сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает ни с цветом сумочки,
ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит сумочка и кофта, если у
зеленоглазой подружки не
коричневая сумка?
Домашнее задание
Вариант 1.
Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать
предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для
сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания,
обвести кружком логическую связку:
«Сегодня солнечный летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы».
Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не заплатил
за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса».
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:
X
Y
Y
X
∨
⇔
∨ ;
C
B
A
∨
⇒
.
Доказать с помощью таблиц истинности логический закон Дунса Скотта
В
А
А
⇒
∧ .
Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно,
Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир
и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что
Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Владимиром?
Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – металлическую,
третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих
направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка,
какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает поп-музыку?
Вариант 2.
Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать
предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для
сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания,
обвести кружком логическую связку:
«Студент допущен к экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также, у него
не было много пропущенных занятий».
Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь здоровым
тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом».
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:
A
B
B
A
∧
⇔
∧ ;
Z
Y
X
⇒
∨ .
Доказать закон косвенного доказательства
(
)
АВВА ⇒∧⇒ )(
.
Преподаватель должен выбрать из трех студентов участников для олимпиады.
Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то Синицын тоже будет
участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только тогда, когда он не
возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева участвовала в
олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто?
Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на оценку не
соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если известно, что
троечник не получил пятерку?
Вариант 3.
Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать
предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для
сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания,
обвести кружком логическую связку:
«В случае, когда спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не
будет допущен к соревнованиям».
Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет
кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето».
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:
C
B
A
C
B
A
∨∨
⇔
∨∨ )()( ;
QT ∧
.
Доказать условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма).
В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель сказал,
что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов. Козлов
решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не пойдет
Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех друзей
пойдет в
поход?
Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в «Веселых
стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках, третьему –
метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим видом спорта.
Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие, если известно,
что бегун не будет прыгать?
Вариант 4.
Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать
предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для
сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания,
обвести кружком логическую связку:
«Когда я не выполнил домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на
занятие».
Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что на
Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь».
Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:
C
B
A
C
B
A
∧∧≡∧∧ )()( ;
XY
⇔
.
Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое
умозаключение
ВАВА ⇒∧∨ ))(( .
В спортивную секцию решили записаться три одноклассника: Синельников,
Абрамов, Воронин. Отношения между одноклассниками складываются таким
образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и Абрамов будут
заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и только тогда,
когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не подходит по
медицинской справке. Кто
из одноклассников записался в секцию?
Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в
командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни
один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он
переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в
Германию не попадает переводчик с английского языка
?
Контрольные вопросы
Что изучает математическая логика?
Как определить, что предложение является высказыванием?
Каким союзам русского языка соответствует операции: отрицания,
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция?
Какие обозначения соответствует союзам русского языка: … тогда и только
тогда, когда …; и; или; если …, то…; не?
Какие значения истинности принимают операции отрицания, конъюнкция,
дизъюнкция, импликация, эквиваленция, в зависимости от значений
переменных?
Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка на формальный?
Каким образом осуществить перевод с формального языка на естественный?
Как доказать логический закон?
Какого типа задачи решаются с помощью таблиц истинности? Каким образом?
Какие задачи логического характера удобно решать с помощью таблиц, а
какие с помощью графов?
Библиографический список
Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.: ил. – с.
34.
Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2003.
– 120 с. – с. 53 – 60.
Турецкий В. Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.:
ИНФРА-М, 2002. – 560 с. – (Серия «Высшее образование»). – С. 60 – 75.
Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И. Клебанов,
А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. –
46 с.
Тема 2. Множества и операции над ними
Цель:
Овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов
реальной и абстрактной действительности.
Задачи:
11) научиться находить множества и их элементы в окружающей
действительности и в абстрактных структурах;
12)
научиться осуществлять переход от одного способа задания
множества к другому, и распознавать возможность такого перехода;
13)
научиться определять мощность множеств;
14)
научиться определять отношения между множествами;
15)
выполнять и определять операции над множествами;
16)
научиться доказывать свойства операций над множествами;
17)
научиться решать практические задачи с применением операций
над множествами.
Общие теоретические сведения
Понятие «множество» является одним из основных понятий математики,
не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах.
Пример 1.
множество яблок растущих на яблоне;
множество студентов, обучающихся в ЧГПУ;
множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения РФ;
множество прямоугольников;
множество двусложных слов в русском языке;
множество букв в английском алфавите, или множество согласных
букв в русском алфавите;
множество натуральных чисел; множество иррациональных чисел.
Определяющие признаки множества:
рассматривается некоторое собрание реально существующих или
абстрактных объектов или явлений;