Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
6. В пустыне есть растения,
7.
В пустыне много песка,
8.
В пустыне очень жарко.
Обозначим высказывания латинскими буквами:
А – В пустыне есть вода,
В – В пустыне есть растения,
С – В пустыне много песка,
D – В пустыне очень жарко.
б) Логических связок в данном высказывании пять: первая – нет, вторая – и,
третья – нет, четвертая – тогда и только тогда, когда, пятая – или.
Первая и третья соответствуют операции отрицания ( ⎯ ), вторая – операции
конъюнкции (/\), четвертая – операции эквиваленции (
Ù), пятая – операции
дизъюнкции (\/).
в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид:
(
)
()
DСВА ∨⇔∧ .
г) Делаем проверку:
А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С –
В пустыне много песка, D
– В пустыне очень жарко, х – операция отрицания
(
нет), /\ – операция конъюнкции (и), \/ – операции дизъюнкции (или), Ù –
операции эквиваленции (
тогда и только тогда, когда).
Следовательно, формулу
(
)
()
DСВА ∨⇔∧ можно прочитать следующим
образом:
В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда
много песка или очень жарко.
Ответ: высказывание соответствует формуле
(
)
()
DСВА ∨⇔∧ .
III тип.
Перевод с формального языка на естественный
Повторите алгоритм перевода с формального языка на естественный из
теоретической части занятия.
Задание. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском
языке:
()
СВА ⇒∧
.
Решение.
Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание:
А – Пушкин А. С. – поэт,
В – Пушкин А. С. – дуэлянт,
С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет.
Логические операции заменим соответствующими логическими
связками:
А
– Пушкин А. С. – не поэт;
В
– Пушкин А. С. – не дуэлянт;
∧
– и;
⇒
– Если …, то …
Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные
заданными высказываниями, а операции – логическими связками:
«
Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С.
доживет до 70 лет».
В соответствии с правилами русского языка, избавимся от повторяющихся
слов: «
Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».
Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».
IV тип. Нахождение значение истинности формулы, доказательство логических
законов, доказательство тождественной истинности или ложности формул
Последовательность выполнения операций в логических формулах
определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические
операции расположены так:
х , ∧ , ∨ ,
⇒
,
⇔
. Кроме того, на порядок операций
влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.
Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно указав
порядок действий
YXX ∨
⇔
;
Решение.
YXX ∨
⇔
X
- первое действие;
Y
X
∨ - второе действие;
YXX ∨
⇔
- третье действие.
X Y
X
Y
X
∨
YXX ∨
⇔
1. T T F T F
2. T F F T F
3. F T T T T
4. F F T F F
Ответ: формула принимает истинное значение, когда Х – истина,Y – ложь. Во
всех остальных случаях формула принимает значение ложь.
Задание: доказать логический закон исключенного третьего
X
X
∨ .
Решение.
X
X
∨
X
- первое действие;
X
X
∨ - второе действие.
X
X
X
X
∨
1. T F T
2. F T T
Ответ: формула является законом логики.
V тип. Решение задач с применением логических формул и таблиц истинности
Задача. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр.
Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно
Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось,
что Сергей пошел в кинотеатр. Выяснить кто пошел с Сергеем?
Решение.
Обозначим простые высказывания:
А – Андрей ходил в кинотеатр,
В – Владимир ходил в кинотеатр,
С – Сергей ходил в кинотеатр.
Представим известные факты в виде логических формул:
Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно
Владимир и Сергей –
С
В
А
∧
⇔
.
Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей –
С
В
⇒
.
Сергей пошел в кинотеатр – С.
Из условия следует что формулы
С
В
А
∧
⇔
= Т и
С
В
⇒
= Т и С
= Т (истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем
значения переменных
А и В в тех строках, где данные формулы принимают истинное
значение (они выделены темным цветом):
А В С
С
В
∧
С
В
∧
С
В
А
∧
⇔
С
В
⇒
T T T T F F T
T T F F T T F
T F T F T T T
T F F F T T T
F T T T F T T
F T F F T F F
F F T F T F T
F F F F T F T
Так высказывания
С
В
А
∧
⇔
и
С
В
⇒
и С истинны в двух
случая: когда
А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с
Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один –
отклоняются).
Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Сергеем.
VI тип. Задачи на применение законов формальной логики
Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной
есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей
– с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом не соответствующим
фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить у какой подружки, какая ручка,
Синельникова сказала, что
у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у
каждой из подружек?
Решение.
а) Решим задачу используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета
стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный; в строках – фамилии: С –
Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем
ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего цвета, знак «–»
– если стержня нет (см. табл. 7.1.).
Таблица 7.1.
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы
с к з
С
К
З
б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у
Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в
соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.):
Таблица 7.2.
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)
с к з
С
– –
К
–
З
–
в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно у нее
может быть только красная ручка. Поэтому у других подружек уже не может быть
красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.:
Таблица 7.3.
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)
с к з
С
–+–
К
–
З
––
г) Из таблицы 7. 3. очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной,
а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл.
7.4.):
Таблица 7.4.
Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог)
с к з
С
–+–
К
––+
З
+––
Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая,
у Зелениной – синяя.
Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но
фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и
позволяет не упустить ни одну версию.
Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение
при тех же условиях задачи.
Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где
некоторые из них соединены линиями. Точки –
вершины графа; соединяющие их
линии –
ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой
вершины.
Решение.
Таблица 8.
Решение задачи с помощью графа
Граф Пояснение
а) а) В задаче идет речь о двух
множествах: множество фамилий (С –
Синельникова, К – Краснова, З –
Зеленина) и множество цветов (с –
синий, з – зеленый, к – красный).
Построим граф с соответствующими
вершинами.
б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным ребром
(линией), а несоответствующие пунктирной.
в)
в) Прочитаем условие.
Так как у каждой подружки ручка
цветом не соответствующим фамилии,
то соединим С и с, К и к, З и з
пунктирной линией, как не
соответствующие элементы.
г)
г) Так как у Синельниковой нет зеленой
ручки, то соединим С и з пунктирной
линией, как не соответствующие
элементы. Единственным вариантом
остается, что у Синельниковой ручка
красного цвета. Соединим С и к
сплошной линией как соответствующие
элементы.
д)
д) З и к соединим пунктирной линией,
как не соответствующие элементы. Так
как у Зелениной нет ни красной, ни
зеленой ручки, то у нее синяя ручка.
Соединим З и с сплошной линией как
соответствующие элементы, и К и с –
пунктирной, как не соответствующие
элементы.
е)
е) По графу видно, что у Красновой нет
ни синей, ни красной ручки,
следовательно у нее может быть лишь
зеленая ручка. Соединим К и з
сплошной линией как соответствующие
элементы.
Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая,
у Зелениной – синяя.
Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально решать с
помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с числом элементов
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
С
К
З
с
к
з
более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами,
то она решается с помощью графов.
Задачи для самостоятельного решения
I тип
Задача 1*.
Определить является ли предложение высказыванием. Высказывания
обозначить и определить их истинность:
а) Сегодня воскресенье.
б) Дисплей – это устройство ввода информации.
в) Проверь домашнее задание.
г) Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных
формах действительного мира.
д) День был дождливым?
е) 19 делится на 5 без остатка.
ж) Какой красивый дом!
з) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века.
Задача 2*. Определить из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть.
б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть
многоточие.
в) Ленивому студенту трудно учиться.
г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей.
д) Чапаев – герой гражданской войны, а также современных анекдотов.
е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед.
ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований.
Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые
высказывания, обвести кружком логическую связку.
Задача 4**. Определить из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
а) Лампочка горит когда есть электричество.
б) На яблоне растут яблоки.
в) У блондина белый цвет волос.
г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно он победитель
Олимпийских игр.
д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов.
е) Зимой на улице холодно.
ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть
финала.
з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга.
Задача 5**. Для высказываний, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые
высказывания и обвести кружком логическую связку.
Задача 6***.
Определить из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
а) Чтобы сдать зачет студенту необходимо: решить все домашние задания,
написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции.
б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину, в
случае, когда он кого-то сильно обидел.
в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила
либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику.
Задача 7**. Для высказываний, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые
высказывания и обвести кружком логическую связку.
II тип
Задача 8*.
Представить высказывания в виде логических формул:
а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ.
б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить.
Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул:
а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен.
б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы.
в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца.
ж) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето.
Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это
возможно:
а) Прочитай книгу и сходи в кино.
б) Выучил уроки, если помыл посуду.
в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями.
III тип.