Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
Задача. По полигону накопленных частот восстановить внешний вид
эмпирических данных до ранжированного вариационного ряда.
Решение
По полигону составим таблицу накопленных частот.
Значение
признака (
a
i
)
35 36 37 38 39 40
Накопленная частота (
i
p
(
)
11
1
11
3
11
6
11
9
11
10
1
Найдем относительную частоту для вариант, для этого из накопленной
частоты каждой варианты отнимем накопленную частоту предыдущего
значения признака.
1/11
3/11
6/11
9/11
10/11
1
Полигон накопленных частот
35 36 37 38 39 40
Значения пр изнака (варианты)
a
i
Накопленные частоты
i
p
(
a
i
Рис. 9
Рис. 8
Значение
признака (
a
i
)
35 36 37 38 39 40
Относительная частота (
i
p
(
)
11
1
-0
11
3
-
11
1
11
6
-
11
3
11
9
-
11
6
11
10
-
11
9
1-
11
10
Получим таблицу относительных частот.
Значение
признака (
a
i
)
35 36 37 38 39 40
Относительная частота (
i
р
~
)
11
1
11
2
11
3
11
3
11
1
11
1
Верхние значения (числитель) дроби относительной частоты
представляют собой абсолютную частоту, получим таблицу абсолютных
частот.
Значение
признака (
a
i
)
35 36 37 38 39 40
Абсолютная
частота (
p
i
)
1 2 3 3 1 1
Осталось записать ранжированный вариационный ряд с учетом частоты
каждой варианты: 35; 36; 36; 37; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40.
Ответ: 35; 36; 36; 37; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40.
II тип. Средние величины
Задача. Найти наиболее подходящую среднюю величину
(арифметическую, геометрическую, гармоническую, квадратическую
среднюю; простую или взвешенную). Найти моду и медиану по следующим
данным:
а) Выборка по возрасту учащихся, посещающих туристический кружок
в школе: 12; 13; 10; 18; 10; 15; 11; 14; 19; 13; 12; 15; 13; 10; 16; 14;
б) Выборка по возрасту учащихся, посещающих театральный кружок
в школе:
а
i
91012141617
p
i
2 3 5 4 1 1
в) Исследовалась скорость бега одного спортсмена на 100 метров в
течение года, получили выборку:
а
i
11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,9
а
i
p
i
= w
i
11,2 22,6 34,2 46 23,2 11,7 11,9
г) В течение рабочего дня выборочно были сняты показания амперметра
с одного станка получились следующие результаты:
а
i
0,2 0,3 0,4 0,6
а
i
p
i
= w
i
12 12 12 12
д) За девять учебных четвертей у учащегося наблюдались следующие
коэффициенты прироста скорости чтения:
1,2; 1,1; 1,3; 1,2; 1,4; 1,1; 1,2; 1,2; 1,4.
е) Коэффициент успевающих учеников класса за 10 недель имел
следующие значения:
а
i
0,75 0,95 1 1,1 1,2 1,25
p
i
1 2 4 1 1 1
ж) При измерении площадей квадратных садовых участков получена
выборка из длин сторон участков: 2; 1; 3; 3; 4; 5; 2; 1.
Решение
а) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, они заданы неупорядоченной выборкой.
Во-вторых, данные представлены значением признака, а не
произведением вариант на частоту, то есть гармоническая средняя в данном
случае не подходит.
В-третьих, возраст учащихся не является квадратной величиной, поэтому
квадратическая средняя также не носит информационного значения.
В-четвертых
, по условию прослеживается, что выборка производилась
для установления среднего возраста студентов, а не выявления тенденции
увеличения (уменьшения) возрастной категории со временем. Следовательно,
не имеет смысла находить среднюю геометрическую.
Итак, более уместно в данных условиях находить среднюю
арифметическую, причем, так как эмпирические данные заданы выборкой, то в
этом случае проще находить простую среднюю арифметическую величину.
Воспользуемся формулой для нахождения простой средней
арифметической величины (
n = 16):
а
х
∑
=
=
n
i
i
x
n
1
1
16
1
= (12+ 13+ 10+ 18+ 10+ 15+ 11+ 14+ 19+ 13+ 12+ 15+ +13+ 10+
+16+ 14)
16
1
=
• 215 ≈ 13.
Ответ: средний возраст учащихся в кружке 13.
б) Проведя рассуждения аналогичные предыдущему пункту с учетом
того, что эмпирические данные заданы таблицей абсолютных частот, приходим
к выводу, что наиболее характеризующей средней при этих условиях будет
средняя арифметическая взвешенная. Воспользуемся формулой:
ар
х
∑
=
∑
=
=
m
i
i
p
m
i
i
р
i
а
1
1
=
114532
11711641451231029
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
16
197
=12.
Ответ: средний возраст учащихся в кружке 12.
в) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, данные представлены произведением вариант на частоту, то
есть в данном случае есть смысл искать среднюю гармоническую.
Во-вторых, произведения
w
i
не одинаковые и не равны единице, значит,
используем взвешенную среднюю гармоническую.
Итак, по формуле средней гармонической взвешенной:
grр
х
∑
=
∑
=
=
m
i
i
a
i
w
m
i
i
w
1
1
=
9,11
9,11
7,11
7,11
6,11
2,23
5,11
46
4,11
2,34
3,11
6,22
2,11
2,11
9,117,112,23462,346,222,11
++++++
+
+
+
+
+
+
=
14
161
≈11,5.
Ответ: средний результат спортсмена за год 11,5.
г) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, данные представлены произведением вариант на частоту, то
есть в данном случае есть смысл искать среднюю гармоническую.
Во-вторых, произведения
w
i
одинаковые, значит, используем простую
среднюю гармоническую:
gr
х
∑
=
=
m
i
a
m
i
1
1
=
6,0
1
4,0
1
3,0
1
2,0
1
4
+++
=
5,12
4
=0,32.
Ответ: средний показатель амперметра 0,32.
д) В условии речь идет об определении коэффициента среднего темпа
роста, поэтому воспользуемся средней геометрической. Так как данные
представлены выборкой, то используем простую среднюю геометрическую:
gm
х
=
n
i
n
i
n
n
xxxx
П
1
21
...
=
=
=
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
9
4,12,12,11,14,12,13,11,12,1 ≈
9
67,7
1,25.
Ответ: средний прирост скорости чтения ученика 1,25.
е) В условии речь идет об определении коэффициента среднего темпа
роста, поэтому воспользуемся средней геометрической. Так как данные
представлены частотным рядом, то используем взвешенную среднюю
геометрическую:
gmp
х =
∑
=
∑
=
=
=
m
i
i
i
m
i
i
m
p
p
i
m
i
p
p
m
pp
aaaa
П
1
1
21
1
21
...
=
=
=⋅⋅⋅⋅⋅
+++++ 111421
111421
25,12,11,1195,075,0
=
01,111,125,12,11,119,075,0
1010
≈=⋅⋅⋅⋅⋅
.
Ответ: средний коэффициент прироста успевающих учеников 1,01.
ж) В данном случае можно воспользоваться простой средней
арифметической, а также простой средней квадратической. Но так как выборка
осуществлялась с целью измерения площадей, то воспользуемся второй
величиной:
kv
х
=
==
+++
∑
=
n
x
n
xxx
n
i
i
n 1
2
22
2
2
1
...
8
12543312
22222222
+++++++
=
≈2,9.
Ответ: средняя сторона участка 2,9.
Задача. По таблице найти моду и медиану:
а
i
11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,9
а
i
p
i
= w
i
11,2 22,6 34,2 46 23,2 11,7 11,9
Решение
Чтобы найти моду, необходимо знать частоты p
i
вариант а
i
. Найдем
частоты p
i
=
i
i
a
w
, результаты представим в таблице абсолютных частот.
а
i
11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,9
p
i
1 234211
Наиболее часто встречающееся значение 11,5. Итак, Mo = 11,5.
Чтобы найти медиану, необходимо построить по имеющимся данным
ранжированный вариационный ряд. Представим варианты из таблицы в
порядке возрастания с учетом их частоты:
11,2; 11,3; 11,3; 11,4; 11,4; 11,4; 11,5;
11,5; 11,5; 11,5; 11,6; 11,6; 11,7; 11,9.
Всего в ряду 14 значений, серединой являются седьмое слева и седьмое
справа значения: 11,5 и 11,5. Их среднее арифметическое и будет медианой, т.
е. Me =
2
5,115,11
+
= 11,5.
Ответ: мода 11,5, медиана 11,5.
III тип. Показатели вариации
Задача. Найти показатели вариации для выборки:
2; 4; 6; 1; 0; 4; 7; 6; 4; 2; 1.
Решение
д)
Упорядочим выборку: 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 7.
е)
Найдем размах вариации R = x
max
– x
min
= 7 – 0 = 7.
ж) Найдем простое среднее арифметическое:
а
х
∑
=
=
n
i
i
x
n
1
1
=
11
1
• (0+1+1+2+2+4+4+4+6+6+7) =
11
37
≈ 3,4 ≈3.
з)
Найдем простое среднее линейное отклонение:
n
xx
d
n
i
a
i
∑
=
−
=
1
=
=
−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+−
=
11
3736363434343232313130
=
2
11
22
11
43311111223
==
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.
и)
Найдем простую дисперсию:
()
n
xx
D
n
i
a
i
2
1
∑
=
−
=
+
−+−+−+−+−+−
=
11
343232313130
222222
=
−+−+−+−+−
+
11
3736363434
22222
=
5
11
56
11
169911111449
≈=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.
к)
Найдем среднее квадратическое отклонение:
D=
σ
= 22,25 ≈≈ .
л)
Коэффициент осцилляции
100⋅=
a
R
x
R
V
=
=⋅100
3
7
233%.
м) Линейный коэффициент вариации
100⋅=
a
d
x
d
V
100
3
2
⋅=
=66%.
н)
Коэффициент вариации
%66100
3
2
100 =⋅=⋅=
a
x
V
σ
σ
.
Примечание. В данной выборке несколько значений повторяются, поэтому
удобно находить взвешенные абсолютные показатели вариации. Причем для
рационального оформления решения и уменьшения расчетов можно
воспользоваться таблицей, но прежде нужно найти взвешенную среднюю
арифметическую.
ар
a
∑
=
∑
=
=
m
i
i
p
m
i
i
р
i
а
1
1
=
123221
172634222110
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
3
11
37
11
7121242
≈=
+
+
+
+
.
а
i
01246 7
p
i
122321
ap
i
aa −
321134
()
2
ap
i
aa −
9411916
Взвешенное среднее линейное отклонение:
∑
∑
=
=
⋅−
=
m
i
i
i
m
i
ap
i
p
p
paa
d
1
1
=
2
11
22
11
142331212213
==
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
.
Взвешенная дисперсия:
()
∑
∑
=
=
⋅−
=
m
i
i
i
m
i
ap
i
p
p
paa
D
1
1
2
=
5
11
56
11
16293121249
≈=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
.
Задачи для самостоятельного решения
I тип
Задача 157*.
В ВУЗе среди 1000 человек дневного отделения нужно выяснить
средний вес студента.
Получена выборка: 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 158*. За день обувной магазин обслуживает 120 человек. Нужно
выяснить средний размер покупаемой обуви.
Получена выборка: 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42 .
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 159*. Ежедневно магазин одежды посещают 200 человек. Нужно
выяснить средний размер одежды.
Получена выборка: 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 160*. Социологи опросили 1000 человек по поводу их зарплаты, чтобы
выяснить ее средний размер.
Получена выборка: 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 161*.
Построить ранжированный, дискретный и интервальный
вариационные ряды для выборок:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 162**. Построить табличный закон распределения абсолютных,
относительных и накопленных частот, а также интервальный закон
распределения для эмпирических рядов:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 163**. Построить полигоны абсолютных, относительных и
накопленных частот, а также гистограмму для эмпирических данных,
представленных в виде ранжированных вариационных рядов:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 164***. По представленным данным восстановить внешний вид
эмпирических данных до ранжированного вариационного ряда:
а)
a
i
2
9
3
1
3
4
3
5
3
6
3
8
4
2
4
3
4
8
5
0
5
1
5
4
p
i
1 2 1 2 21342 1 12
б)
a
i
75 79 81 82 84 85 89 90 92
p
i
27
2
27
3
27
1
27
2
27
1
27
1
27
2
27
1
27
1
в)
a
i
1
4
3
1
4
6
1
4
8
1
4
9
1
5
3
1
5
4
1
5
7
1
5
9
1
6
2
1
6
5
p
i
17
1
17
2
17
4
17
6
17
8
17
11
17
12
17
15
17
16
17
17