Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
б) Выборка по возрасту учащихся посещающих театральный кружок в
школе:
а
i
91012141617
p
i
2 3 5 4 1 1
в) Исследовалась скорость бега одного спортсмена на 100 метров в
течении года, получили выборку:
а
i
11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,9
а
i
p
i
= w
i
11,2 22,6 34,2 46 23,2 11,7 11,9
г) В течении рабочего дня выборочно были сняты показания амперметра
с одного станка получились следующие результаты:
а
i
0,2 0,3 0,4 0,6
а
i
p
i
= w
i
12 12 12 12
д) За девять учебных четвертей у учащегося наблюдался следующие
коэффициенты прироста скорости чтения: 1,2; 1,1; 1,3; 1,2; 1,4; 1,1; 1,2; 1,2;
1,4.
е) Коэффициент успевающих учеников класса за 10 недель имел
следующие значения:
а
i
0,75 0,95 1 1,1 1,2 1,25
p
i
1 2 4 1 1 1
ж) При измерении площадей квадратных садовых участков, получена
выборка из длин сторон участков: 2; 1; 3; 3; 4; 5; 2; 1.
Решение.
а) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, они заданы неупорядоченной выборкой.
Во-вторых, данные представлены значением признака, а не
произведением вариант на частоту, то есть гармоническая средняя в данном
случае не подходит.
В-третьих, возраст учащихся не является квадратной величиной, поэтому
квадратическая средняя также не носит информационного значения.
В-четвертых, по условию прослеживается, что выборка производилась
для установления среднего возраста студентов, а не выявления тенденции
увеличения (уменьшения) возрастной категории со временем. Следовательно,
не имеет смысла находить среднюю геометрическую.
Итак, более уместно в данных условиях находить среднюю
арифметическую, причем, так как эмпирические данные заданы выборкой, то в
этом случае проще
находить простую среднюю арифметическую величину.
Воспользуемся формулой для нахождения простой средней
арифметической величины (
n = 16):
а
х
∑
=
=
n
i
i
x
n
1
1
16
1
= (12+ 13+ 10+ 18+ 10+ 15+ 11+ 14+ 19+ 13+ 12+ 15+ +13+ 10+
+16+ 14)
16
1
=
• 215 ≈ 13.
Ответ: средний возраст учащихся в кружке 13.
б) Проведя аналогичные рассуждения пункту а), с учетом, что
эмпирические данные заданы таблицей абсолютных частот, приходим к
выводу, что наиболее характеризующей средней при этих условиях будет
средняя арифметическая взвешенная. Воспользуемся формулой:
ар
х
∑
=
∑
=
=
m
i
i
p
m
i
i
р
i
а
1
1
=
114532
11711641451231029
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
16
197
=12.
Ответ: средний возраст учащихся в кружке 12.
в) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, данные представлены произведением вариант на частоту, то
есть в данном случае есть смысл искать среднюю гармоническую.
Во-вторых, произведения
w
i
не одинаковые и не равны единице, значит,
используем взвешенную среднюю гармоническую.
Итак, по формуле средней гармонической взвешенной:
grр
х
∑
=
∑
=
=
m
i
i
a
i
w
m
i
i
w
1
1
=
9,11
9,11
7,11
7,11
6,11
2,23
5,11
46
4,11
2,34
3,11
6,22
2,11
2,11
9,117,112,23462,346,222,11
++++++
+
+
+
+
+
+
=
14
161
≈11,5.
Ответ: средний результат спортсмена за год 11,5
г) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, данные представлены произведением вариант на частоту, то
есть в данном случае есть смысл искать среднюю гармоническую.
Во-вторых, произведения w
i
одинаковые, значит, используем простую
среднюю гармоническую:
gr
х
∑
=
=
m
i
a
m
i
1
1
=
6,0
1
4,0
1
3,0
1
2,0
1
4
+++
=
5,12
4
=0,32.
Ответ: средний показатель амперметра 0,32.
д) В условии речь идет об определении коэффициента среднего темпа
роста, поэтому, воспользуемся средней геометрической. Так как данные
представлены выборкой, то используем простую среднюю геометрическую:
gm
х
=
n
i
n
i
n
n
xxxx
П
1
21
...
=
=
=
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
9
4,12,12,11,14,12,13,11,12,1 ≈
9
67,7
1,25.
Ответ: средний прирост скорости чтения ученика 1,25.
е) В условии речь идет об определении коэффициента среднего темпа
роста, поэтому, воспользуемся средней геометрической. Так как данные
представлены частотным рядом, то используем взвешенную среднюю
геометрическую:
gmp
х =
∑
=
∑
=
=
=
m
i
i
i
m
i
i
m
p
p
i
m
i
p
p
m
pp
aaaa
П
1
1
21
1
21
...
=
=
=⋅⋅⋅⋅⋅
+++++ 111421
111421
25,12,11,1195,075,0
=
01,111,125,12,11,119,075,0
1010
≈=⋅⋅⋅⋅⋅
.
Ответ: средний коэффициент прироста успевающих учеников 1,01.
ж) В данном случае можно воспользоваться простой средней
арифметической, а также простой средней квадратической. Но так как выборка
осуществлялась с целью измерения площадей, то воспользуемся второй
величиной:
kv
х
=
8
12543312
...
22222222
1
2
22
2
2
1
+++++++
==
+++
∑
=
n
x
n
xxx
n
i
i
n
≈
≈2,9.
Ответ: средняя сторона участка 2,9.
Задача. По таблице найти моду и медиану:
а
i
11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,9
а
i
p
i
= w
i
11,2 22,6 34,2 46 23,2 11,7 11,9
Решение.
Чтобы найти моду необходимо знать частоты p
i
вариант а
i
. Найдем
частоты p
i
=
i
i
a
w
, результаты представим в таблице абсолютных частот:
а
i
11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,9
p
i
1 234211
Наиболее часто встречающееся значение 11,5. Итак, Mo = 11,5.
Чтобы найти медиану необходимо построить по имеющимся данным
ранжированный вариационный ряд. Представим варианты из таблицы в
порядке возрастания с учетом их частоты:
11,2; 11,3; 11,3; 11,4; 11,4; 11,4; 11,5;
11,5; 11,5; 11,5; 11,6; 11,6; 11,7; 11,9.
Всего в ряду 14 значений, серединой являются седьмое слева и седьмое
справа значения: 11,5 и 11,5. Их среднее арифметическое и будет медианой, т.
е. Me =
2
5,115,11
+
= 11,5.
Ответ: мода 11,5, медиана 11,5.
III тип. Показатели вариации.
Задача. Найти показатели вариации для выборки: 2; 4; 6; 1; 0; 4; 7; 6; 4;
2; 1.
Решение.
о)
Упорядочим выборку: 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 7.
п)
Найдем размах вариации R = x
max
– x
min
= 7 – 0 = 7.
р)
Найдем простое среднее арифметическое:
а
х
∑
=
=
n
i
i
x
n
1
1
=
11
1
• (0+1+1+2+2+4+4+4+6+6+7) =
11
37
≈ 3,4 ≈3.
с)
Найдем простое среднее линейное отклонение:
n
xx
d
n
i
a
i
∑
=
−
=
1
=
=
−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+−
=
11
3736363434343232313130
=
2
11
22
11
43311111223
==
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.
т)
Найдем простую дисперсию:
()
n
xx
D
n
i
a
i
2
1
∑
=
−
=
+
−+−+−+−+−+−
=
11
343232313130
222222
=
−+−+−+−+−
+
11
3736363434
22222
=
5
11
56
11
169911111449
≈=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
у)
Найдем среднее квадратическое отклонение:
D=
σ
= 22,25 ≈≈ .
ф)
Коэффициент осцилляции
100⋅=
a
R
x
R
V
=
=⋅100
3
7
233%.
х)
Линейный коэффициент вариации
100⋅=
a
d
x
d
V
100
3
2
⋅=
=66%.
ц) Коэффициент вариации
%66100
3
2
100 =⋅=⋅=
a
x
V
σ
σ
.
Примечание. В данной выборке несколько значений повторяются, поэтому
удобно находить взвешенные абсолютные показатели вариации. Причем для
рационального оформления решения и уменьшения расчетов можно
воспользоваться таблицей, но прежде нужно найти взвешенную среднюю
арифметическую.
ар
a
∑
=
∑
=
=
m
i
i
p
m
i
i
р
i
а
1
1
=
123221
172634222110
+
+
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
3
11
37
11
7121242
≈=
+
+
+
+
а
i
01246 7
p
i
122321
ap
i
aa −
321134
()
2
ap
i
aa −
9411916
Взвешенное среднее линейное отклонение:
∑
∑
=
=
⋅−
=
m
i
i
i
m
i
ap
i
p
p
paa
d
1
1
=
2
11
22
11
142331212213
==
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
.
Взвешенная дисперсия:
()
∑
∑
=
=
⋅−
=
m
i
i
i
m
i
ap
i
p
p
paa
D
1
1
2
=
5
11
56
11
16293121249
≈=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
Задачи для самостоятельного решения
I тип.
Задача 157*.
В ВУЗе среди 1000 человек дневного отделения нужно выяснить
средний вес студента.
Получена выборка: 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 158*. За день обувной магазин обслуживает 120 человек. Нужно
выяснить средний размер покупаемой обуви.
Получена выборка: 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42 .
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 159*. Ежедневно магазин одежды посещают 200 человек. Нужно
выяснить средний размер одежды.
Получена выборка: 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 160*. Социологи опросили 1000 человек по поводу их зарплаты, чтобы
выяснить ее средний размер.
Получена выборка: 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак,
выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 161*.
Построить ранжированный, дискретный и интервальный
вариационные ряды для выборок:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 162**. Построить табличный закон распределения абсолютных,
относительных и накопленных частот, а также интервальный закон
распределения для эмпирических рядов:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 163**. Построить полигоны абсолютных, относительных и
накопленных частот, а также гистограмму для эмпирических данных,
представленных в виде ранжированных вариационных рядов:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 164***. По представленным данным восстановить внешний вид
эмпирических данных до ранжированного вариационного ряда:
а)
a
i
29 31 34 35 36 38 42 43 48 50 51 54
p
i
1 2 1 2 2 1 3 4 2 1 1 2
б)
a
i
75 79 81 82 84 85 89 90 92 93 94 97
p
i
2/27 3/27 1/27 2/27 1/27 1/27 2/27 1/27 1/27 1/27 2/27 4/27
98 101 103
2/27 1/27 3/27
в)
a
i
143 146 148 149 153 154 157 159 162 165
p
i
1/17 2/17 4/17 6/17 8/17 11/17 12/17 15/17 16/17 17/17=1
г)
Полигон абсолютных частот
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
43 47 48 52 54 55 56 57 60 62
Значения признака (варианты)
a
i
Абсолютные частоты p
i
p
i
a
i
д)
е)
II тип.
Задача 165*. Найти среднюю арифметическую (простую или взвешенную),
найти моду и медиану для следующих эмпирических данных:
а) 6; 11; 4; 3; 6; 14; 9; 15; 11; 10; 3; 11; 14; 11; 6; 5.
б)
a
i
20 26 31 35 39 48 50 51 58 59
p
i
2 2 1 3 2 2 1 1 2 1
Полигон накопленных частот
43 49 51 55 58 60
Значения признака (варианты)
a
i
Накопленные частоты
i
p
(
a
i
1/13
3/13
6/13
7/13
10/13
1
Полигон относительных частот
257810121316
Значения признака (варианты)
a
i
Относительные частоты p
i
*
p
i
*
a
i
15
1
15
2
15
3
15
4