Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
первая снежинка будет вырезана из бумаги красного, а вторая – из бумаги
синего цвета?
Имеется 2 карточки с буквой Ш, 2 карточки с буквой А и одна карточка с
буквой Л. Какова вероятность случайным образом составить из этих
карточек слово ШАЛАШ?
Определить количество информации в слове ИНФОРМАТИКА, если по
данным словаря русского языка частота появления символа: Н – 0,053; Ф
– 0,002; К – 0,028; Т – 0,053; Р – 0,04; И – 0,062; М – 0,026; А – 0,062.
Вариант 4.
В коробке 6 конфет с вишневой начинкой; 9 с шоколадной. Какова
вероятность того, что наудачу извлеченная из коробки конфета окажется
с вишневой начинкой (
А)? С шоколадной (
А
)?
Два работника приходят каждое утро в магазин, чтобы открыть его для
покупателей. Первый работник не опоздает к открытию с вероятностью
0,51, второй – с вероятностью 0,38. Какова вероятность того, что магазин
откроется вовремя?
Студенту на контрольной работе предложили 8 конвертов с заданиями.
Из них 6 конвертов содержат простые задания, остальные – сложные.
Какова вероятность того, что, случайным образом выбирая конверты,
студент сначала возьмет конверт с простым, а затем со сложным
заданием?
Имеется 2 карточки с буквой К, 2 карточки с буквой А и одна карточка с
буквой З. Какова вероятность случайным образом составить из этих
карточек слово КАЗАК?
Определить количество информации в слове КОНФЕТТИ, если по
данным словаря русского языка частота появления символа: Н – 0,053; Ф
– 0,002; К – 0,028; Т – 0,053; О – 0,09; И – 0,062; Е – 0,072.
Контрольные вопросы
27. Какое явление можно назвать случайным событием, элементарным
исходом?
28.
Какие виды элементарных исходов и случайных событий существуют?
29.
В чем сходство и отличие классического, геометрического и
статистического определения вероятности?
30.
Как находится вероятность суммы, произведения событий? Для каких
событий используются специальные формулы?
31.
Чему равна вероятность противоположного события?
32.
Какой формулой выражается зависимость между количеством
информации в сообщении о наступлении событии и вероятностью его
наступления?
Библиографический список
Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие /
Х. М. Андрухаев; Под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:
Высш. Шк., 2005. – 174 с.: ил. – С. 4-54.
Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос,
2003. – 120 с. – с. 79 – 88.
Гришин М. П. Математика и информатика: Учебное пособие. 2-е изд.,
стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – 116 с. – С. 21 – 27.
Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.:
ил. – с. 155 - 167.
Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И.
Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос.
пед. ун-та, 2003. – 46 с.
Тема 6. Математическая статистика
Цель:
Овладеть навыками первичной статистической обработки данных.
Задачи:
33) научиться по данному эмпирическому ряду находить
ранжированный и дискретный вариационные ряды, а также строить
интервальный закон распределения, и выполнять обратную задачу;
34)
научиться по данным выборки строить таблицы и полигоны
абсолютных, относительных и накопленных частот, а также, наоборот, по
таблицам и графикам восстанавливать выборку до вида ранжированного
вариационного ряда;
35)
научиться выбирать наиболее подходящую и вычислять средние
степенные и структурные величины;
36)
научиться по эмпирическим данным выборки находить показатели
ее вариации.
Общие теоретические сведения
Математическая статистика – наука, изучающая массовые явления для
выявления закономерностей и получения некоторых обобщенных показателей,
кратко характеризующих полученные данные.
Под
статистическими данными понимается любая числовая
информация, характеризующая некоторую совокупность объектов,
обладающих теми или иными общими признаками.
Все множество исследуемых объектов называется
генеральной
совокупностью
(ГС). Общее свойство объектов генеральной совокупности
называется
признаком генеральной совокупности.
Выборка (В) (выборочная совокупность) – подмножество генеральной
совокупности, где каждый ее элемент выбирается случайным образом.
Объем совокупности (генеральной или выборочной) – количество
элементов в ней.
N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки. Из определений
ГС и В следует, что N > n (как правило, N > 1000, 10 ≤ n ≤ 100).
Случайная величина – величина, которая в результате опыта принимает то
или иное заранее неизвестное числовое значение. Каждой случайной величине
Х соответствует некоторое множество чисел. Это – множество значений,
которые может принимать величина Х.
Дискретная случайная величина - случайная величина, принимающая
отдельные
значения х
i
с вероятностями p
i
. Причем если x
1
, x
2
, … – возможные
значения величины Х, а
р
1
, р
2
, … – их вероятности, то р
1
+ р
2
+ … = 1
Непрерывная случайная
величина – случайная величина, которая
принимает любые
значения из некоторого промежутка на множестве
действительных чисел.
Пусть
х
1
, х
2
, …, х
n
– совокупность случайных значений случайной
величины
Х, т. е. выборка, тогда данную совокупность х
i
называют
эмпирическим рядом.
Эмпирический ряд
х
1
, х
2
, …, х
n
представленный в порядке возрастания с
перечислением повторяющихся значений называется
ранжированным
вариационным рядом
: y
1
, y
2
, …, y
n
(где y
1
≤ y
2
≤ … ≤ y
n
).
Эмпирический ряд
х
1
, х
2
, …, х
n
представленный в порядке возрастания без
повторяющихся значений, называется
дискретным вариационным рядом: α
1
, α
2
,
…,
α
m
(где α
1
< α
2
<…< α
m
).
Каждое значение
α
1
, α
2
, …, α
m
называется вариантой выборки.
Значения эмпирического ряда
х
1
, х
2
, …, х
n
, располагаются в пределах
отрезка [
x
min
, x
max
], где x
min
– минимальное значение из эмпирического ряда,
x
max
– максимальное значение из эмпирического ряда. Ранжированный
вариационный ряд, разбитый на интервалы длинной
h, в пределах данного
отрезка называется
интервальным законом распределения. Величину
оптимального интервала можно определить по формуле Стэрджеса:
n lg*32,31
minmax
+
−
=
x
x
h .
Табличное и графическое представление первичной обработки выборки
Пусть p
i
*
n
k
i
= – относительная частота появления числа α
i
в данной серии
опытов, где
k
i
– количество опытов в которых наступало событие Х = α
i
, тогда
получим
таблицу относительных частот:
Таблица.
Таблица относительных частот
α
i
α
1
α
2
α
3
…
α
m
p
i
*
p
1
*
p
2
*
p
3
*
… p
m
*
Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки
которой соединяют точки (
α
1
; p
1
*
), (α
2
; p
2
*
), …, (α
m
; p
m
*
).
Таблица и полигон относительных частот задают эмпирический закон
распределения
.
Таблицей абсолютных частот называется таблица, сопоставляющая m –
количество опытов в которых наступало событие
Х = α
i
, со значением α
i
.
α
i
a
1
p
i
*
a
2
a
i
a
3
a
m
a
i+1
p
2
*
= p
i
*
= p
m
*
p
1
*
= p
i+1
*
p
3
*
Закон распределения
Рис. Полигон относительных частот
Таблица.
Таблица абсолютных частот
α
i
α
1
α
2
α
3
…
α
m
p
i
p
1
p
2
p
3
…
p
m
Полигоном абсолютных частот называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки (
α
1
; p
1
), (α
2
; p
2
), …, (α
m
; p
m
).
Таблица и полигон абсолютных частот задают
эмпирический закон
распределения
.
Графики абсолютных и относительных частот не отличаются, разница
лишь в том, что полигон абсолютных частот в
n раз выше полигона
относительных. Поэтому при графическом или табличном представлении
первичной обработки выборки можно использовать один из эмпирических
законов (либо относительных, либо абсолютных частот).
При составлении таблицы и полигона
накопленных частот каждому
значению случайной величины
α
i
, ставят в соответствие накопленную
относительную частоту. Так для α
1
относительная частота
1
p
(
= p
1
, для α
2
относительная частота
2
p
(
= p
1
+ p
2
, …,
m
p
(
= p
1
+ p
2
+ … + p
m
. Причем
m
p
(
= p
1
+
p
2
+ … + p
m
= 1.
α
i
a
1
p
i
a
2
a
i
a
3
a
m
a
i+1
p
2
= p
i
= p
m
p
1
= p
i+1
p
3
Закон распределения
Рис. Полигон абсолютных частот
Таблица.
Таблица накопленных частот
α
i
α
1
α
2
α
3
…
α
m
i
p
(
1
p
(
= p
1
2
p
(
= p
1
+ p
2
3
p
(
= p
1
+ p
2
+ p
3
… 1
Полигоном накопленных относительных частот
называют ломанную,
отрезки которой соединяют точки (
α
1
;
1
p
(
), (α
2
;
2
p
(
), …, (α
m
;
m
p
(
).
Для непрерывных случайных величин, а также для дискретных выборок
большого объема используется интервальный закон распределения.
Для построения такого закона весь диапазон изменения величины Х
разбивается на интервалы длиной
h и находится частота попадания в i-интервал
i
р
~
=
n
m
i
, где m
i
– количество полученных значений величины Х, приходящихся
на
i-й интервал.
Рис. Полигон накопленных относительных частот
α
i
a
1
i
p
(
a
2
a
i
a
3
a
m
a
i+1
m
p
(
= 1
3
p
(
= p
1
+ p
2
+ p
3
1
p
(
2
p
(
= p
1
+ p
2
Таблица.
Табличный интервальный закон
Интервал
с
1
; с
2
с
2
; с
3
…с
l
; с
l+1
i
р
~
1
~
р
2
~
р
…
l
р
~
Интервальный закон распределения часто изображается графически в
виде
гистограммы. Гистограммой относительных частот называют
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению
i
р
~
/h
(плотность относительной частоты). Площадь частичного
i-го прямоугольника
равна
i
р
~
– относительной частоте. Площадь гистограммы относительных
частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.
Средние величины
Средние величины используются для характеристики эмпирического ряда
(выборки). Средние величины подразделяют на степенные и структурные. К
степенным средним величинам относят: арифметическую, геометрическую,
гармоническую, квадратическую средние величины. К структурным – моду и
медиану.
Рис. Гистограмма относительных частот
х
/h
С
1
С
2
С
3
С
4
С
5
С
6
С
7
С
8
1
~
р
2
~
р
3
~
р
4
~
р
5
~
р
6
~
р
7
~
р
Средняя степенная отражает величину варьирующуюся
(изменяющуюся) в расчете на единицу всей выборки.
Принято различать простые и взвешенные средние величины.
Простая
средняя величина применяется в тех случаях, когда каждое значение случайной
величины встречается один или одинаковое число раз. Когда отдельные
значения исследуемой выборки встречаются не один, а много, причем
неодинаковое число раз, в этих случаях рассчитывают среднюю
взвешенную
величину
. То есть простую среднюю целесообразно искать в случае, когда задан
эмпирический ряд, а взвешенную – когда представлена таблица абсолютных
частот.
Простая средняя арифметическая (
а
х ) – простая сумма всех значений
выборки, деленная на общее количество этих значений
а
х
∑
=
=
n
i
i
x
n
1
1
.
Взвешенная средняя арифметическая (
ар
х ) – средняя из вариант (а
i
)
выборки, которые повторяются различное количество раз или имеют разный
вес
ар
х
∑
=
∑
=
=
m
i
i
p
m
i
i
р
i
а
1
1
,
где
p
i
– абсолютная частота появления значения а
i
.
Средняя гармоническая взвешенная (
grр
х ) вычисляется, когда нет
информации о частоте (
p
i
) вариант выборки (а
i
), а известно их произведение
а
i
p
i
= w
i
.
grр
х
∑
=
∑
=
=
m
i
i
a
i
w
m
i
i
w
1
1
.
Средняя гармоническая простая (
gr
х ) применяется в тех случаях когда,
произведения
а
i
p
i
одинаковы или равны единице
(
w
1
= w
2
= …= w
m
или w
i
= 1)
gr
х
m
ааа
1
...
11
1...11
21
+++
+
+
+
=
∑
=
=
m
i
a
m
i
1
1
.
При определении коэффициента среднего темпа роста, когда необходимо
сохранить неизменным произведение каждой величины признака, применяют
среднюю простую геометрическую (
gm
х ) и взвешенную геометрическую (
gmp
х ).
gm
х =
n
i
n
i
n
n
xxxx
П
1
21
...
=
= .
gmp
х
=
∑
=
∑
=
=
=
m
i
i
i
m
i
i
m
p
p
i
m
i
p
p
m
pp
aaaa
П
1
1
21
1
21
...
.
Средняя квадратичная применяется, когда осреднению подлежат
величины, выраженные в виде квадратных функций, например, средние
диаметры колес, труб, деревьев, средние стороны квадратов и др.
kv
х
=
n
x
n
xxx
n
i
i
n
∑
=
=
+++
1
2
22
2
2
1
...
–
простая квадратичная.
kvp
х =
∑
∑
=
=
=
+++
+++
n
i
i
n
i
ii
m
mn
p
px
ppp
papapa
1
1
2
21
2
2
2
21
2
1
...
...
–
взвешенная квадратичная.
Между величинами степенных средних, рассчитанных по одной и той же
совокупности единиц статистического наблюдения и одному и тому же
признаку, существует следующее соотношение:
gr
х
<
gm
х
<
a
х
<
kv
х