Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
Задача 94**. Зоопарк приобретает трех тигров. В питомнике имеется 6
животных данного вида. Сколькими способами можно осуществить закупку?
Задача 95**. Из 12 наименований в магазин необходимо доставить семь.
Сколькими способами можно осуществить выбор наименований?
Задача 96**. Из 7 ингредиентов для приготовления супа, нужно использовать
5. Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от порядка
добавления продуктов вкус блюда неизменен?
Задача 97**. Из 8 человек, работающих в фирме, каждый день двое должны
отвечать на телефонные звонки. Сколькими способами можно составить
расписание работников фирмы, отвечающих на телефонные звонки клиентов?
Задача 98**.
В кафе работают 17 сотрудников. Каждый день на работу должны
выходить пятеро. Сколькими способами можно составить график работы
персонала кафе?
III тип.
Задача 99*.
На участие в четырех конференциях претендует шесть человек. На
каждую конференцию может поехать только один человек, уровень
конференций разный, поэтому порядок назначения человека на поездку
существенен. Сколькими способами можно сформировать список участников
конференций, если любой из кандидатов может поехать на несколько
конференций?
Задача 100**. В метро 6 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в
поезде 3 человека при условии, что они необязательно должны ехать в разных
вагонах?
Задача 101**. На кафедре работает 4 профессора. Они должны прочесть 2
лекции, причем один человек может прочитать обе лекции. Порядок прочтения
лекций важен. Сколькими способами можно отобрать кандидатов для
прочтения лекций?
Задача 102**.
7 кандидатов должны заполнить 3 анкеты, причем один человек
может заполнить все 3 анкеты. Порядок заполнения анкет играет важную роль.
Сколькими способами можно заполнить анкеты?
Задача 103*. В стандартной колоде 36 карт. Из четырех тузов разных мастей
извлекается один, запоминается, затем возвращается обратно. Затем
извлекается вторая карта. Сколькими способами можно выбрать таким образом
пару тузов?
Задача 104**. Из команды девяти человек нужно выбрать участников для
четырех забегов, причем каждый из спортсменов может участвовать в
нескольких забегах. Сколько существует способов выбрать участников
соревнований?
Задача 105**. На пляже для игры в волейбол из 15 человек нужно отобрать тех,
кто будет участвовать в трех таймах, причем один человек может участвовать
во всех трех играх. Сколькими способами можно отобрать участников?
Задача 106**.
На конкурсе парикмахеров 3 номинации. Один мастер может
участвовать во всех трех номинациях. Всего кандидатов на участие в конкурсе
20. Сколькими способами можно выбрать конкурсантов?
Домашнее задание
Вариант 1.
В урне 15 красных шаров и 12 белых. Сколькими способами можно
достать 1 шар?
До своего факультета студент может дойти по любой из четырех лестниц.
Сколькими способами студент может подняться до факультета и потом
спуститься, при условии, что спуск должен происходить по другой
лестнице?
Сколько могло бы быть расположений цветов радуги?
На соревнованиях 5 человек вышли в финал. Сколько существует
вариантов распределения их на трех призовых местах?
Из 10 студентов, для участия в смотре первокурсников нужно выбрать
шестерых. Сколькими способами можно осуществить выбор?
Доставка груза может быть осуществлена шестью дорогами. Сколькими
способами менеджер может составить маршрут для двух машин, если они
могут ехать одинаковыми путями?
Всего 8 билетов, из них студент трижды тянет билет. После каждого
вытягивания экзаменатор записывает номер билета, возвращает его
обратно и перемешивает. Сколько существует сочетаний трех номеров
билета, если их последовательность не имеет значения?
Вариант 2.
На складе 6 коробок шоколадных конфет разных сортов и 3 коробки
карамели разных сортов. Сколькими способами случайно можно выбрать
одну коробку с конфетами?
У одного филателиста 3 новые марки, у другого 5. Все марки разные.
Сколькими способами коллекционеры могут произвести обмен марки на
марку?
Сколькими способами можно расположить все 7 нот в разной
последовательности, если каждая нота используется только один раз?
В метро 8 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 3
человека при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Из 7 вторых блюд, студенту требуется выбрать два. Сколькими
способами он может это сделать?
Проводятся финальные соревнования по прыжкам в длину, высоту и
тройному прыжку среди восьми участников. Сколько существует
вариантов распределения участников по первым местам в
соответствующих видах спорта?
В лототроне 13 пронумерованных шаров. Выбирается шар, записывается
его номер, затем он возвращается обратно и лототрон снова всё
перемешивает. Сколько существует сочетаний шести номеров шаров,
если их последовательность не имеет значения?
Вариант 3.
На лугу 5 разных ромашек и 7 разных васильков. Сколькими способами
можно сорвать один цветок?
До своего факультета студент может дойти по любой из трех лестниц.
Сколькими способами студент может подняться до факультета и потом
спуститься?
Сколькими способами 5 человек могут занять пять стульев?
Из 7 ингредиентов для приготовления супа, нужно использовать 5.
Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от
порядка добавления продуктов меняется вкус блюда?
Из пяти вопросов преподаватель на экзамен задаст студенту три.
Сколькими способами экзаменатор может выбрать вопросы?
На отчетной конференции в профкоме из 10 человек выбирают
председателя, заместителя председателя, бухгалтера, секретаря. Сколько
существует вариантов исхода выборов, если один человек может
совмещать должности?
Карточки с буквами русского алфавита перемешиваются каждый раз,
когда извлекается одна буква, записывается и возвращается обратно.
Сколько различных сочетаний букв можно получить, если порядок их
следования не существенен?
Вариант 4.
В магазине 4 упаковки с разными сортами газировки и 5 упаковок с
разными сортами минералки. Сколькими способами можно выбрать одну
упаковку с напитком?
При подготовке к экзамену один студент подготовил письменные ответы
на 13 вопросов, другой на 17. Оба подготовили ответы на разные
вопросы. Сколькими способами они могут обменять один ответ на
другой?
Сколькими способами можно расположить шесть экзаменационных
билетов в различном порядке?
Из 10 различных детских передач запланированных за день, нужно
выпустить в эфир только 6. Сколькими способами можно составить
список передач для телепрограммы?
В дендрарии 7 кустарников различных пород. Сколькими способами
садовод может выбрать 4 кустарника для высадки на участке?
В гараже предприятия шесть различных машин. Необходимо
последовательно совершить три перевозки. Сколькими способами можно
спланировать поездки, если каждая машина может быть использована в
нескольких выездах?
Карточки с буквами английского алфавита перемешиваются каждый раз,
когда извлекается одна буква, записывается и возвращается обратно.
Сколько различных сочетаний букв можно получить, если порядок их
следования не существенен?
Контрольные вопросы
19. Какие задачи изучает комбинаторика?
20.
В чем заключается правила суммы и произведения?
21.
Что такое перестановка и как находится количество возможных
перестановок?
22. В чем сходство и отличие размещения без повторений и с
повторениями?
23.
В чем сходство и отличие сочетания без повторений и с
повторениями?
24.
В чем основное отличие сочетания от размещения?
25.
Как находиться число размещений без повторений и с повторениями,
число сочетания без повторений и с повторениями?
26. Как правильно выбрать нужную формулу, при решении той или иной
комбинаторной задачи?
Библиографический список
Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие /
Х. М. Андрухаев; Под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:
Высш. Шк., 2005. – 174 с.: ил. – С. 19-23.
Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос,
2003. – 120 с. – с. 46 – 48.
Гришин М. П. Математика и информатика: Учебное пособие. 2-е изд.,
стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – 116 с. – С. 18 – 21.
Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.:
ил. – с. 58 - 60.
Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И.
Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос.
пед. ун-та, 2003. – 46 с. – С.
Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб.
заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 424 с. – С. 141-152.
Тема 5. Теория вероятностей
Цель:
Овладеть навыками определения вероятности случайных событий.
Задачи:
27) научиться отличать достоверное, невозможное, противоположное,
совместные и несовместные, зависимые и независимые события;
28) научиться определять пространство элементарных событий,
количество общих и благоприятствующих исходов;
29) научиться находить вероятность по классическому,
статистическому и геометрическому определению, суммы и
произведения событий;
30)
научиться применять комбинаторику для подсчета вероятностей;
31)
научиться решать задачи по формулам Байеса и полной
вероятности;
32) освоить схему испытаний Бернулли и предельную теорему
Пуассона
Общие теоретические сведения
Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются
закономерности, присущие массовым случайным явлениям.
Случайное событие – исход наблюдения, эксперимента или опыта,
который при реализации некоторого комплекса условий может произойти, а
может и не произойти.
Элементарный исход – один из возможных вариантов результата опыта.
Пример. Проводится опыт (испытание) – подкидывается игральный
кубик. Результат данного опыта является случайным событием, например,
выпадает цифра 3. Элементарными исходами являются: выпадение 1, 2, 3, 4, 5
или 6.
Пространство элементарных исходов опыта – множество, состоящее из
всех элементарных исходов данного опыта. Принятое обозначение {w
1
, w
2
, …,
w
n
}.
Пусть в результате некоторого опыта может наступить или не наступить
событие А. Пространство элементарных исходов опыта {w
1
, w
2
, …, w
n
}. Если
наступление некоторого исхода из подмножества данного множества: w
i1
или
w
i2
или … или w
im
приводит к появлению события А, то w
i1
, w
i2
… w
im
называются исходами, благоприятствующими появлению события А.
Равновозможные исходы – исходы, которые имеют одинаковый шанс
произойти или не произойти.
Несовместные исходы – исходы, которые одновременно произойти не
могут.
Событие называют достоверным, если оно непременно должно
произойти. Событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит.
Событием, противоположным, некоторому А называют событие, состоящее в
том,
что А не наступило. События А и В называются несовместными, если
наступление одного из них исключает возможность наступления другого.
Говорят, что событие В следует из события А, если событие В происходит
всегда, когда произошло событие А. Два события А и В называются равными,
если из А следует В и из В
следует А. События называются независимыми, если
появление одного события не влечет появление другого.
События A
1
, A
2
, ..., A
n
образуют полную группу событий, если хотя бы
одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении
комплекса условий).
Суммой двух событий А и В называется событие А + В, состоящее в том,
что произошло событие А или событие В.
Произведением двух событий А и В называется событие АВ,
заключающееся в совместном наступлении событий А и В.
Основные свойства сложения и произведения событий:
Пусть А, В – некоторые события, тогда:
6.
А + В; АВ вновь являются событиями.
7.
А + В = В + А; АВ = ВА (коммутативный закон).
8.
А + (В + С) =( А + В) + С; А(ВС) =(АВ)С (ассоциативный закон).
9.
Из события А следует сумма этого события с любым событием В:
А
⊂ А + В.
10.
Из события АВ следуют событие А и событие В:
АВ
⊂ А, АВ⊂ В.
А(В + С) = АВ + АС (дистрибутивный закон).
Классическое определение вероятности. Пусть некоторый опыт имеет n
равновозможных и несовместных исходов. Вероятностью Р(А) события А
называется отношение числа благоприятных исходов m(А) к общему числу n
несовместных равновозможных исходов:
Р (А) =
n
Аm )(
.
Свойства вероятности:
4. Для любого случайного события 0
≤
Р(А)
≤
1.
5.
Пусть А
1
, А
2
, А
3
,…, А
k
– все события, которые могут произойти в
результате опыта. Тогда 1)(...)()()(
321
=
+
+
+
+
k
A
P
A
P
A
P
A
P
.
6.
Пусть А – некоторое событие, тогда верно равенство Р(А) + Р(
А
) = 1.
Правило суммы вероятностей. Вероятность суммы несовместных
событий есть сумма вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Правило произведения вероятностей независимых событий.
Вероятность произведения событий есть произведение вероятностей этих
событий: Р(А • В) = Р(А) • Р(В).
События А и В называются зависимыми, если появление одного из них
изменяет вероятность появления другого.
Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В,
вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.
Правило произведения вероятностей зависимых событий.
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении,
что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А) • Р(В/А).
Вероятность суммы совместных событий.
Вероятность суммы
совместных событий есть сумма вероятностей этих событий без вероятности из
совместного наступления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А • В).
Формула полной вероятности. Пусть B
1
, B
2
, …, B
n
– полная система
несовместных событий.
Р(А) = Р(В
1
)Р(А/В
1
) + Р(В
2
)Р(А/В
2
) + … + Р(В
n
)Р(А/В
n
) =
∑
=
n
k
kk
BAPВР
1
)/()(.
Формула Байеса:
Р(В
k
/А) =
∑
=
=
n
k
kk
кkкk
BAPВР
ВАРВР
АР
ВАРВР
1
)/()(
)/()(
)(
)/()(
.
Пусть в результате некоторого случайного испытания может произойти
или не произойти определенное событие А. Если событие произошло,
испытание называется успешным, а событие – успехом. Испытание повторяется
n раз. При этом соблюдаются следующие условия:
вероятность успеха Р(А) = р в каждом испытании одна и та же;
результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих
испытаний.
Противоположное событие
А
событию А называется неудача, и его
вероятность обозначается q, причем q = 1 – р, так как в данной схеме
подразумевается, что опыт может иметь только два исхода: успех или неудача.
Такая последовательность испытаний с двумя исходами (успех/неудача)
называется последовательностью независимых испытаний Бернулли или
схемой Бернулли. Вероятность того, что в схеме Бернулли
из n независимых
испытаний произошло ровно k успехов, находится по формуле Бернулли:
knkk
nn
qpCkР
−
=)(.