Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
3.
Найти показатели вариации для выборки: 0,64; 0,46; 0,64; 0,51; 0,78; 0,64.
4.
Произвести первичную обработку данных:
В течение сезона результаты прыжков в высоту спортсмена Смолина
фиксировались на карточках. Всего набралось 120 карточек. Выяснить
основные статистические характеристики результатов прыжков Смолина,
используя следующую выборку: 4,5; 4,9; 5,1; 4,5; 4,7; 4,9; 5,1; 4,5; 5,1; 4,5; 4,7.
Вариант 4
Построить полигоны абсолютных, относительных и накопленных
частот, а также гистограмму для выборки: 5,9; 6,8; 4,8; 7,9; 6,8; 5,6; 5,1; 3,4; 2,9;
6,8; 4,8; 2,8.
Найти арифметическую, геометрическую, гармоническую,
квадратическую среднюю (взвешенные или простые) и сравнить их для данных:
a
i
137 138 141 143 145 150 152 156
p
i
2 3 1 1 2 1 2 1
Найти моду и медиану по ряду: 0,25; 0,33; 0,34; 3,5; 0,38; 0,42; 0,45.
Найти показатели вариации для выборки:
108, 106, 119, 117, 106, 119, 104, 106.
Произвести первичную обработку данных:
В течение года результаты метания копья спортсменки Васиной
фиксировались на карточках. За год набралось 800 карточек. Выяснить
основные статистические характеристики результатов метания копья Васиной,
используя следующую выборку: 46, 53, 49, 60, 67, 49, 57, 53, 49, 60, 67.
Контрольные вопросы
г) Что такое генеральная совокупность?
д)
Что такое признак генеральной совокупности?
е)
Что такое выборка?
ж) В чем сходство и отличие эмпирического ряда, выборки и ранжированного,
дискретного и интервального вариационных рядов?
з)
Какие виды табличного и графического представления данных первичной
обработки существуют?
и)
Какова зависимость графического представления от табличного и
наоборот?
к)
Какие средние величины существуют, каким образом они находятся?
л)
Как найти абсолютные и относительные показатели вариации?
Библиографический список
a. Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: учеб.
пособие / Х. М. Андрухаев; под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и
доп. – М.: Высш. шк., 2005. – С. 116–136.
b.
Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие /
П.В. Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 88 – 92.
c.
Гришин М. П. Математика и информатика: учебное пособие / М.П.
Гришин. – 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – С. 27 – 31.
d.
Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.:
Питер, 2004. – С. 171–178.
e.
Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.: И.
И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб.
гос. пед. ун-та, 2003. С. 34–39.
f.
Турецкий В. Я. Математика и информатика / В. Я. Турецкий. – 3-е
изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 386–448. – (Серия «Высшее
образование»).
Тема 1. Логика и исчисление высказываний.
Цель:
Получить представление о методах и средствах формальной логики для
решения практических задач
Задачи:
6) научиться определять простые и сложные высказывания, выявлять в сложных
высказываниях логические связки;
7)
научиться осуществлять перевод с естественного языка на формальный и с
формального на естественный язык;
8)
научиться определять значение истинности логической формулы, доказывать
тождественную истинность или ложность формул, доказывать логические
законы;
9)
научиться решать практические задачи с применением логических формул и
таблиц истинности;
10)
научиться строить цепочки умозаключений с применением законов
формальной логики.
Общие теоретические сведения
Математическая логика – формальная теория, изучающая способы
правильных рассуждений с помощью специального аппарата символов и исчислений
(формализированных языков).
Основным объектом исследования математической логики является
высказывание.
Высказывание (простое высказывание) – это утвердительное
повествовательное предложение, являющееся истинным или ложным. В
математической логике высказывания обозначаются заглавными буквами латинского
алфавита:
A, B, C, …
Сложное высказывание состоит из ряда связанных простых высказываний.
Каждой логической связке сложного высказывания соответствует логическая
операция, имеющая свое символьное обозначение (см. табл. 1).
Таблица 1.
Условные обозначения логических связок
Связка
Операция
Обозначение
Правила чтения
Пример
А –
Преподаватель читает
лекции,
В – Преподаватель ведет
практику
Не Отрицание
А
Не А
А – Преподаватель не
читает лекции,
В
– Преподаватель не
ведет практику
И Конъюнкция
В
А ∧
А и В
В
А ∧ – Преподаватель
читает лекции
и
(преподаватель) ведет
практику.
Или Дизъюнкция
В
А
∨
А или В
В
А
∨ – Преподаватель
читает лекции
или
(преподаватель) ведет
практику.
Если…, то… Импликация
ВА
⇒
Если А,
то В
ВА
⇒
– Если
преподаватель читает
лекции,
то он
(преподаватель) ведет
практику
…, тогда и
только тогда,
когда…
Эквиваленция
ВА
⇔
А тогда
и только
тогда,
когда
В
ВА
⇔
– Преподаватель
читает лекции,
тогда и
только тогда, когда
он
(преподаватель) ведет
практику
Истинное высказывание условимся обозначать латинской буквой
T (true),
ложное высказывание
F (false).
Чтобы определить значение истинности для сложной формулы, необходимо
знать значения истинности для операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции,
импликации, эквиваленции (см. табл. 2 - 6).
Таблица 2.
Таблица истинности для отрицания
А
А
TF
FT
Таблица 3.
Таблица истинности для конъюнкции
А В
В
А
∧
TT T
TF F
FT F
FF F
Таблица 4.
Таблица истинности для дизъюнкции
А В
В
А ∨
TT T
TF T
FT T
FF F
Таблица 5.
Таблица истинности для импликации
А В
ВА
⇒
TT T
TF F
FT T
FF T
Таблица 6.
Таблица истинности для эквиваленции
А В
ВА
⇔
TT T
TF F
FT F
FF T
Формулы, имеющие все значения истинности при любых значениях
переменных, называются
тождественно-истинными. Тождественно-истинные
формулы являются
законами логики.
Логические законы доказываются с помощью таблиц истинности.
Алгоритм перевода высказываний с естественного языка на формальный:
5. Выделить и обозначить простые высказывания.
6.
Найти логические связки и заменить их на соответствующие логические
операции.
7.
Записать логическую формулу сложного высказывания.
8.
Сделать проверку на соответствие полученной формулы исходному
высказыванию.
Алгоритм перевода высказывания с формального языка на естественный
4. Заменить логическую переменную простым высказыванием.
5.
Логические операции заменить соответствующими логическими связками.
6.
Составить предложение.
Используя перевод естественной речи на язык математической логики,
таблицы истинности, законы формальной логики в рассуждениях, а также теорию
графов, можно решать текстовые задачи, встречающиеся в повседневной и
профессиональной деятельности любого человека.
Практические задания
Примеры решений
I тип.
Определение высказываний, выявление логических связок
Задание. Определить является ли предложение высказыванием: «С утра идет
дождь».
Решение.
а) Предложение является повествовательным.
б) Мысль выражена утвердительно.
в) Относительно данного предложения можно однозначно сказать
является оно ложным или истинным.
Ответ: Да, предложение является высказыванием.
Задание. Определить является ли предложение высказыванием: «Реши эту
задачу».
Решение.
а) Предложение не является повествовательным (оно побудительное).
Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.
Задание. Определить является ли предложение высказыванием: «Пробежал
дистанцию».
Решение.
а) Предложение является повествовательным.
б) Относительно данного предложения невозможно однозначно сказать
истинно оно или ложно, так как не указано кто пробежал дистанцию.
Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.
Задание. Определить является ли предложение высказыванием. Если
является, то обозначить его и определить истинность: «В море соленая вода».
Решение.
а) Предложение повествовательное.
б) Относительно данного предложения можно однозначно сказать
является оно ложным или истинным.
в) Обозначим высказывание латинской буквой:
А – В море соленая вода.
г) Высказывание истинное, т. е.
А = T.
Ответ: да, предложение является высказыванием. А – В море соленая вода, А
=
T.
Задание
. Определить из скольких простых высказываний состоит
предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую
логическую связку: «Добросовестный студент учится хорошо».
Решение.
а) В данном предложении два высказывания: «Студент добросовестный»,
«Студент учится хорошо».
б) Наиболее походящая логическая связка «Если …, то…», так в
предложении неявно выражена условная форма.
в) Получим предложение: «Если студент добросовестный, то он учится
хорошо».
Ответ: предложение состоит из двух простых высказываний. «Если студент
добросовестный, то он учится хорошо».
Задание. Определить из скольких высказываний состоит предложение.
Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:
«В конце предложения надо обязательно поставить точку, многоточие,
восклицательный знак или вопросительный знак».
Решение.
а) Предложение состоит из четырех простых высказываний:
В конце предложения надо обязательно поставить точку.
В конце предложения надо обязательно поставить многоточие.
В конце предложения надо обязательно поставить восклицательный знак.
В конце предложения надо обязательно поставить вопросительный знак.
б) Так как по смыслу исходного предложения возможен лишь один из
вариантов знака препинания, то единственно подходящая логическая связка «или».
в) Получим предложение: «В конце предложения надо обязательно
поставить точку или многоточие или восклицательный знак или вопросительный
знак».
Ответ: Предложение состоит из четырех простых высказываний. «В конце
предложения надо обязательно поставить точку или многоточие, или
восклицательный знак, или вопросительный знак».
Задание. Подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую
связку:
Если с утра пасмурно, то я беру зонтик.
За экзамен я получу «отлично»
или за экзамен я получу «хорошо».
У зверя нет иголок тогда и только тогда, когда зверь не ежик или зверь не
дикообраз
.
Неверно следующее высказывание: небо пасмурное
тогда и только тогда, когда идет
дождь.
II тип. Перевод с естественного языка на формальный
Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Солнце
светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч».
Решение.
а) Простых высказываний в данном предложении два:
3.
Солнце светит,
4.
На небе есть тучи.
Обозначим их латинскими буквами:
А – Солнце светит,
В – На небе есть тучи.
б) Логических связок в данном высказывании две: первая –
тогда и только
тогда, когда
, вторая – нет.
Первая соответствует операции эквиваленции (
⇔
), вторая – операции
отрицания ( ⎯ ).
в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод о том, что формула имеет следующий
вид:
ВA
⇔
.
г) Делаем проверку:
А – Солнце светит, В – На небе есть тучи, Ù - операция
эквиваленции (
тогда и только тогда, когда),
х
- операция отрицания (нет).
Следовательно, формулу
ВA
⇔
можно прочитать следующим образом:
Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч.
Ответ: высказывание соответствует формуле
ВA
⇔
.
Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Неверно
высказывание: книга интересная, если она дорогая, и ее скучно читать».
Решение.
а) Простых высказываний в данном предложении три:
4.
Книга интересная,
5.
Книга дорогая,
6. Книгу скучно читать.
Обозначим высказывания латинскими буквами:
А – Книга интересная,
В – Книга дорогая,
С – Книгу скучно читать.
б) В данном высказывании можно заметить две особенности: 1) посылка и
заключение «поменялись местами» друг с другом, 2) частица
то в данном
предложении пропущена, но можно легко определить ее местоположение –
после слова
что.
Логических связок в данном высказывании три: первая – неверно
высказывание
, вторая – если, …то, третья – и.
Поскольку отрицание стоит в начале предложения, данная операция
относится ко всей формуле.
Первая логическая связка соответствует операции отрицания ( ⎯ ), вторая –
операции импликации (=>), третья – операции конъюнкции (/\).
в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид:
А
С
В
⇒
∧ .
г) Делаем проверку:
А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно
читать
, => - операция импликации (если, …то), х - операция отрицания
(
неверно высказывание), /\. - операция конъюнкции (и).
Следовательно, формулу
А
С
В
⇒
∧ можно прочитать следующим образом:
Неверно высказывание: если книга дорогая и ее скучно читать, то она
интересная.
Ответ: высказывание соответствует формуле
А
С
В
⇒
∧ .
Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «В пустыне
нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень
жарко».
Решение.
а) Простых высказываний в данном предложении четыре:
5.
В пустыне есть вода,