Горкунова Т.В., Коробейникова Е.В. Учебно-практическое пособие по математике
Подождите немного. Документ загружается.
4. Число в 2-ной системе разбить справа налево на группы по n цифр в
каждой.
5.
Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо
дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
6.
Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать
ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием
q = 2
n
.
Правило перевода числа, записанного в системе счисления с основанием
q =
2
n
в 2-ную системы счисления
Каждую цифру числа заменить ее
n-разрядным эквивалентом в двоичной
системе счисления.
Правило сложения чисел в q-ичной системе счисления
(алгоритм аль-Хорезми)
Например:
5.
Записать второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие
разряды находились друг под другом.
6.
Сложить цифры первого разряда (b
0
+ а
0
). Если сумма (с
0
) меньше q, то
записать ее в разряд единиц ответа и перейти к следующему разряду.
7.
Если сумма (d
0
) единиц больше или равна q, то представить ее в виде
d
0
= 1 • q + с
0
, где с
0
– цифра соответствующей q-ой с. с.; с
0
– записать в
первый разряд ответа, а 1 добавить к цифрам складываемым в следующем
разряде (по аналогии с фразой, знакомой еще с начальной школы «
с
0
–
пишем, 1 – в уме»). Чтобы не забыть прибавить единицу ее можно
записать над
а
1
.
(
c
4
c
3
c
2
c
1
c
0
)
q
(a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
)
q
(b
3
b
2
b
1
b
0
)
q
1
(c
4
c
3
c
2
c
1
c
0
)
q
(a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
)
q
(b
3
b
2
b
1
b
0
)
q
8. Повторить аналогичные действия со вторым разрядом, затем третьим и т.
д., вплоть до сложения цифр старших разрядов. Если их сумма больше
или равна
q, то в старший разряд ответа добавляем 1.
Правило вычитания чисел в q-ичной системе счисления
(алгоритм аль-Хорезми)
Например:
7.
Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие
разряды находились друг под другом.
8.
Если цифра в первом разряде вычитаемого (а
0
) не превосходит
соответствующей цифры уменьшаемого (
b
0
), вычитаем ее из цифры
уменьшаемого, записываем разность (
с
0
) в первый (правый) разряд
искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
9.
Если цифра в первом разряде вычитаемого (а
0
) больше соответствующей
цифры уменьшаемого (
b
0
), т. е. b
0
> а
0
, и а
0
≠ 0, то нужно уменьшить
цифру второго разряда уменьшаемого (
а
1
) на 1, одновременно а
0
увеличить на
q и уже из этого числа (а
0
+ q) вычитаем b
0
и полученную
разность (
с
0
) записать как цифру первого разряда (правого) искомого
числа, далее перейти ко второму разряду. Чтобы не забыть об
уменьшении
а
1
на 1, сверху над ним можно поставить точку.
10.
Если цифра в первом разряде вычитаемого (а
0
) больше соответствующей
цифры уменьшаемого (
b
0
), т. е. b
0
> а
0
, и а
0
= 0, и, например, а
1
= 0, а
2
= 0,
то первую отличную от нуля цифры в уменьшаемом (в данном случае,
а
3
≠ 0) нужно уменьшить на 1. Все цифры в младших разрядах, которые
(
c
4
c
3
c
2
c
1
c
0
)
q
(a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
)
q
(b
3
b
2
b
1
b
0
)
q
•
(c
4
c
3
c
2
c
1
c
0
)
q
(a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
)
q
(b
3
b
2
b
1
b
0
)
q
равнялись 0, кроме первого, записать как цифру q-1 (а
1
= q-1, а
2
= q-1).
Первый разряд представить как
q (a
0
= q), вычесть из него b
0
. Полученный
результат (
с
0
) записать в первый разряд искомого числа. Чтобы не забыть
об увеличении
а
1
и а
2
до q-1, сверху над ними можно поставить точки.
11.
В следующем разряде повторить процесс.
12.
Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего
разряда уменьшаемого.
Двоичное представление информации в
электронно-вычислительных машинах
В современных вычислительных установках используется двоичная
система счисления для кодирования информации.
Бит – минимальная единица хранения информация, представляющая
одноразрядное двоичное число: 0 или 1.
Байт – восемь расположенных подряд битов памяти (восьмиразрядное
двоичное число).
Машинное слово – наибольшая последовательность бит, которую
процессор может обрабатывать как единое целое (длина слова может быть 8,
16, 32 бита и т. д.).
Внутреннее представление числа – запись числа в двоичной системе
счисления, соответствующее его представлению в ЭВМ.
Знаковый разряд – первый слева бит (разряд) во внутреннем
представлении числа, обозначающий положительное число (если значение бита
= 0) или отрицательное (если значение бита = 1) число.
Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного
числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове
Перевести число N в двоичную систему счисления.
(
c
4
c
3
c
2
c
1
c
0
)
q
(a
4
a
3
0 0 0)
q
(b
3
b
2
b
1
b
0
)
q
••
Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k
разрядов.
Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого отрицательного
числа
(-N), хранящегося в k-разрядном машинном слове
Получить внутреннее представление положительного числа N.
Получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0.
К полученному результату прибавить 1.
Практические задания
Примеры решений
I тип.
Перевод из q-ичной системы счисления в 10-ную
Задача. Число, записанное в развернутом виде представить в
сокращенной форме
7 • 8
4
+ 5• 8
3
+ 0 • 8
2
+ 1• 8
1
+ 3 • 8
0
.
Решение.
В записи x
q
= (a
n-1
a
n-2
…a
1
a
0
)
q
= a
n-1
• q
n-1
+ a
n-2
• q
n-2
+
… + a
1
• q
1
+ a
0
• q
0
для данного примера q = 8, a
4
= 7, a
3
= 5, a
2
= 0, a
1
= 1, a
0
= 3. Получаем,
x
8
= 75013
8
.
Ответ: x
8
= 75013
8
Задача. Число, записанное в сокращенной форме представить в
развернутом виде
1032200
4
.
Решение.
В записи
x
q
= (a
n-1
a
n-2
…a
1
a
0
)
q
= a
n-1
• q
n-1
+ a
n-2
• q
n-2
+
… + a
1
• q
1
+ a
0
• q
0
для данного примера q = 4, a
6
= 1, a
5
= 0, a
4
= 3, a
3
= 2, a
2
= 2, a
1
= 0, a
0
= 0.
Получаем,
x
4
= 1032200
4
= 1• 4
6
+ 0 • 4
5
+ 3 • 4
4
+ 2 • 4
3
+ 2 • 4
2
+ 0 • 4
1
+ 0 • 4
0
.
Ответ: x
4
= 1• 4
6
+ 0 • 4
5
+ 3 • 4
4
+ 2 • 4
3
+ 2 • 4
2
+ 0 • 4
1
+ 0 • 4
0
Задача. Перевести число, записанное в сокращенной форме 53002
6
в
десятичную систему счисления
.
Решение.
Используем правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления, то
есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что
q = 6, и выполним
последовательно соответствующие арифметические операции.
53002
6
= 5 • 6
4
+ 3 • 6
3
+ 0 • 6
2
+ 0 • 6
1
+ 2 • 6
0
= 5 • 1296 + 3 • 216 + 0 • 36 + 0 • • 6
+ 2
• 1 = 6480 + 648 + 0 + 0 + 2 = 7130
10
.
Ответ: 53002
6
= 7130
10
.
Задача. Найти ошибку в записи числа:
в)
8
5
+ 3 • 8
4
+ 4 • 8
3
+ 2 • 8 + 9;
г) 2431032
4
.
Решение.
а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи
данного числа отсутствуют коэффициенты перед 8
5
и 9, отсутствует слагаемое с
8
2
, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не
является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 8
5
и 9 равны
1, коэффициент перед 8
2
равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1
(2
• 8
1
), степень у 9 равна 8
0
=1. То есть, если привести данное число к
стандартной развернутой форме, получим: 8
5
+ 3 • 8
4
+ 4 • 8
3
+ 2 • 8 + + 9 = 1 • 8
5
+ 3
• 8
4
+ 4 • 8
3
+ 0 • 8
2
+ 2 • 8
1
+ 9• 8
0
. Ошибка заключается в том, что число
записано в 8-ричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7}).
Ответ: 8
5
+ 3 • 8
4
+ 4 • 8
3
+ 2 • 8 + 9.
б) Число составлено из цифр 4-ричной с.с., в базисе которой отсутствует
цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}).
Ответ: 2431032
4
Задача. Перевести дробное число 34,4214
5
в десятичную систему
счисления.
Решение.
Используем правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления, то
есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что
q = 5, и выполним
последовательно соответствующие арифметические операции.
34,4214
5
= 3 • 5
1
+ 4 • 5
0
+ 4 • 5
-1
+ 2 • 5
-2
+ 1 • 5
-3
+ 4 • 5
-4
= 15 + 4 + 4 •
5
1
+ 2
• •
25
1
+ 1
•
125
1
+ 4
•
625
1
= 19 +
5
4
+
25
2
+
125
1
+
625
4
= 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 +
0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,8944
10
.
Ответ: 19,8944
10
II тип. Перевод из 10-ной системы счисления в любую q-ичную
Задача. Перевести целое число 3886
10
в восьмеричную систему счисления.
Решение.
Согласно правилу перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления
целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6.
Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4.
Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим
частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в
восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4
в остатке. 4 –
третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное
равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи
числа 3886. Итак, 3886
10
= 7456
8
.
Проведенные выкладки удобно представить следующим образом:
Ответ: 3886
10
= 7456
8
.
Задача. Перевести дробное число 0,8944
10
в 5-ную систему счисления.
Решение.
Воспользуемся правилом перевода из 10-ной в q-ичную систему
счисления дробных чисел:
Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой
части первого произведения, следовательно, 0,8944
10
= 0,4214
5
. И
0, 8944
• 5
4, 4720
• 5
2, 3600
• 5
1, 8000
• 5
4, 0000
3886
32
68
64
46
40
6
8
485
48
5
8
60
56
4
8
7
действительно, когда переводили число 34,4214
5
в десятичную систему (см.
выше) мы получили 19,8944
10
, то есть дробные части этих чисел совпадают
0,8944
10
= 0,4214
5
.
Ответ: 0,8944
10
= 0,4214
5
.
Задача. Перевести смешанное число 19,8944
10
в 5-ную систему счисления.
Решение.
Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы,
нужно отдельно перевести в 5-ую с. с. целую часть числа и отдельно дробную.
Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,4214
5
. Переведем 19
10
в
пятеричную систему:
Получаем, что 19
10
= 34
5
. Итак, 19,8944
10
= 34,4214
5
. Проведенный в
предыдущем типе задач перевод числа 34,4214
5
в 10-ую систему дал
аналогичный результат, что подтверждает полученный результат.
Ответ: 19,8944
10
= 34,4214
5
.
III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную
Задача. Перевести 3201
4
в восьмеричную систему счисления.
Решение.
Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем
полученное число из десятичной системы переведем в 8-ую: 3201
4
→ y
10
→ z
8
.
3201
4
= 3 • 4
3
+ 2 • 4
2
+ 0 • 4
1
+ 1• 4
0
= 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 225
10
.
Итак, 3201
4
= 341
8
.
Ответ: 3201
4
= 341
8
.
225
16
65
64
1
8
28
24
4
8
3
19
15
4
5
3
Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу.
Решение.
0
16
= 0
2
;
1
16
= 1
2
;
2
16
= 2
10
; переведем 2
10
в двоичную систему:
2
16
= 2
10
= 10
2
.
Аналогично, получаем 3
16
= 3
10
= 11
2
; 4
16
= 4
10
= 100
2
; 5
16
= 5
10
= 101
2
; 6
16
=
6
10
= 110
2
; 7
16
= 7
10
= 111
2
; 8
16
= 8
10
= 1000
2
; 9
16
= 9
10
= 1001
2
; A
16
= 10
10
= 1010
2
;
B
16
= 11
10
= 1011
2
; C
16
= 12
10
= 1100
2
; D
16
= 13
10
= 1101
2
; E
16
= 14
10
= 1110
2
; E
16
=
15
10
= 1111
2
.
Сведем полученные данные в таблицу.
2
2
0
2
1
Таблица 12.
Двоично-шестнадцатеричная таблица
16 2 16 2
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Задача. Перевести 11001010011101
2
из 2-ой системы счисления в 16-
ную.
Решение.
Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления
с основанием
q = 2
n
, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы
по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе
оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101.
Используя данные из таблицы 12 заменим двоичную группу на
соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D. Итак, 11001010011101
2
= = 329D
16
.
Ответ: 11001010011101
2
= 329D
16
.
Задача. Перевести 8BFD
16
в 2-ую систему счисления.
Решение.
Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с
основанием
q = 2
n
в 2-ную системы счисления, и используя данные таблицы
12, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D – 1101.
Итак, получаем 8BFD
16
= 1000101111111101
2
.
Ответ: 8BFD
16
= 1000101111111101
2
.