Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

201

Таблица 7.1.2 − Значения коэффициента уменьшения допускаемого напряжения на сжатие φ

Гибкость

Дерево

Чугун марок

СЧ12–28

Сталь марок

Ст. 3

Ст. 4

Сталь марок

Ст. 5

Сталь марок

14Г2,

15ГС,

10Г2С,

15ХСНД

0 1 1,00 1,00 1,00 1,00

10 0,99 0,97 0,99 0,98 0,98

20 097 0,91 0,97 0,96 0,95

30 0,93 0,81 0,95 0,93 0,92

40 0,87 0,69 0,92 0,90 0,89

50 0,80 0,57 0,89 0,85 0,84

60 0,71 0,44 0,86 0,80 0,78

70 0,61 0,34 0,81 0,74 0,71

80 0,49 0,26 0,75 0,67 0,63

90 0,38 0,20 0,69 0,59 0,54

100 0,31 0,16 0,60 0,50 0,46

110 0,25 0,52 0,43 0,39

120 0,22 0,45 0,37 0,33

130 0,18 0,40 0,32 0,29

140 0,16 0,36 0,28 0,25

150 0,14 0,32 0,25 0,23

160 0,12 0,29 0,23 0,21

170 0,11 0,26 0,21 0,19

180 0,10 0,23 0,19 0,17

190 0,09 0,21 0,17 0,15

200 0,08 0,19 0,15 0,13

Расчётные схемы и типы поперечных сечений приведены на рисун-

ках 7.1.1 и 7.1.2.

202

Рисунок 7.1.1 − Схемы закрепления стержня

µ = 1

µ = 1/3

µ = 2

µ = 0,7

µ = 0,5

l/2 l/2

µ = 1,35

203

Рисунок 7.1.2 – Типы поперечных сечений сжатых стержней

Соотношение внутреннего и наружного диаметров кольцевого сече-

ния

8,0==α

Порядок расчёта

1 Изобразить в масштабе составное поперечное сечение, вычислить

главные центральные моменты инерции поперечного сечения, определить

минимальный момент инерции, вычислить минимальный радиус инерции

min

и гибкость стержня

min

⋅µ

=λ

2 Определить допускаемую нагрузку для стержня составного попе-

речного сечения

[]

[

]

⋅ϕ⋅= FP , если 2000

≤

3 Подобрать безопасные размеры кольцевого поперечного сечения

при соотношении внутреннего и наружного диаметров

8,0=α=

для рав-

нопрочного стержня из условия устойчивости

[]

σ⋅ϕ

≥

с использованием

метода последовательных приближений.

В первом приближении принять

5,0

В последнем приближении различие между принятым значением φ

полученным из расчёта

ϕ должно быть менее 5 %.

4 Сравнить вес стержня с составным и кольцевым поперечными сече-

ниями по соотношениям

кольцо

сост

кольцо

сост

= .

204

5 Определить фактические коэффициенты запаса для стержней с

кольцевым и составным поперечными сечениями

кр

где

FP ⋅σ=

кркр

Критическое напряжение в зависимости от гибкости λ вычисляется по

формулам:

кр

= σ

, если λ < 40;

кр

= a – bλ, если 40 ≤ λ ≤ 100;

кр

π Е

=σ

если λ > 100.

Сделать вывод.

Пример выполнения

Стержень составного поперечного сечения из угловой стали сжимает-

ся продольной силой (см. рисунки 7.1.1 и 7.1.2).

Установить, при каком значении силы

Р обеспечивается устойчивость

стержня. Подобрать безопасные размеры кольцевого поперечного сечения

равнопрочного устойчивого стержня.

Цель:

−

определить допускаемую нагрузку на равноустойчивые стержни

составного и кольцевого сечения;

− сравнить веса стержней с составным и кольцевым поперечными

сечениями;

− определить фактический коэффициент запаса устойчивости для

стержня с кольцевым сечением.

Исходные данные взяты по варианту _____ из таблиц 7.1.1; 7.1.2.

Расчетная схема стержня взята по рисунку 7.1.1, тип поперечного се-

чения – по рисунку 7.1.2.

Уголок имеет размеры 1063100

∠ мм. По ним из таблицы сорта-

мента находим уголок под номером

10/6,3.

Выбираем табличные значения площади и моментов инерции попе-

речного сечения:

табл

= 15,5 см

, J

= 154,0 см

, J

= 47,1 см

, х

= 1,58 см; толщина по-

лок –

d = 10 мм.

раздвижка уголков С = 30 мм.

Коэффициент закрепления стержня µ = 1,35.

205

Вычерчиваем в масштабе составное поперечное сечение стержня

(рисунок 7.1.1.1).

Определяем геометрические характеристики составного сечения.

Площадь F

сост

= 2F

табл

= 2·15,5 = 31 см

моменты инерции относительно оси Х : J

= 2 · 154,0 = 308 см

относительно оси Y:

3,388

58,15,151,472

0таблтабл

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅+=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++⋅=

xFJJ

см

= 308 см

, J

= 388,3 см

=> J

min

= 308 см

Вычисляем минимальный радиус инерции сечения по формуле

сост

min

i =

Наименьшим моментом инерции является

, следовательно, мини-

мальный радиус инерции равен

15,3

0,31

308

сост

min

===

i см.

а − вид опорных закреплений; б

−

тип составного поперечного сечения

Рисунок 7.1.1.1

− Расчётная схема стержня

а б

= 34

½ l ½ l

= 15,8

С = 30

b = 63

h = 100

d = 10

206

Находим расчётное значение гибкости

3,154

15,3

36035,1µ

min

⋅

==λ

Находим значение коэффициента снижения допускаемого напряже-

ния φ из таблицы для гибкости λ = 154,3 для материала Ст. 3. Значения

λ =154,3 в таблице нет. Расчётное значение гибкости находится в интервале

табличных значений

λ<λ<λ , 150 < 154,3 < 160. Поэтому воспользу-

емся линейной интерполяцией:

150160

160150

3,1541601603,154

)(

λ−λ

−

⋅λ−λ+ϕ=ϕ

=λ=λ

.307,0

150160

29,032,0

)3,154160(29,0

3,154

−

⋅−+=ϕ

=λ

Определяем допускаемую нагрузку для стержня составного попе-

речного сечения из условия прочности:

[

]

[]

σσ

сост

max

≤=

[] []

3,15210160307,0100,31σ

сост

=⋅⋅⋅⋅=ϕ⋅=

−

FР кН.

Округляем до нормальной величины [

P] = 150 кН.

Допускаемая нагрузка должна быть не более 150 кН = 15 тс.

Подбираем безопасные размеры кольцевого поперечного сечения

из условия прочности.

Стержень с кольцевым сечением по условию задачи должен быть

равнопрочным со стержнем, имеющим составное сечение. Из этого следует,

что он должен воспринимать такую же максимальную нагрузку [

Р], как и

стержень с составным сечением.

Площадь кольцевого сечения находим из условия

[

]

[]

кольцо

≥

где [

Р] = 150 кН.

Для определения коэффициента φ используем метод последователь-

ных приближений.

1 попытка

: φ

= 0,5,

[]

1875

1605,0

10150

1кольцо

⋅

⋅ϕ

F мм

207

Определяем наружный диаметр кольца

мм4,81

)8,01(14,3

18754

)α1(π

)α1(

1кольцо

−⋅

⋅

−

⋅

=⇒−⋅

⋅

Определяем гибкость

min

кольцо

min

i =

(

)

min

α1

−=

J ,

(

)

(

)

()

224

min

α1

1π

11π

α−

⋅

α+⋅α−⋅

61,28,01

14,8

min

=+=α+=

i см.

5,186

61,2

36035,1µ

min

⋅

==λ

Найденная по первой попытке гибкость λ

− в интервале табличных

значений 180 < 186,5 < 190 (см. таблицу 7.2).

Вычисляем по интерполяции коэффициент

ϕ, соответствующий гиб-

кости λ

= 186,5:

180190

190180

5,1861901905,186

)(

λ−λ

−

⋅λ−λ+ϕ=ϕ

=λ=λ

22,0

180190

21,023,0

)5,186190(21,0

5,186

−

⋅−+=ϕ

=λ

Находим отклонение значения коэффициента

λ = 186,5

от полученного

из расчёта первого принятого произвольно значения

, оно должно быть не

более 5 %:

%5%56%100

5,0

)22,05,0(

5,1861

>=⋅

−

ϕ−

=λ

Результат показывает, что полученное значение

λ = 186,5

= 0,22 нельзя

принять для дальнейшего расчёта. Следует произвести вторую попытку.

2 попытка

Принимаем интервал с границами

и ϕ

λ = 186,5

и вычисляем среднее

значение

в новом интервале

360

22050

5,1861

=ϕ

=λ

208

Вычисляем значение площади кольцевого сечения с новым значением

коэффициента φ и по таблице находим соответствующую радиусу инерции

площади F

кольцо 2

гибкость стержня:

[]

2кольцо

мм2604

16036,0

10150

⋅

⋅ϕ

.6,173

8,2

36035,1

мм,288,01

97,95

мм,97,95

)8,01(14,3

26044

)1(π

min

2кольцо

⋅

=λ

=+⋅=α+⋅=

−⋅

⋅

α−

⋅

Искомое значение ϕ

λ = 173,6

при λ

= 173,6 находится внутри интервала

λ = 180 и λ = 170.

По таблице при λ = 180 − ϕ = 0,23;

при λ = 170 − ϕ = 0,26.

По интерполяции находим ϕ

λ = 173,6

170180

180170

6,1731801806,173

)(

λ−λ

−

⋅λ−λ+ϕ=ϕ

=λ=λ

25,0

170180

23,026,0

)6,173180(23,0

6,173

−

⋅−+=ϕ

=λ

Отклонение ϕ

λ = 173,6

.= 0,25 от среднего значения ϕ

= 0,36

%5%31%100

36,0

)25,036,0(

>=⋅

−

3 попытка

31,0

25,036,0

6,1732

ϕ+ϕ

=ϕ

=λ

[]

3кольцо

мм3024

16031,0

10150

⋅

⋅ϕ

мм4,103

)8,01(14,3

30244

)1(π

3кольцо

−⋅

⋅

α−

⋅

.8,146

31,3

36035,1

мм,1,338,01

4,103

α1

min

⋅

=λ

=+⋅=+⋅=

209

Полученное значение λ также принадлежит интервалу 140 < 146,8 < 150.

140150

8,1461501508,146

)(

λ−λ

−

⋅λ−λ+ϕ=ϕ

=λ=λ

33,0

140150

32,036,0

)8,146150(32,0

8,146

−

⋅−+=ϕ

=λ

Вычисляем отклонение от среднего значения ϕ

= 0,31:

%5%6%100

31,0

)33,031,0

>=⋅

−

Сделаем ещё одну попытку.

4 попытка

32,0

33,031,0

8,1463

+ϕ

=ϕ

=λ

[]

3кольцо

мм2930

16032,0

10150

⋅

⋅ϕ

мм8,101

)8,01(14,3

29304

)1(π

3кольцо

−⋅

⋅

α−

⋅

.1,149

26,3

36035,1

мм,6,328,01

8,101

min

⋅

=λ

=+⋅=α+⋅=

Полученное значение λ также принадлежит интервалу 140 < 149,1 < 150.

140150

1,1491501501,149

)(

λ−λ

−

⋅λ−λ+ϕ=ϕ

=λ=λ

3236,0

140150

32,036,0

)1,149150(32,0

1,149

−

⋅−+=ϕ

=λ

С округлением до второго знака имеем ϕ

λ=149,1

= 0,32. Отклонения от

среднего значения ϕ

= 0,32 нет: ϕ

λ=149,1

= ϕ

. Таким образом, определены

кольцо

= 149,1, ϕ = 0,32.

Вычисляем размеры поперечного кольцевого сечения:

[]

мм.8,101

)8,01(14,3

29304

)1(π

,см3,29мм0,2930

16032,0

10150

кольцо

−⋅

⋅

α−

⋅

⋅ϕ

210

Внутренний диаметр d = 0,8 D = 0,8·101,8 = 81,44 мм.

Принимаем по ряду нормальных линейных размеров ближайшие зна-

чения: D = 105 мм, d = 80 мм.

Площадь кольцевого сечения

()

4,36

105

π1

кольцо

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=α−=

F см

4 Сравниваем веса стержней с составным и кольцевым поперечным

сечениями:

85,0

4,36

0,31

кольцо

сост

кольцо

сост

===

Вес стержня с кольцевым сечением превышает вес стержня с состав-

ным сечением на 15 %.

Определяем фактический коэффициент запаса для стержня с коль-

цевым поперечным сечением:

[]

кр

где критическая нагрузка

кольцокркр

σ FP

⋅

= .

Так как 100>λ , то используется формула Эйлера, по которой опре-

деляется критическое напряжение

кольцо

кр

МПа8,88

1,149

10214,3

кр

⋅⋅

= ,

кН9,322Н8,3228760,36368,88

кольцокркр

≈

⋅

=⋅σ= FP

[]

15,2

150

9,322

кр

===

n .

Определяем фактический коэффициент запаса для стержня с состав-

ным поперечным сечением:

[]

кр

где критическая нагрузка

состкркр

σ FP

⋅

= .