Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

221

Положение центра тяжести площади эпюры Ω

aaz 23

ц.т.

=⋅=

ааzRM

Baz

ц.т.

=⋅=⋅==

Составляем выражение статического перемещения сечения стержня

под грузом Q по правилу Верещагина:

[

]

11ст

ηη

⋅Ω+⋅Ω=∆

322

ст

aQaaQa

⋅=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅+⋅=∆

. (1)

В полученном выражении статического перемещения (1) выразим мо-

мент инерции J

через диаметр стержня

ст

=∆

. (2)

3 Определяем зависимость коэффициента динамичности от искомого

диаметра стержня.

Для расчёта принимаем за исходную приближённую формулу опреде-

ления коэффициента динамичности

ст

∆

k . (3)

Подставляя в формулу (3) значение статического перемещения ∆

ст

(2),

получаем зависимость k

от искомого диаметра стержня:

EН

EdН

π2

⋅

⋅=

⋅

4 Определяем зависимость динамического напряжения от искомого

диаметра стержня. На эпюре М

(см. рисунок 8.1.1.2,б) находим опасное се-

чение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего значения

QaM

max

= .

222

Максимальное статическое напряжение в опасном сечении

max

стmax

σ = ,

где

1,0

≈= – момент сопротивления поперечного сечения,

стmax

1,04

⋅

Максимальное динамическое напряжение в опасном сечении

EHQ

8,0

1,04

)σ(σ

стдинmax

maxд

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=⋅=

. (4)

5 Определяем поперечный размер балки из условия прочности

[

]

σσ

динmax

≤

]σ[

8,0

динmax

≤

⋅⋅

⋅=

EHQ

. (5)

Из выражения (5) определяем требуемый диаметр d:

1036,5

0,16

10214,31,0500

10168,0

]σ[8,0

−

⋅=

⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅≥

EHQ

м;

d = 53,6 мм,

где

[]

1016

1032

σ ⋅=

⋅

Па – допускаемое напряжение.

Округляя полученное значение в большую сторону согласно ряду нор-

мальных линейных размеров (см. прил. С), окончательно принимаем d = 56 мм.

Вычисляем коэффициент динамичности k

098,7

10005006

102π100

10002

522

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅

⋅=

EН

k . k

= 7.

Вывод

• При падении груза весом 500 Н в опасном сечении данной системы

при расчётном диаметре балки, равном 56 мм, будут действовать нормаль-

ные напряжения не превосходящие допускаемого.

• Коэффициент динамичности при принятом размере диаметра по-

перечного сечения имеет величину k

= 7.

223

8.2 Расчёт на прочность упругой системы

с учетом колебаний

Упругая система представляет собой консольную балку составного

сечения из двух швеллеров, жёстко защемлённую одним концом. На дру-

гом, свободном конце, закреплён электродвигатель весом Q . Двигатель ра-

ботает при n об/мин. Сила инерции, возникающая вследствие неуравнове-

шенности вращающихся частей, равна Р.

Цель:

− определить величину максимального напряжения в балках;

− определить фактический коэффициент запаса прочности.

Общие исходные данные:

Материал балки − прокатная сталь;

ТсТр

1032σσ ⋅== Па;

Па102

⋅=E

Стандартные профили прокатной стали см. прил. К, Л, Н.

Остальные данные взять из таблицы 8.2.1.

Для составления схемы заданной системы использовать рисунок 8.2.1.

Порядок расчёта

1 Вычертить в масштабе расчётную схему. Определить зависимость

прогиба балки от статически приложенного веса электродвигателя.

2 Определить частоту собственных колебаний

3 Определить частоту вынужденных колебаний.

4 Вычислить коэффициент динамичности.

5 Определить максимальное нормальное напряжение.

6 Определить фактический коэффициент запаса прочности

a, б, в – типы составного сечения несущей балки

Рисунок 8.2.1 – Схема упругой системы

а б в

224

Сделать выводы.

Таблица 8.2.1 − Значения Q, P, n и l

Тип составного сечения

Номер

варианта

кН

кH

об/мин

два уголка

два швел-

лера

два дву-

тавра

1 2 3 4 5 6 7 8

1 500 120 310 1,2 100/63/10

2 750 95 1100 1,1 18

3 420 65 380 0,75 12

4 620 80 1320 0,8 160/100/10

5 310 60 840 1,8 12

6 400 68 1200 1,1 12

7 500 110 340 1,4 14

8 480 70 360 1,9 16

9 400 62 640 1,8 14

10 750 92 380 1,8 180/110/10

11 280 50 880 2,6 80/50/5

12 660 90 1200 1,0 16

13 350 40 800 2,3 18

14 400 55 340 1,7 12

15 310 69 1320 0,7 14

16 500 75 320 0,8 12

17 330 55 400 1,8 100/63/10

18 400 60 320 2,5 12

19 640 75 1600 1,3 16

20 370 65 380 1,9 100/63/10

21 510 60 1450 0,8 16

22 750 100 670 0,9 180/110/10

23 500 70 860 0,8 14

24 250 50 540 1,9 100/63/10

25 750 110 1450 1,2 18

26 320 60 580 2,3 100/63/10

27 500 65 450 1,6 12

28 320 60 870 1,5 12

29 240 45 640 0,6 80/50/5

30 750 95 1420 1,8 18

225

Пример выполнения

Расчёт на прочность упругой системы при динамическом действии

нагрузки

Упругая система представляет собой консольную балку составного

сечения из двух швеллеров, жёстко защемлённую одним концом. На дру-

гом, свободном конце, закреплён электродвигатель весом Q . Двигатель ра-

ботает при n об/мин. Сила инерции, возникающая вследствие неуравнове-

шенности вращающихся частей, равна Р.

Цель: определить величину максимального напряжения в балках.

Общие исходные данные:

Материал балки − малоуглеродистая сталь;

Тр

= σ

Тс

= 320 МПа; Е = 2 · 10

МПа;

коэффициент запаса прочности n = 2.

Данные, принятые по варианту ________ из таблицы 8.2.1:

вес электродвигателя Q = 6,4 кН;

расчётная длина балки l = 1,8 м;

сила инерции Р = 0,8 кН;

число оборотов двигателя n = 320 об/мин.

из рисунка 8.2.1: сечение − тип b, из двух швеллеров № 14,

из таблицы ГОСТ 8240–97 момент инерции швеллера J

= 491 см

момент сопротивления швеллера W

= 70,2 см

Массой упругой системы пренебрегаем.

1 Составляем и вычерчиваем расчётную схему, для чего к заданной

системе прикладываем статическую силу, равную весу электродвигателя Q

(рисунок 8.2.1.1, 8.2.1.2).

Изображаем на схеме реактивные силы.

Для определения статического перемещения предварительно опреде-

ляем опорные реакции.

Рисунок 8.2.1.1 – Заданная схема упругой системы

226

Рисунок 8.2.1.2 – Расчётная схема упругой системы

В защемлении действуют две реактивные силы: момент М

в заделке

и вертикальная сила R

Уравнения равновесия всех внешних сил имеют вид

∑

mom

; ,0

⋅

−

lQМ

⋅

; (1)

∑

mom

;

⋅− lRM

;

⋅

;

.QR

(2)

Правильность определения реакций опор проверяем при проецирова-

нии всех внешних сил на ось Y:

∑

= 0Y

−

∑

QQQRY

Опорные реакции определены верно.

С помощью метода начальных параметров определяем перемещение в

сечении под грузом.

Начало координат помещаем в сечении А.

Начальные параметры: z = 0, y

= 0,

z = 0, θ

=0.

Уравнение изогнутой оси балки

!3!2

zRzM

zyEJEJyEJ

XXiX

⋅

+−⋅⋅+⋅=⋅

. (3)

Подставляем в уравнение (3) значения начальных параметров, выра-

жения опорных реакций из уравнений (1), (2) и вычисляем факториалы:

32121

⋅⋅

⋅

−+=⋅

zRzM

yEJ

zRzM

yEJ

⋅

+−=⋅

227

По уравнению изогнутой оси упругой системы видно, что она пред-

ставляет собой кривую третьего порядка, у которой максимальная ордината

от начала координат находится на расстоянии

max

z = l =1,8 м, т. е. на конце

балки в сечении В, где укреплён электродвигатель.

Определяем зависимость перемещения (прогиба) у

сечения В балки

от веса электродвигателя, приложенного статически.

При

max

z = l = 1,8 м

362

332

lQlQllQ

yEJ

⋅

⋅⋅

−=⋅

⋅

= . (4)

2 Определяем частоту собственных колебаний.

В полученном выражении статического перемещения (4) момент

инерции J

равен сумме главных максимальных моментов инерции двух

швеллеров № 14 относительно главной центральной оси Х, т. е.

= 2 · 491 = 982,0 см

= 982,0 · 10

–8

Вычисляем частоту собственных колебаний упругой системы

ст

=ω ,

где g – ускорение силы тяжести: g = 9,81 м /с

;

ст

= у

– перемещение сечения В от статического действия внешних сил

(от веса электродвигателя).

4,39

80,14006

10098210102381,9

865

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅

=ω

−

EJg

–1

Частота собственных колебаний системы составляет 39,4 с

–1

3 Определяем частоту вынужденных колебаний ω:

ω = 2πn об/мин;

=ω с

–1

. 5,33

203π

⋅

=ω с

–1

Коэффициент нарастания колебаний

61,3

4,39

5,33

β =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

4 Вычисляем коэффициент динамичности.

45,161,3

6400

800

1β1

=⋅+=⋅+=

. k

= 1,45.

228

5 Определяем максимальное динамическое напряжение

max

ст

· k

Вычисляем максимальное нормальное напряжение при статическом

нагружении

max

σ =

Составляем функцию изгибающего момента М

по расчётной схеме

(см. рисунок 8.2.1.2) и вычисляем

max

= – М

+ R

· z.

Максимального значения изгибающий момент достигает в защемле-

нии, где z = 0,

max

= M

= – Q ⋅ l = – 6,4 · 1,8 = – 11,52 кНм.

Максимальные напряжения действуют в волокнах, наиболее удалён-

ных от нейтральной оси, т. е. на расстоянии, равном половине высоты

швеллера y = ±(h/2) при минимальном значении момента сопротивления

. Высота швеллера h = 14 / 2 = 7 см.

4,140

982

===

см

; 05,82

104140

1052,11

стmax

⋅

−

МПа.

max

ст

· k

= 82,05 · 1,45 = 119,7 МПа. σ

= 119,7 МПа.

6 Определяем фактический коэффициент запаса прочности.

Допускаемое напряжение вычисляем по заданному коэффициенту за-

паса прочности n = 2:

[]

160=

320

МПа.

Фактический коэффициент запаса прочности по допускаемому на-

пряжению

[]

3,1=

7,119

160

n .

Вывод

• Теоретически по условиям задачи прочность балки обеспечивается.

• Однако коэффициент нарастания колебаний показывает, что ам-

плитуда колебаний в 3,6 раза больше статического прогиба (по формуле (4)

статический прогиб y

= 0,006 м , а динамический y

дин

= 0,022 м, т. е. более

2 см). Следовательно, необходима проверка соблюдения условия жёсткости

балки составного сечения и проверка на возникновение резонанса (когда

= ω). Избежать резонанса можно увеличением собственной частоты бал-

ки, т. е. при условии ω

> ω.

229

Список рекомендуемой литературы

Основная

1 Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. –

М. : Наука, 1979. − 540 с.

Беляев, Н. М. Сопротивление материалов / Н. М. Беляев. − М. :

Высш. шк., 1976. − 608 с.

Дарков, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпи-

ро. – М. : Высш. шк., 1974. − 704 с.

Минин, Л. С. Расчётные и тестовые задачи по сопротивлению мате-

риалов: учеб. пособие для втузов / Л. С. Минин. – М. : Высш. шк., 2003. −

224 с.

Лихарев, К. К. Сборник задач по курсу «Сопротивление материа-

лов»: учеб. пособие для машиностроительных вузов / К. К. Лихарев.– М. :

Машиностроение, 1980. – 224 с.

Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. В. К. Качу-

рина. – М. : Наука, 1970. – 432 с.

Дополнительная

7 Феодосьев, В. И. Избранные задачи по сопротивлению материалов /

В. И. Феодосьев. – М. : Наука, 1973. – 536 с.

Экспериментальное определение напряжений, деформаций и пере-

мещений: метод. указания к лаб. работам / Н. И. Волчихина, В. А. Чуфи-

стов, А. М. Кившенко, В. В. Данилов; под ред. И. Н. Гонтаря. − Пенза : Изд-во

Пенз. гос. ун-та, 1997. − 32 с.

Экспериментальное исследование механических свойств материа-

лов: метод. указания к лаб. работам / В. М. Ермолаев, В. А. Чуфистов,

А. Н. Литвинов / под ред. И. Н. Гонтаря. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та,

1999. − 31 с.

Тензометрический способ определения деформаций и напряже-

ний: метод. указания к лаб. работам / В. М. Ермолаев, А. Н. Литвинов,

Н. Е. Денисова, В. А. Шорин; под ред. И. Н. Гонтаря. − Пенза : Изд-во Пенз.

гос. ун-та, 1997. − 42 с.

Оформление учебно-конструкторской документации: метод. ука-

зания для выполнения работ по курсовому и дипломному проектированию /

И. Н. Гонтарь, Н. Е. Денисова, В. А. Шорин, Н. И. Волчихина. − Пенза :

Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003. − 86 с.

230

Ермолаев, В. М. Сопротивление материалов: метод. указания и

контрольные задания / В. М. Ермолаев, Н. И. Волчихина; под ред. И. Н. Гон-

таря. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та. 1995. − 46 с.

Справочная

13 ГОСТ 8032−84 Предпочтительные числа и ряды предпочтитель-

ных чисел.

ГОСТ 8.417–2002 Государственная система обеспечения единиц

измерения. Единицы величин.

ГОСТ 8509–93 Уголки стальные горячекатаные равнополочные.

Сортамент.

ГОСТ 8510–86 Уголки стальные горячекатаные неравнополочные.

Сортамент.

ГОСТ 8239–89 Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент.

ГОСТ 8240–97 Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент.

ГОСТ 2590−88 Прокат стальной горячекатаный круглый. Сорта-

мент.

ГОСТ 2591−88 Прокат стальной горячекатаный квадратный. Сор-

тамент.