Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

211

Так как 100>λ , то используется формула Эйлера, по которой опреде-

ляется критическое напряжение:

кольцо

кр

⋅

МПа8,88

1,149

10214,3

кр

⋅⋅

= ;

кН275Н27528031008,88

состкркр

≈

⋅

⋅σ

;

[]

8,1

150

275

кр

===

n .

Результат расчёта:

1) вес стержня G

сост

с составным сечением меньше веса G

кольцо

стержня

с кольцевым сечением на 15 %;

2) коэффициент запаса устойчивости

−

для стержня с составным сечением n

= 1,8;

−

для стержня с кольцевым сечением n

= 2,1.

Вывод

По расходу металла стержень составного сечения теоретически более

экономичен, но по коэффициенту запаса устойчивости предпочтительнее

стержень с кольцевым сечением.

212

8 Динамическое действие нагрузок

Вводная часть

К задачам динамики в сопротивлении материалов относят:

−

расчёты элементов конструкций с учётом сил инерции;

−

расчёты при колебаниях;

−

расчёты на усталость

−

расчёты на действие ударных нагрузок.

Общий метод расчёта на динамическую нагрузку основан на извест-

ном из теоретической механики принципе д

Аламбера: если в любой мо-

мент времени к каждой материальной точке данной системы приложить си-

лы инерции этой точки, то эти силы инерции будут уравновешиваться за-

данными силами, действующими на систему и реакциями связей, т. е. сис-

тема может рассматриваться как находящаяся в состоянии равновесия.

Согласно этому принципу определяются нагрузки,

вызываемые уско-

рениями, которые получают тела при их работе. Далее, считая эти динамиче-

ские нагрузки как бы статическими, определяют в зависимости от них дефор-

мации и напряжения, а затем суммируют эти напряжения и деформации соот-

ветственно с напряжениями и деформациями от приложенных нагрузок, счи-

тая их приложенными статически. Эти суммарные напряжения

и деформации

не должны превышать допускаемых при статическом нагружении.

При расчёте элементов конструкций, учитывая силы инерции, необ-

ходимо также учитывать, что сила инерции материальной точки равна про-

изведению массы точки на её ускорение и направлена в сторону, противо-

положную ускорению.

При расчёте элементов конструкций с учётом колебаний следует из-

бегать

ситуации, когда частота свободных колебаний упругой системы сов-

падет с частотой вынужденных колебаний, т. е. наступает резонанс.

При расчёте элементов конструкций на усталость (выносливость) необ-

ходимо, принять тип материала и условия нагрузки, определить такие размеры

детали, чтобы обеспечить нормальную работу, т. е. избегать поломок до тех

пор, пока деталь выдержит заданное

количество циклов нагружения.

Приближённый расчёт на удар основан на следующих допущениях:

−

в ударяемой конструкции возникают напряжения, не превышающие

предела пропорциональности (закон Гука);

−

удар является неупругим;

−

ударяющее тело является абсолютно жёстким (без деформаций);

−

сопротивление движению не учитывается;

−

масса ударяемой конструкции мала по сравнению с массой ударяю-

щего тела.

213

8.1 Расчёт на прочность упругой системы

при действии ударной нагрузки

На упругую систему (рисунок 8.1.1) с высоты Н падает груз Q.

Цель:

− подобрать необходимые размеры поперечного сечения балки из ус-

ловия прочности;

− определить коэффициент динамичности.

Общие исходные данные:

− материал балки − малоуглеродистая сталь;

ТсТр

1032σσ ⋅==

Па;

Па;102

⋅=E

− коэффициент запаса прочности n = 2.

На рисунке 8.1.1 соотношение сторон для прямоугольного сечения

Массой упругой системы можно пренебречь.

Остальные данные взять из таблицы 8.1.1 и рисунка 8.1.2.

Порядок расчёта

1 Вычертить в масштабе расчётную схему.

2 Определить зависимость перемещения (прогиба) балки от падаю-

щего груза, приложенного статически.

3 Определить зависимость коэффициента динамичности от искомого

диаметра стержня.

4 Определить зависимость динамического напряжения от искомого

диаметра стержня.

5 Определить поперечный размер балки из условия прочности.

6 Вычислить коэффициент динамичности.

Сделать вывод.

Рисунок 8.1.1

−

Заданная схема

214

Таблица 8.1.1 − Значения Q, H и a

Номер варианта

Данные варианта

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Схема

по рисунку 8.1.2

7 9 8 10 3 5 1 6 4 2

Q, H

200 400 600 800 100 750 500 900 300 600

H, м 0,4 0,2 0,1 0,1 0,4 0,1 0,2 0,1 0,2 0,1

a, м 0,5 0,4 0,2 0,4 0,1 1,2 0,8 0,2 0,7 0,3

Таблица 8.1.1 (продолжение)

Номер варианта

Данные варианта

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Схема

по рисунку 8.1.2

15 18 20 17 11 19 14 12 16 13

Q, H

100 750 500 850 300 600 200 400 600 800

H, м 0,4 0,1 0,2 0,1 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1

a, м 0,3 0,6 0,4 0,1 1,2 0,8 0,2 0,7 0,3 0,5

Таблица 8.1.1 (продолжение)

Номер варианта

Данные варианта

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Схема

по рисунку 8.1.2

28 26 30 29 22 25 27 21 24 23

Q, H

100 750 500 850 300 600 200 400 600 800

H, м 0,5 0,1 0,2 0,2 0,5 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1

a, м 0,4 0,5 0,2 0,1 1,2 0,4 0,2 0,4 0,3 0,2

215

Рисунок 8.1.2 − Схемы упругих систем при ударной нагрузке

2 7

1 6

3 8

5 10

3а

2а

3а

2а

3а

216

Рисунок 8.1.2 (продолжение)

11 16

13 18

15 20

3а

0,1а

3а

2а

4а

0,4а

2а

3а

0,5а

5а

217

Рисунок 8.1.2 (продолжение)

22 27

21 26

23 28

25 30

0,3а

0,2а

1,4а

1,8а

0,6а

6а

0,1а

3,5а

2,2а

3а

2,5а

218

Пример выполнения

Расчёт на прочность упругой системы при динамическом действии

нагрузки

На стержень, закреплённый шарнирно по обоим концам (рису-

нок 8.1.1.1), с высоты Н падает груз Q.

Цель:

− подобрать необходимые размеры поперечного сечения балки из ус-

ловия прочности;

− определить коэффициент динамичности.

Общие исходные данные:

− материал балки − малоуглеродистая сталь;

− σ

Тр

= σ

Тс

= 32·10

Па; Е = 2 · 10

Па;

− коэффициент запаса прочности n = 2.

Данные, принятые по варианту ________

из таблицы 8.1.1: Q = 500 Н; Н = 0,1 м; а = 1,0 м;

по рисунку 8.1.2: – схема №___; сечение − круг.

Массой упругой системы пренебрегаем.

1 Составляем и вычерчиваем расчётную схему, для чего к заданной

системе прикладываем статическую силу, равную весу падающего груза Q

(рисунок 8.1.1.2,а). Для определения статического перемещения предвари-

тельно определяем опорные реакции и строим грузовую эпюру изгибающих

моментов М

(см. рисунок 8.1.1.2,б).

Определяем опорные реакции. Уравнения равновесия имеют вид

Σmom

= 0;

04 =⋅−

⋅

aQaR

; Q

⋅

= .

Σmom

= 0;

034

⋅+⋅− aQaR

; Q

⋅

= .

Рисунок 8.1.1.1 – Заданная схема стержня

219

Правильность определения реакций опор проверяем с помощью урав-

нения равновесия

∑

= 0Y

=+−=+−=

∑

QQQRQRY

Полученное тождество показывает, что опорные реакции определены

верно.

Рисунок 8.1.1.2 – Расчетные схемы упругой системы и эпюры:

а – расчётная (грузовая) схема; б и д – эпюры изгибающих моментов;

в – основная система; г – единичная система;

l = 4 а

a 3a

ц.т.

Ω

Эпюра М

3Qa

Ω

ц.т.

Эпюра М

0 0

ц.т.

220

2 Определяем зависимость перемещения (прогиба) балки от падаю-

щего груза, приложенного статически, для чего применяем основную сис-

тему и используем правило Верещагина. По способу Верещагина искомое

перемещение равно произведению площади грузовой эпюры М

(любой по

очертанию) на расположенную под её центром тяжести ординату прямоли-

нейной эпюры М

от единичной силы.

По расчётной схеме (см. рисунок 8.1.1.2,а) для каждого участка соста-

вим функции грузовых изгибающих моментов М

I участок 0 ≤ z ≤ а, М

= R

· z;

z = 0, М

= 0, z = a, М

= ¾ · Q · a;

II участок а ≤ z ≤ 4а; М

= R

· z – Q(z – a);

z = a, М

= ¾ · Q · a; z = 4a М

= 0.

Строим эпюру М

(рисунок 8.1.1.2,б).

Выберем основную систему (рисунок 8.1.1.2,в). По направлению дви-

жения падающего груза прикладываем к основной системе единичную силу

(см. рисунок 8.1.1.2,г).

Определяем реакции от единичной силы:

Σmom

= 0;

014 =⋅−⋅ aaR

;

⋅

Σmom

= 0;

0314 =⋅+⋅− aaR

;

⋅

Строим эпюру единичных моментов М

(рисунок 8.1.1.2,д).

Вычисляем площади грузовой эпюры изгибающих моментов:

max1

QaQaaMа

=⋅=⋅=Ω

;

Qa=Ω

Положение центра тяжести площади эпюры Ω

ц.т.

Вычисляем ординату η

единичного момента М

под центром тяжести

площади Ω

грузовой эпюры моментов:

ааzRM

ц.т.

=⋅=⋅==

;

=η

Площадь Ω

и ординату η

вычисляем по соответствующим эпюрам

при изменении z от 0 до 3а от опоры В справа налево:

2II

max2

QaQaaMа

=⋅⋅=⋅⋅=Ω