Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

191

Погрешность, полученная в результате округления вычислений, со-

ставляет 0,4 %, т. е. менее 1 %.

Строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости.

8 Составляем схему нагружения вала в горизонтальной плоскости ХOZ.

Действующие внешние горизонтальные силы – активные и реактив-

ные: R

1Х

, R

2Х

, R

3Х

, R

ВХ

, R

АХ

Составляем расчётную схему вала при действии горизонтальных сил

(см. рисунок 6.1.1.5).

Проецируем горизонтальные силы на ось Х:

1Х

= R

· cosα

= 13,2 · cos 0 º = 13,2 кН. R

1Х

= 13,2 кН.

2Х

= R

3Х

= R

· cos α

= 7,5 · cos 60 º = 3,75 кН. R

2Х

= R

3Х

= 3,75 кН.

Определяем реакции опор от горизонтальных составляющих давле-

ний шкивов.

Составляем уравнение равновесия горизонтальных сил:

∑mom

A = 0; – R

1Х

а + R

(а + b)+ R

(а+ b+ с) +R

ВХ

· L = 0,

– 13,2 · 0,4 + 3,75(0,4 + 0,3) + 3,75(0,4 + 0,3 + 0,18) + R

ВХ

·1,18 = 0,

откуда R

ВХ

= – 0,55 кН.

∑mom

В = 0; R

АХ

·L – R

1Х

(b + c + b)+ R

(с + b) + R

b = 0,

АХ

· 1,18 – 13,2(0,3 + 0,18 + 0,3) + 3,75(0,18 + 0,3) + 3,75 · 0,3 = 0,

откуда R

АХ

= 6,25 кН.

Проверка вычислений. ΣY = 0; R

АХ

– R

1Х

+ R

2Х

+ R

3Х

– R

ВХ

= 0;

6,25 – 13,2 + 3,75 + 3,75 – 5,5 = 0. Вычисления выполнены верно.

Определяем изгибающие моменты М

гi

от горизонтальных сил:

I участок

A – B. М

= R

АХ

· z

; 0 ≤ z

≤ a = 0,4 м;

= 0, М

= 0;

= a = 0,4 м; М

= 6,25 ⋅ 0,4 = 2,5 кН ⋅ м.

II участок

B – C. М

= R

АХ

(а + z

) – R

1Х

· z

; 0 ≤ z

≤ b = 0,3 м;

= 0, М

= 6,25 ⋅ 0,4 = 2,5 кН ⋅ м;

= b = 0,3 м; М

= 6,25 (0,4 + 0,3) – 13,2 · 0,3 = 0,415 кН ⋅ м.

III участок

С – D. 0 ≤ z

≤ с = 0,18 м;

III

= R

АХ

(а + b + z

) – R

1Х

(b + z

) + R

· z

; 0 ≤ z

≤ c = 0,118 м;

= 0 М

III

= 6,25 (0,4 + 0,3) – 13,2 · 0,3 = 0,415 кН ⋅ м;

= c = 0,18 м;

III

= 6,25 (0,4 + 0,3 + 0,18) – 13,2 (0,3 + 0,18) + 3,75 · 0,18= – 0,161 кН ⋅ м.

192

IV участок

D – E. 0 ≤ z

≤ b = 0,3 м;

= R

АХ

(а + b + с + z

) – R

1Х

(b + с + z

) + R

2Х

(с + z

) + R

3Х

· z

;

= 0,

= 6,25 (0,4 + 0,3 + 0,18) – 13,2 (0,3 + 0,18) + 3,75 · 0,18 = – 0,161 кН ⋅ м;

= b= 0,3 м;

= 6,25(0,4 + 0,3 + 0,18 + 0,3) – 13,2(0,3 + 0,18 + 0,3) +

+ 3,75(0,18 + 0,3) + 3,75·0,3 ≈ 0.

Расчётом подтверждается равенство нулю момента в опоре

В.

Вычисления выполнены верно.

Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости.

9 Определяем и строим суммарные изгибающие моменты. Определя-

ем значения результирующих изгибающих моментов в характерных сече-

ниях вала.

Результирующий изгибающий момент М

рез

определяется геометриче-

ским суммированием ординат изгибающих моментов вертикальной и гори-

зонтальной плоскостей М

и М

врез

МММ += .

Характерными сечениями вала для определения М

рез

являются места

посадки шкивов: сечения C, D, E.

Сечение С:

()()

035,35,272,1

врез

=+=+=

ССС

МММ = 3,04 кН ⋅ м.

Сечение D:

()()

039,342,001,3

врез

=+=+=

DDD

МММ

= 3,04 кН ⋅ м.

Сечение E:

()()

605,2)16,0(60,2

врез

=−+=+=

EEE

МММ

= 2,61 кН ⋅ м.

Строим эпюру суммарных изгибающих моментов (см. рисунок 6.1.1.5).

Наибольшие и равные изгибающие моменты действуют в сечениях С

и D.

10 Вычисляем эквивалентный изгибающий момент по IV теории

прочности и строим эпюру M

экв

(см. рисунок 6.1.1.5):

()()

13,388,075,004,3М75,0

)(кр

)(рез

)(

эквIV

=⋅+=⋅+=

DСDС

DС

ММ

кН ⋅ м.

() ()

64,244,075,061,275,0

кр

резэквIV

=⋅+=+=

МММ кН ⋅ м.

193

11 Определяем необходимые размеры сплошного и кольцевого попе-

речного сечения вала.

Условие прочности

[]

σσ

эквIVmax

max

≤=

Назначаем допускаемое напряжение [σ] по пределу текучести.

Предел текучести Стали 40 равен 240 МПа, коэффициент запаса

прочности n

= 1,6.

Допускаемое напряжение по пределу текучести

[]

150

6,1

240

===

МПа.

Сплошное круговое сечение

При кручении с изгибом в условии прочности вала геометрической

характеристикой является момент сопротивления по изгибу.

Для сплошного сечения

W = .

Выразив в условии прочности момент сопротивления через диаметр d,

получаем условие для необходимых размеров диаметра вала:

[]

эквIV

σπ

32M

d ≥ ;

[]

7,59

150π

1013,332

σπ

эквIV

⋅

⋅⋅

=≥

d мм.

Для сплошного сечения по ряду нормальных линейных размеров

(НЛР) принимаем d = 63 мм.

Для кольцевого сечения

(

)

α−=

W ,

тогда

()

[]

эквIV

σ1π

⋅α−

≥

()

1,71

1508,01π

1013,332

⋅−

⋅⋅

≥D мм, d = 0,8D = 56,88 мм.

Для кольцевого сечения по ряду НЛР принимаем

D = 75,0 мм; d = 56,0 мм.

194

Сравниваем веса валов:

()()

.6,1

175

1α1π4

4π

кольцо

круг

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

α−

−⋅⋅

⋅⋅

Вал кольцевого сечения в 1,6 раза легче вала кругового сечения, следо-

вательно, экономичнее вала сплошного сечения.

12 Вычисляем для вала кольцевого профиля нормальные и касательные

напряжения в наиболее напряжённых сечениях и эквивалентные напряже-

ния по IV теории

прочности.

Максимальное нормальное напряжение

резIVmax

max

=σ .

В сечениях С и D действует

max

резIV

= 3,13 кН ⋅ м.

Момент сопротивления по изгибу в этих сечениях кольцевого профи-

ля равен

()

106,28

75π

α1

⋅=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

=−=

W мм

5,109

106,28

10133

max

⋅

МПа.

Максимальное касательное напряжение

крmax

max

τ =

В сечениях С и D действует

max

= 0,88 кН ⋅ м.

Полярный момент сопротивления в этих сечениях сплошного круго-

вого профиля равен W

= 2 W

, W

= 2 · 28,6 · 10

= 57,2 · 10

мм

4,15

102,57

1088,0

1max

max

⋅

МПа.

Максимальное эквивалентное напряжение в сечениях С и D равно

()()

7,1124,1535,109τ3σσ

max

кольцо

эквIV

=⋅+=+= МПа.

Момент сопротивления по изгибу в этих сечениях сплошного круго-

вого профиля равен

105,24

63π

⋅=

⋅

W мм

. 5,127

105,24

10133

max

⋅

МПа.

195

Максимальное касательное напряжение

1max

max

τ =

В сечениях С и D действует

max

= 0,88 кН ⋅ м.

Полярный момент сопротивления в этих сечениях сплошного круго-

вого профиля равен W

= 2 W

, W

= 2 · 24,5 · 10

= 49,0 · 10

мм

96,17

100,49

1088,0

1max

max

⋅

МПа.

Максимальное эквивалентное напряжение в сечениях С и D равно

()()

2,13196,1735,127τ3σσ

max

maxэквIV

=⋅+=+= МПа.

Вывод

Вал кольцевого сечения предпочтительнее вала кругового сечения.

Его вес почти в 1,5 раза меньше веса вала сплошного кругового сечения.

Максимальное эквивалентное напряжение в сечениях С и D :

−

для вала кольцевого профиля 7,112σ

кольцо

эквIV

= МПа;

−

для вала сплошного сечения

2,131σ

круг

эквIV

МПа.

Максимальное эквивалентное напряжение у вала кольцевого сечения

ниже, чем у вала сплошного сечения на 16 %.

196

7 Устойчивое равновесие деформируемых

систем

Вводная часть

В системе, находящейся в деформированном состоянии, равновесие

между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами уп-

ругости может быть не только устойчивым, но и неустойчивым.

Устойчивость формы равновесия деформированного тела зависит от

величины приложенной к нему нагрузки. Нагрузка, превышение которой

вызывает потерю устойчивой формы равновесия тела, называется критиче-

ской силой – Р

кр

Для обеспечения определённого запаса устойчивости необходимо,

чтобы удовлетворялось условие

Р ≤ [P], (1)

где Р – действующая нагрузка; [P] – допускаемая нагрузка.

[]

кр

P =

, (2)

где n

– коэффициент запаса устойчивости.

Коэффициент запаса устойчивости зависит от материала и назначения

стержня. Его величина назначается в зависимости от специфики техноло-

гии, условий эксплуатации, степени ответственности конструкции и опре-

деляется или соответствующими правилами и нормами, или ориентируется

на опыт.

Для стержней, работающих на сжатие, выполняются два расчёта: рас-

чёт на прочность

и расчёт на устойчивость. Результатом первого расчёта

является назначение предварительных размеров поперечного сечения

стержня. Определение необходимых размеров поперечного сечения при

расчёте на устойчивость в отличие от других видов расчёта возможно лишь

методом последовательных приближений, носит характер проверочного.

Предварительно определяется необходимость расчёта на устойчи-

вость в зависимости от гибкости λ стержня и

условия закрепления гибких

сжатых стержней.

Гибкость стержня вычисляется по зависимости

min

= , (3)

где µ – коэффициент приведения длины, принимаемый для расчёта в зави-

симости от конструкции опорных закреплений стержня. Величина (µ·l) яв-

197

ляется приведённой длиной стержня. Значение коэффициента µ принимает-

ся по таблицам справочника. Примеры закрепления стержня и соответст-

вующие им коэффициенты µ приведены на рисунке 7.1.

i – наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня:

нетто

min

i =

, (4)

где J

min

– наименьший момент инерции поперечного сечения;

нетто

– площадь поперечного сечения стержня.

Рисунок 7.1 – Примеры закрепления сжатых стержней

Кроме геометрических характеристик стержня и способов его закреп-

ления гибкость зависит также от материала.

Так, например, для стали Ст. 3, если 0 ≤ λ ≤ 40, то элемент является

массивом или брусом и расчёт на устойчивость не требуется; в таком случае

для проверки работоспособности элемента конструкции используется усло-

вие прочности при простом сжатии

]σ[

cж

нетто

max

≤=σ

. (5)

Если 40 ≤ λ ≤ 100, то для некоторых материалов можно воспользо-

ваться формулой Ф. Ясинского

= а – bλ + с λ

, (6)

где а, b, с – коэффициенты, зависящие от свойств материала.

198

В таблице 7.1 приведены значения коэффициентов а, b и с напряже-

ний стержня, работающего в нелинейной стадии продольного сжатия.

Таблица 7.1 − Значения коэффициентов а, b, с и λ

a b c

Материал

МПа

Ст. 3 3100 11,4 0 61

Ст. 5 3500 11,5 0 57

Чугун 7760 120 0 53

Дюралюминий

Д16Т

4060 28,3 0 30

Сосна и ель 293 1,94 0

Примечание. λ

– значение гибкости, при котором критическое напряжение рав-

но пределу текучести материала стержня.

Если λ > 100, то применима формула Эйлера для определения крити-

ческой нагрузки Р

кр

Величина критической силы по формуле Эйлера

()

кр

P = . (7)

Формула Эйлера получена из дифференциального уравнения упругой

линии, поэтому её применимость справедлива, пока критическое напряже-

ние не превышает предела пропорциональности

пц

кр

σσ ≤=

. (8)

На практике при расчёте на устойчивость принято пользоваться не

допускаемым напряжением на устойчивость

[

]

[

]

σσσ

уmax

≤

, а допускае-

мым напряжением на сжатие

[]

сж

σφσ ≤=

кр

с соответствующим попра-

вочным коэффициентом ϕ.

Различают два вида расчёта на устойчивость по коэффициенту φ: по-

верочный и проектировочный. При поверочном расчёте исходят из извест-

ных размеров и формы поперечного сечения стержня.

199

Прежде всего определяют наименьший осевой момент инерции J

min

площадь F, затем вычисляют минимальный радиус инерции

min

= ,

а также гибкость

min

= .

Определив гибкость, находят по таблице коэффициент ϕ. По найден-

ному ϕ определяют допускаемое напряжение на устойчивость

]_[][

, (9)

сравнивают действительное напряжение

=σ

с допускаемым напряжени-

ем на устойчивость [σ]

и выясняют, удовлетворяется ли условие

σ ≤ [σ]

При проектировочном расчёте исходят из условия

[]

−

≤

= σσ

. (10)

Необходимое сечение определяется формулой

[]

−

F . (11)

Кроме искомой площади F, в последнем соотношении неизвестным

является также и коэффициент ϕ . Поэтому при подборе сечения приходит-

ся пользоваться методом последовательных приближений, варьируя вели-

чину коэффициента ϕ .

Обычно при первой попытке принимают ϕ

= 0,5…0,6.

Приняв ϕ

по формуле (11), определяют F и подбирают соответст-

вующее сечение. Зная сечение и определив J

min

, i

min

и λ, устанавливают фак-

тическое значение коэффициента ϕ

Если ϕ

значительно отличается от ϕ

, то и напряжение будет отли-

чаться от допускаемого. Тогда следует повторить расчёт, т. е. предпринять

вторичную попытку, приняв среднее по величине значение между коэффи-

циентами ϕ

и ϕ

′

+ϕ

=ϕ .

В результате второй попытки устанавливают ϕ

Если требуется третья попытка, то расчёт повторяют при

′

=ϕ

и т. д. Обычно на практике удаётся обойтись двумя-тремя попытками.

200

При заданном сечении условие (10) можно использовать для опреде-

ления допускаемого значения нагрузки Р или предельной длины l стержня

через его гибкость λ, обеспечивающих устойчивость стержня.

7.1 Расчёт на устойчивость сжатого стержня

Стальной стержень составного поперечного сечения сжимается про-

дольной силой. Установить, при каком значении силы Р обеспечивается ус-

тойчивость стержня.

Подобрать безопасные размеры кольцевого и составного поперечных

сечений равнопрочного устойчивого стержня.

Цель:

−

вычислить допускаемую нагрузку;

− подобрать безопасные размеры кольцевого поперечного сечения

равнопрочного стержня;

−

сравнить веса стержней с составным и кольцевым поперечными се-

чениями;

−

определить фактические коэффициенты запаса для стержней с коль-

цевым и составным поперечными сечениями.

Данные для расчёта взять из таблиц 7.1.1 и 7.1.2.

Таблица 7.1.1 − Геометрические параметры сжатого стержня

№ варианта

Параметры

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

l, м 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 3,9 3,7 3,5 3,3

c, мм 12 14 16 20 28 32 32 28 18 10

Таблица 7.1.1 (продолжение)

№ варианта

Параметры

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

l, м 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 3,9 3,7 3,5 3,3

c, мм 14 20 20 24 26 30 28 26 22 20

Таблица 7.1.1 (продолжение)

№

варианта

Параметры

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

l, м 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 3,9 3,7 3,5 3,3

c, мм 32 34 36 40 40 50 48 46 38 30