Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

151

Таблица 5.1.2 − Скручивающие моменты М

i

и отношение диаметров α

i

кольцевого сечения

M

1

M

2

M

3

α

2

α

3

α

4

Вариант

кН·м –

1 3,0 1,0 0,5 1,2 0,5 1,0

2 0,5 0 1,0 1,0 1,5 2,0

3 1,5

−1,0

0,5 1,5 1,0 1,5

4 0,4

−0,8

0,3 1,0 1,0 2,0

5 1,5 0 2,0 2,0 1,0 0,6

6 3,0

−5,0

0 1,2 1,5 2,0

7 1,0 1,0 0,5 1,4 0,6 1,0

8 0,1

−0,5

0,2 0,5 0,5 1,0

9 1,0 2,0 3,0 1,5 1,0 0,5

10 2,5

−1,0

1,5 2,0 1,5 2,0

11 0,5 0 0,5 1,0 0,5 1,0

12 3,0 1,5

−1,5

1,8 1,0 1,0

13

−2,0

3,0 0 0,8 1,0 0,5

14 1,5

−1,0

0,6 1,0 1,0 0,5

15 3,0

−3,0

5,0 1,0 1,5 2,0

16 2,0

−1,0

3,0 0,5 1,0 0,5

17 0

−2,0

1,0 0,8 0,5 0,8

18 5,0

−3,0

1,2 0,7 0,4 0,6

19 1,5 0 2,5 1,0 2,0 0,5

20 0,4

−0,8

1,0 2,0 1,0 1,0

21 0,2 0,4 0 1,0 2,0 1,5

22 2,0 1,0 3,0 1,0 2,0 0,5

23 0 5,0 2,0 0,5 1,0 1,0

24

−3,0

2,0 1,0 1,2 1,8 2,0

25 2,0 4,0 0 1,5 1,5 1,0

26 0,5 0 1,5 0,5 1,0 0,5

27 0 3,0 2,0 0,2 0,5 1,0

28 3,0

−2,0

4,0 1,5 1,0 2,0

29 0 3,0

−2,0

0,5 1,0 0,8

30 1,0 3,0

−1,0

0,5 1,5 1,0

152

Таблица 5.1.3 − Длины участков, материал и допускаемый относительный угол

закручивания вала

l

1

l

2

l

3

l

4

Вариант

м

Материал

[θ],

град·м

-1

1 0,35 0,50 0,20 0,35 Ст. 3 2

2 0,55 0,30 0,45 0,25 Ст. 4 1

3 0,40 0,20 0,60 0,30 Ст. 5 4

4 0,25 0,25 0,55 0,55 10 5

5 0,65 0,45 0,25 0,50 Сталь 20 3

6 0,15 0,35 0,10 0,45 30 6

7 0,20 0,30 0,40 0,20 40 1

8 0,35 0,55 0,35 0,15 50 4

9 0,55 0,25 0,55 0,25 40Х 2

10 0,70 0,10 0,45 0,15 Ст. 5 3

11 0,15 0,45 0,10 0,70 5

12 0,35 0,35 0,50 0,20 4

13 0,40 0,30 0,20 0,60 5

14 0,25 0,55 0,55 0,25 3

15 0,65 0,50 0,45 0,25 Латунь ЛС59-1 5

16 0,15 0,45 0,35 0,10 2

17 0,20 0,20 0,30 0,40 5

18 0,35 0,15 0,55 0,35 1

19 0,55 0,25 0,25 0,55 5

20 0,70 0,15 0,10 0,45 4

21 0,25 0,65 0,65 0,25 3

22 0,15 0,65 0,25 0,35 4

23 0,65 0,25 0,25 0,65 АЛ-13 2

24 0,25 0,25 0,65 0,65 3

25 0,65 0,25 0,65 0,25 Алюминие- 1

26 0,25 0,65 0,25 0,65 вые сплавы 6

27 0,65 0,15 0,35 0,25 Д16 5

28 0,35 0,25 0,65 0,15 4

29 0,15 0,25 0,65 0,35 6

30 0,25 0,15 0,35 0,65 5

153

Рисунок 5.1.2 − Схемы расположения шкивов на валу

5

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

1

2

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

6

3

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

7

4

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

8

4

154

Рисунок 5.1.2 (продолжение)

9

13

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

1612

11 15

1410

155

Рисунок 5.1.2 (продолжение)

9

21

10

22

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

2420

19 23

18

17

156

Рис. 5.1.2 (продолжение)

29

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

25

26

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

30

27

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

31

4

M

1

M

2

M

3

M

4

l

2

l

1

l

3

32

28

157

Пример выполнения

Трансмиссионный вал постоянного круглого поперечного сечения по-

сажен на подшипниковых опорах. К шкиву 1 подводится мощность, которая

передаётся через шкивы 2, 3, 4 – N

i

(кВт).

Частота вращения вала n об·мин

–1

.

Положение шкивов с подводимой и отводимой мощностью указано на

схеме рисунка 5.1.1.1.

Требуется:

– определить диаметр вала из условия прочности и жёсткости;

– построить эпюры М

к

i

, τ, ∆φ.

Исходные данные для расчёта по варианту _____ взяты из табли-

цы 5.1.1 и рисунка 5.1.2.

Материал вала – сталь;

модуль сдвига G = 0,8·10

5

МПа;

допускаемое напряжение на сдвиг [τ] = 40 МПа;

допускаемый угол закручивания [θ] = 0,4 град/м;

потребляемая мощность N

2

= 40 кВт;

N

3

= 40 кВт; N

4

= 20 кВт;

частота вращения n = 300 об/мин;

расстояния между шкивами l

1

= 0,4 м; l

2

= 0,6 м; l

3

= 1,0 м.

1 Составляем и вычерчиваем расчётную схему вала (рисунок 5.1.1.1).

Определяем характерные участки I, II, III и их границы А, В, С, D (рису-

нок 5.1.1.2).

М

1

0,4 0,6 1,0

М

4

М

3

М

2

Рисунок 5.1.1.1 – Расчётная схема вала

158

2 Определяем величину мощности, подводимой к ведущему шкиву 1

трансмиссионного вала.

Мощность на ведущем шкиве равна сумме потребляемых мощностей:

N

1

= ∑ N

i

,

кВт100

4321

=

+

=

NNNN

3 Вычисляем скручивающие моменты на шкивах:

м.кН64,055,9

м,кН27,155,9

м,кН18,3

300

100

55,955,9

4

3

2

1

⋅==

⋅===

n

N

M

n

N

M

n

N

M

n

N

M

Рисунок 5.1.1.2 – Расчётная схема вала. Эпюры М

к

, τ, φ

Эпюра М

к

,

кН·м

2,54 1,27

0,64

Эпюра τ,

МПа

21,0

5,3

10,5

Эпюра φ,

рад ·10

–3

6,3

0,45

00

М

1

0,4 0,6 1,0

М

4

М

3

М

2

А

B

CD

I II III

0

00

3,1

159

4

Для определения крутящих моментов используем метод сечений.

Вычисляем крутящие моменты на валу по участкам

1

:

I участок: М

к1

= М

4

= 0,64 кН · м;

II участок: М

к2

= М

4

– М

1

= 0,64 – 3,18 = – 2,54 кН · м;

III участок: М

к3

= М

4

– М

1

+ М

2

= 0,64 – 3,18 + 1,27 = – 1,27 кН · м.

Строим эпюру крутящих моментов (рисунок 5.1.1.2).

По эпюре крутящих моментов видно, что наиболее нагруженным яв-

ляется второй участок вала.

5

Определяем опасное сечение.

Из эпюры М

к

видно, что опасным сечением будет сечение, где поса-

жен ведущий шкив 1, так как в этом сечении М

к2

имеет максимальное зна-

чение

max

M

к2

= 2,54 кН ⋅ м.

Определяем наименьшую величину диаметра вала по условию проч-

ности.

Условие прочности

[]

τ≤=

P

W

M

кmax

max

τ .

Требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения из

условия прочности

[]

τ

кmax

M

W

P

=

.

Полярный момент как геометрическая характеристика вычисляется по

формуле

16

3

d

W

P

π

= .

Приравняв правые части, получим

[]

τ

кmax

3

16

M

d

=

π

.

Откуда

[]

068,0

1040π

1054,216

π

16

3

6

3

2к

=

⋅⋅

=

τ⋅

⋅

≥

M

d

м, d = 68 мм.

Определяем наименьшую величину диаметра по условию жёсткости.

Условие жёсткости по углу закручивания в градусах

][θ

π

180

θ

кmax

max

oo

o

≤=

P

GJ

M

,

1

Правило знаков крутящих моментов. Крутящий момент считается положитель-

ным, если он направлен против часовой стрелки при взгляде со стороны внешней нор-

мали к сечению.

160

][

π

180

θ

кmax

o

⋅

⋅=

G

M

J

P

;

32

π

4

d

J

P

= .

Приравнивая правые части, получаем

][

π

180

32

π

θ

кmax

4

o

G

Md

= .

Откуда находим необходимый диаметр по условию жёсткости

082,0

0,4π108π

1801054,232

π

180

][π

32

4

10

3

4

2к

θ

=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅

⋅

≥

o

G

M

d

м; d = 82 мм.

Из найденных диаметров по условиям прочности и жёсткости выби-

раем бóльшее значение d = 82 мм, которое округляем до большего из ряда

нормальных размеров (см. приложение С) d = 85 мм.

Для d = 85 мм момент сопротивления

4

33

1021,1

16

085,0

16

−

⋅=

⋅π

=

⋅π

=

d

W

p

м

3

;

момент инерции

6

44

101,5

32

0,085π

32

π

−

⋅=

⋅

=

⋅

=

d

p

J

м

4

.

6 Определяем касательные напряжения по участкам и строим их

эпюру.

Касательные напряжения в любом сечении вала выражаются зависи-

мостью

.

к

p

i

W

М

τ =

Вычисляем касательные напряжения по участкам вала

3,5

1021,1

1064,0

τ

4

3

1к

1

=

⋅

==

−

p

W

М

МПа;

0,21

1021,1

1054,2

τ

4

3

2к

2

−=

⋅

⋅−

==

−

p

W

М

МПа;

5,10

1021,1

1027,1

τ

4

3

3к

3

−=

⋅

⋅−

==

−

p

W

М

МПа.

Эпюра касательных напряжений показана на рисунке 5.1.1.2.

Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.