Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

121

Угол поворота сечения, проходящего через центр тяжести опоры

А,

равен

105010102

1025,4

25,4

⋅⋅⋅

⋅−

−

ммкН

ммммкН

⋅

⋅⋅

= – 0,42·10

– 6

рад = – 0,0886′′.

На практике угол поворота сечений балок обычно не превышает 1°.

Знак «−» показывает, что поворот опорного сечения

А произошёл по

часовой стрелке.

Кривизна упругой линии балки в определённом сечении связана с из-

гибающим моментом в этом сечении зависимостью:

Вычисляем прогибы в сечениях

C и D и сравниваем их с допускае-

мым.

Допускаемый прогиб для заданной балки

[f] = 0,002 L, где L = 3а = 6 м; [f] = 0,002 · 6000 мм = 12 мм.

I участок : 0 ≤ z

≤ а.

В начале участка I изгибающий момент М

> 0, следовательно, кри-

визна упругой линии балки

> , выпуклость кривой направлена вниз.

На этом же участке наблюдается переход от положительного изги-

бающего момента к отрицательному: М

< 0.

Следовательно, имеется сечение, где М

= 0, а упругая линия имеет

точку перегиба.

Прогиб сечения

А z

= 0, y

= 0.

Прогиб сечения

С z

= а = 2 м, y

≠ 0.

Составляем уравнение прогиба y

, используя универсальное уравне-

ние изогнутой оси балки (1).

= а = 2 м.

(

)

(

)

(

)

2462

θ0

432

МаEJyEJ

AxСx

+−++=

(

)

(

)

(

)

7,76

60225,4

432

+−+⋅−=

Сx

yEJ .

мкН53,2277,1103,1333,1327,1021205,8 ⋅=−=+−+−=

Сx

yEJ .

мм25,2

02,10

53,22

105010102

1053,2253,22

⋅⋅⋅

⋅

y < [f] = 12 мм.

122

Так как изгибающий момент на первом участке меняет знак, то опре-

деляем координату точки перегиба.

Функция изгибающего момента

на первом участке

(

)

qzYMM

⋅+⋅−=

(см. I часть расчёта) при M

= 0 преобразуется в квадратное уравнение

()

=+⋅− M

Корни уравнения

2,1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±⋅= ;

м79,695,2835,360

7,76

=+=⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=z ;

м9,0885,095,2835,360

7,76

≈=−=⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=z

Первый корень не имеет физического смысла, так как нет сечения

балки с координатой z = 6,79 м. Перегиб упругой линии балки находится на

расстоянии 0,9 м от начала координат.

При переходе с первого участка на второй изгибающий момент в точ-

ке

С опять меняет знак. Соответственно упругая линия балки в этой точке

имеет перегиб. На схеме в точках перегиба показаны касательные, перпен-

дикулярные к левой и правой сторонам кривой изогнутой оси балки.

Так как момент за точкой перегиба отрицательный, выпуклость пара-

болы направлена в сторону положительного направления оси Y, поэтому за

точкой перегиба

происходит дальнейший рост прогиба балки до макси-

мального значения

max

= 2,25 мм < [f] = 12 мм.

II участок 0 ≤ z

≤ 2а.

Прогиб сечения

С z

= а = 2 м, y

= 2,25 мм.

Прогиб сечения

D z

= 2a = 4 м, y

≠ 0.

Составляем уравнение прогиба y

При z

= 2a = 4 м

Отсчёт переменных z*, z**, z*** принят от начала координат, а не от первого

сечения участка.

123

(

)

(

)

(

) ()

2θ0

2432

210

аа

МаEJyEJ

AxDx

−

++−+⋅⋅+=⋅

()

(

)

(

)

(

)

3,18

7,76

60425,4

2432

−

++−+⋅−=⋅

yEJ

кН ⋅ м

мм82,1

02,10

3,18

105010102

103,183,18

⋅⋅⋅

⋅

y < [f] = 12 мм.

Определяем положение точки перегиба упругой линии балки.

Функция изгибающего момента на втором участке:

(

)

qzYMMM

+−+= .

При M

= 0 квадратное уравнение имеет вид

()

=++− MM

Корни уравнения

()

2,1

МM

+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±⋅=

;

675,484,0835,3)8060(

7,76

=+=+⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=z м;

()

0,384,0835,38060

7,76

=−=+⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=z м.

Первый корень не принадлежит второму участку, так как результат

относится к сечению третьего участка. Перегиб упругой линии балки нахо-

дится на расстоянии 3,0 м от начала координат в точке

. На эпюре проги-

бов просматривается ещё одна точка перегиба

. Она принадлежит верши-

не параболы. В этой точке изгибающий момент имеет максимум на ду-

ге

Приравняв производную изгибающего момента на этом участке нулю,

вычисляем координату точки перегиба

(

)

КAx

qzYMMM +⋅−+= ,

833,3

6676

0;0

===⇒=⋅+−=

zzqY

КA

м.

124

833,3

z м.

() () () ()

;81,1923,73504,755396,13488,17994,71876,44029,16

2833,3

833,3

7,76

833,3

60833,325,4

2432

=−=++−+−=

−

++−+⋅−=

=⋅

Кx

yEJ

98,1

02,10

81,19

105010102

1081,19

81,19

⋅⋅⋅

⋅

y мм < [f] = 12 мм.

III участок: 0 ≤ z

≤ 3а.

Прогиб сечения

D z

= 2a = 4 м, y

− = 1,82 мм.

Прогиб сечения

В z

= 3а = 6 м, y

= 0 мм.

Перегибы на этом участке по эпюре изгибающих моментов не про-

сматриваются, так как изгибающий момент изменяется линейно и не меняет

своего знака на всём протяжении участка.

Функция изгибающего момента на третьем участке:

(

)

******

−⋅⋅+⋅−+= zqzYMMM

Имеем линейное уравнение

(

)

.0244

***

=⋅⋅−++−⋅ qMMYqz

Откуда

() ()

м.882,5

3,3

7,67420

8208060

***

−⋅

⋅

−

−⋅

⋅+−−

= z

qМM

Граничным условиям удовлетворяет единственное значение

882,5

***

=z м.

Значение этой координаты говорит о том, что начало искривления

балки в сторону пролёта не может произойти непосредственно в опоре и

величина этой координаты зависит в большой мере от округления результа-

тов числовых подсчётов с периодичностью после запятой

Строим упругую кривую прогибов балки (рисунок 3.1.1.7).

Чтобы избежать грубых округлений, иногда бывает более рационально решать

задачу в символике с безразмерными коэффициентами.

125

5 Из условия жёсткости определяем геометрические характеристики

поперечного сечения балки: момент инерции, момент сопротивления и

площадь.

По эпюре прогибов принимаем для расчёта на жёсткость максималь-

ный прогиб сечения

С.

По условию задачи прогибы сечений балки не должны превышать до-

пустимой величины [f] = 12 мм.

Рисунок 3.1.1.7 – Эпюры изгибающих моментов M

и прогибов y

Эпюра M

кН·м

53,4

6,6

–

26,6

III

0,885

Эпюра y

мм

●

2,994

1,82

1,98

2,25

3,833

1,74

126

Условие жёсткости

[]

мм12

5322

=≤

= f

откуда

[]

мм10939

12102

1053,2253,22

⋅=

⋅⋅

⋅

≥

6 Результаты расчёта

− Максимальный прогиб находится в конце первого участка и при-

надлежит сечению

С.

−

Его величина меньше допускаемого прогиба

max

= 2,25 мм < [f] = 12 мм.

−

Принятый двутавр № 27 (ГОСТ 8239–89. Сталь прокатная. Балки

двутавровые) удовлетворяет поставленным условиям по прочности и по жё-

сткости.

Его характеристики:

−

момент сопротивления W

= 371 см

;

−

момент инерции J

= 5010 см

−

площадь сечения F = 40,2 см

−

вес 1 погонного метра q = 31,5 кг/м.

Вывод

Применять двутавр № 27 «а» нецелесообразно.

127

4 Статически неопределимые балки

при изгибе

Вводная часть

Статически неопределимые балки – это такие балки, в которых сило-

вые факторы невозможно определить с помощью уравнений равновесия. В

таких балках количество связей больше, чем необходимо для равновесия,

т. е. часть связей является лишней или дополнительной. Следовательно, по-

являются так называемые лишние неизвестные силы. Для раскрытия стати-

ческой неопределимости, т. е. вычисления

лишних неизвестных сил, при-

меняется так называемый метод сил

Расчёт по методу сил проводят в такой последовательности.

Устанавливают степень статической неопределимости.

Путём удаления лишних связей заменяют исходную систему ста-

тически определимой, называемой основной системой. Таких систем можно

построить несколько, соблюдая при этом условие их геометрической неиз-

меняемости.

Основную систему нагружают заданными внешними силами и

лишними неизвестными усилиями, заменяющими действие удалённых свя-

зей, в результате чего получают эквивалентную систему.

Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем не-

известные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации основ-

ной системы не отличались от деформаций исходной статически неопреде-

лимой системы. Для этого перемещения точек приложения лишних неиз-

вестных по направлению их действия приравнивают нулю. Из получаемых

таким образом уравнений определяют значения лишних неизвестных

уси-

лий. Определение перемещений соответствующих точек можно произво-

дить любым способом, однако лучше использовать при этом наиболее об-

щий метод Мора или способ Верещагина.

После установления значений лишних неизвестных усилий произ-

водят определение реакций и построение эпюр внутренних усилий, подбор

сечений и проверку прочности обычным способом. Дополнительные урав-

нения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по на-

правлениям действия лишних неизвестных сил, удобно составлять в так на-

зываемой канонической форме, т. е. по определённой закономерности.

При расчёте статически неопределимых систем в качестве неизвестных можно

принимать как силы, так и перемещения. В первом случае применяется так называемый

метод сил, во втором – метод перемещений.

128

Система канонических уравнений метода сил для определения пе-

ремещений представляет собой сумму перемещений от безразмерной еди-

ничной силы, умноженной в Х раз, и от полезной рабочей нагрузки (M, P, q).

Общий вид системы:

()

,,3,2,10

сн

niХ

iPk

K==∆+⋅

∑

где δ

− перемещение по направлению i-го силового фактора под действием

k-го единичного фактора равного

1 (податливость от безразмерной единич-

ной силы); X

– неизвестная k-я сила; ∆

− перемещение по направлению

i-го силового фактора под действием внешних сил; n

cн

− степень статиче-

ской неопределимости.

Система канонических уравнений может быть представлена матри-

цей, в которой количество уравнений равно степени статической неопреде-

лимости системы (СНС). В общем случае для n раз СНС имеем систему

из n уравнений

332211

31333232131

22323222121

11313212111

=∆+δ+δ+δ+δ

∆

δ+

+δ

nPnnnnnn

Pnn

XXXX

KKK

Физический смысл каждого члена уравнений

В первом уравнении δ

− перемещение точки приложения первого

лишнего неизвестного по собственному направлению, вызванное действием

единичного значения этого неизвестного. Произведение δ

представляет

собой перемещение той же точки по тому же направлению, вызванное си-

лой Х

. Второй член δ

представляет собой перемещение той же точки по

тому же направлению, вызванное силой Х

и т. д. Член ∆

представляет со-

бой перемещение в том же месте и по тому же направлению, вызванное

внешней нагрузкой. В целом вся левая часть каждого уравнения представ-

ляет собой суммарное перемещение точки приложения силы Х

по направ-

лению этой силы, вызванное всеми силами.

Это суммарное перемещение приравнивается нулю, так как в задан-

ной системе оно отсутствует.

Вид этих уравнений не зависит от вида конструкции и её нагружения,

а зависит лишь от степени статической неопределимости (ССН). В этом за-

ключаются универсальность и удобство метода.

129

4.1 Расчёт на прочность и жёсткость

статически неопределимой балки

при плоском поперечном изгибе

К статически определимой балке (по схеме задачи 3.1, рисунку 3.1.1)

добавлена лишняя связь (опора) в заданной точке

К. Балка стала статически

неопределимой (рисунок 4.1).

Цели задачи:

−

раскрыть статическую неопределимость;

−

построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

−

из условия прочности по допускаемым нормальным напряжениям

подобрать двутавровое сечение балки;

−

проверить жёсткость балки;

−

произвести оценку влияния дополнительной опоры на прочность

и жёсткость балки заданной схемы.

Исходные данные принять из предыдущей задачи 3.1 (по таблице 3.1

и рисунку 3.1.1).

Порядок расчёта

1 Составить расчётную схему балки по условиям задачи 3.1 и доба-

вить в точке

К дополнительную шарнирно-подвижную опору.

Составить уравнения статики. Определить степень статической не-

определимости.

Раскрыть статическую неопределимость с помощью метода сил.

Проверить правильность раскрытия статической неопределимости.

Определить Q

и М

и построить их эпюры.

Рисунок 4.1 – Заданная схема балки с дополнительной опорой D

в заданной точке К

130

Подобрать из условия прочности по допускаемому нормальному

напряжению двутавровое поперечное сечение балки.

Определить с помощью метода начальных параметров прогибы

в характерных сечениях. Построить приближённую изогнутую ось балки

с помощью эпюры изгибающих моментов М

. Определить максимальный

прогиб (y

max

). Проверить жёсткость балки.

Скорректировать из условия жёсткости номер двутаврового се-

чения.

Сделать выводы.

Пример выполнения

Расчёт на прочность и жёсткость статически неопределимой

балки при плоском поперечном изгибе

К балке, лежащей на трёх опорах и загруженной поперечными силами

(схема из задачи 3.1), в заданной точке

К добавлена лишняя опора (рису-

нок 4.1.1).

Цели задачи:

−

раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры Q и M;

−

из условия прочности по допускаемым нормальным напряжениям

подобрать двутавровое сечение балки;

−

проверить жёсткость балки;

−

произвести оценку влияния дополнительной опоры на прочность и

жёсткость балки заданной схемы.

Исходные данные по варианту _______ приняты из предыдущей зада-

чи (по таблице 3.1 и рисунку 3.1.1).

= 60 кН·м, а = 2 м, [σ] = 160 МПа,

= 80 кН·м, Е = 2·10

МПа, [τ] = 90 МПа,

q = 20 кН/м, G = 0,8·10

МПа, [f] = 0,002 L

мм.

Рисунок 4.1.1 – Схема трёхопорной балки

а а