Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
111
I участок:
0 ≤
z
1
≤ а; а = 2 м
()
()
2
1
111
I
1
z
zqzYМM
Ax
Z
⋅+−=
.
()
2
2
1
11
I
1
z
qzYМM
Ax
Z
+−=
.
z
1
= 0
()
мкH60
0
1
I
⋅=
=Z
x
M
.
z
1
= 2
()
мкH4,53
2
2
2027,7660
2
I
2
1
⋅−=⋅+⋅−=
=Z
x
M
.
Рисунок 3.1.1.4 – Эпюры поперечных сил Q
Y
и изгибающих моментов M
X
53,4
Эпюра M
X
60
6,6
0
M
X
26,6
–
+
7,1
Y
Z
Y
B
М
2
q
M
1
a
a
a
Y
А
А В
3,3
3,3
36,7
76,7
–
+
Эпюра Q
Y
Z
1
Z
2
Z
3
D
C
0 0
112
Исследуем функцию изгибающего момента на максимум на каждом
участке.
85,3
20
7,76
0,0
,0
11
===⇒=+−=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
q
Y
zzqYQ
Q
dz
dM
dz
dM
A
Ay
y
x
x
м.
Абсцисса z
1
не принадлежит первому участку.
Она показывает положение максимального момента вблизи конца
второго участка на продолжении параболической кривой первого участка.
II участок: 0
≤ z
2
≤ а; а = 2 м.
()
()()
(
)
2
2
2221
II
2
za
zaqzaYММM
Ax
Z
+
⋅+++−+=
.
()
()
(
)
2
2
2
221
II
2
za
qzaYММM
Ax
Z
+
++−+=
.
z
2
= 0
()
мкH6,26
2
2
2027,768060
2
II
0
2
⋅=⋅+⋅−+=
=Z
x
M
.
z
2
= 2 м
()
()
(
)
мкH6,6
2
22
20227,768060
2
II
2
2
⋅−=
+
⋅++⋅−+=
=Z
x
M.
Определяем значение максимального момента на втором участке.
()
2
II
zаqYQ
AY
++−=
= 0 ⇒ z
2
= 76,7 / 20 – 2 = 1,835 м.
Определяем экстремум
М
х
при z
2
= 1,835 м.
()
()
(
)
()
()
.мкH074,7
2
835,12
20835,127,768060
2
2
2
2
221
II
835,1
2
⋅−=
+
++⋅−+=
=
+
++−+=
=
za
qzaYММM
Ax
Z
III участок: 0 ≤
z
3
≤ а; 0 ≤ z
3
≤ 2 м.
()
3
III
3
zYM
Ax
Z
⋅−=
;
z
3
= 0
()
0
0
3
III
=
=Z
x
M
;
z
3
= 2
()
6,623,3
2
3
III
−=⋅−=
=Z
x
M
кН · м.
Вывод: значение максимального изгибающего момента примем
по построенной эпюре.
113
Строим эпюру изгибающих моментов
M
х
.
По эпюре
()
60
0
1
I
max
=
=Z
x
M кН ⋅ м.
4
Выполняем расчёт на прочность по допускаемым нормальным и
касательным напряжениям для двутавра и строим эпюру σ и τ по высоте
опасного сечения
А.
В нём одновременно
1
действуют максимальный изгибающий момент
max
М
х
и максимальная поперечная сила
max
Q
у
.
Условие прочности по допускаемым нормальным напряжениям
[]
σσ
max
max
≤=
x
x
W
M
.
Определяем необходимый минимальный момент сопротивления
[]
37510
160
1060
σ
3
6
max
=⋅
⋅
=≥
x
x
M
W
см
3
.
Выбор профиля поперечного сечения по моменту сопротивле-
ния W
x
и построение эпюр нормальных и касательных напряжений по
высоте сечения
− Выбираем двутавровое сечение.
По ГОСТ 8239–89 Сталь прокатная. Балки двутавровые.
Двутавр № 27, W
X
= 371 см
3
или двутавр № 27 «а», W
X
= 407 см
3
.
Проверяем прочность двутавра № 27 по нормальным напряжениям.
W
x
= 371 см
3
, F = 40,2 см
2
, J
x
= 5010 см
4
, S
x
= 210 см
3
,
толщина стенки d = 6,0 мм, ширина полок b = 125 мм.
[]
МПа160σМПа7,161
10371
1060
σ
3
6
max
=<=
⋅
⋅
==
x
W
M
.
Превышение напряжений составляет
%1,1%100
160
7,161
=⋅=δ и не вы-
ходит за пределы допускаемых 5 %.
Двутавр № 27 «а» в этом случае можно не применять.
1
Если максимальные усилия действуют в разных сечениях, то выполняются два
расчёта по каждому из максимальных усилий. Условия прочности при этом должны
удовлетворяться для обоих сечений.
114
Проверка прочности по допускаемым касательным напряжениям
Допускаемые касательные напряжения определяются в зависимости
от нормальных напряжений [σ] по соотношению
[τ] = 0,6·[σ].
[τ] = 0,6·160 = 96 МПа. Принимаем [τ] = 90 МПа.
Условие прочности по касательным напряжениям
для стенки
[]
ττ
max
max
≤=
dJ
SQ
X
X
.
[]
МПа90τМПа6,53
6105010
10210107,76
τ
4
33
max
=<=
⋅⋅
⋅⋅⋅
= .
Характеристики двутавра № 27 соответствуют условиям прочности
по нормальным и касательным напряжениям.
Имеется превышение допускаемых нормальных напряжений в допус-
тимых пределах δ = 1,1 % < 5 %.
Вычисляем значения напряжений, распределённых по высоте попе-
речного сечения.
Зависимость нормальных напряжений от координаты y
y
J
M
x
⋅=
max
σ .
Из формулы видно, что при y = 0 σ = 0, т. е. вдоль оси Z располага-
ется нейтральный слой, в котором нет нормальных напряжений σ.
Так как в формуле переменная y содержится в первой степени, на-
пряжения σ изменяются по линейному закону.
Поэтому для построения эпюры нормальных напряжений достаточно
вычислить напряжения в двух
характерных точках:
2
2,1
h
y
±=
;
2
h
y
=
МПа7,161
2
270
105010
1060
σ
4
6
=⋅
⋅
⋅
=
2
h
y −=
МПа7,161
2
270
105010
1060
4
6
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
⋅
⋅
=σ
.
Строим эпюру нормальных напряжений (рисунок 3.1.1.5).
115
Зависимость касательных напряжений от координаты y
[]
ττ
max
max
≤=
d
x
J
SQ
xy
.
Из формулы видно, что касательные напряжения по высоте сечения
изменяются в зависимости от переменного соотношения
d
S
x
(т. е. от ши-
рины поперечного сечения в искомом уровне и значения статического мо-
мента сопротивления сечения выше искомого уровня).
Изменение касательных напряжений происходит по закону параболи-
ческой кривой. Ширина сечения у двутавра меняется по высоте и имеет
значение для стенки d = 6 мм, для полки b = 125 мм.
Соотношение
X
J
Q
ymax
для выбранного двутавра остаётся постоян-
ным
X
J
Q
ymax
= const.
4
4
3
max
103,15
105010
107,76
−
⋅=
⋅
⋅
=
X
J
Q
y
.
В стенке двутавра в зависимости от y изменяется величина S
x
в преде-
лах 0 ≤ S
x
≤
max
S
x
= 210 см
3
.
Рисунок 3.1.1.5 – Эпюры нормальных и касательных напряжений
в сечении двутавра № 27
0
270
161,7
+
–
161,7
σ, МПа
t
h/2
125
40,6
19,5;
53,6
3, 4
2''
1
3', 4'
τ, МПа
0
0
0
0
116
При y
0
= 0 d = 6 мм, S
x
= S
max
= 210 см
3
.
МПа6,53ττМПа6,53
6
10210
103,15τ
max
3
4
===
⋅
⋅=
−
,
.
При
2
2,1
h
y ±= d = 6 мм, S
x
= 0, τ = 0.
Для построения параболической кривой эпюры τ необходимо иметь
ещё не менее двух значений y.
Назначим ещё два уровня при y
3, 4
с шириной полки b = 125 мм.
При
мм1,130
2
89
2
270
22
4,3
=−=−=
,th
y
и b = 125 мм.
34
4,3
мм109,151,1308,9125
4,3)
⋅=⋅⋅== ytb
x(
S
.
МПа5,19
125
109,15
103,15τ
4
4
4,3
=
⋅
⋅⋅=
−
.
При y
3, 4
= 130,1 мм, d = 6 мм,
34
4,3
мм109,15
)
⋅=
x(
S
,
МПа6,40
6
109,15
103,15τ
4
4
4,3
=
⋅
⋅⋅=
−
.
Строим эпюру касательных напряжений для характерных уровней
поперечного сечения двутавра № 27 (см. рисунок 3.1.1.5).
Определяем минимальный необходимый момент сопротивления для
других типов сечения.
5
Определяем безопасные размеры поперечных сечений для круга,
кольца и прямоугольника.
−
Выбираем круговое сечение:
мм5,15
14,3
37132
π
32
32
π
3
3
x
3
=
⋅
==⇒=
W
d
d
W
x
.
2
22
мм6,188
4
5,1514,3
4
π
круг
=
⋅
==
d
F .
−
Кольцевое сечение:
8,0==α
D
d
()
мм6,18
)8,01π
0,37132
)1π
32
1
32
π
3
4
3
4
4
3
=
−
⋅
=
α−
=⇒α−=
((
W
D
D
W
x
x
.
()
(
)
22
2
2
2
кольца
мм3,1608,01
4
618π
1
4
π
=−=α−=
,D
F .
117
−
Прямоугольное сечение с отношением сторон h = 2b.
Требуемый момент сопротивления
()
мм2,80,371
2
3
3
2
6
2
6
3
3
2
2
==⇒=== b
bbbbh
W
x
,
h = 2 b = 2 · 8,2 = 16,4 мм.
9,13441628
прямоуг
=
⋅
=
=
,,bhF
мм
2
.
6
Сравниваем веса балок с подобранными поперечными сечениями.
Сравнение веса балок одинаковой длины аналогично сравнению их
площадей поперечных сечений (таблица 3.1.1.1).
Таблица 3.1.1.1 – Сравнение веса балок разных профилей поперечных сечений
Профиль сечения Двутавр Круг Кольцо Прямоугольник
F
i
, мм
2
40,2 188,6 160,3 134,9
Соотношение
площадей
1
F
F
i
1 4,7 4,0 3,4
Вывод
•
Наименьший вес имеет двутавровая балка. Следовательно, по усло-
вию прочности балка с таким профилем поперечного сечения является наи-
более экономичной.
•
Худший вариант представляет балка с круговым сечением. Её вес
почти в 5 раз превышает вес балки с двутавровым профилем поперечного
сечения.
II часть Расчёт на жёсткость балки
по допускаемому прогибу [f] методом начальных
параметров
Цель: из условия жёсткости определить необходимый момент сопро-
тивления поперечного сечения балки и подобрать по нему двутавр.
Исходные данные
для расчёта принять по таблице 3.1
1
, рисунку 3.1.1
и результатам расчёта I части задачи 3.1.
Допускаемый прогиб для всех вариантов задач принять [f] = 0,002 L
i
.
1
Знак «–» в таблице 3.1 означает, что соответствующую нагрузку следует на-
правлять в противоположную сторону.
118
Величина L
i
– это есть расстояние между опорами L
1
или это расстоя-
ние от опоры до свободного конца балки L
2
.
Если по заданной схеме балка на двух опорах имеет ещё участок с не-
закреплённым концом, то определяются прогиб между опорами и прогиб
свободного незакреплённого конца. Подбор сечения производится по усло-
вию жёсткости, которое удовлетворяется для участков балки как в случае
закреплённых концов, так и при наличии свободного конца.
Условия жёсткости для
таких балок:
[
]
[]
⎩
⎨
⎧
=≤
=≤
.002,0
;002,0
22max
11max
fLf
fLf
Порядок расчёта
1 Выбрать систему координат и назначить положение координатных
осей.
2
По способу закрепления балки определить граничные условия и
начальные параметры.
3
Составить рабочее уравнение метода начальных параметров.
4
Определить числовые значения неизвестных начальных параметров.
5
Из условия жёсткости определить геометрические характеристики
поперечного сечения балки: момент инерции, момент сопротивления и
площадь.
6
Результаты расчёта.
Сделать выводы.
Пример выполнения II части
Цель:
из условия жёсткости определить необходимый момент сопро-
тивления поперечного сечения балки и подобрать по нему двутавр.
1 Для балки (из задачи 3.1, части I) выбираем координатную систему
и назначаем её положение относительно концевых сечений.
Балка статически определимая. Известны все внешние активные и ре-
активные силы и условия закрепления балки.
Используем прямоугольную правую декартову
систему координат.
Помещаем начало отсчёта в центре тяжести концевого сечения
А.
В сечении
А известно наличие и значение силовых параметров. Это
внешний момент М
1
, реактивная сила Y
A
, равномерно распределённая на-
грузка q. Так как равномерно распределённая нагрузка q распространяется
не на всю длину балки, дополняем её на третьем участке до опоры
В и од-
119
новременно прикладываем на этом участке компенсирующую нагрузку q
противоположного направления (рисунок 3.1.1.6).
2 Определяем граничные условия по способу закрепления балки и на-
чальные параметры.
При поперечном изгибе под действием внешних сил возникают де-
формационные перемещения – линейные по вертикали и угловые в плоско-
сти YOZ. Линейное перемещение y
0
центра тяжести сечения А невозможно,
так как балка имеет неподвижное закрепление опоры
А. Угловое перемеще-
ние – поворот сечения θ
0
не ограничен, так как закрепление опоры – шар-
нирное.
Предварительно необходимо определить поворот сечения θ
0
как по
величине, так и по направлению для дальнейших вычислений прогибов и
поворотов сечений с любыми координатами z, которые отсчитываются в
данном методе от нуля принятой координатной системы.
Таким образом, по условиям закрепления начальные параметры сле-
дующие:
−
по перемещениям: y
0
= 0, θ
0
≠ 0.
−
по внешним силам: Y
A
= 76,66 кН.
Действующие силовые факторы:
М
1
= 60 кНм; М
2
= 80 кНм;
q = 20 кН /м; Y
B
= 3,33 кН.
Из всех данных для составления уравнения метода начальных пара-
метров имеем один неизвестный параметр θ
0
≠ 0.
Рисунок 3.1.1.6
−
Рабочая расчётная схема балки
для метода начальных параметров
В
q
Y
Y
B
a
М
2
q
M
1
a
a
Y
А
А
III
II
I
C
D
z
1
z
2
z
3
Z
120
3 Составляем рабочее уравнение метода начальных параметров для
численного определения параметра θ
0
.
Уравнение упругой линии продольной оси балки по рабочей схеме
(см. рисунок 3.1.1.6).
+−+⋅⋅+⋅=⋅
>>
>
00
1
0
0
!3!2!1
θ
32
0
z
A
z
z
xxix
z
Y
z
M
z
EJyEJyEJ
()
(
)
.
!4
2
!2!4
2
0
42
2
4
azaz
z
az
q
az
M
z
q
>>
>
−
−
−
++ (1)
Прерыватель
az >
указывает, от какой координаты начинает учиты-
ваться член уравнения, стоящий перед знаком прерывателя.
В уравнение не вошла реакция
Y
В
, так как по схеме отсутствуют се-
чения с координатой z > 3a.
Прогиб y
0
и угол поворота θ
0
определяем из условий поведения балки
на опорах.
Опора
В препятствует вертикальному перемещению сечения В так
же, как и опора
А. Таким образом, имеем ещё одно условие по перемещени-
ям: при z = 3a, y
В
= 0. Оно позволит определить поворот сечения θ
0
в опо-
ре
А.
4 Определяем числовое значение начального параметра θ
0
.
Подставляем в уравнение (1) значение z = 3а.
(
)
(
)
(
)
()()
.0
4321
23
2
3
4321
3
321
3
2
3
3θ0
42
432
2
10
=
⋅⋅⋅
−
−
−
+
+
⋅⋅⋅
+
⋅⋅
−+⋅⋅+=
aa
q
aа
М
a
q
a
Y
а
МаEJyEJ
AxBx
()
(
)
(
)
(
)
.
24
2
2
4
24
6
6
6
2
6
6
1
θ
4
2432
210
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−+−=⋅ qМqYМEJ
Ax
После подстановки значений Y
A
, М
1
, М
2
и q получаем
()
.мкН25,467,0208805420367,671860
6
1
θ
2
0
⋅−=⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−=⋅
x
EJ
2
0
мкН25,4θ ⋅−=⋅
x
EJ
.