Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

141

Рисунок 4.1.8 – Расчётная схема трёхопорной балки

и эпюры внутренних усилий

, Q

и перемещений

Эпюра Q

= 0

III

19,4

Эпюра

Эпюра y

мм

0,2

2,7

0,7

0,5

142

Составляем по участкам функции поперечных сил и изгибающих мо-

ментов.

Поперечные силы:

I участок: Q

= – Y

+ q · z;

z = 0, Q

= – 75 кН,

z = a, Q

= – 35 кН.

II участок: Q

= – Y

+ q(a + z);

z = 0, Q

= – 35 кН;

z = a, Q

= + 5 кН.

III участок: Q

= – Y

+ q 2a – Y

;

0 ≤ z ≤ a, Q

= 0.

Строим эпюру Q

(см. рисунок 4.1.8).

Изгибающие моменты:

I участок:

qMM

⋅−+=

;

z = 0, M

= + 60 кН · м;

z = a, M

= – 50 м.

II участок:

(

)

()

zаY

zа

qMMM

+−

++=

z = 0; M

= + 30 кН · м;

z = 2 м M

= 0.

В сечении, где Q

= 0, находится экстремум изгибающего момента.

Определяем положение этого сечения:

= – Y

+ q (a + z) = 0;

откуда

75,1

4075

−

qaY

м;

()

38,192275

7512

208060

=+⋅−

++=

кН · м.

III участок: отсчёт z на третьем участке справа налево.

0 ≤ z ≤ a, M

= 0.

Строим эпюру M

(см. рисунок 4.1.7).

По эпюре максимальный момент

max

= 60 кН · м.

Выбираем из условия прочности по [σ] размер профиля сечения.

Изменение расчётной схемы балки с введением дополнительной опо-

ры не привело к изменению значения максимального изгибающего момен-

та. Поэтому принятый по условию прочности (задача 3) двутавр № 27 для

143

двухопорной балки не может быть заменён на двутавр с меньшим попереч-

ным сечением для трёхопорной балки.

Максимальная поперечная сила практически не изменилась от введе-

ния третьей опоры.

Максимальные касательные напряжения:

− в двухопорной балке

max

τ = 53,6 МПа,

− в трёхопорной балке

max

τ = 52,4 МПа.

Максимальные касательные напряжения в трёхопорной балке снизи-

лись незначительно, всего на 2 % .

Соблюдение условия прочности по нормальным напряжениям не по-

зволяет уменьшить размеры поперечного сечения трёхопорной балки.

Принимаем двутавр № 27 по ГОСТ 8239–89 Сталь прокатная. Балки

двутавровые. W

= 371 см

, F = 40,2 см

, J

= 5010 см

, S

= 210 см

, толщина

стенки d = 6,0 мм, ширина полок b = 125 мм.

Определяем методом начальных параметров прогибы в характер-

ных точках.

Используем расчётную схему на рисунке 4.1.7.

Начальные параметры.

Внешние силы в начале координат:

= 60 кН ⋅ м, Y

= 75 кН, q = 20 кН/м.

Перемещения в начале координат y

= y

= 0, θ

≠ 0.

Из условия невозможности вертикального перемещения сечения

составляем уравнение y

= 0, из которого определяем EJ

Опора

D z = 4 м.

()

22462

432

100

−

+⋅+−+⋅⋅+⋅=⋅

MzEJyEJyEJ

AxxDx

(

)

604θ

432

−

+⋅+−+⋅⋅

EJ .

()

32,13

3,531603,213800480

−=−=++−−=⋅

EJ кН ⋅ м

Сечение K

z = 1 м.

.мкН03,583,05,12303,13

603,13

1θ

432

⋅+=+−+−=

=+−+−=

=⋅+−+⋅⋅=⋅ qYMEJyEJ

AxЕx

144

5,0

50102

1003,5035

⋅

мм.

Сечение

С z = 2 м.

.7,63,131001206,26

6023,13

2θ0

432

+=+−+−=

=+−+⋅−=

=⋅+−+⋅⋅+=⋅ qYMEJyEJ

AxСx

7,0

50102

106,67,6

⋅

мм.

Сечение

z = 3 м.

(

)

.7,26405,675,3372703,13

6033,13

3θ

432

=++−+−=

=++−+⋅−=

−

+⋅+−+⋅⋅=⋅ MqYMEJyEJ

AxКx

66,2

50102

107,26726

⋅

мм.

Сечение

z = 5 м.

(

)

5θ

432

−

+⋅+−+⋅⋅=⋅ MqYMEJyEJ

AxКx

.83,136083,5205,15627505,66

625

125

6053,13

−=++−+−=

=++−+⋅−=⋅

Кx

yEJ

83,1

−=⋅

Кx

yEJ

кН ⋅ м

18,0

50102

1083,1831

−=

⋅

−=−=

мм.

Проверяем жёсткость балки.

Максимальный прогиб

84002,0][66,2

⋅

мм.

Строим упругую линию балки.

145

По найденным прогибам в сечениях

А, К

, С, К

, К

, В, пользуясь

следствиями из дифференциальных зависимостей Журавского (свойства

эпюр Q и М), строим приближённую упругую линию балки (эпюра

С введением третьей опоры жёсткость балки практически осталась

такой же, как и у двухопорной балки.

Максимальные прогибы на участках оказались не более 3 мм.

По условию жёсткости поперечное сечение могло быть уменьшено,

но условие прочности не позволяет изменять номер двутавра.

Корректировка размеров поперечного сечения не требуется.

Выводы

• Введение третьей опоры не снижает максимального нормального

напряжения и не позволяет уменьшить размеры поперечного сечения балки

и изменить номер двутавра на меньший.

•

Максимальный изгибающий момент для двухопорной и трёхопор-

ной балок имеет одно и то же значение, поэтому и максимальное нормаль-

ное напряжение в сечениях

А у них одинаковое:

max

σ = 161,7 МПа, отклоне-

ние которого находится в допустимых пятипроцентных пределах.

•

Введение дополнительной опоры в конце второго участка балки в

сечении

D исходя из условия прочности является неэффективным.

•

Характеристики принятого двутавра № 27 соответствуют условиям

прочности по нормальным и касательным напряжениям. Имеется превы-

шение допускаемых нормальных напряжений в допустимых пределах

δ = 1,1 % < 5 %.

146

5 Расчет на прочность и жесткость

валов круглого поперечного сечения

при кручении

Вводная часть

Брус испытывает кручение, если нагружен парами сил в плоскостях,

перпендикулярных к его оси.

Брусья, испытывающие кручение, называются валами. Вращение вала

осуществляется за счёт привода с известными характеристиками мощности.

Мощность может быть задана в киловаттах (кВт) или в лошадиных

силах (л. с.). Внешний скручивающий момент может быть найден из сле-

дующей зависимости:

− если известна мощность, выраженная в киловаттах

, то

)мкГ(60,973

)миноб(

кВт

97360

⋅=

⋅

)(N

− если известна мощность в лошадиных силах

, то по формуле

)мкГ(20,716

)миноб(

с.л.

71620

⋅=

⋅

)(N

В Международной системе единиц (СИ) скручивающий момент опре-

деляется следующей зависимостью:

)мкН(

)мин(обω

)кВт

55,9

⋅

В системе СИ N – мощность в ваттах,

π2

n⋅

= – угловая скорость вращения в радианах

в секунду (рад·с

– 1

При кручении в поперечных сечениях бруса возникает только один

внутренний силовой фактор – крутящий момент.

При определении крутящих моментов пользуются методом сечения. В

любом поперечном сечении вала крутящий момент численно равен алгеб-

раической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных по одну

сторону от рассматриваемого сечения.

1 кВт приближенно равен 102 кГм/с.

1 л. с. равна 75 кГм/с

147

Крутящий момент считается положительным, если со стороны внеш-

ней нормали к сечению внешний скручивающий момент направлен против

часовой стрелки.

Условие прочности при кручении бруса круглого сплошного попе-

речного сечения имеет вид

][

кmax

max

τ≤=τ

где

max

τ – максимальное касательное напряжение в опасном сечении;

max

– максимальный крутящий момент в опасном сечении бруса;

[τ] – допускаемое напряжение при кручении;

– полярный момент сопротивления сечения.

– для сплошного поперечного сечения,

где d – диаметр сплошного сечения.

(

)

α−

– для кольцевого поперечного сечения,

где D – наружный диаметр кольцевого сечения;

=α – отношение внутреннего диаметра к наружному диаметру

кольцевого сечения;

– внутренний диаметр кольцевого сечения.

Угол закручивания сечения на участке, где крутящий момент имеет

линейную зависимость, определяется по формуле закона Гука:

=ϕ

где l – длина участка, на котором определяется угол закручивания;

G – модуль упругости второго рода (при сдвиге);

– полярный момент инерции.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины бруса, называ-

ется относительным углом закручивания:

θ =

в радианах или

180

в градусах.

Если θ > 0, то знак угла закручивания совпадает со знаком крутящего

момента, и наоборот.

При построении эпюры углов закручивания рационально вести отсчёт

в обе стороны от сечения, где расположен ведущий шкив вала.

148

Условие жёсткости имеет вид

]θ[θ

кmax

max

≤=

(1)

или ]θ[

180

кmax

max

≤=

, (2)

где

max

θ – максимальный относительный угол закручивания в опасном

сечении бруса;

max

– максимальный крутящий момент в опасном сечении бруса;

[θ] – допускаемый угол поворота в опасном сечении бруса;

– полярный момент инерции сечения;

= – для сплошного сечения;

()

α−=

– для кольцевого сечения.

Единицы измерения для первой формулы (1):

max

θ и [θ], рад/м ;

max

, Н·м; G , Па; J

, м

Единицы измерения для второй формулы (2):

max

и [θ

], град/м;

max

, Н·м; G , (Па); J

, м

При расчёте вала по условиям прочности и жёсткости при определе-

нии диаметра из найденных двух значений принимается бóльшее.

Расчёт статически неопределимых валов производится аналогично

расчёту прямолинейного стержня при осевом растяжении (сжатии). Урав-

нение статики дополняется деформационным уравнением.

Отбрасывается заделка, например, опора В (А), с неизвестным реак-

тивным моментом М

В (А)

. Так как сечение в заделке не поворачивается, то

можно составить деформационное уравнение ϕ

= 0, где крутящие моменты

в сечениях каждого участка выражаются через неизвестный момент М

В (А)

Общий вид этого уравнения

∑

=ϕ

lМ

В развёрнутом виде:

33к

22к

11к

=++++=ϕ

ppp

lМ

L .

149

5.1 Расчет трансмиссионного вала

на прочность и жесткость при кручении

Цель: для трансмиссионного вала постоянного круглого поперечного

сечения требуется определить его диаметр из условий прочности и жестко-

сти (рисунок 5.1.1).

Рисунок 5.1.1 − Схема расположения шкивов на вале

Общие данные:

материал вала – сталь;

модуль сдвига G = 0,8·10

МПа;

допускаемое напряжение на сдвиг [τ] = 40 МПа;

допускаемый угол закручивания [θ] = 0,4 град / м.

Исходные данные взять из таблиц 5.1.1, 5. 1.2, 5.1.3 и рисунка 5.1.2.

Порядок расчета

1 Вычертить в масштабе расчётную схему вала.

2 Определить величину мощности, подводимой к ведущему шкиву 1

трансмиссионного вала.

3 Определить величину скручивающих моментов, приложенных

к шкивам 1, 2, 3, 4.

4 Определить крутящие моменты по участкам вала и построить их

эпюру.

5 Определить положение опасного сечения и найти диаметр вала из

условий прочности и жёсткости.

6 Определить касательные напряжения по участкам и построить их

эпюру.

7 Определить углы закручивания по участкам и построить их эпюру.

Сделать выводы.

150

Таблица 5.1.1 − Мощности на ведомых шкивах и длины участков вала

Вариант

кВт кВт кВт об/мин м м м

1 40 20 10 400 1,0 0,5 0,5

2 50 25 15 600 0,5 1,0 0,5

3 35 20 30 200 0,5 0,5 1,0

4 60 30 20 400 0,4 0,4 1,0

5 25 40 20 200 0,5 0,5 1,0

6 40 20 20 600 0,4 1,0 0,4

7 60 30 20 200 0,5 0,5 1,0

8 35 20 30 600 0,4 1,0 0,4

9 40 40 20 300 0,4 0,6 1,0

10 30 20 30 400 1,0 0,4 1,0

11 60 30 20 200 0,6 0,6 0,4

12 35 40 30 600 0,4 1,0 0,4

13 60 40 20 300 0,5 0,6 1,0

14 25 40 20 400 0,4 0,4 1,0

15 40 20 20 200 0,6 0,6 0,4

16 60 30 20 300 0,5 0,6 1,0

17 25 40 20 600 0,4 1,0 0,4

18 30 40 30 200 0,6 0,6 0,4

19 40 20 20 400 0,4 0,4 1,0

20 35 20 30 350 1,0 0,4 0,4

21 60 30 20 300 0,5 0,6 1,0

22 40 20 20 400 0,4 0,4 1,0

23 30 40 30 300 1,0 0,6 1,0

24 25 40 20 600 0,4 1,0 0,4

25 40 20 20 350 1,0 0,4 0,4

26 35 20 30 300 0,4 0,6 0,4

27 60 30 20 400 0,4 0,4 1,0

28 30 40 30 200 0,6 0,6 0,4

29 50 45 35 350 1,0 0,4 0,4

30 25 40 20 200 0,6 0,6 0,4