Гельруд Я.Д. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Во-первых, каждый потребитель получает меньше, чем просит, а

может быть ситуация, когда Потребителю требуется именно s

ресурса,

меньшее количество не хватает на осуществления проекта.

Во-вторых, данный механизм «толкает» Потребителей к завышению

заявок в условиях дефицита, поскольку, чем больше Потребитель просит,

тем больше получает. Центр при этом не имеет возможности узнать

реальные запросы потребителей.

Ситуация несколько меняется, если приоритеты разные.

Пример 8. Пусть в дополнение предыдущему

примеру заданы приоритеты

Потребителей А

=1, А

=2, А

=3, А

=4, А

=5.

Задача решается в несколько шагов. На первом шаге вычисляем

=R/ =32/125=0,256.

∑

sА

Вычисляем первый вариант решения х

= γ

=0,256×5=1,28, х

=0,256×16=4,096, х

=0,256×36=9,216,

=0,256×28=7,168, х

=0,256×40=10,24.

Приводим выделенные объемы в соответствие с (2), т.е. х

=7, х

=8.

Теперь остается распределить R=32 – 7 – 8=17 единиц ресурса между

оставшимися Потребителями. На втором шаге вычисляем

=R/ =17/57=0,298.

∑

sА

Вычисляем второй вариант решения х

= γ

=0,298×5=1,5 х

=0,298×16=4,77, х

=0,298×36=10,73. Это решение

удовлетворяет (2), следовательно, это окончательное решение.

Отметим, что заявки с наиболее высоким приоритетом удовлетворены

полностью, но возникает проблема объективности установления

приоритетов.

5.1.2. Механизм обратных приоритетов.

Механизм обратных приоритетов основывается на предположении,

что, чем меньше требуется Потребителю ресурса, тем более обоснована

его заявка. В соответствии с этим распределение ресурса осуществляется

по правилу (5)

,,min

⎬

⎫

⎧

⎭

⎩

⎨

где число γ определяется, как и в механизме прямых приоритетов, из

условия (4).

Из (5) следует, что Потребителю невыгодно подавать очень

маленькую или очень большую заявку, максимальный ресурс он получит,

если его заявка будет удовлетворять условию

Таким образом, равновесным

является набор стратегий Потребителя

(6)

при этом х

= s

. Из условия (4) находим γ:

Отметим, что равновесность стратегий Потребителя (6) заключается в

том, что в случае отклонения от них заявки Потребителя ресурса будет

выделено меньше.

∑

Пример 9. Пусть 5 Потребителей имеют приоритеты 8,6,12,15,11. Ресурс

Центра составляет 60. Определить равновесные заявки, если ресурс

распределяется в соответствии с механизмом обратных приоритетов.

.77,3

11151268

≈

++++

В соответствие с (6) получаем

,7,10877.3

≈⋅=s

,2,9677.3

≈⋅=s

,1,131277.3

≈⋅=s

,6,141577.3

≈⋅=s

.5,121177.3

≈⋅=s

Механизм обратных приоритетов обладает рядом достоинств. В

частности, не происходит неоправданного завышения заявок. Недостатком

является то, что заявки часто оказываются меньше реальных потребностей,

вследствие чего Центр не получает достоверной информации о дефиците.

5.1.3. Конкурсный механизм.

Конкурсный механизм применяется в тех случаях, когда заявки на

ресурс не могут быть урезаны, они

точно рассчитаны Потребителями на

реализацию конкретных проектов. В этих условиях Центр проводит

конкурс заявок. Те, кто победил в конкурсе, полностью получают

требуемый ресурс, а проигравшие не получают ничего.

Реализация этого механизма происходит следующим образом.

Потребители сообщают Центру свои заявки s

, а также величины w

характеризующие эффект, который они намереваются получить. Для

каждого Потребителя вычисляется показатель эффективности

(7)

и затем заявки удовлетворяются полностью в порядке убывания показателя

эффективности.

e =

Пример 10. Имеется 6 Потребителей, подавших заявки в размере 14, 18,

10, 15, 8, 14 и сообщивших Центру соответственно следующие показатели

эффективности: 36, 38, 25, 42, 28, 29. Как распределить ресурс объемом 60

в соответствии с конкурсным механизмом?

Вычислим показатели эффективности

в соответствии с (7)

=36/14=2,57, е

=38/18=2,11, е

=25/10=2,5, е

=42/15=2,8, е

=28/8=3,5,

=29/14=2,07.

Теперь удовлетворяем заявки в порядке убывания показателя

эффективности, т.е. 5, 4, 1, 3, 2, 6. Потребители 5, 4, 1, 3 получают ресурс

полностью (8+15+14+10=47), а Потребители 2 и 6 остаются вообще без

ресурса, так как оставшихся 13 единиц не хватает ни одному из них.

Недостатком этого механизма является возможность того, что

Потребители пообещают большой эффект, получат ресурс, а затем не

выполнят обещанного. Поэтому при реальном применении конкурсного

механизма необходима действенная система контроля и надлежащих

санкций.

5.1.4.

Механизм открытого управления.

В рассмотренных выше механизмах Потребители могут добиться

лучшего для себя распределения ресурса путем искажения информации,

тем самым Центр не получает достоверных данных о запросах

Потребителей. Идея механизма открытого управления заключается в

создании для Потребителей стимулов к сообщению в заявке своих

реальных потребностей.

Один из возможных механизмов открытого

управления заключается в

поэтапном делении ресурса поровну между всеми Потребителями. Если

заявки некоторых Потребителей при этом оказываются удовлетворенными,

они исключаются из дальнейшего распределения, при этом на

соответствующий уже распределенный объем корректируется ресурс

Центра, и распределение продолжается между оставшимися

Потребителями. Когда на очередном этапе равное распределение между

оставшимися Потребителями не удовлетворяет

ни одного из них, тогда все

эти Потребители получают поровну и данный механизм завершается.

Пример 11. Восемь Потребителей подали Центру свои заявки 12, 3, 6, 1, 5,

7, 10, 2. Необходимо распределить 40 единиц ресурса в соответствии с

механизмом открытого управления.

На первом этапе распределяем всем по 40/8=5 единиц ресурса.

Полностью оказываются удовлетворенными 2, 4, 5, 8-ой Потребители (на

общую сумму 3+1+5+2=11 единиц). Остаток 40 – 11 = 29 распределяем

между оставшимися четырьмя опять поровну, по 29/4 = 7,25 единиц.

Удовлетворяются заявки 3-го и 6-го Потребителей (на общую сумму

6+7=13 единиц). Остаток 29 – 13 = 16 распределяем между оставшимися

двумя опять поровну, по 16/2 = 8, они оба неудовлетворенны, но на этом

распределение завершается.

При данном механизме часть Потребителей получают полностью в

соответствии со своей

заявкой, поэтому им не имеет смысла искажать свои

реальные потребности. Неудовлетворенные Потребители не могут

увеличить выделенный им ресурс, ни повышая, ни понижая свою заявку.

Таким образом, при распределении ресурсов в соответствии с описанным

механизмом открытого управления Центр получает достоверную

информацию о реальных запросах Потребителей.

5.2. Управление посредством экспертного опроса.

Требуется определить

объем финансирования проекта, каждый из n

экспертов дает свою оценку s

из отрезка [d, D], после чего определяется

итоговое решение х. Если в качестве решения принять среднее

арифметическое мнений экспертов

∑

то такое решение допускает манипулирование, т.е. эксперт может

сознательно искажать (завышать или занижать) свою оценку, чтобы

добиться необходимого ему результата.

Чтобы избежать манипулирования со стороны экспертов применяют

различные методы. Самый простой

из них – отбрасывают крайние оценки

(минимальную и максимальную), но этот способ позволяет избавиться

только от самых рьяных «лоббистов». Более эффективный способ

заключается в следующем:

Оценки {s

} располагаются по возрастанию, отрезок [d, D]

разбивается на n частей, нижние границы этих частей {v

} располагаются

по убыванию. Итоговым решением является

x = max min {s

, v

Пример 12. Пусть 6 экспертов сообщили следующие оценки из интервала

[40,100]: 65, 90, 45, 80, 75, 90. Расчетные данные сведем в табл. 14.

Таблица 14

i 1 2 3 4 5 6

45 65 75 80 90 90

90 80 70 60 50 40

min {s

, v

} 45 65

60 50 40

В качестве итогового решения берется максимальное число в

последней строке x = 70.

Тема 6. Коллективные решения.

Рассмотрим принципы и методы принятия коллективных решений на

хорошо знакомом всем примере – выборы в некий представительный орган

одного из нескольких имеющихся кандидатов.

6.1. Парадокс Кондорсе.

Французский ученый маркиз де Кондорсе (1743-1794) предложил

следующий принцип определения победителя на демократических

выборах: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с

любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

Принцип де Кондорсе предлагался как демократический и

рациональный. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с

парадоксом, получившим его имя. Пусть на голосование поставлены три

кандидата А, В и С, и голоса 60 избирателей распределились, как в табл.

15.

Таблица 15

Распределение голосов (парадокс Кондорсе)

Число голосующих Предпочтения

23 А, В, С

17 В, С, А

2 В, А, С

10 С, А, В

8 С, В, А

Кандидата А по сравнению с кандидатом С предпочитают 23+2=25

избирателей, тогда как кандидата С по сравнению с кандидатом А

предпочитают 17+10+8=35, т.е. С предпочтительнее А.

Сравнивая попарно аналогичным образом А и В, В и С, получаем: А

предпочтительнее В (33 против 27), В предпочтительнее С (42 против 18).

Получилось противоречие.

Интересно, что если во второй тур выходят два кандидата, то за

бортом остается С, который является более предпочтительным, чем А при

попарном сравнении.

Еще более интересной складывается ситуация в следующем примере

(табл. 16):

Таблица 16. Распределение голосов

Число голосующих Предпочтения

23 А, С, В

19 В, С, А

16 С, В, А

2 С, А, В

При этих результатах голосования при попарном сравнении кандидат

С побеждает двух других кандидатов, но проигрывает им обоим по

большинству голосующих, которые назвали данного кандидата лучшим.

Следовательно, принятие оптимального коллективного решения

существенно зависит от процедуры и критериев выбора.

6.2. Метод Борда.

Согласно этому методу, результаты голосования выражаются в виде

числа баллов

, набранных каждым из кандидатов. Если число кандидатов

равно n, то за первое место присуждается n баллов, за второе – n-1, за

последнее – один балл.

Применим метод Борда к приведенному выше примеру (табл. 16).

Кандидат А набрал 23×3+19×1+16×1+2×2=108 баллов,

кандидат В набрал 23×1+19×3+16×2+2×1=114 баллов,

кандидат С набрал 23×2+19×2+16×

3+2×3=138 баллов.

В соответствие с методом Борда опять побеждает С, который

проигрывает по большинству голосующих.

Можно привести еще более казусный пример (табл. 17).

Таблица 17. Распределение голосов

Число голосующих Предпочтения

31 А, С, В

12 В, С, А

17 С, В, А

Кандидат А набрал 31×3+12×1+17×1=122 баллов,

кандидат В набрал 31×1+12×3+17×2=101 баллов,

кандидат С набрал 31×2+12×2+17×3=137 баллов.

В соответствие с методом Борда опять побеждает С, однако кандидат

А набрал абсолютное большинство голосов: 31 из 60!

6.3. Аксиомы Эрроу.

Существуют и другие системы голосования, например, многотуровый

выбор с

вычеркиванием кандидатов, набравших наименьшее число

голосов, система вычеркивания нежелаемых кандидатов и т.д.

Систематическое исследование всех возможных систем голосования

провел в 1951г. К. Эрроу. Он ввел понятие «идеальной» системы, которая

должна быть одновременно рациональной (без противоречий),

демократической (один человек – один голос) и решающей (позволяла бы

осуществить выбор). Эрроу предложил набор

аксиом, которым должна

удовлетворять «идеальная» система. Аксиомы формировались с позиций

здравого смысла и интуитивно понимаемого понятия справедливости.

• Аксиома универсальности. Система голосования должна

учитывать все возможные распределения голосов.

• Аксиома единогласия. Коллективный выбор должен повторять в

точности единогласное мнение всех голосующих.

• Аксиома независимости от несвязанных альтернатив. Если

избиратель считает, что

кандидат А лучше В, то это предпочтение не

должно зависеть от отношения данного избирателя к прочим кандидатам.

Эта аксиома часто нарушается судьями в фигурном катании. Давая

сравнительные оценки двум сильным фигуристам, они стараются учесть

возможность хорошего выступления третьего сильного кандидата,

оставляя ему шанс стать победителем, для чего занижают оценку А по

сравнению с В при примерно равном их выступлении.

• Аксиома полноты. Система голосования должна позволять

сравнивать любую

пару кандидатов, определяя лучшего.

• Аксиома транзитивности. Если в соответствии с мнением

избирателей кандидат В не лучше кандидата А, а кандидат С не лучше

кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Эта аксиома

обеспечивает рациональность системы.

Эрроу доказал, что системы голосования, удовлетворяющие всем пяти

аксиомам, не являются демократическими:

каждая из них является

правилом диктатора – личности, навязывающей всем остальным

избирателям свои предпочтения.

Результат Эрроу называют «теоремой невозможности», т.к.

требование исключения диктатора приводит к невозможности создания

системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу. Таким

образом, вопрос создания совершенной системы голосования остался

открытым.

Многочисленные попытки несколько изменить аксиомы Эрроу,

смягчить некоторые

требования приводили к созданию систем

голосования, которые обладали рядом существенных недостатков.

С точки зрения реальной жизни важно знать, насколько часто

нарушаются все аксиомы одновременно. Исследования показали, что при

соблюдении первых четырех аксиом рациональность (аксиома

транзитивности) нарушается примерно в 6 – 9% случаев.