Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы

Подождите немного. Документ загружается.

А.Р. ГАЙДУК

НЕПРЕРЫВНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

2-е издание, переработанное

и дополненное

Рекомендовано

Министерством общего и профессионального образования

Российской Федерации в качестве учебного пособия

для студентов, обучающихся по специальностям:

210100 – Управление и информатика в технических системах,

210200 – Автоматизация технических процессов и производств

МОСКВА

Учебно-методический и издательский центр

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

2004

ББК 32.965

Г 14

Таганрогский государственный радиотехнический университет

Гайдук А.Р.

Г-14 Непрерывные и дискретные динамические системы. –2-е изд.

перераб.-М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная лите-

ратура». 2004.- 252с.

Рецензенты:

Кафедра «Информационные и управляющие системы» РГАСХМ

(зав. каф. – д.т.н., проф. Р.А. Нейдорф);

д.т.н., проф. Н.Н. Прокопенко, ЮРГУЭС

В книге излагаются математические методы описания и анализа не-

прерывных и дискретных динамических систем на основе системного под-

хода. Рассматривается взаимосвязь математических моделей вход-выход и

моделей в переменных состояния, вопросы реализации моделей вход-

выход, а также методы исследовании непрерывных и дискретных динами-

ческих систем при детерминированных и случайных воздействиях.

Книга предназначена для специалистов, занимающихся разработкой

современных динамических систем, а также для студентов, магистрантов

и аспирантов соответствующего профиля.

ISBN –5-8367-0025-X

ББК 32.965

Г 14

титульном листе, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………………………………

Г л а в а 1. Математические модели систем……………………...…. 7

§ 1.1. Основные понятия и определения ………………………………. 7

§ 1.2. Общие формы моделей динамических сис

тем…………………..

§ 1.3. Аналитический метод построения моделей…………………….. 22

Г л а в а 2. Решение уравнений динамических систем…………….

§ 2.1. Канонические формы моделей в переменных состояния………

§ 2.2. Общие свойства решений дифференциальных уравнений…….. 49

§ 2.3. Решение линейных дифференциальных уравнений…………….

§ 2.4. Решение систем дифференциальных уравнений……………….. 76

§ 2.5. Определение реакции динамических систем……………………

Г л а в а 3. Преобразование моделей ди

намических систем………

106

§ 3.1. Переход от уравнений в переменных состояния

к уравнениям вход-выход………………………………………………..

106

§ 3.2. Обратный переход от моделей вход-выход к моделям

в пере

менных состояния…………………………………………………

117

§ 3.3. Задача реализации моделей вход-выход……………………….... 130

§ 3.4. Преобразование структурных схем………………………………

133

§ 3.5. Преобразование структурных схем по уравнениям

в переменных состояния………………………………………………...

146

§ 3.6. Полиномиальный метод реализации моделей вход-выход……..

153

Г л а в а 4. Динамические системы при случайных воздействиях.

162

§ 4.1. Случайные воздействия и процессы……………………………..

162

§ 4.2. Случайные векторные процессы…………………………………

171

§ 4.3. Статистические характеристики выходных переменных

в ус

тановившемся режиме……………………………………………….

175

§ 4.4. Переходные процессы при случайных воздействиях…………... 183

§ 4.5. Вычисление диспер

сии выходной переменной………………….

189

Г л а в а 5. Дискретные динамические системы…………………… 193

§ 5.1. Дискретные переменные и их модели…………………………… 193

§ 5.2. Уравнения дискретных систем…………………………………...

198

§ 5.3. Решения разностных уравнений………

………………………….

204

§ 5.4. Решение систем разностных уравнений………………………… 207

Заключение………………………………………………………………

213

Приложения………………………………………………………………

215

Литература………………………………………………………………..

246

ПРЕДИСЛОВИЕ

Динамические системы - это объекты, наиболее часто встречающие-

ся в окружающем нас мире. Это и искусственные технические или фи-

нансовые системы и естественные системы, такие как солнечная система

или, скажем, горная система Кавказа. Методы изучения процессов, про-

текающих в этих системах, составляют предмет теории систем. Наиболее

широкое применение эти методы находят при исследовании автоматиче-

ских систем управления, которые практически всегда являются динами-

ческими с высокой скоростью протекания процессов.

Любая система управления создаётся с целью обеспечения желаемо-

го хода некоторого процесса. Система автоматического управления авто-

матически, без участия человека, поддерживает значения некоторых ве-

личин, определяющих ход управляемого процесса, на заданном уровне,

либо изменяет их в соответствии с целью управления.

Для выполнения этой задачи управляющая часть системы, называе-

мая регулятором, формирует управляющие воздействия – управления,

которые обеспечивают либо компенсацию отклонений, возникающих под

влиянием тех или иных возмущений, либо целесообразное изменение

управляемых величин системы. Управления, очевидно, должны быть

сформированы так, чтобы ход процесса изменялся в нужном направлении

и с определенной скоростью. Для этого необходима информация о цели

управления, а также информация о характере влияния управляющих воз-

действий и возмущений на ход процесса. Последнюю можно получить на

основе тех законов природы, в соответствии с которыми протекает

управляемый процесс.

С другой стороны, в науке и технике все известные законы природы

описываются некоторыми математическими уравнениями. Поэтому для

решения разнообразных проблем управления и анализа движений дина-

мических систем необходимы математические методы решения и иссле-

дования свойств решений алгебраических и дифференциальных уравне-

ний.

Познание причины одного

только явления даёт возможность

нашему уму постичь и установить

другие явления без необходимости

прибегать к помощи опыта…

Галилео Галилей

Основной и наиболее сложной здесь является проблема исследова-

ния зависимости характера и свойств решений соответствующих уравне-

ний от входящих в них параметров и функций. Необходимость решения

этой проблемы обусловлена тем, что информация о характере протекания

исследуемого информационного, технологического или иного процесса

зачастую требуется уже в процессе создания соответствующей динами-

ческой системы.

Решение, преобразование и исследование уравнений, описывающих

динамические системы, осуществляется, естественно, определёнными

математическими методами. Изложение в сжатой форме этих методов и

составляет основное содержание данной книги. При этом предполагается,

что читатель имеет математическую подготовку в объёме двух первых

курсов технического вуза.

Одна из сторон освещаемой в книге проблемы состоит в том, что во

второй половине двадцатого века произошло довольно существенное

расширение математических методов исследования динамических сис-

тем, связанное с применением уравнений систем в переменных состоя-

ния. С другой стороны, не потеряли своей актуальности и эффективности

при решении многих задач и классические методы теории динамических

систем, базирующиеся на понятиях моделей вход-выход: передаточные

функции, частотные характеристики, дифференциальные уравнения вы-

сокого порядка. В связи с этим в книге большое внимание уделяется

взаимосвязи моделей динамических систем в переменных состояния и

моделей вход-выход.

В данную книгу не вошли методы исследования нелинейных дина-

мических систем. Это объясняется, с одной стороны, значительной слож-

ностью большинства из них, а с другой – узкой направленностью и соот-

ветственно, большим разнообразием этих методов, поскольку каждый из

них (за исключением, возможно, метода функций Ляпунова) пригоден

для исследования лишь определённого класса нелинейных динамических

систем.

В первой главе книги рассматриваются основные понятия и опреде-

ления теории динамических систем, в том числе понятие состояния; изла-

гается сущность системного подхода, основные формы математических

моделей как в переменных состояния, так и в форме вход-выход. Здесь

же показан аналитический метод получения математических моделей на

примере системы автоматического регулирования.

Во второй главе вводятся канонические формы уравнений динами-

ческих систем, и рассматриваются общие свойства решений обыкновен-

ных дифференциальных уравнений и их систем. Рассмотрение линейных

систем дифференциальных уравнений ограничивается формой Коши, как

наиболее часто встречающейся. Показано применение изложенных мето-

дов для определения реакции динамических систем на наиболее часто

используемые воздействия.

Третья глава посвящена изучению связей, существующих между

уравнениями динамических систем в переменных состояния и уравне-

ниями вход-выход. Материал этой главы весьма важен с точки зрения

того нового, что привнесло в теорию динамических систем введение по-

нятия состояния. Здесь же излагается метод решения полиномиальных

уравнений, которые используются при решении задач синтеза как линей-

ных, так и нелинейных динамических систем.

В четвёртой главе кратко освещаются математические методы опи-

сания случайных воздействий. Излагаются основы классического и со-

временного векторно-матричного подхода к исследованию динамических

систем, находящихся под влиянием случайных воздействий.

Математические модели дискретных динамических систем в форме

разностных уравнений и методы их исследования рассматриваются в пя-

той главе.

В приложении помещены важнейшие определения и соотношения

справочного характера теории числовых и функциональных матриц.

Ссылки на пункты приложений имеют вид П.Х.Х.

Данная книга является вторым изданием дополненной и существен-

но переработанной монографии [2]. Она предназначена для специали-

стов, занимающихся разработкой систем автоматического управления, а

также для студентов, магистрантов и аспирантов соответствующего про-

филя. Этим объясняется её существенный академический оттенок.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благо-

дарность всем своим близким, а также сотрудникам и коллегам по работе

за конкретную помощь в подготовке рукописи к печати.

Все замечания и предложения по книге будут с благодарностью

приняты. Просим направлять их по адресу: Кафедра САУ, ТРТУ, Некра-

совский 44, Таганрог ГСП-17А, 347928.

Автор

Г л а в а 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

§ 1.1. Основные понятия и определения

Понятие системы. Рассматриваемые в книге методы ориентирова-

ны на исследование систем, точнее, на исследование характера и свойств

их движений. Поэтому остановимся сначала на определении понятия

системы и её движений.

Сис те ма – это совокупность взаимодействующих, взаимосвязан-

ных элементов. Главное, чем интересуется теория систем, это движение

системы. При этом под д ви жени ями си сте мы понимаются любые

изменения её состояния.

Сос то яни е систе мы – это совокупность факторов, координат

или переменных, характеризующих однозначно и полно все движения

системы. Под состоянием системы можно понимать также память систе-

мы, то есть способность системы хранить информацию о собственном

поведении. В дальнейшем состояние системы, ее движения будут харак-

теризоваться совокупностью п ере ме нн ых с ос то ян ия. Число пере-

менных состояния, необходимых для полного и однозначного описания

состояния системы на всем временном интервале ее существования, на-

зывается по рядко м си ст емы и обозначается буквой n.

Таким образом, сис тема – это элементы, связи между ними и ее

состояние, отражающее движения системы. Элементы и связи между ни-

ми часто называются ст рукт ур ой си ст ем ы.

Примеры простейших систем приведены на рис. 1.1. На рис. 1.1,а

показана механическая динамическая система; ее состояние описывается

движением (скоростью и положением) шарика.

С в ет

a ) б )

в )

Рис. 1.1

На рис. 1.1,б приведена тоже механическая, но статическая система,

поскольку перемещения (прогиб, удлинение) балки очень малы. Наконец,

на рис. 1.1, в изображена электрическая схема еще одной динамической

системы. Движениями этой системы являются изменения токов в ветвях

цепи, напряжений на ее элементах, а также изменение интенсивности

светового потока, излучаемого электрической лампочкой. Эти величины

и могут, в частности, выступать в качестве переменных состояния, а их

совокупность может дать представление о состоянии этой электрической

системы.

Системы очень часто изображаются в виде бло к-с хе м, отобра-

жающих функциональное назначение элементов и связи между ними.

Такие блок-схемы называются функциональными схемами. Для примера,

на рис. 1.2 приведена функциональная схема изображенной на рис. 1.1,в

электрической цепи.

Аналогичным образом может изображаться и система в целом. На

рис. 1.3 приведено изображение системы общего вида.

Влияние на систему окружающей среды обычно отображается с по-

мощью вн еш ни х во зд ейс тви й (в ходн ых во здейс тви й). На рис. 1.3

это

. Воздействия могут быть векторными, например,

ggg ] [

. Это вектор-столбец входных воздействий.

Влияние системы на окружающую среду описывается вы ход ны ми

ве ли чи на ми (пер еме нн ыми )

системы. На рис. 1.3 это величи-

ны

3,2,1

yyy

. Они также могут

быть объединены в один вектор

yyyy ] [

321

– вектор вы-

ходных величин системы. Отметим, что

] [

– обозначение операции

транспонирования векторов или матриц (см. П.1.14).

Состояние системы на рис. 1.3

описывается вектором-столбцом

xxx ][

, компонентами которо-

го являются переменные состояния,

ni ,1=

. Это вектор состояния системы.

Если состояние, например, системы, показанной на рис. 1.1,в, описывает-

ся переменными

, то порядок этой системы

Связи Элементы системы

LR ЭЛ

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Любая динамическая система может находиться либо в установив-

шемся, либо в переходном режиме. Ус та но ви вш ийс я режи м систе-

мы – это режим, который может наблюдаться в системе сколь угодно

долго. Все другие режимы или состояния системы называются пер е-

хо дн ым и. Если в установившемся режиме, производные по времени

переменных системы равны нулю, то такой режим называется статиче-

ским.

Состояния системы, в которых скорость изменения переменных со-

стояния равна нулю, называются положениями равновесия системы. В

общем случае система может иметь несколько положений равновесия.

Если на блок-схеме обозначения элементов отображают функцио-

нальное назначение каждого элемента, то, как отмечалось выше, такая

блок-схема называется функциональной схемой. Если же элементы схе-

мы отражают математические преобразования своих входных перемен-

ных, то такая схема называется ст ру кту рной .

Выходная величина (переменная) системы или любого ее элемента в

теории систем рассматривается как р еа кц ия данного элемента на вход-

ную переменную. В общем случае в этой реакции учитываются преды-

дущие состояния этого элемента. Поэтому системы или элементы с вход-

ными переменными (воздействиями) являются как бы преобразователями

входной переменной в выходную. Элементы без входов называются и с-

точн ик ами или ген ера то рам и сигналов. Например, элемент Е на

рис. 1.2 является источником ЭДС. Входные воздействия и выходные

величины часто называются сигналами. При этом имеется в виду инфор-

мационная сторона этих величин.

Типы систем. Если число входных и выходных величин одинаково

и равно 1, то такая система называется од ном ер но й, при этом порядок

ее n может быть любым. На рис. 1.4 приведена блок-схема одномерной

системы.

В обозначениях входных и выходных величин в этом случае индекс

обычно опускают, т.е. изображение одномер-

ной системы будет иметь вид, приведенный на

рис. 1.5.

Если же число входных или выходных

воздействий больше одного, то система назы-

вается м но го мер ной . На рис. 1.3 приведена

блок-схема многомерной системы.

Динамические и статические системы.

Если для описания системы необходимо учиты-

вать скорости изменения переменных, то система

является ди на мич еско й. Если этого не тре-

Рис. 1.4

Рис. 1.5

буется, то система является ст ати ческ ой или бе зы нерц ио нно й.

Стационарные и нестационарные системы. Величины, характери-

зующие, наряду с переменными, элемент или систему, называются их

па рам етр ами . Например, параметрами системы на рис. 1.1,в являются

значение индуктивности, сопротивление резистора, внутреннее сопро-

тивление источника ЭДС и электрической лампы.

В зависимости от характера параметров системы делятся на с та-

ци она рны е и не стац ио нар ные . Параметры с тац ио нар но й систе-

мы постоянны и не изменяются с течением времени. Параметры нес та -

ци она рной системы – это переменные величины, т.е. некоторые функ-

ции времени. Как правило, параметры системы изменяются намного мед-

леннее переменных состояния системы.

Непрерывные и дискретные системы. В н епр ер ыв ной системе

переменные определены во все моменты времени и могут принимать лю-

бые значения в некотором интервале. В д иск ретно й системе перемен-

ные определены лишь в некоторые моменты времени и принимают опре-

деленные дискретные значения. Например, в электрической схеме, при-

веденной на рис. 1.1,в, напряжение на катушке индуктивности L или ток

через резистор R определены в любой момент времени и могут прини-

мать любые (разумеется, ограниченные) значения, скажем, и 1, и 1,5, и –

1,557, т.е. все множество значений из интервала

[

]

−

;

, где M – не-

которое число. Поэтому это непрерывная система.

Примером дискретной системы может служить обычный калькуля-

тор. На его восьмиразрядной шкале можно видеть числа, состоящие

только из восьми знаков цифр или нулей. Ввести в такой калькулятор

число из десяти или пятнадцати цифр нельзя. Другим признаком дис-

кретной системы является скачкообразное, обычно периодическое, изме-

нение значений переменных.

Детерминированные и стохастические системы. Д етер ми ни-

ро ван ные си стем ы – это системы с однозначно определенными пара-

метрами и структурой.

Сто ха сти чес ки е си ст емы – это системы, чьи параметры и

структура не определены однозначно, а могут принимать случайные зна-

чения или случайный вид.

Системный подход. Суть этого подхода, как показано на рис. 1.6,

заключается в том, что вместо изучения реальных систем, во всем их раз-

нообразии, изучаются математические модели этих систем.

Главным обоснованием целесообразности применения системного

подхода является тот факт, что мир, в котором мы живем, устроен так,

что движения реальных систем могут быть описаны (с приемлемой для

практики точностью) решениями некоторых математических уравнений.