Гаспарян Л.Г. Общая физика (Конспекты для студентов ФМИФ)
Подождите немного. Документ загружается.
141
Индуцированный ток имеет такое направление, что его собственное
магнитное поле компенсирует изменение потока магнитной индукции,
вызывающее этот ток.
Учитывая правило Ленца, и то, что из закона Фарадея определяется еди-
ница измерения магнитного потока (поэтому коэффициент пропорциональ-
ности можно принять k=1), для окончательного вида закона Фарадея-Ленца
имеем:
ε
i
═
–
dt
dФ
.
Знак минус, математически выражая правило Ленца, показывает, что ес-
ли поток увеличивается (dФ>0), то
ε
i
<0 и поле индуцированного тока на-
правлено навстречу потоку; если же поток уменьшается (dФ<0), то
ε
i
>0 и
направление родительского поля и поля индуцированного тока совпадают.
Правило Ленца позволяет нам определить направление индуцированно-
го тока. Для этого надо:
а) определить направление магнитного потока через контур (направле-
ние силовых линий В магнитного поля),
б) определить как меняется магнитный поток (увеличивается или
уменьшается dФ/dt),
в) используя правило Ленца, определить направление силовых линий B
i
индуцированного магнитного поля,
г) зная направление силовых линий индуцированного магнитного поля,
определить направление индуцированного тока I
i
, создавшего это поле
(обычно по правилу правой руки).
Как уже отмечалось, из закона Фарадея-Ленца можно по другому опре-
делить единицу измерения магнитного потока вебер (Вб). 1 вебер это такой
поток магнитной индукции сквозь площадь, ограниченную контуром, при
убывании которого до нуля, за 1 с, в контуре индуцируется электродвижущая
сила, равная 1 В.
с
Вб
В
1
1
1 =
или 1 Вб =1 В
.
с =1 Тл
.
м
2
= 1
А
мН
⋅
Следует отметить, что:
• а) Индуцированный ток (индуцированная ЭДС) в контуре появляется
всегда, независимо от способа изменения магнитного потока; это мо-
жет быть и магнитный поток переменного тока, и изменение площади
контура, и т. п..
• б) Для индуцирования ЭДС переменным потоком магнитного поля при-
сутствие замкнутого проводящего контура необязательно. Индуциро-
ванная ЭДС всегда образуется в областях пространства, где происхо-
дить изменение потока магнитного поля: проводящий контур играет
лишь роль индикатора.
Если говорить о природе
ε
i
, то в случаях движения контура в магнитном
поле ЭДС индукции обусловлена действием лоренцевой силы на заряды, на-
ходящиеся в контуре и движущиеся вместе с ним. (Сила Лоренца – сила, дей-
142
ствующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного по-
ля.)
В случае же неподвижного контура, находящегося в переменном (не-
стационарном) магнитном поле, возникновение
ε
i
связанна с вихревыми
электрическими полями, о существование которых впервые высказал Д. К.
Максвелл (1864г.). Он объяснил это тем, что переменное магнитное поле
создает в пространстве переменное электрическое поле и линии напря-
женности магнитного поля концентрически охвачены линиями напря-
женности электрического поля. Вихревые электрические поля, в отличие
от электростатических полей, создаваемые неподвижными, постоянными
электрическими зарядами, не потенциальны.
Напомним, что электростатические поля, создаваемые неподвижными,
постоянными электрическими зарядами, потенциальны (не вихревыми).
Силовые линии этих полей незамкнуты – они начинаются от положитель-
ных зарядов и кончаются на отрицательных зарядах.
В этих полях работа по замкнутым траекториям равняется нулю.
Вихревые электрические поля имеют замкнутые силовые линии и си-
лы этого поля разделяют заряды в проводящем контуре, создавая в нем
ε
i
:
для них
Индуцированные токи возникают и в массивных сплошных проводни-
ках, пронизываемых изменяющимся магнитным полем (токи Фуко). Они мо-
гут быть и полезными (например, для плавки металлов), и нежелательными
или вредными (по этому в трансформаторах и других электроприборах сер-
дечники делают из изолированных пластин или из феррита, у которых элек-
трическое сопротивление очень большое и, следовательно, вихревые токи
малы).
143
§3.8. Закон Ома для полной цепи
(
из
Лаврова
И
.
В
.,
Курс
физики
,1981,
стр
.90
)
Сила Ампера F
A
=IBℓ
Если за время dt перемычка перемещается на dx, то сила Ампера совер-
шает работу IBℓdx.
За это время источник
расходует энергию
ε
Idt на вы-
деление джоулева тепла I
2
Rdt
и перемещение перемычки.
(R – сопротивление контуры).
По закону сохранения
энергии
ε
Idt=I
2
Rdt+IBℓdx.
Считая I=const и
Bℓdx=dФ - изменение магнит-
ного потока, получаем
R
dt
d
I
−+
=
Ф
ε
закон ОМА для полной цепи.
−+
dt
dФ
ε
-алгебраическая сумма ЭДС источника
ε
и ЭДС индукции
ε
i
.
Т.е.
dt
d
i
Ф
−=
ε
(закон Фарадея-Ленца).
§3.9. Индуктивность, самоиндукция, взаимная индукция
Ф – Магнитный поток, связанный с контуром, пропорционален силе то-
ка I в этом контуре:
Ф ~ I
Ф = L
.
I, где L-коэффициент пропорциональности (индуктивность кон-
тура) и зависит от формы контура, его размеров и µ среды.
При изменении силы тока в контуре будет изменятся также и сцеплен-
ный с ним магнитный поток; следовательно по закону Фарадея-Ленца, в кон-
туре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в проводя-
щем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.
Если за dt ток изменился на dI, то изменение магнитного потока dФ=LdI
или иначе, дифференцируя:
dt
dI
L
dt
d
=
Ф
Но по закону Фарадея электромагнитная индукция
dt
d
Ф
−=
ε
.
Отсюда и определение, и единица измерения для индуктивности.
Индуктивность L определяет значения ЭДС самоиндукции, которая
возникает в контуре при изменении силы тока в нем со скоростью 1A/c.
[
L] =
][
][][
I
t
⋅
ε
, [L] → генри (Гн), 1 Гн = 1
А
Вб
А
сВ
1=
⋅
, (1Вб=1Тл·1м
2
).
F
A
dx
B
ℓ
I
I
ε
144
1 Гн индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндук-
ции которого при токе 1 А равен 1 Вб.
Если контур имеет большую индуктивность L, то сила тока в нем не мо-
жет быстро нарастать или убывать, это так называемые экстратоки замы-
кания или размыкания.
Индуктивность L соленоида длиной ℓ, состоящей из n витков, с площа-
дью S, имеющий сердечник с магнитной проницаемостью µ, то магнитный
поток, пронизывающий все витки соленоида (магнитосцепления)
BSn=µ
0
µHSn=LI
Но из примера соленоида:
ℓ
In
H =
,
µµ
0
B
H
=
,
n
B
I
⋅
=
µµ
0
ℓ
L=BSn/I=µ
0
µSn
2
/ℓ=µ
0
µN
2
V.
Где N=n/ℓ число витков на единицу длины соленоида
V=ℓS − объем соленоида.
Явление возбуждения ЭДС в одном контуре при изменениях силы тока в
другом называется взаимной индукцией; коэффициенты пропорционально-
сти, обозначенные L
12
или L
21
или M, называют взаимной индуктивностью
контура.
Естественно L
12
=L
21
.
Трансформаторы
В каждом витке индуцируется
ε
0
электродвижущая сила.
ε
1=
n
1
ε
0
,
ε
2
=n
2
ε
0
, ε
1
/ε
2
=n
1
/n
2
.
Практически
ε
1
=
U
1
-напряжению питающему
трансформатор.
ε
2
=
U
2
-
напряжению на концах
вторичной обмотки.
КПД ≈98%, поэтому мощность в обмотках I
1
U
1
≈I
2
U
2
.
Коэффициент трансформации
2
1
1
2
2
1
n
n
I
I
U
U
K ≈≈=
При K>1, трансформатор понижающий; при K<1 − повышающий.
Иногда коэффициентом трансформации обозначают
1
2
2
1
1
2
1
2
n
n
I
I
U
U
k ≈≈≈=
ε
ε
.
Автотрансформаторы – у которых одна обмотка яв-
ляется частью другой.
V=Sℓ
n
S
ℓ
ε
1
ε
2
U
2
n
2
n
1
U
1
U
1
U
2
145
§3.10. Энергия магнитного поля
Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии.
Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, ко-
торая затачивается током на создание этого поля.
При размыкании цепи с индуктивностью L, возникает ЭДС самоиндук-
ции
ε
, которая поддерживает ток в цепи.
За время dt этот ток совершает работу dA=
ε
Idt=
Idt
dt
dФ
−
=−IdФ.
Но dФ=LdI, поэтому dA=−LIdI.
Полная работа до исчезновения магнитного поля и изме-
нения силы тока от I до 0:
2
2
0
LI
LIdIA
I
=−=
∫
.
Следовательно энергия магнитного поля:
2
2
LI
W
M
=
(вспомним L=µ
0
µN
2
V, H=In/ℓ).
V
H
W
M
2
2
0
µµ
=
Плотность энергии магнитного поля
µµ
µµ
ω
0
22
0
22
BH
V
W
M
M
===
(B=µ
0
µH).
Полная энергия магнитного поля в данном объеме
∫∫∫
===
VVV
MM
dV
B
dV
H
dVW
µµ
µµ
ω
0
22
0
22
Вспомним, что из поля конденсатора вычисляли энергию и плотность энер-
гии электростатического поля:
V
E
W
2
2
0
эл
εε
=
,
εε
εε
ω
0
22
эл
22
DE
V
W
o
эл
===
L
R
146
Гл.4 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
Переменный ток – это ток, периодически изменяющийся по величине и
по направлению. Наиболее распространенным является синусоидальный пе-
ременный ток, мгновенные значения напряжения U или I силы тока I меня-
ются по закону sin или cos (гармонические колебания).
U(t)=U
m
·sinωt; I(t)=I
m
·sinωt, где ω=2πν -круговая частота переменного тока
Эффективные или действующие значения напряжения или силы тока:
U
эфф
=
m
mm
U
UU
⋅≈≈ 71,0
41,1
2
, I
эфф
=
m
mm
I
II
⋅≈≈ 71,0
41,1
2
Дрейф электронов в проводнике при частоте 50Гц, и средней скорости дви-
жения
υ
≈0,1см/с, составляет ≈0,001см. Для ионов в электролите их дрейф
еще меньше. При высокой частоте (сотни КГц) раздражающее действие пе-
ременного тока на организм незначительно, хотя тепловой эффект сохраня-
ется.
Цепь переменного тока с активным сопротивлением
I
R
=U
R
/R
На векторной диаграмме направление I
R
и U
R
совпадают; сдвиг фаз ме-
жду ними равен нулю.
Цепь переменного тока с индуктивностью
Из определения индуктивности в цепи появляется ЭДС
ε
L
=
dt
dI
L−
И так как R=0, падение напряжения на катушке U=IR=0, тогда можно счи-
тать, что прилагаемое напряжение
ε
уравновешивается
ε
L
.
I
R
U
R
t
0
U,I
U
I
~
A
V
R
Начальный момент U
L
=0
ε
L
L
I
L
U
L
t
0
U,I
U
L
I
L
~
A
V
R
→
0
C
→
0
ε
147
Тогда U(t )
dt
dI
L−
=0, U
m
·sinωt
dt
dI
L−
=0 →
t
L
U
dt
dI
m
ω
sin=
→
dtt
L
U
dI
m
⋅=
ω
sin
→
)
2
sin(coscos
π
ωωω
ω
−=⋅−=−=
⋅
tItIt
L
U
I
mm
m
,
где
L
U
I
m
m
ω
=
(постоянная интегрирования С=0).
ωL=2πνL=X
L
−Индуктивное сопротивление
Если [L]→генри, [ν]→герц, то [X
L
]→Ом.
Если в начальный момент U(t)=U
m
·sinωt=0, то
)
2
sin(
π
ω
−=
⋅
tII
m
,
Т.е. U
L
по фазе на π/2 опережает ток I
L
, текущий через катушку.
Цепь переменного тока с емкостью
Мгновенные значения заряда q на пластинах конденсатора
q(t)=CU(t)=CU
m
sinωt, тогда I(t)=
)
2
sin(coscos
π
ωωωω
+=== tItItCU
dt
dq
mmm
где I
m
=ωCU
m
,
X
C
=
С
С
πνω
2
11
=
− емкостное сопротивление цепи и,
если [C] → фарад, [ν] → герц, то [X
C
] → Ом.
Т.к. U(t)=U
m
·sinωt, I(t)=
)
2
sin(
π
ω
+tI
m
, то U
C
по фазе на π/2 отстает от текущего
через конденсатор тока I
C
.
I
C
U
C
t
0
U,I
U
C
I
C
~
A
V
C
R
→
0
L
→
0
ε
148
§4.1. Полное сопротивление цепи при переменном токе.
При переменном токе полное сопротивление цепи, где присутствуют ак-
тивное, индуктивное и емкостное сопротивления, зависит от того, как соеди-
нены эти электрические элементы − резистор, катушка и конденсатор.
При их последовательном соединении общее напряжение складывается
из падений напряженностей на резисторе, на катушке и на конденсаторе.
Вследствие наличия разности фаз между U
L
, U
C
и током I, эти напряжения
должны складываться между собой векторно (т.е. геометрически).
U
R
=IR, U
L
=IX
L
, U
C
=IX
C
,
IZ
C
LRIUUU
XR
=
−+=+=
2
222
1
ω
ω
IZU
=
обобщенный закон Ома для цепи переменного тока,
где X=X
L
−X
C
=
C
L
ω
ω
1
−
, реактивное сопротивление, а
2
2
1
−+=
C
LRZ
ω
ω
−полное сопротивление или импеданс.
При параллельном соединении резистора, катуш-
ки и конденсатора падение напряжения на всех
элементах одинаково равно U, а I=I
R
+I
L
+I
C
, где
I
R
R=U, I
L
X
L
=U, I
C
X
C
=U.
Тогда импеданс определяется по формуле:
2
2
2
2
111111
−+=
−+= C
LRXXRZ
CL
ω
ω
U
R
U
X
=U
L
−U
C
U
U
C
U
L
I
0
X
C
R X
L
U
R
U
L
U
C
U
~
I
C
I
L
I
R
U
R
L
C
~
149
§4.2. Резонанс
При X
L
−X
C
→0, X
L
=X
C
или
C
L
ω
ω
1
=
,
тогда I при том же U сильно возрастает
I
рез
=U/R, а резонансная частота
LC
1
рез
=
ω
или
LC
π
ν
2
1
=
, т.к. ω=2πν.
Существуют:
В данном случае компенсируются U
L
и
U
C
, хотя сами эти напряжения могут
быть гораздо больше чем U.
резонанс токов.
I=I
R
I
C
=I
L
I
K
− реактивный ток без потерей энергии,
I=I
R
активный ток (по внешней цепи).
I
К
I
Резонанс напряжений
U
R
U
L
U
C
U
~
I
C
I
L
I
R
U
R
L
C
~
I
ω
ω
рез
150
Гл.5 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА
(УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА)
В основе теории Максвелла лежат четыре уравнения (1864г.), которые
не только обобщали все, известные к тому времени, экспериментальные за-
кономерности электромагнетизма, но и дали возможность предугадать новые
явления (в частности, существования электромагнитных волн).
В теории Максвелла а рассматриваются макроскопические поля, кото-
рые создаются макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в
объемах V неизмеримо больших, чем объемы V
m
атомов и молекул (V>>V
m
).
Макроскопические поля являются усредненными микрополями. Предполага-
ется, что расстояния r от источников полей до рассматриваемых точек про-
странства значительно превышают линейные размеры d атомов и молекул
(r>>d). Теория Максвелла является теорией близкодействия, согласно кото-
рой электрические и магнитные взаимодействия происходят в электрических
и магнитных полях и распространяются с конечной скоростью, равной ско-
рости света в данной среде.
Для создания своих уравнений, Максвелл ввел понятие тока смещения
(название историческое 1865 г.); это изменение электрического поля со вре-
менем
Если в цепи постоянного тока присутствует
конденсатор, то в такой цепи электрический
ток отсутствует. Но если по такой цепи про-
пустить переменный ток, то амперметр по-
кажет присутствие электрического тока.
Между обкладками заряжающегося и разря-
жающегося конденсатора имеется перемен-
ное электрическое поле, поэтому, согласно
Максвеллу, через конденсатор «протекает»
токи смещения, причем в тех участках, где
отсутствуют проводники.
Переменные токи проводимости, существующие в незамкнутых конту-
рах, всегда замыкаются токами смещения.
Плотность тока смещения
см
j
определяется
быстротой изменения напряженности
Е
электри-
ческого поля, или вектора электрической индук-
ции
D
(вектора смещения).
t
E
j
∂
∂
=
εε
0см
t
D
j
∂
∂
=
см
EEj
γ
ρ
==
1
пров
см
j
направлен как
пров
j
.
Переменно электрическое поле возбуждает во-
круг себя магнитное поле.
Полный ток
t
D
jjjj
провсмпров
∂
∂
+=+=
полн
Электрическое поле может быть как потенциаль-
~
I
пров
I
смещ
I
пров
~
+
_
I
смещ
E
I
пров
I
пров
B
При
зарядке
0>
∂
∂
t
Е