Гаспарян Л.Г. Общая физика (Конспекты для студентов ФМИФ)
Подождите немного. Документ загружается.
131
dH=
µµ
0
dB
и
2
4
sin
r
dI
dH
π
α
⋅
⋅
=
ℓ
(Закон Био – Савара – Лапласа).
Размерность напряженности магнитного поля
[ ]
[
]
[
]
[ ]
2
r
I
H
ℓ
=
=А·м
-1
, а [B]=[µ
0
]·[H].
HB
µµ
0
=
Закон Ампера с напряженностью магнитного поля: dF=µ
0
µ·H·I·dℓ·sinα.
Магнитная индукция
B
аналогична вектору
Е
для электрического поля,
поэтому для нее так же справедлив принцип суперпозиции: для
∑
=
i
ВВ
.
Так как
B
зависит от среды, то
0
ВВ
⋅=
µ
, где
0
В
- магнитная индукция в
вакууме.
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) Ф через
произвольную площадку dS, определяется как элементарный магнитный по-
ток:
dSBdSBSdBd
n
=⋅⋅=⋅=
α
cosФ
,
где B
n
- проекция вектора
B
на направление нормали к площадке.
Тогда
∫∫∫
⋅=⋅==
S
n
S
dSBSdB
Ф
d
Ф
S
Для однородного поля
⊥
∆⋅= SB
Ф
Магнитный поток Ф характеризу-
ется числом линии индукции, прони-
зывающих площадку
⊥
∆S
(и одновре-
менно
S
∆
).
Единица измерения магнитного потока
[Ф]=1 Вебер (Вб)=1 Тл·м
2
При α=90
о
, модуль напряженности магнитного поля
000
1
ℓ
dI
dF
dH ⋅=
µµ
.
Напряженность магнитного поля направлена по касательной к си-
ловой линии поля, а по модулю равна отношению силы, с которой поле
действует на единичный элемент тока (расположенный перпендикуляр-
но полю в вакууме) к магнитной постоянной.
Примеры
Индукция магнитного поля (ИМП) (по Трофимовой).
1. Конечного прямолинейного проводника с током.
2. Бесконечного прямолинейного проводника с током.
3. В центре кругового тока
4. На оси кругового тока.
5. Соленоида и тороида.
Приложение закона Био-Савара-Лапласа для индукция магнитного поля
[
]
r
r
rdI
Bd
⋅
⋅
⋅=
2
0
4
ℓ
π
µµ
или по модулю
2
110
sin
4
r
dI
dB
β
π
µ
µ
ℓ
⋅=
.
B
n
α
α
⊥
∆S
S
∆
132
1. Индукция магнитного поля (ИМП) конечного прямолинейного провод-
ника с током I.
Так как I=const,
( )
∫
=
ℓ
ℓd
r
I
B
2
0
sin
4
α
π
µ
µ
,
Из-за очень маленьких значения dℓ и
dα:
AB=r·dα=dℓ·sinα,
∠
BCA=α,
∠
ABC=90
o
,
R
d
r
d
r
d
α
α
α
=
⋅
=
sin
2
ℓ
( )
12
00
coscos
4
sin
4
2
1
αα
π
µµ
α
α
π
µµ
α
α
−−==
∫
R
I
d
R
I
B
( )
21
0
coscos
4
αα
π
µ
µ
−=
R
I
B
Направление В перпендикулярно
плоскости листа и обращено к нам.
2. ИМП бесконечного прямолинейного проводника с током.
В этом случае можно использовать предыдущую формулу со значения-
ми: α
1
=0, α
2
=180
o
, тогда
R
I
B
π
µ
µ
2
0
=
, которая справедлива и при R<<ℓ.
Сравнить с характеристиками электрического поля;
r
E
επε
ρ
0
4
=
,
r
D
π
ρ
4
=
.
3. ИМП в центре кругового тока.
В этом случае
α=90
0
, I=const, r=R=const
2
0
)(
2
0
44 R
I
d
R
I
B
π
µ
µ
π
µ
µ
ℓ
ℓ
ℓ
==
∫
Так как ℓ=2πR
R
I
B
2
0
µ
µ
=
dℓ
α
α
1
α
2
r
R
O
B
A
C
I
r·dα
dα
O
В
I
α
d
ℓ
r=R
133
4. ИМП на оси кругового тока.
Разделив элементарную ин-
дукцию магнитного поля
dB
на взаимно перпендикуляр-
ные компоненты как на ри-
сунке:
⊥
dB
и
r
dB
:
⊥⊥
−= dBdB
/
rr
dBdB −=
/
Видно, что
⊥
dB
и
/
⊥
dB
друг
друга компенсируют и
∫
=
ℓ
r
dBB
2
0
4
sin
cos
r
Id
r
R
dB
r
R
dBdB
r
π
α
µ
µ
θ
ℓ
==⋅=
r
R
=
θ
cos
;
3
0
3
0
44 r
IR
d
r
IR
B
π
µ
µ
π
µ
µ
ℓ
ℓ
ℓ
==
∫
Так как ℓ=2πR и
2
0
2
rRr +=
,
2/32
0
2
2
0
)(2 rR
IR
B
+
=
µµ
.
При r
0
=0 совпадает с
R
I
B
2
0
µ
µ
=
.
5. Магнитное поле соленоида и тороида.
Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволки,
витки которой намотаны в одном направлении.
Магнитное поле вне соленоида внешне похож на поле магнита, а внут-
ри длинного соленоида (когда длина соленоида ℓ больше чем его диаметр D;
ℓ>>4−5D), однородно и
ℓ
In
B
µ
µ
0
=
или
ℓ
In
Н =
,
где I − сила тока, ℓ −длина соленоида, n − число витков.
Тороид − катушка из проволока, навитой на тор.
Магнитное поле вне тороида отсутствует, а внутри, однородно и
r
In
B
π
µ
µ
2
0
=
или
r
In
Н
π
2
=
,
где I − сила тока, r −радиус тороидального кольца, n − число витков.
d
ℓ
В
d
В
d
В
r
d
В
90
o
d
В
′
┴
d
В
┴
r
r
O
α
θ
I
R
r
0
d
ℓ
′
134
§3.2. Вещество в магнитном поле
Все вещества в магнитном поле намагничиваются.
При этом:
• Диамагнетики (вода, фосфор, сера, углерод, многие металлы –
такие как золото, серебро, ртуть) ослабляют внешнее магнитное
поле.
• Парамагнетики (кислород, азот, некоторые металлы – алюминий,
вольфрам, платина и др.) усиливают внешнее магнитное поле.
Среди них:
• Ферромагнетики ( железо, никель, кобальт, некоторые сплавы и
окиси этих металлов, а также сплавы марганца и хлора) дают
очень большое усиление внешнего магнитного поля.
nISp
m
=
Магнитный момент атома (молекулы) вещества образуется геомет-
рической суммой орбитальных и спиновых магнитных моментов элек-
тронов и собственного магнитного момента ядра.
У диамагнетиков эта геометрическая сумма всех магнитных моментов
равняется нулю, поэтому их собственный магнитный момент атома тоже
равняется нулю. Под воздействием внешнего магнитного поля у диамагнети-
ков появляется собственный магнитный момент, который направлен против
внешнего магнитного поля и ослабевает его. Когда внешнее поле исчезает,
диамагнетик размагничивается.
S
I
n
nISp
m
=
H
≠
0
H=0
135
У парамагнетиков геометрическая сумма всех магнитных моментов не
равняется нулю, но при отсутствии внешнего поля они ориентированы бес-
порядочно (хаотично), поэтому общее поле парамагнетиков равняется нулю.
В присутствии внешнего магнитного поля происходит переориентация соб-
ственных магнитных моментов атомов парамагнетиков вдоль силовых линий
внешнего магнитного поля, тем самым усиливая его. При исчезновении
внешнего магнитного поля парамагнетики тоже размагничиваются.
Здесь тоже существует диамагнитный эффект, но он не заметен на фоне
боле сильного парамагнетизма.
Относительная магнитная проницаемость среды µ для вакуума µ=1
У диамагнетиков µ<1
У парамагнетиков µ>1
У ферромагнетиков µ~100−20000
Большие значения µ у ферромагнетиков обусловлено их особой струк-
турой. Они имеют сравнительно крупные (~10
-2
мм) самопроизвольно намаг-
ниченных до насыщения областей (домены), в которых магнитные моменты
всех атомов ориентированы одинаково. Количество атомов в доменах ~10
9
.
Под воздействием внешнего магнитного поля по их силовым линиям ориен-
тируются не отдельные атомы, а домены, которые после исчезновения внеш-
него поля в какой то степени сохраняют приобретенную ориентацию, т.е. ос-
таются намагниченными.
При выше некоторой температуры (температура Кюри) ферромагнети-
ки теряют свои ферромагнитные свойства и превращаются в обычные пара-
магнетики с µ≈1 (например, для железа эта температура ~1000
0
).
У ферромагнетиков µ зависит от напряженности внешнего магнитного
поля H, хотя формула B=µ
0
µH справедлива для них, но B~H , а µ=µ(H).
Из соотношения B=µ
0
µH, учитывая, что для вакуума µ = 1, то для ва-
куума (обозначая индукцию магнитного поля в вакууме B
0
) получаем
B
0
=µ
0
H, и B=µB
0.
.
Отсюда и определение
0
B
B
=
µ
.
Относительная магнитная проницаемость среды µ показывает, во
сколько раз изменяется индукция магнитного поля, существовавшего в
пустоте, если пространство, охваченное этим полем, заполняется данной
средой.
H
≠
0
H=0
136
Напряженность магнитного поля
Н
зависит только от макроскопиче-
ских токов в проводнике и не зависит от среды. Индукция магнитного поля
В
зависит от обоих.
Если сравнивать с характеристиками электростатического поля
Е
и
D
,
то
В
−магнитная индукция соответствует
Е
−напряженности электрическо-
го поля, а
Н
−напряженность магнитного поля соответствует
D
−электрической индукции.
Но исторически так сложилось, что им даны противоположные назва-
ния.
Электрическое поле
ED
⋅⋅=
εε
0
HB
⋅⋅=
µµ
0
Не
зависит
от
свойств
среды
Зависит
от
свойств
среды
Магнитное поле
Индукция
Напряженность
137
§3.3. Рамка с током в магнитном поле (Применения закона Ампера)
Изучая действия магнитного поля на электрический ток Ампер (1820)
эмпирически нашел, что в однородном магнитном поле с постоянной индук-
цией В на прямолинейный элемент тока I∆ℓ действует сила: F
A
=I·B·∆ℓ·sinα.
Где α −угол между направлением тока в проводнике и вектором индукции, а
∫
= dBB
и
2
110
sin
4
r
dI
dB
β
π
µ
µ
ℓ
⋅= .
Направление силы определяется правилом левой руки. F
A
всегда перпен-
дикулярна плоскости, где находятся
В
и
элемент ток, поэтому она всегда
перпендикулярна и проводнику с током.
Для сложной формы проводники и для неоднородного поля:
[
]
BdIdF
A
ℓ
⋅⋅=
Силы ампера не являются центральными, у них нет силового центра как
у гравитационных или кулоновских сил.
На рамку с током в магнитном поле со стороны магнитного поля дейст-
вует пара сил, которая (при определенном ориентации рамки), поворачивает
рамку вокруг своей оси. Поворот осуществляется таким образом, что вектор
магнитного момента рамки
m
p
становится параллельным вектору
B
(α=0).
Такому устойчивому положению равновесия рамки соответствует ее мини-
мальной энергии в магнитном поле (как бы рамка находится в потенциальной
яме).
Ориентирующее действие магнитного поля на рамку с током лежит в
основе устройства многих электроизмерительных приборов (гальванометры,
вольтметры, амперметры).
а
)
p
m
F
A
F
A
I
I
F
A
F
A
I
I
B
B
б
)
138
§3.4. Сила Лоренца
Сила Ампера означает, что аналогичная сила действует и на каждый
движущий заряд. Сила, действующая на электрический заряд q, движущий в
магнитном поле со скоростью υ, называется силой Лоренца. Ее можно опре-
делить, если силу Ампера, которая действует на все движущие заряда, делить
на количество этих зарядов N:
N
F
f
A
=
Л
Приняв N=n·V, где n−плотность зарядов в объеме V, а V=S∆ℓ, где
S−сечение проводника, ∆ℓ−путь, который проходит заряд, двигаясь со скоро-
стью
υ
. Таким образом, N=nS∆ℓ, I=Q/t, Q=qnS∆ℓ, где Q−общий заряд, про-
ходящий через сечение S, а q−элементарный заряд и учитывая, что ∆ℓ/t=υ
получим:
f
Л
=q·υ·B·sin(
B
∧
υ
)
В простейшем случае, если принять электрический ток как движение
одного заряда, также получим: F
A
=I·B·∆ℓ·sinα, I=q/t, ∆ℓ/t=υ, то f
Л
=q·υ·B·sinα,
где α−угол между векторами
υ
и
В
.
Направление f
Л
определяется с помощью правила левой руки: если ла-
донь левой руки расположить так, что в нее входил вектор
В
,
а четыре вытя-
нутых пальца направить вдоль вектора
υ
(для q>0 направление I и
υ
совпа-
дают, для q<0 −противоположны), то отогнутый большой палец покажет
направление f
Л
. (Напоминаем, что направлением тока принимается направле-
ние движения положительных зарядов).
Сила Лоренца действует только на движущийся относительно магнитно-
го поля заряд (в рассматриваемой системе координат, когда
υ
=0, то и f
Л
=0).
Так как f
Л
всегда перпендикулярно вектору скорости, сила Лоренца не
совершает работу и не изменяет кинетической энергии свободной частицы.
При движении заряженной частицы в магнитном поле может изменяться
только направление скорости, но не ее модуль.
Л
f
Л
f
S
j
B
υ
α
+q
∆ℓ
n
⊥
B
+q
υ
⊥
B
−q
υ
⊥
B
а
)
б
)
139
§3.5. Движение заряженных частиц в электрическом поле
При движении вдоль линии напряженности электрического поля, дейст-
вующая на заряд сила
EqF
⋅=
, ускоряет или замедляет движение заряда.
Если начальная скорость υ≈0 , то приобретенная или потерянная кине-
тическая энергия mυ
2
/2=eU.
В случае, когда
υ
перпендикулярна
Е
, например для электрона с массой
m, зарядом q, и скоростью
0
υ
: t=x/υ
0
. Сила Кулона
EeF
−=
.
(
Силой
тяжести
пренебрегаем
)
m
eE
m
F
a ==
2
2
0
2
22
x
m
eEat
y
υ
==
(парабола)
E
m
e
tg
y
2
00
υυ
υ
α
ℓ
==
Заметим, что
m
e
-удельный
заряд частицы.
Изменяя Е получаем
разные точки А на экране
и этим можем определить удельный заряд.
§3.6. Движение заряженных частиц в магнитном поле
При движении заряженных частиц вдоль линии индукции
В
магнитного
поля (
B
||
υ
), f
Л
=0. При движении заряженных частиц поперек линии индук-
ции магнитного поля (
B
⊥
υ
), f
Л
≠ 0, перпендикулярна
υ
и сообщает частице
центростремительное ускорение а
ц
. Частица движется по окружности, радиус
R которой определяется из соотношений:
Bq
R
m
maf
ц
υ
υ
===
2
Л
,
B
m
q
qB
m
R
υ
υ
==
.
Период вращения
B
m
q
R
T
π
υ
π
22
==
(не зависит от
υ
).
Если частица влета-
ет в магнитное поле под
углом α к линиям индук-
ции, то ее траектория –
винтовая линия, ось ко-
торой совпадает с на-
правлением
В
.
Е
α
+ + + + + + + + +
− − − − − − − − −
ℓ
υ
y
υ
y
A
O
x
F
0
υ
0
υ
=
υ
x
m
−
e
−q
+q
Л
f
Л
f
υ
υ
B
B
Траектория
частиц
–
пунктирная
линия
–
окружность
140
§3.7. Электромагнитная индукция: Закон Фарадея − Ленца
Обратное воздействие –«превратил магнетизм в электричество»
М.Фарадей (1831г.)
(переплетчик книг?)
Электрический ток, возбуждаемый магнитным полем в замкнутом кон-
туре, называется индуцированным, а само явление возбуждения тока по-
средством магнитного поля – электромагнитной индукцией.
Электродвижущая сила, обусловливающая индукционный ток, называ-
ется электродвижущей силой индукции.
В замкнутом контуре индуцируется ток во всех случаях, когда про-
исходит изменение потока магнитной индукции сквозь площадь, огра-
ниченную контуром. Электродвижущая сила индукции
ε
i
пропорцио-
нальна скорости изменения потока магнитной индукции (Закон Фара-
дея):
ε
i
~
dt
dФ
где Ф – поток магнитной индукции.
Закон Фарадея всегда дополняется правилом Ленца (1833г.):