Гаспарян Л.Г. Общая физика (Конспекты для студентов ФМИФ)
Подождите немного. Документ загружается.
161
Законы преломления
(
правый
рисунок
,
б
))
1.
Луч
падающий
,
луч
преломленный
и
перпендикуляр
,
проведенный
к
границе
раздела
в
точке
падения
,
лежат
в
одной
плоскости
.
2.
Отношение
синуса
угла
падения
к
синусу
угла
преломления
есть
постоянная
для
данных
сред
:
21
sin
sin
n=
γ
α
где
n
21
-
относительный
показатель
преломления
или
показатель
прелом
-
ления
второй
среды
относительно
первой
.
Он
равен
отношению
скоростей
света
в
средах
,
на
границе
между
которыми
происходит
преломление
:
2
1
21
υ
υ
=n
,
где
1
υ
и
2
υ
скорости
света
в
I
и
II
средах
соответственно
.
Показатель
преломления
среды
относительно
вакуума
называют
абсо-
лютным показателем преломления этой среды.
Относительный
показа
-
тель
преломления
можно
выразить
через
абсолютные
показатели
преломле
-
ния
n
1
и
n
2
первой
и
второй
сред
:
1
2
2
1
21
n
n
n ==
υ
υ
.
Абсолютный
показатель
преломления
для
некоторых
сред
Вода
(20
о
С
) n=1,33
Рубин
1,76
Лед
1,31
Стекло
1,47-2,04
Кварц
1,54
Алмаз
2,42
Среду
с
меньшим
абсолютным
показателем
преломления
принято
назы
-
вать
оптически менее плотной средой
.
В
большинстве
случаев
(
или
если
об
этом
специально
не
оговаривается
)
роль
одной
из
сред
играет
воздух
,
оптические
свойства
которого
мало
отли
-
чается
от
таковых
вакуума
,
поэтому
абсолютный
показатель
преломления
воздуха
при
нормальных
условиях
n
≈
1.
Следовательно
,
в
таких
случаях
, n
21
β
α
1
2
а
)
γ
α
1
2
б
)
162
≈
n
1
≈
n,
поэтому
в
дальнейшем
мы
не
будем
разграничить
абсолютные
и
отно
-
сительные
показатели
преломления
.
Падающий
и
преломленный
лучи
тоже
взаимно
обратимы
:
если
падаю
-
щий
луч
будет
пущен
по
направлению
преломленного
луча
,
то
луч
прелом
-
ленный
пойдет
по
направлению
падающего
.
Если
свет
проходит
из
оптически
бо
-
лее
плотной
среды
(
с
показателем
пре
-
ломления
n
2
)
в
оптически
менее
плотную
среду
(
с
показателем
преломления
n
1
< n
2
),
например
из
стекла
или
из
воды
в
воз
-
дух
(n
1
=1),
то
угол
падения
будет
меньше
угла
преломления
γ
.
Поэтому
при
некото
-
ром
угле
падения
(
α
=
α
пр
.
)
угол
прелом
-
ления
окажется
равным
90
0
,
т
.
е
.
прелом
-
ленный
луч
будет
скользить
вдоль
грани
-
цы
раздела
сред
,
не
выходя
в
первую
сре
-
ду
.
Угол
α
пр
.
называется
предельным уг-
лом падения
.
При
α
>
α
пр
.
свет
полно
-
стью
отражается
обратно
во
вторую
среду
(
происходит
полное внутреннее
отражение
света
).
При
этом
:
22
1
.
0
.
1
sin
90sin
sin
nn
n
пр
пр
===
α
α
Обычно
для
стекла
n
2
≈
1,5 ,
поэтому
α
пр
.
= arcsin1/1,5
≈
42
0
Тогда
все
лучи
,
которые
попадают
из
стекла
на
границу
стекло
-
воздух
с
углом
больше
чем
42
0
,
не
могут
выйти
из
стекла
.
Это
дает
возможность
ис
-
пользовать
прямоугольные
призмы
для
того
,
чтобы
повернуть
луч
на
90
0
,
повернуть
изображение
(
например
,
в
биноклях
),
обернуть
лучи
и
т
.
п
.
Явления
полного
внутреннего
отражения
света
сейчас
находит
широкое
применение
в
волоконной
оптике
.
γ
n
2
n
1
α
пр
90
0
n
2
> n
1
2
1
2
1
2
2 1
2
1
2
1
1
163
§1.3. Формула призмы
Призмой
называется
прозрачное
тело
,
с
двух
сторон
ограниченное
плос
-
костями
,
которые
составляют
какой
-
то
угол
между
собой
(
преломляющий
угол призмы
–
θ
,
см
.
рисунок
).
После
двукратного
преломления
(
на
левой
и
на
правой
гранях
призмы
)
луч
света
отклоняется
от
первоначального
направления
на
угол
δ
,
называе
-
мый
углом отклонения
.
Угол
отклонения
δ
зависит
от
преломляющего
угла
θ
и
показателя
пре
-
ломления
n
призмы
.
Эта
зависимость
легко
устанавливается
для
призмы
с
малым
преломляющим
углом
(
тонкая
призма
)
в
случаях
малого
угла
падения
α
.
δ
≈
(n-1)·
θ
(
Вывести
самостоятельно
,
учитывая
,
что
при
малых
значениях
θ
и
α
,
так
-
же
малы
углы
γ
,
α
1
и
γ
1
,
поэтому
из
закона
преломления
sin
α
=n
.
sin
γ
и
n
.
sin
α
1
=sin
γ
1
можно
перейти
к
выражениям
α
=n
γ
и
n
α
1
=
γ
1
,
а
θ
=
γ
+
α
1
,
δ
=(
α
-
γ
)+(
γ
1
-
α
1
) ).
Минимальный
угол
отклонения
получается
в
случае
симметричного
хо
-
да
луча
(
т
.
е
.
когда
α
=
γ
1
и
луч
внутри
призмы
параллелен
основанию
приз
-
мы
).
Обратите
внимание
,
что
при
прохождении
через
призму
луч
всегда
от
-
клоняется
в
сторону
основании
.
θ
γ
α
1
D
A
B
C
γ
1
δ
α
θ
n
164
§1.4. Линзы
Линзы – это прозрачные тела, ограниченные с двух сторон криво-
линейными (обычно сферическими) поверхностями, преломляющими
световые лучи и способные формировать оптические изображения пред-
метов. В
частном
случае
одна
из
поверхностей
может
быть
плоской
По
внешней
форме
линзы
делятся
на
двояковыпуклые
,
плосковыпуклые
,
вогнуто
-
выпуклые
,
двояковогнутые
,
плосковогнутые
и
выпукло
-
вогнутые
(
на
рисунке
они
изображены
слева
направо
).
По
оптическим
свойствам
линзы
делятся
на
собирающие
(
положительные
)
и
рассеивающие
(
отрицатель-
ные
).
Независимо
от
внешней
формы
собирающие
линзы
посредине
толще
,
чем
у
краев
,
в
то
время
,
как
рассеивающие
линзы
посредине
тоньше
,
чем
у
краев
.
Мы
будем
рассматривать
тонкие линзы,
толщина
которых
(
расстояние
АВ
между
ограничивающими
поверхностями
)
значительно
меньше
по
срав
-
нению
с
расстоянием
до
предмета
и
с
радиусами
R
1
и
R
2
поверхностей
,
огра
-
ничивающих
линзу
.
В
тонких
линзах
точки
А
и
В
расположены
столь
близко
друг
от
друга
,
что
можно
принять
их
совпадающими
с
точкой
О
,
называю
-
щимися
оптическим центром линзы.
Лучи
света
,
проходящие
через
опти
-
ческий
центр
линзы
,
практически
не
преломляются
.
Собирающие линзы Рассеивающие линзы
си
м
вол
си
м
вол
O
'
2
O
'
1
R
2
R
1
О
2
О
1
В
А
О
165
Прямую
О
1
О
2
,
проходящую
через
центры
(
О
1
и
О
2
)
сферических
поверх
-
ностей
и
оптический
центр
линзы
,
называют
главной оптической осью
.
Любую
другую
прямую
,
проходящую
через
оптический
центр
,
называют
по-
бочной
оптической осью
(
на
рисунке
О
'
1
О
'
2
).
Линзу
грубо
можно
представить
как
совокупность
множества
призм
.
То
-
гда
становится
очевидным
:
собирающие
линзы
отклоняют
лучи
к
оптической
оси
,
а
рассеивающие
линзы
–
от
оптической
оси
.
Параксиальные
лучи
(
т
.
е
.
приосевые
или
околоосевые
лучи
,
которые
образуют
с
оптической
осью
малые
углы
),
распространяющиеся
параллельно
главной
оптической
оси
,
после
преломления
сквозь
линзу
пересекаются в
точке, лежащей на этой оси и
называемой
главным фокусом линзы. У
всякой
линзы
имеются
два
фокуса
по
обе
стороны
от
нее
(
точки
F).
Расстоя
-
ние
OF=f
от
оптического
центра
линзы
до
ее
фокусов
называется
фокусным
расстоянием линзы
.
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической
силой линзы (D=1/f
).
Она
измеряется
в
диоптриях
(
дптр
или
дп
). 1
дптр
–
оптическая
сила
линзы
с
фокусным
расстоянием
1
м
(1
дптр
= 1
м
-1
).
В
отличие
от
собирающей
линзы
(
левый
рисунок
а
)),
рассеивающая
лин
-
за
имеет
мнимые
фокусы
(
правый
рисунок
б
)).
В
мнимом
фокусе
сходятся
(
после
преломления
)
воображаемые
продолжения
лучей
,
падающих
на
рас
-
сеивающуюся
линзу
параллельно
главной
оптической
оси
.
Оптическая
сила
рассеивающей
линзы
,
как
ее
фокусное
расстояние
,
от
-
рицательная
величина
.
Плоскость
,
проведенная
через
главный
фокус
линзы
перпен
-
дикулярно
к
главной
оптиче
-
ской
оси
,
называется
фокаль-
ной плоскостью
.
Лучи
,
падаю
-
щие
на
линзу
параллельно
ка
-
кой
-
либо
побочной
оптической
оси
,
после
преломления
в
линзе
,
пересекаются
в
точке
,
лежащей
на
фокальной
плоскости
(
по-
бочный
или
вторичный фокус,
на
рисунке
точка
F`).
Т
.
е
.
фо
-
кальная
плоскость
является
F
F
O
F
O
F
а)
б)
F`
F
O
F
Фокальная
плоскость
Фокальная
плоскость
166
С
f
b a
III
III
II
II
I
I
A
1
B
1
O
F
F
B
A
геометрическом
местом
всех
вторичных
фокусов
.
У
линзы
имеются
две
фо
-
кальные
плоскости
,
расположенные
на
ровных
расстояниях
по
обе
стороны
от
нее
.
Построение
изображения
(
А
1
В
1
)
предмета
(
АВ
)
в
линзах
осуществляется
с
помощью
следующих
лучей
,
ход
которых
нам
известен
:
1.
лучи
проходящие
через
оптический
центр
линзы
не
меняют
своего
на
-
правления
(
на
рисунке
, I
луч
);
2.
лучи
идущие
параллельно
главной
оптической
оси
,
после
преломления
в
линзе
(
или
его
продолжение
),
проходят
через
второй
главный
фокус
лин
-
зы
(
на
рисунке
, II
луч
);
3.
лучи
(
или
его
продолжения
),
проходящие
через
первый
главный
фокус
линзы
,
после
преломления
в
ней
,
выходят
из
линзы
параллельно
ее
глав
-
ной
оптической
оси
(
на
рисунке
, III
луч
).
Пересечение
любых
двух
таких
лучей
(
или
их
продолжений
)
дает
изо
-
бражение
точки
предмета
,
откуда
избранные
лучи
берут
начало
.
Формула
тонкой
линзы
имеет
вид
:
D
baf
=+=
111
,
где
a
и
b –
соответственно
расстояния
от
предмета
и
от
его
изображения
до
оптического
центра
линзы
.
Эту
формулу
самостоятельно
можно
получить
,
используя
подобие
треугольников
:
∆ВАО
~
∆В
1
А
1
О
и
∆ОС
F~
∆
B
1
A
1
F .
Более
сложный
вид
формулы
тонкой
линзы
связывает
фокусное
рас
-
стояние
f
линзы
с
ее
коэффициентом
преломления
n
и
радиусами
R
1
и
R
2
кривизны
линзы
(
знак
для
радиусов
кривизны
линз
берется
положительный
-
для
выпуклых
поверхностей
и
отрицательный
–
для
вогнутых
) (
см
.
приложе
-
ния
2,3,4):
D
RR
n
baf
=+−=+= )
11
)(1(
111
21
.
Так
как
фокусное
расстояние
рассеивающей
линзы
,
как
и
ее
оптическая
сила
,
является
отрицательной
величиной
,
то
это
означает
,
что
в
формуле
тон
-
кой
линзы
a
и
b,
в
определенных
случаях
,
должны
иметь
отрицательные
зна
-
167
чения
.
Правила
,
при
помощи
которых
можно
определить
знаки
a
и
b,
в
раз
-
ных
учебниках
освещаются
по
-
разному
.
Наиболее
запоминающими
,
с
моей
точки
зрения
,
являются
правила
,
основанные
на
опыте
повседневной
жизни
.
Для
этого
надо
только
запомнить
:
• У
собирающих
линз
f
и
D
положительны
,
а
у
рассеивающих
линз
–
отрицательны
;
•
a
всегда
положительны
;
•
b
положительны
,
если
изображения
действительные
,
и
отрица
-
тельны
у
мнимых
изображений
.
Отношение линейных размеров изображения и предмета называет-
ся линейным увеличением линзы
(
А
1
В
1
/
АВ
).
Отрицательным
значением
линейного
увеличения
соответствует
действительное
изображение
(
оно
пере
-
вернутое
),
положительным
–
мнимое
изображение
(
оно
прямое
).
Нижеследующая
таблица
показывает
характер
изображения
собираю
-
щей
линзы
в
зависимости
от
расстояния
предмета
до
линзы
.
Характер изображения собирающей линзы
a b
Характер
изображения
Оптическая
система
a=
∞
b=f
Точечное
в
фокусе
-
∞
>
а
>2f
f<b<2f
Действительное
,
обратное
,
уменьшенное
Глаз
,
фотоаппарат
а
=2f b=2f
Действительное
,
обратное
,
равное
предмету
Переносная
или
обо
-
рачивающая
линза
2f>
а
>f 2f<b<
∞
Действительное
,
обратное
,
увеличенное
Объектив
микроскопа
а
=f b=
∞
Параллельные
лучи
-
a<f -
Мнимое
,
прямое
,
увеличенное
Окуляр
,
лупа
Для
рассеивающей
линзы
характер
изображения
не
зависит
от
расстоя
-
ния
предмета
от
линзы
:
у
них
изображение
всегда
мнимое
,
прямое
и
умень
-
шенное.
Комбинации
собирающих
и
рассеивающих
линз
(
так
называемые
слож
-
ные
объективы
)
применяются
в
оптических
приборах
,
используемых
для
ре
-
шения
различных
научных
и
технических
задач
.
Оптическая
сила
сложного
объектива
представляет
собой
алгебраическую
сумму
оптических
сил
от
-
дельных
линз
: D=±D
1
± D
2
±D
3
±
….
.
Этот
принцип
используется
для
коррекции
зрения
,
когда
роль
одной
линзы
играет
хрусталик
глаза
14
,
а
роль
другой
–
стекло
очков
или
контактные
линзы
.
Угловое
увеличение
Г
оптического
прибора
:
α
α
tg
tg
Г
′
=
,
где
α′
и
α
−
углы
зрения
,
под
которыми
виден
предмет
соответственно
через
прибор
и
невоо
-
14
Точнее
,
роль
передней
сферической
поверхности
играет
не
передняя
поверхность
хрусталика
,
а
поверх
-
ность
роговой
оболочки
.
168
руженным
глазом
.
Для
лупы
0
L
AB
tg =
α
,
где
L
0
=25
см
расстояние
наилучшего
зрения
,
f
AB
tg ≈
′
α
,
т
.
к
.
глаз
располагают
вблизи
заднего
фокуса
лупы
.
Тогда
Г
=
f
L
0
Увеличение
лупы
обратно
пропорционально
ее
фокусному
расстоянию
и
показывает
,
во
сколько
раз
увеличивается
линейный
размер
изображения
на
сетчатке
за
счет
применения
лупы
.
Линейное
увеличение
луп
не
так
уж
велико
(
меньше
,
чем
20
раз
),
поэто
-
му
,
используя
комбинацию
из
двух
(
обычно
сложных
)
линз
,
при
помощи
микроскопа
можно
получить
гораздо
больше
увеличение
(~1000
раз
).
Для
на
-
чертания
принципиальной
схемы
микроскопа
надо
использовать
вышеука
-
занную
таблицу
и
учитывать
,
что
изображение
через
вторую
линзу
(
окуляр
)
можно
получить
только
от
действительного
изображения
первой
линзы
(
объ
-
ектива
).
Расстояние
между
внутренними
фокусами
объектива
и
окуляра
называ
-
ется
оптической
длиной
тубуса
(
ℓ≈
160
мм
).
Увеличение
Г
микроскопа
:
Г
=
Г
об
·Г
ок
.
Как
лупа
Г
ок
=L
0
/f
ок
,
а
Г
об
=
ℓ
/f
об
,
т
.
к
.
ℓ
>>f
об
,
Г
ок
ff
L
⋅
≈
об
0
ℓ
Увеличение
микроскопа
прямо
пропорционально
оптической
длине
ℓ
ту
-
буса
и
обратно
пропорционально
произведению
фокусных
расстояний
объ
-
ектива
и
окуляра
.
Г
микроскоп
≈
56÷1350 (
максимально
~2000),
но
обычно
ис
-
пользуются
1000÷1200 –
кратное
увеличение
.
25 см до глаза
α′
В
″
А
″
А
′
В
′
В
А
f
об.
f
об.
f
ок.
f
ок.
ℓ
Т
У
БУС
ОПТИЧЕСКАЯ
ДЛИНА
Т
У
БУСА
ОБЪЕ
К
ТИВ
ОК
У
ЛЯР
ПРИНЦИПАЛЬНАЯ СХЕМА МИКРОСКОПА
f
об.
≈несколько
мм
f
ок.
≈
10−20
мм
169
§1.5. Аберрации или погрешности оптических систем
Хроматическая аберрация
возникает
из
-
за
того
,
что
коэффициент
пре
-
ломления
n=n(
λ
)
зависит
от
длины
волны
света
(
явление
дисперсии
−
отсут
-
ствует
у
зеркал
).
Собирающая
линза
приближает
к
оптической
оси
сильнее
фиолетовые
лучи
,
чем
красные
,
а
рассеивающая
линза
,
наоборот
,
приближает
к
оптической
оси
сильнее
красные
лучи
.
Благодаря
этому
можно
создать
оп
-
тическую
систему
(
ахроматическая
линза
),
не
имеющую
хроматической
аберрации
.
Комбинация
двух
линз
с
разными
п
уменьшает
хроматическую
аберрацию
много
(~16)
раз
.
Так
как
разные
сорта
стекол
обладают
различной
дисперсией
,
то
,
комбинируя
собирающие
и
рассеивающие
линзы
из
различ
-
ных
стекол
,
можно
совместить
фокусы
двух
(
ахроматы
)
и
трех
(
апохрома
-
ты
)
различных
цветов
,
устранив
тем
самым
хроматическую
аберрацию
.
Сис
-
темы
,
исправленные
на
сферическую
и
хроматическую
аберрации
,
называ
-
ются
аплантами
.
А Б Е Р Р А Ц И Я
ФИЗИЧЕСКИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
Хроматические
n=n(λ)
Сферические
Астигматизм
Кома
Кривизна поля
Дисторсия
Осевые
Вне
осевые
п
1
п
2
F
Фиолетовые
лучи
Фиолетовые
лучи
Ф
К
Красные
лучи
О
Ахроматическая
линза
170
Хроматическую
аберрацию
можно
уменьшить
,
увеличивая
фокусное
расстояние
линзы
,
хотя
это
не
всегда
технически
выполнимо
.
Например
,
при
диаметре
линзы
D=0,5
м
, F=2,8
м
,
при
D=1
м
, F=112
м
(
технически
невыпол
-
ним
).
Сферическая аберрация обусловлена
сферичностью
преломляющих
поверхностей
линз
(
отсутствует
у
параболических
зеркал
).
При
большом
диаметре
линзы
часть
лучей
перестанут
быть
параксиальными
,
в
результате
чего
изображения
получаются
размытыми
(
сферическая
аберрация
).
У
собирающей
линзы
лучи
,
падающие
на
ее
края
,
собираются
ближе
,
чем
лучи
,
падающие
на
ее
центральную
часть
(
δ
<0);
у
рассеивающей
линзы
наблюдается
обратное
явление
(
δ
>0).
Благодаря
этому
можно
создать
опти
-
ческую
систему
(
анастигматы
)
из
соответствующим
образом
подобранных
собирающей
и
рассеивающей
линз
,
у
которой
сферическая
аберрация
почти
полностью
отсутствует
.
Применяя
диафрагмы
(
ограничиваясь
параксиаль
-
ными
лучами
),
можно
уменьшить
сферическую
аберрацию
,
однако
пи
этом
уменьшается
светосила
лин
-
зы
.
В
1941
г
.
Д
.
Д
.
Максуто
-
вым
была
создана
безаберра
-
ционная
оптическая
система
(
менисковый
телеобъектив
),
состоящая
из
вогнутого
сфе
-
рического
зеркала
и
выпук
-
ло
-
вогнутой
сферической
линзы
(
мениска
).
Зеркало
и
мениск
в
отдельности
обла
-
дают
большими
аберрациями
(
сферическими
),
имеющими
противоположные
знаки
;
в
менисковом
телеобъективе
эти
аберрации
полностью
компенсируются
.
Сферическая
аберрация
является
частным
случаем
астигматизма
.
f
2
f
1
О
Продольная
сферическая
аберрация
δ = f
1
−f
2
У собирающих линз δ<0
У рассеивающих линз δ>0
F
1
F
2
F
2
−F
1
Астигматическая
разность
АСТИГМАТИЗМ