Гаспарян Л.Г. Общая физика (Конспекты для студентов ФМИФ)
Подождите немного. Документ загружается.
171
Астигматизм
−
погрешность
,
обусловленная
неодинаковостью
кривиз
-
ны
оптической
поверхности
в
разных
плоскостях
сечения
падающего
на
нее
светового
пучка
.
Устраняется
при
помощи
сложных
линз
(
широкоугольные
объективы
до
70
0
).
Астигматизм
исправляется
подбором
радиусов
кривизны
преломляющих
поверхностей
и
их
фокусных
расстояний
.
Системы
,
исправ
-
ленные
на
сферическую
и
хроматическую
аберрации
и
астигматизм
,
называ
-
ются
анастигматами
.
Просветленная оптика
Для
уменьшении
отражения
на
границах
линз
,
их
покрывают
пленкой
фторида
магния
MgF
2
с
nn =
1
и
с
такой
толщины
,
чтобы
световые
волны
1
и
2
гасили
друг
друга
(
имели
противоположные
фазы
).
Поглощение
в
стекле
линз
возрастает
в
ультрафиолетовой
и
инфракрасной
части
спектра
,
поэтому
для
этих
лучей
используют
кварц
или
зеркало
.
К О М А
ДИСТОРСИЯ −
меняет масштаб по мере удаления от центра
и решетка превращается
Подушкообразная или бочкообразная
MgF
2
1
2
172
Примеры по геометрической оптике:
* S'
* S
* S
* S'
О
2
О
1
* S
* S'
О
2
О
1
* S'
О
2
О
1
О
2
О
1
* S
Определить вид, местоположение линз и их фокусы
О
1
О
2
–
главная оптическая ось,
S
–
предмет, а
S
'
его изображение
а)
б)
в)
г)
О
2
О
2
О
1
О
1
Определить вид, местоположение линзы и его фокусы
О
1
О
2
– главная оптическая ось
F
F
F
F
Определить ход луча после преломления
F F F F
Определить ход луча до преломления
173
Приложение 1
Прохождение
света
через
плоскопараллельную
пластину
Пластина
смещает
луч
света
параллельно
самому
себе
на
расстояние
ℓ
Из
∆
ABC
→
BC=AB
.
sin(
α─β
)
Из
∆
ADB
→
AB=d/cos
β
BC=
ℓ
=d
.
sin(
α─β
)/cos
β
Или
как
f(d,
α
,n)
−
−
−⋅=
α
α
α
22
2
sin
sin1
1sin
n
dℓ
ℓ
α
A
α
D
B
n
0
≈
1
n
β
d
β
C
174
Приложение 2
Формула
тонкой
линзы
(
по
Физика
для
поступающих
,
Бутиков
Е
.
И
.
и
др
.,
М
.,
«
Наука
», 1978
г
.)
Из
принципа
Ферма
сле
-
дует
,
что
оптические
дли
-
ны
всех
лучей
,
выходя
-
щих
из
источника
А
и
со
-
бирающихся
в
точке
В
,
являющейся
его
изобра
-
жением
,
одинаковы
.
a+n(c+d)+b=AC+CB
Из
теоремы
Пифагора
:
22
)( hcaAC ++=
=
=
2
2
)(
1)(
ca
h
ca
+
++
Т
.
к
. h<<d,
то
используя
2/11 xx +≈+
при
x<<1
c
a
h
caAC
+
⋅++≈
2
2
1
Аналогично
d
b
h
dbCB
+
⋅++≈
2
2
1
,
поэтому
+
+
+
++=+
dbca
h
dcdcn
11
2
)(
2
→
+
+
+
=+−
dbca
h
dcn
11
2
))(1(
2
→
+=+−
ba
h
dcn
11
2
))(1(
2
,
т
.
к
. a>>c, b>>d
также
c=
2
2
22
22
2R
h
hRR ≈−−
,
и
аналогично
1
2
2R
h
d ≈
.
Окончательно
baRR
n
11
)
11
)(1(
12
+=+−
R
1
c d
b
a
R
2
O
h
C
A
B
175
Приложение 3
Формула
тонкой
линзы
(
по
Трофимовой
)
Две
световые
лучи
,
выходящие
из
точки
А
(
луч
АОВ
и
луч
,
проходящий
через
край
линзы
,
АСВ
),
должны
доходить
до
точки
В
,
одновременно
.
Время
про
-
хождения
света
вдоль
АОВ
c
bdeNa
t
+
+
+
=
)(
1
,
где
N=n/n
1
-
относительный
по
-
казатель
преломления
(n
и
n
1
-
соответственно
абсолютные
показатели
пре
-
ломления
линзы
и
окружающей
среды
).
Время
прохождения
света
вдоль
АСВ
равно
c
hdbhea
t
2222
2
)()( +++++
=
.
Так
как
t
1
=t
2
,
то
2222
)()()( hdbheabdeNa +++++=+++
.
Рассматривается
параксиальные (приосевые) лучи
,
т
.
к
.
только
они
,
исхо
-
дящие
из
точки
A,
пересекают
оптическую
ось
в
одной
и
той
же
точке
В
.
то
-
гда
h<<(a+e), h<<(b+d)
и
)(22
1
1)(
)(
1)()(
2
2
2
2
22
ea
h
ea
ea
h
ea
ea
h
eahea
+
++=
+
++=
+
++=++
.
Аналогично
)(2
)(
2
22
db
h
dbhdb
+
++=++
.
Подставив
эти
выражения
в
+
+
+
=+−=+++
dbea
h
deNbdeNa
11
2
))(1()(
2
.
Для
тонкой
линзы
e<<a
и
d<<b,
поэтому
+=+−
ba
h
deN
11
2
))(1(
2
.
Учитывая
,
что
2
2
2
2
22
2
2
2
22
22
22
22
1
11
R
h
R
h
RR
R
h
RRhRRe =
−−=−−=−−=
и
соответственно
1
2
2R
h
d =
,
получим
+=
+−
baRR
N
1111
)1(
21
R
1
c d
b
a
R
2
O
h
C
A
B
176
Приложение 4
Формула
тонкой
линзы
(
по
Грабовскому
)
Построим
плоскости
,
касательные
к
поверхностям
линзы
в
точках
M
и
N (
т
.
е
.
в
местах
падения
луча
на
линзу
и
выхода
его
из
линзы
),
и
проведем
в
эти
точки
радиусы
R
1
и
R
2
кривизны
линзы
.
Тогда
луч
AMNA
1
можно
рассмат
-
ривать
как
луч
,
преломленный
в
тонкой
призме
с
преломляющим
углом
θ
.
Учитывая
малость
углов
α
,
β
,
α
1
,
β
1
и
толщины
линзы
,
можно
написать
сле
-
дующие
приближенные
равенства
:
h
1
≈
h
2
, |AD|
≈
a,|A
1
D
1
|
≈
b,
a
h
AD
h
tg
11
≈≈
αα
,
b
h
DA
h
tg
1
11
1
11
≈=≈
αα
,
1
1
sin
R
h
=≈
ββ
,
2
1
11
sin
R
h
=≈
ββ
,
где
h
1
-
высота
(
над
оптической
осью
)
точки
M
падения
луча
на
линзу
, h
2
-
высота
точки
N
выхода
луча
из
линзы
, a
и
b -
соответственно
расстояния
от
источника
света
A
и
от
его
изображения
A
1
до
оптического
центра
линзы
.
Из
треугольников
AHA
1
и
BEB
1
следует
,
что
δ
=
α
+
α
1
и
θ
=
β
+
β
1
.
Тогда
,
принимая
во
внимание
значения
α
,
α
1
,
β
,
β
1
,
получим
b
h
a
h
11
+=
δ
и
2
1
1
1
R
h
R
h
+=
θ
Но
,
согласно
формуле
призмы
δ
=(n−1)
θ
,
где
n -
абсолютный
показатель
пре
-
ломления
линзы
.
Поэтому
+−=+
21
11
)1(
11
RR
n
ba
.
В
эту
формулу
тонкой
линзы
не
входит
высота
h
1
.
Это
означает
,
что
расстоя
-
ние
b
не
зависит
от
местоположения
точки
M,
т
.
е
.
все лучи, исходящие из
точки А, соберутся после преломления различными частями линзы в
одной точке А
1
.
a
b
δ
θ
β
1
α
1
β
α
n
h
1
h
2
H
N
M
E
R
2
R
1
S
1
S
B
1
A
1
B
A
D
O
D
1
θ
177
§2.
ВОЛНОВАЯ
ОПТИКА
Волновой оптикой называется раздел оптики, где свет рассматрива-
ется как часть электромагнитных волн и изучаются классические зако-
ны излучения, распространения и взаимодействия световых волн с ве-
ществом.
§2.1. Интерференция света
Явление
наложения
волн
,
при
котором
происходит
устойчивое
во
вре
-
мени
их
взаимное
усиление
в
одних
точках
пространства
и
ослабление
в
дру
-
гих
,
называется
интерференцией волн.
Необходимым
условием
интерференции
волн
является
их
когерент-
ность,
т
.
е
.
некая
согласованность
между
ними
.
Когерентные волны
–
это
такие
волны
,
у
которых
в
данной
точке
про
-
странства
разность
фаз
не
меняется
в
течении
времени
:
∆
+−
00
)(
ϕ
υ
ω
x
t
=const,
(
получается
из
формулы
волны
−
+
−⋅=
0
cos),(
ϕ
υ
ω
x
tAtxs
).
Независимость
разность
фаз
от
времени
означает
,
что
когерентными
мо
-
гут
быть
лишь
волны
,
имеющие
одинаковую
частоту
(
длину
волны
).
Интерференционная
картина
,
т
.
е
.
взаимное
усиление
когерентных
волн
в
одних
точках
пространства
и
ослабление
в
других
,
получится
только
в
том
случае
,
если
когерентные
волны
в
данной
точке
пространства
встречаются
всегда
одинаковым образом
.
Например
,
если
в
данной
точке
пространства
они
всегда
встречаются
в
одинаковой
фазе
,
то
мы
наблюдаем
усиление
волн
(
интерференционные максимумы
).
Если
же
они
встречаются
в
противофа
-
зе
,
то
гасят
друг
друга
,
и
мы
наблюдаем
ослабление
волн
(
интерференцион-
ные минимумы
).
При
сложении
двух
когерентных
волн
(
для
простоты
амплитуды
гармо
-
нических
колебаний
принимаются
одинаковым
);
s
1
=A cos (
ω
t +
φ
1
) s
2
=A cos (
ω
t +
φ
2
).
По
принципу
суперпозиции
их
сложение
s=s
1
+ s
2
= 2A cos (
ω
t +
2
21
ϕ
ϕ
+
) cos(
2
21
ϕ
ϕ
−
)=A
резулт
.
cos (
ω
t +
2
21
ϕ
ϕ
+
),
где
A
резулт
.
=2A cos(
2
21
ϕ
ϕ
−
)
(
если
гармонические
колебания
выражаются
через
sin,
то
вместе
cos (
ω
t +
2
21
ϕ
ϕ
+
)
имеем
.
sin (
ω
t +
2
21
ϕ
ϕ
+
) ).
178
Так
как
πν
π
ω
2
2
==
Т
и
λν
υ
=
,
то
из
уравнения
световой
волны
)
2
cos()(cos
λ
π
ω
υ
ω
r
tE
r
tEE
mm
⋅
−=−=
выражение
( ) ( )
λ
π
λν
πν
υ
ω
υ
ω
υ
ω
ϕϕ
2
2
2
2
1
22
1
2
12
1212
2121
rr
rrrr
r
t
r
t
−
=−=−=
−−
−=
−
Тогда
A
резулт
принимает
максимальное
значение
в
точках
2k
π
:
λ
π
ϕ
ϕ
2
2
2
2121
rr
−
=
−
=2k
π
,
где
k = 0,1,2,3,…,
порядок
максимума
Таким
образом
,
условия
максимумов
имеет
вид
2
2
21
λ
λ
kkrr ==−
При
(2k +1)
π
A
резулт
имеет
минималь
-
ное
значение
,
поэтому
условия
минимумов
:
2
)12(
21
λ
+=− krr
,
где
k = 0,1,2,3,…
Для
общего
случая
:
)cos(
11
ϕω
+⋅= tAx
,
)cos(
222
ϕω
+⋅= tAx
A
2
=A
1
2
+A
2
2
+2A
1
A
2
cos (
φ
1
–
φ
2
)
Так
как
I=A
2
,
то
I=I
1
+I
2
+2
21
II
cos (
φ
1
–
φ
2
)
Для
когерентных
волн
cos (
φ
1
–
φ
2
)=const;
не
зависит
от
времени
,
но
для
каж
-
дой
точки
пространства
имеет
свое
значение
.
Когда
cos (
φ
1
–
φ
2
)>0,
то
I>I
1
+I
2
;
при
cos (
φ
1
–
φ
2
)<0, I<I
1
+I
2
Следует
отметить
,
что
при
интерференции
волн
не
происходит
простое
сло
-
жения
их
энергий
.
При
I
1
=I
2
,
в
максимуме
I=4I
1
,
а
в
минимуме
I=0.
На
-
пример
,
в
точках
минимума
или
около
них
энергия
волн
,
дошедших
от
двух
источников
меньше
,
чем
энергия
волны
одного
источника
.
Интерференция
волн
приводит
к
перераспределению
энергии
колебаний
между
различными
близкорасположенными
частицами
среды
.
В
среднем
,
для
большой
области
пространства
,
энергия
результирующей
волны
равна
сумме
энергий
интер
-
ферирующих
волн
.
У
некогерентных
волн
в
среднем
cos (
φ
1
–
φ
2
)=0
и
при
I
1
=I
2
; I=2I
1
.
Таким
образом
,
если
когерентные
волны
в
точку
А
приходят
из
двух
ис
-
точников
S
1
и
S
2
,
то
условия
максимума
и
минимума
для
них
имеет
вид
:
2
2
λ
⋅=∆ k
, (
условия
максимума
),
2
)12(
λ
⋅+=∆ k
, (
условия
минимума
),
где
∆
–
разность
хода
лучей
, k = 0, 1, 2,…
cos(2k+1)
π
=
–
1
cos2k
π
=1
179
Иными
словами
,
если в разность хода лучей умещается четное коли-
чество полуволн (или целое число волны), то в этой точке мы имеем
максимальное усиление волны. Если же в разность хода лучей помеща-
ется нечетное количество полуволн, то в этих точках происходить ос-
лабление волн.
Для
световых
лучей
условие
максимумов
и
минимумов
относит
-
ся
не
к
разности
хода
лучей
,
а
к
оп-
тической длины пути волны.
По
-
следняя
собой
представляет
произ
-
ведение
геометрической
длины
r
пу
-
ти
световой
волны
в
данной
среде
на
показатель
преломления
n
этой
сре
-
ды
.
В
общем
случае
,
когда
лучи
от
источников
S
1
и
S
2
приходят
сквозь
среды
с
разными
показателями
преломления
,
то
∆
=|n
2
r
2
–n
1
r
1
|
.
Но
обычно
,
оба
ис
-
точника
находятся
в
воздухе
,
для
которого
можно
принять
n
1
=n
2
=1 ,
поэтому
вместо
оптической
разности
хода
часто
употребляют
|r
2
-r
1
|.
Следует
отметить
,
что
когерентность
волн
в
течении
времени
и
при
больших
значениях
разности
хода
нарушаются
.
При
отражении
света
в
разность
хода
∆
появляется
дополнительная
раз
-
ность
фаз
;
если
свет
отражается
от
границы
с
оптически
более
плотной
среды
(
зеркало
),
то
фаза
колебания
светового
вектора
скачками
меняется
на
π
(«
по-
теря полуволны
»
при
отражении
).
В
этом
случае
к
∆
надо
прибавить
или
отнять
λ
/2.
Линзы
дополнительной
разности
хода
не
вносят
.
Так
как
свет
,
исходящий
из
светящегося
тела
,
представляет
собой
сово
-
купность
множества
электромагнитных
волн
,
излучаемых
отдельными
час
-
тицами
(
атомами
и
молекулами
)
тела
,
то
световые
волны
от
независимых
ис
-
точников
практически
не
могут
быть
когерентными
(
исключение
составляют
лазеры
).
Для
получения
интерференционной
картины
(
когерентных
световых
волн
)
применяют
метод
«
разделения
»
волны
,
излучаемой
одним
источником
,
на
две
части
,
которые
после
прохождения
разных
оптических
путей
накла
-
дываются
друг
на
друга
.
Такое
«
раздвоение
»
можно
осуществить
,
например
,
посредством
экрана
с
двумя
малыми
отверстиями
,
которые
играют
роль
не
-
зависимых
источников
(
метод
Юнга
),
отражением
света
от
двух
плоских
зер
-
кал
,
установленных
под
углом
~180
0
(
зеркало
Френеля
)
или
прохождением
света
через
два
одинаковых
,
сложенных
основаниями
призм
с
малыми
пре
-
ломляющими
углами
(
бипризма
Френеля
).
r
2
A
r
1
S
2
S
1
r
2
-r
1
180
Интерференция
света
в
тонких
пленках
В
условиях
максимумов
и
минимумов
разность
хода
зависит
от
длины
волны
.
Это
приводит
к
тому
,
что
для
белого
света
,
который
представляет
со
-
бой
смесь
различных
цветов
(
различных
λ
),
светлые
полосы
в
интерференци
-
онных
картинах
приобретают
радужную
окраску
.
В
природе
это
наблюдается
в
тонких
пленках
,
которые
образуют
,
например
,
мыльные
пузыри
или
масля
-
ные
пленки
на
воде
или
на
асфальте
.
В
данном
случае
,
интерференция
проис
-
ходит
между
двумя
волнами
(I
и
II),
отраженными
от
двух
(
верхних
и
ниж
-
них
)
поверхностей
пленки
.
n
r
i
=
sin
sin
∆
=(|AD|+|DC|)−(|AB|±
λ
/2)
член
λ
/2
из
-
за
эффекта
полуволн
Если
n>n
0
,
то
потеря
полу
-
волны
произойдет
в
точке
А
и
вышеупомянутый
член
будет
иметь
отрицательный
знак
(−);
ес
-
ли
же
n<n
0
,
то
потеря
полуволны
произойдет
в
точке
D
и
λ
/2
будет
иметь
знак
(+)
|AD|=|DC|=h/cosr
|AB|=|AC|sini=2h
.
tgr
.
sini
Учитывая
,
что
sin
2
r=1–cos
2
r
и
sini=n
.
sinr,
получаем
∆
=2nh cosr+
λ
/2
∆
=
2
sin2
22
λ
+− inh
или
∆
= f (h,n,i,
λ
)
Разность
хода
∆
зависит
от
толщины
пленки
(h),
коэффициента
прелом
-
ления
вещества
(n),
из
чего
состоит
пленка
,
от
угла
падения
(i)
и
длины
вол
-
ны
света
(
λ
).
При
больших
значениях
h
когерентность
I
и
II
волн
нарушается
,
поэтому
интерференция
наблюдается
у
тонких
пленок
.
Полосы
равной
толщины
(
интерференция
от
пластинки
переменной
толщины
)
наблюдается
,
когда
параллельный
пучок
(i=const)
монохроматиче
-
ского
света
(
λ
=const)
падает
на
однородную
(n=const)
пластину
,
толщина
ко
-
торой
меняется
от
точки
к
точке
(h
≠
const).
Полосы
равного
наклона
(
интерференция
от
плоскопараллельной
пла
-
стины
)
получается
при
h=const. n=const,
λ
=const ,
но
при
i
≠
const.
1
′
,1
′′
,2
′
и
2
′′
параллельны
(
так
как
пластинка
параллельна
),
поэтому
,
что
-
бы
их
наблюдать
используют
собирающую
линзу
,
при
помощи
которой
они
на
экране
собираются
в
точке
F.
Лучи
,
подающие
под
другим
углом
(3)
соби
-
раются
в
другой
точке
F
′
.
Если
оптическая
ось
линзы
перпендикулярна
по
-
верхности
пластинки
,
то
получаются
концентрические
кольца
с
центром
в
фокусе
линзы
.
I
II
i
i
i
D
C
B
A
n
0
≈
1
n
r
r
r
h