Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.

151

Таким образом, при заданном коэффициенте



неравенства (10), (11)

определяют выпуклую область допустимых значений коэффициентов



, при которых достигается заданный запас по фазе



Аналогично можно найти условия на выбор параметров

1 2 3

, ,

k k k

, при

которых разомкнутая система с передаточной функцией (3) имеет заданный за-

пас устойчивости по модулю

(рис. 9.10). В этом случае на частоте





пре-

сечения АФЧХ

( )

W j



с вещественной осью должно выполняться равенство

( )j









. (12)

Полученные условия на выбор коэффициентов

1 2 3

, ,

k k k

совместно с ус-

ловиями (9), (10) определяют область значений коэффициентов, при которых

обеспечиваются заданные запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Данный метод синтеза параметров регулятора можно проводить с помо-

щью ЛАХ и ЛФХ.

2. Определение параметров регулятора с помощью интегральных оценок.

Для определения настраиваемых параметров



i l



ОУ, типового ре-

гулятора можно использовать интегральную оценку (10.9), рассмотренную в

лекции 10. Указанные параметры определяются аналитически из необходимых

условий экстремума

/ 0



  

i l



Настройку параметров также можно проводить экспериментально с ре-

альным ОУ или его моделью, реализованной на ПЭВМ. Для этого по измерен-

ным сигналам

( )



( )





вычисляется значение

(1)

( )



для некоторых значе-

ний параметров вектора

(1)



. Затем путем варьирования первого параметра

(2) (1)

1 1

  

  

при фиксированных остальных параметрах определяется наи-

меньшее значение

(2) (1)

1 1

( ) ( )

J J

 

 . После этого, варьируя второй параметр

(3) (2)

2 2

  

  

, определяется наименьшее значение

(3) (2)

1 1

( ) ( )

J J

 

 . Данная

процедура повторяется последовательно для каждого параметра до тех пор, по-

ка варьирование параметров не приводит к уменьшению значения

. Такой

152

метод называется методом последовательной оптимизации.

3. Реализация ПИД-регуляторов.

Регулятор с законом управления (1) представлен на структурной схеме

рис. 2. Недостатком данной схемы является то, что при скачкообразном изме-

нении входного сигнала

( )

g t

его производная принимает большое значение.

Поэтому сигнал

может принимать недопустимое значение, приводящее к на-

сыщению значения

. Поскольку определение параметров ПИД-регулятора

проводится из условия устойчивости замкнутой системы и не связано с видом

входного сигнала

, то, очевидно, что устойчивость системы не изменится в

результате эквивалентного преобразования структурной схемы рис. 2 при зна-

чении



. Поэтому для реализации ПИД-регулятора часто используется

структура, изображенная на рис. 3. В этой структуре дифференцируется только

сигнал обратной связи. Поскольку этот сигнал обычно изменяется медленно в

силу инерционности объекта управления, то управляющий сигнал

не будет

принимать таких больших значений, как в системе на рис. 2.

Иногда применятся еще одна модификация структуры регулятора, изо-

браженная на рис. 4. В этой структуре входной сигнал передается только по ка-

налу интегрирования в виде сигнала

. Поэтому при ступенчатом входном

сигнале

в результате постепенного увеличения сигнала

управляющий сиг-

нал

не будет подвергать удару объект управления, как в системе на рис. 3.

153

Если кроме измерения выходного сигнала системы можно измерить и

скорость его изменения, то регулятор лучше всего реализовать с помощью схе-

мы на рис. 5. При данном способе реализации дифференцирование вообще от-

сутствует, хотя характеристическое уравнение замкнутой системы остается тем

же. Здесь не возникают проблемы, связанные с дифференцированием сигнала,

т.е. усиления высокочастотного шума, присутствующего в измерениях сигнала

ос

3. Синтез корректирующих устройств.

В некоторых случаях не удается обеспечить требуемое качество процес-

сов с помощью настройки параметров ПИД-регулятора. В этом случае прово-

дится синтез корректирующего устройства, т.е. определяется структура и пара-

метры регулятора. Рассмотрим процедуру синтеза последовательного коррек-

тирующего устройства, для системы, обобщенная структурная схема которой

имеет вид рис. 2, где ООУ – обобщенный объект управления.

154

Регулятор включает электронный усилитель с коэффициентом усиления

и последовательное корректирующее устройство с передаточной функцией

( )

W p

(0) 1



При подаче на вход постоянного сигнала

( )

g t g



система называется

системой стабилизации и для ее работоспособности в разомкнутой системе

может отсутствовать интегрирующее звено. Если на вход поступает сигнал

( )

g t

неизвестной функции времени, то система называется следящей системой

и для ее работоспособности в замкнутой системе должны присутствовать ин-

тегрирующие звенья. Обычно сигнал

( )

g t

аппроксимируют кусочно-

линейными функциями, и расчет коэффициента усиления

проводят на вход-

ной сигнал

0 1

( )

g t g g t

 

, где

– возможная максимальная по модулю ско-

рость. В этом случае (см. лекция 10) в разомкнутой системе должно присутст-

вовать хотя бы одно интегрирующее звено, которое обычно содержит ООУ.

Аналогично необходимость наличия интегрирующих звеньев зависит та-

кже от вида возмущения

( )

f t

Независимо от типа системы требуется, чтобы в замкнутой системе вы-

полнялись следующие прямые показатели качества:

уст уст

 

 ,

p p

t t



 



где

уст





– заданные ошибка, время регулирования и перерегулирова-

ние. Процедура синтеза состоит из двух этапов: статического и динамического

расчета.

I. Статический расчет.

По заданному значению ошибки

уст



определяется требуемое значение

коэффициента усиления

. Для простоты будем полагать, что внешнее воздей-

ствие отсутствует. Тогда для системы стабилизации согласно формуле (10.3)

установившаяся ошибка определяется по формуле:

уст

раз

lim ( )

p p

 



 



, (13)

155

где

раз у к 1 2 ос

(0) (0) (0) (0)

k k W W W W



– коэффициент усиления разомкнутой сис-

темы.

Для следящей системы согласно формуле (10.5) установившаяся ошибка

определяется по формуле:

уст

раз

lim ( )

p p

 



  . (14)

Отсюда с учетом условия

уст уст

 

 из формул (13), (14) определяются

условие на выбор коэффициента

Аналогично определяется коэффициент усиления при наличии возмуще-

ния

( )

f t

II. Динамический расчет.

По заданным значениям времени регулирования

и перерегулирования



определяется передаточная функция

( )

W p

корректирующего устройства.

Для этого введем передаточную функция

( )

W p

разомкнутой нескоррек-

тированной системы с найденным коэффициентом

раз

Н у 1 2 ос

( ) ( ) ( ) ( )

W p k W p W p W p



. (15)

При этом передаточная функция разомкнутой желаемой системы имеет вид

Ж К Н

( ) ( ) ( )

W p W p W p



. Тогда по известной передаточной функции

( )

W p

опре-

деляется передаточная функция коррекции

К Ж Н

( ) ( )/ ( )

W p W p W p



Для определения условий на выбор

( )

W p

запишем передаточную

функцию замкнутой системы по ошибке:

K H

( )

1 ( ) ( )

W p

W p W p







С учетом выражений

Н H H

( ) ( )/ ( )

W p m p d p



Ж Ж Ж

( ) ( )/ ( )

W p m p d p



получим передаточную функцию корректирующего устройства

Ж Ж H

Н Ж H

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

W p m p d p

W p

W p d p m p

  .

При этом реальная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

156

Ж H H

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

K H

m p d p m p

W p W p

d p m p d p

 

в которой не допускается сокращения одинаковых множителей числителя и

знаменателя передаточных функций

( )

W p

( )

W p

поскольку они относятся к

разным физическим устройствам, и их сокращение равносильно снижению

действительного общего порядка уравнения разомкнутой системы.

Тогда выражение передаточной функции замкнутой системы по ошибке

имеет вид

H H Ж

H H Ж Ж

K H

1 ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )[ ( ) ( )]

1 ( ) ( )

m p d p d p

W p

m p d p d p m p

W p W p



 



из которого с учетом обозначений

H H

( ) ( ) ( )

l p m p d p



Ж Ж Ж

( ) ( ) ( )

D p d p m p

 

следует уравнение для ошибки



Ж Ж

( ) ( ) ( ) ( )

l p D p l p d p g





Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой системы

( ) ( ) 0

l p D p



содержит не только корни желаемого характеристического полинома

( )

D p

но и корни полинома

( )

l p

, которые могут располагаться в близи границы

устойчивости (для минимально-фазовых систем) или даже быть неустойчивыми

(для неминимально-фазовых систем).

В то же время реакция системы

( )



на типовое входное воздействие

( )

g t

при нулевых начальных условиях не зависит от корней полиномов

( )

l p

, по-

скольку для изображения Лапласа

( )



допускается сокращение одинаковых

множителей

( )

l p

в числителе и знаменателе передаточной функции, что может

создать обманчивую картину выполнения требуемого качества.

Для устранения этого недостатка проведем факторизацию числителя и

знаменателя передаточной функции

Н Н

( ) ( )

( )

( ) ( )

m p m p

W p

d p d p



 ,

157

где символы "+" и "–" обозначают полиномы, корни которых удовлетворяют и

не удовлетворяют требуемым запасам устойчивости соответственно.

Передаточную функцию разомкнутой желаемой системы примем в виде

Ж Н

( ) ( )

( )

( ) ( )

m p m p

W p

d p d p



 .

Тогда получим передаточную функцию коррекции

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ж Ж Н Н Н Ж Н

Ж Н Н Н Ж Н

W p m p m p d p d p m p d p

W p

d p d p m p m p d p m p

     

   ,

в которой сокращаются общие множители числителя и знаменателя, поскольку

они относятся к одному физическому устройству.

Тогда с помощью передаточной функции разомкнутой системы

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ж Н Н Н

К H

Ж Н Н Н

m p d p m p m p

W p W p

d p m p d p d p

   

 

найдем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке

Ж Н Н Н

Н Н Ж Н Ж Н

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]

d p m p d p d p

W p

m p d p d p d p m p m p



   

     





с характеристическим уравнением

Н Н Ж Н Ж Н

( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] 0

m p d p d p d p m p m p

     

 

Поскольку корни полиномов

( )

m p



( )

d p



являются допустимыми, то

полиномы

( )

d p



( )

m p



выбираются так, чтобы корни полинома

Ж Н Ж Н

( ) ( ) ( ) ( )

d p d p m p m p

   

 удовлетворяли требуемым показателям качества.

Таким образом, при построении

( )

W p

необходимо включать в нее п

о-

линомы

( )

m p



( )

d p



передаточной функции

( )

W p

В инженерной практике наибольшее распространение получил метод по-

строения

( )

W p

с помощью ЛАХ. Поэтому процедура синтеза корректирую-

щего устройства связана с построением ЛЧХ и состоит из следующих шагов.

1. По заданным значениям показателей качества переходного процесса

158



ручным или машинным способом строится желаемая ЛАХ

( )



, кото-

рая изображается на графике ЛАХ нескорректированной системы

( )



а) Построение ЛАХ в области средних частот:

 Определяется желаемая частота среза

ср ж



по заданным значениям пока-

зателей качества переходного процесса



с помощью изображенных на

рис.3 номограмм

p cp max 0

( / )

t P P



, и

max 0

( / )

P P



, где

max 0

P P

выполняет роль

вспомогательного параметра (

max

– максимальное и начальное значение

вещественной частотной характеристики замкнутой системы [11, с.496]). Здесь

по желаемому перерегулированию



, % по стрелке находим аргумент

max 0

P P

и соответствующее ему произведение

p cp



. Отсюда по заданному значению

находим



Рис. 3

159

 По дополнительным номограммам

max 0

( / )

P P



1 2 max 0

, ( / )

L L P P

оцени-

ваются запас устойчивости по фазе



и минимальные положительные значе-

ния краевых амплитуд

( )

Ж с

L L





| ( )|

L L





, по которым определяются

границы среднечастотного диапазона.

 Через точку

cp ж



проводится отрезок ЛАХ с наклоном



дБ/дек, у ко-

торого слева от

cp ж



значение

( )

Ж с

L L





, а справа

в 2

( )

L L



 

. Тем самым

определяется среднечастотный диапазон

с в

  

 

желаемой ЛАХ, где

с срж

 





в срж

 



или

с срж 1

lg lg /20

 

 

в срж 2

lg lg /20

 

 

 Для обеспечения достаточного запаса устойчивости ширина среднечас-

тотного диапазона должна быть не менее декады, а частота среза располагаться

примерно в его середине. Дальнейшее построение желаемой ЛАХ в области

низких и высоких частот должно проводится таким образом, чтобы для реаль-

ных запасов устойчивости по амплитуде

* *

1 2

L L

и фазе



выполнялись условия

1 1

L L



2 2

L L



З З

 



, которые обеспечивают заданные показатели качества



б) Построение ЛАХ в области низких частот:

Сопрягается среднечастотный участок

( )



с низкочастотным участ-

ком

( )



нескорректированной системы с помощью сопрягающей части, т.е.

отрезка прямой в интервале частот

н с

  

 

при

Ж н Н н

( ) ( )

L L

 



, наклон

которого не должен отличаться от наклона

( )



в этой области частот более,

чем на



20 или



40 дБ/дек. Сопряжение горизонтальным участком длиной бо-

лее половины декады нежелательно, т.к. оно затягивает переходной процесс.

Иногда для сопряжения используется более чем один отрезок, что усложняет

схему корректирующего устройства.

Значение



не должно быть меньше значения сопрягающих частот ха-

рактеристики

( )



, постоянные времени которых соответствуют корням по-

линомов

( )

m p



( )

d p



в разложении передаточной функции

( )

W p

на множи-

тели.

160

в) Построение ЛАХ в области высоких частот:

Построение высокочастотного участка

( )



проводится из условия по-

лучения наиболее простого корректирующего устройства. Для этого необходи-

мо, чтобы вправо от частоты



желаемая ЛАХ имела наклоны равные накло-

нам

( )



или отличные от них, не более чем на



20 или



40 дБ/дек, при

этом наклоны последних участков должны быть равны наклонам

( )



2. По виду желаемой ЛАХ восстанавливается передаточная функция

( )

W p

, у которой коэффициент усиления разомкнутой системы равен

раз

не-

скорректированной системы. Последовательность восстановления передаточ-

ной функции

( )

W p

по асимптотической ЛАХ

( )



осуществляется в соот-

ветствии с методикой построения ЛАХ по ее передаточной функции, приведен-

ной выше.

3. По передаточной функции

( )

W p

строится ЛФХ

( )

 

и определя-

ются реальные запасы устойчивости по фазе и амплитуде

* *

1 2

L L



4. Если

1 1

L L



или

2 2

L L



, или

З З

 



, то необходимо повторить проце-

дуру синтеза так, чтобы выполнялись условия

1 1

L L



2 2

L L



З З

 



5. Определяются реальные показатели качества



полученной

замкнутой системы с передаточной функцией по переходной характеристике

( ) 1

( )

1 ( )

W p

h t L

W p p



 

 

 



 

6. Если

p p

t t



 



, то процесс синтеза закончен; в противном случае

необходимо повторить процедуру синтеза так, чтобы увеличить запасы устой-

чивости

* *

1 2

L L



7. Передаточная функция последовательной коррекции определяется по

формуле

К Ж Н

( ) ( )/ ( )

W p W p W p



или в результате ее восстановления по лога-

рифмической характеристике

( ) ( ) ( )

К Ж Н

L L L

  

 

8. По найденной передаточной функции корректирующего устройства

составляется его электрическая схема, которая может быть реализована

различными способами [11, с.104-118]. Наиболее простым является способ

реализации с помощью последовательно соединенных пассивных и активных