Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ
Подождите немного. Документ загружается.
91
1
/( 1)!
i
j
i
p
l
j
t
i
le t
3. Переход от сигналов вход-выход к переменным состояния
Для определения реакции системы, заданной в виде передаточной матрицы
( ) ( ) ( )
Y p W p U p
, (17)
кроме способа обратного преобразования Лапласа можно использовать форму-
лу (6) при
(0) 0
x
, если установить связь между системами (17) и (1).
Рассмотрим этот вопрос для случая одномерных систем, полагая
1
l m
.
1
0 1
1
0 1
( )
( )
( )
m m
m
n n
n
b p b p b
m p
W p
d p
a p a p a
,
0
1
a
.
Уравнение (17) перепишем в виде
( ) ( )
(
( ) ( )
)
Y p U p
d p
p
m
Z
p
,
где
( )
Z p
– вспомогательная переменная. Тогда можно записать
( ) ( ),
( ) ( )
(
( )
.
)
Z p U p
Y p Z
d p
m p
p
(18)
Системе (18) соответствует дифференциальное уравнение
n
- го порядка
( ) ( 1)
1
( ) ( 1)
0 1
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ).
n n
n
m m
m
z t a z t a z t u t
y t b z t b z t b z t
(19)
Введем вспомогательные переменные
1
x z
,
2 1
x z x
,
3 2
x z x
,
( 1)
1
n
n n
x z x
, тогда уравнение (19) преобразуется к виду
1 1
0 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ).
n n n
m m m
x t a x t a x t u t
y t b x t b x t b x t
Отсюда следует система уравнений
1 1 2
1 2
3
1
2
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ),
,
n n n n
x t a x t a x t a x
x x
x
t
x
t u
(20)
1 1 2 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
m m m
y t b x t b x t b x t
.
92
Данную систему уравнений при
m n
перепишем в матричной форме (1),
где
1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1
n n n
A
a a a a
,
0
0
0
1
b
,
1 0
m m
c b b b
,
0
d
.
Следует обратить внимание на то, что коэффициенты в последней строке
матрицы
A
соответствуют коэффициентам полинома знаменателя передаточ-
ной функции
( )
W p
и согласно (3) соответствуют коэффициентам ее характери-
стического уравнения.
В случае, когда
m n
, выход системы
y
будет зависеть от координаты
1
n n
x x
, после подстановки выражения которой получим другие выражения
для вектора-строки
c
и скаляра
d
:
0 1 0 1 1 0 1
n n n n
c b b a b b a b b a
,
0
d
b
.
Существуют также другие формы представления системы (1) при выборе
иного вектора состояния
x
[5]. Однако при этом передаточная функция (матри-
ца) остается одной и той же. Действительно, в результате подстановки
x M x
в уравнение (1) и умножения слева на обратную матрицу
1
M
получим
1 1
,
.
x M AM x M Bu
y CM x D
Передаточная функция данной системы в соответствии с формулой (5) будет
иметь вид
1 1
1 1 1 1
( )
n n
W p CM pE M AM M B D CM M pE A M M B D
1 1
1 1
( )
n n
CMM pE A M M B D C pE A B D W p
.
Поэтому говорят, что передаточная функция системы (1) инвариантна к
преобразованию подобия вектора состояния
x
.
Таким образом, исходная линейная система может быть представлена од-
ним из способов (1) или (17). При этом следует отметить, что кратным корням
93
характеристического уравнения
( ) 0
d p
системы (17) или (20) соответствует
один жордановый блок, т.е.
1
i
r
,
1
i i
n l
.
4. Блочные системы в переменных состояний
Для описания ФЭ вместо передаточных функций можно использовать
представление в виде системы (1):
,
,
i i i i i
T
i i i
x A x bu
y c x
где
i
x
i
n
- вектор состояния
i
- го ФЭ.
1. Последовательное соединение. При последовательном соединении двух
ФЭ
1
u u
2 1
u y
,
2
y y
. Тогда с использованием расширенного вектора со-
стояния
1 2
[ ]
T T T
x x x
размерностью
1 2
n n n
получим эквивалентную систему
с блочными матрицами:
1
1
2 1 2
2
0
,
0
[0 ] .
T
T
A
b
x x u
b c A
y c x
(21)
При последовательном соединении
k
ФЭ блочная матрица является ниж-
ней треугольной с диагональными блоками
i
A
,
1,
i k
.
2. Параллельное соединение. При параллельном соединении двух ФЭ
1
u u
2
u u
,
1 2
y y y
. Тогда получим эквивалентную систему:
1 1
2 2
1 2
0
,
0
[ ] .
T T
A b
x x u
A b
y c c x
(22)
При параллельном соединении
k
ФЭ блочная матрица является диаго-
нальной с блоками
i
A
,
1,
i k
.
3. Соединение с обратной связью. При использовании второго ФЭ в каче-
стве обратной связи имеем
1 2
u u y
,
2 1
u y
,
1
y y
. Тогда получим эквива-
лентную систему:
94
1 1 2
1
2 1 2
1
,
0
[ 0] .
T
T
T
A bc
b
x x u
b c A
y c x
(23)
Возможны также и другие соединения блоков ФЭ.
В системе MATLAB предусмотрена возможность программно “набирать”
схему САУ, состоящую из ФЭ в виде передаточных функций (матриц) и блоков
в переменных состояний. Если с помощью команды tf ФЭ представлен в виде
передаточной функции (матрицы) W, то для перехода к системе (1) можно вос-
пользоваться командой sys1=ss(W). Для обратного перехода используется
команда sys2=tf(sys1). Выполнение разложения (13), т.е. вычисление мат-
риц
M
и
J
, можно осуществить с помощью команды [M,J]=jordan(A).
Для вычисления матричной экспоненты используется команда expm(A).
Также отметим, что в системе Simulink [8, 2] имеется возможность моде-
лирование САУ с помощью передаточных функций и матричных блоков.
Вопросы для самопроверки
1. Что понимается под переменными состояния?
2. В чем преимущество и недостаток систем в переменных состояния по срав-
нению с их представлением передаточными матрицами?
3. Какие известны способы построения переходной матрицы?
4. Что понимается под свободным и вынужденным движением системы?
5. В чем особенность представления матрицы в форме Жордана?
6. От чего зависит решение однородной системы линейных дифференциальных
уравнений?
7. Что понимается под инвариантностью передаточной функции к подобному
преобразованию?
8. Отличаются ли корни характеристического уравнения системы при последо-
вательном и параллельном соединении блоков ФЭ?
95
ЛЕКЦИЯ 8
Устойчивость САУ. Определение устойчивости по Ляпунову. Устойчивость линей-
ных систем. Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.
1. Устойчивость САУ
Рассматриваются два подхода к определению устойчивости САУ.
1) Пусть заданное или невозмущенное движение системы описывается
уравнением
* * *
( ) ( ( ), ( ))
x t F x t u t
,
* *
0 0
( )
x t x
, (1)
где
*
x n
- вектор состояния,
*
u m
- вектор управляющих воздействий,
( )
F
–
нелинейная вектор-функция, удовлетворяющая условиям существование и
единственности решения системы (1).
Предположим, что в момент времени
0
t t
из-за внешних возмущений
изменилось начальное условие, которое приняло значение
*
0 0 0
x x x
. При
этом возмущенное движение системы при
0
t t
отклоняется от невозмущенно-
го движения
*
( )
x t
и описывается уравнением
*
( ) ( ( ), ( ))
x t F x t u t
,
*
0 0 0
x x x
. (2)
Очевидно, что для нормальной работы системы необходимо, чтобы после
снятия возмущающих воздействий возмущенное движение системы стремилось
к невозмущенному движению при
t
. Данное свойство системы называют
устойчивостью системы или устойчивостью невозмущенного движения.
В частном случае, если
*
( ) 0
x t
, система (1) при
*
( ) const
u t находится в
состоянии равновесия
* *
0
( ) ( )
x t x t
, которое определяется из уравнения стати-
ки
* *
( , ) 0
F x u
. (3)
В силу нелинейности уравнения (2) может существовать множество состояний
равновесия. При этом каждое положение равновесия может быть устойчивым,
96
нейтральным и неустойчивым. Примером может служить движение физическо-
го маятника при наличии сил трения, представленного на рис. 1. В зависимости
от положения точки С центра масс маятника его положение равновесия являет-
ся устойчивым (а), нейтральным (б), неустойчивым (в).
Рис. 1
2) Другое определение устойчивости связано с реакцией системы на из-
менение управляющего воздействия
*
u
. Пусть в момент времени
0
t t
управ-
ляющее воздействие приняло значение
*
( ) ( ) ( )
u t u t u t
, где
( )
u t
– произ-
вольное ограниченное воздействие, удовлетворяющее условию
2 2
1 max
|| ( )|| ( ) ( )
m
u t u t u t u
.
При этом возмущенное движение системы, отклоняющееся от невозмущенного
движения
*
( )
x t
, описывается уравнением
*
( ) ( ( ), ( ) ( ))
x t F x t u t u t
,
0 0
( )
x t x
. (4)
Если отклонение
*
( ) ( ) ( )
x t x t x t
при
0
t t
является ограниченным, т.е.
выполняется условие
2 2
1 max
|| ( )|| ( ) ( )
m
x t x t x t x
, (5)
то система (1) называется устойчивой по входу.
Устойчивость по входу связана с понятием устойчивости невозмущенно-
го движения.
97
2. Определение устойчивости по Ляпунову
Рассмотрим первый подход к определению устойчивости невозмущенно-
го движения системы (1), полагая
*
( )
u t
известным вектором. Для этого запи-
шем уравнение (2) в отклонениях от невозмущенного движения системы (1)
полагая
*
( ) ( ) ( )
x t x t x t
. Тогда вычитая из уравнения (2) уравнение (1) полу-
чим
* * * *
( ) ( ( ) ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), )
x t F x t x t u t F x t u t f x t t
.
Таким образом, возмущенное движение системы в отклонениях от невоз-
мущенного движения описывается нестационарной системой
( ) ( ( ), )
x t f x t t
,
*
0 0 0
( ) ( ) ( )
x t x t x t
, (6)
где
( ( ), ) (0, ) 0
f x t t f t
. При этом для системы (6) невозмущенным движени-
ем является решение
( ) 0
x t
.
Определение 1. Невозмущенное движение
*
( )
x t
системы (1) (или
( ) 0
x t
системы (6)) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угод-
но малого
0
найдется
( ) 0
такое, что при начальных условиях
*
0 0 0
|| ( )|| || ( ) ( )||
x t x t x t
выполняется неравенство
*
|| ( )|| || ( ) ( )||
x t x t x t
при
0
t t
.
В противном случае невозмущенное движение называется неустойчивым
по Ляпунову.
Определение 2. Если исходная система (1) (или (6)) устойчива по Ляпуно-
ву и выполняется также условие
( ) 0
lim
t
x t
, то невозмущенное движение
*
( )
x t
системы (1) (или
( ) 0
x t
системы (6)) асимптотически устойчиво.
Если исходная система асимптотически устойчива для любых начальных
отклонений, то невозмущенное движение устойчиво в целом.
Приведем геометрическую интерпретацию определения устойчивости по
Ляпунову для случая
2
n
. На рис. 2 невозмущенное движение
*
( )
x t
является
осью трубки с внутренним
и внешним
радиусами. При этом возмущенное
98
движение
( )
x t
, соответствующее кривой 1, является устойчивым по Ляпунову,
а кривой 2 – асимптотически устойчивым. На рис. 3 приведены соответствую-
щие возмущенные движения
( )
x t
в отклонениях от невозмущенного
( ) 0
x t
.
Рис. 2 Рис. 3
Примером устойчивой системы по Ляпунову является математический
маятник, приведенный на рис. 4. Здесь начальное угловое поло-
жение маятника
0
| ( )|
t
. Поэтому при свободных колебаниях
маятника будет выполняться условие
| ( )|
t
, т.е. движе-
ние маятника устойчиво по Ляпунову. Если движению маятника
препятствует сопротивление среды, то его колебания будут за-
тухающими и тем самым движение является асимптотически устойчивым.
В дальнейшем будем рассматривать систему (6) при
*
( )
u t const
в от-
клонениях от невозмущенного движения, опуская для простоты символ
:
( )
x f x
,
0 0
( )
x t x
, (7)
где
(0) 0
f
. Разлагая функции
( )
i
f x
,
1,
i n
в ряд Тейлора, получим
1
0
( )
( ) ( )
n
i
i j i
j
j
x
f x
f x x x
x
,
где
( )
i
x
– слагаемые содержащие члены выше первого порядка малости. Тогда
уравнение (7) можно переписать в виде:
( )
x Ax x
,
0 0
( )
x t x
, (8)
где постоянная матрица
A
определяется по формуле
99
1 1
1
0
1
0
( ) ( )
( )
( ) ( )
n
x
n n
n
x
f x f x
x x
f x
A
x
f x f x
x x
.
3. Устойчивость линейных систем
При малых отклонениях вектора
x
функцией
( )
x
можно пренебречь и
тогда из системы (8) следует линейная система:
x Ax
,
0 0
( )
x t x
. (9)
Следует отметить, что возможны случаи, когда в системе (8) функция
( ) 0
x
, т.е. система является линейной, при этом отклонении вектора
x
могут
быть произвольными.
Для определения устойчивости системы (9) по Ляпунову необходимо
проанализировать поведение нормы вектора
|| ( )||
x t
, где решение
( )
x t
при
0
0
t
в случае различных корней определяется по формуле (7.16) и удовлетво-
ряет неравенству
1
|| ( )|| | | || ||
i
n
p t
i
i
x t e c
. (10)
Здесь комплексному корню
i
p
соответствует комплексный вектор
i
c
, норма ко-
торого равна корню квадратному из суммы квадратов модулей координат век-
тора
i
c
.
Таким образом, поведение нормы вектора
|| ( )||
x t
зависит от функций
| |
i
p t
e
, и в случае кратных корней
i
p
– может зависеть от функций
| |
i
p t
e
,
| |
i
p t
e t
,
…,
| |
i
p t
k
e t
.
Рассмотрим различные случаи распределения корней
i i i
p j
харак-
теристического уравнения
1
1
( ) | | 0
n
n
n
n
p a pd p apE A
(11)
на комплексной плоскости, которым соответствует выражение
100
( )
i i i i i
p t j t t j t
e e e e
.
Отсюда с учетом равенства
| | | cos sin | 1
i
j t
i i
e t j t
получим
| | | | | | | |
i i i i
p t t j t t
e e e e
.
1. Корни с отрицательной вещественной частью. При значении
0
i
функция
0
i
t
t
e
, поэтому функция
| | 0
i
p t
t
e
.
Несложно также показать, что функция
| | 0
i
p t
k
t
e t
для любого конечно-
го значения
k
.
2. Корни с положительной вещественной частью. При значении
0
i
функция
i
t
t
e
и, следовательно, функция | |
i
p t
t
e
.
3. Корни с нулевой вещественной частью. При значении
0
i
функция
0
1
t
e
, и, следовательно,
| | 1
i
p t
e
. При этом функция | |
i
p t
k
t
e t
.
Пример 1. Пусть система (9) имеет матрицу
0 0
0 0
A
. Характеристиче-
ское уравнение
2
0
( ) | |
0
0
n
p
p
d p pE A
p
,
имеет кратные корни
1,2
0
p
. Тогда решение
( )
x t
можно записать с помощью
формулы (7.9) в виде
2 0 0
( ) ( ) ( )
x t E x t x t
,
т.е.
1 1 0
( ) ( )
x t x t
,
2 2 0
( ) ( )
x t x t
(рис. 5).
Таким образом, система устойчивая по Ляпунову.
Рис. 5 Рис. 6