Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ
Подождите немного. Документ загружается.
61
С физической точки зрения из данных характеристик следует, что уста-
новившийся гармонический выходной сигнал имеет один и тот же коэффици-
ент усиления на всех частотах и совпадает по фазе с входным сигналом. Это
объясняется тем, что безинерционное звено изменят только значение амплиту-
ды входного сигнала.
1.2 Дифференцирующее звено
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
( ) ( ) ( )
W j j U jV
.
Отсюда следует, что
( ) 0
U
,
( )
V
. На рис. 3
приведен график АФЧХ, из которого следует, что при
изменении
0
ФЧХ равна
/2
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся
формулами
2 2
( ) | ( )|A W j U V
,
( )
( )
( ) 0 2
V
arctg arctg
U
.
Отсюда следует, что ЛАХ
( ) 20lg
L
, построенная в логарифмическом
масштабе
lg
, является графиком прямой линии с наклоном
20
дБ/дек отно-
сительно оси частот (рис. 4), а ЛФХ
( ) /2
.
Рис. 4
62
1.3 Интегрирующее звено.
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
1 1
( ) ( ) ( )
W j j U jV
j
.
Отсюда следует, что
( ) 0
U
,
( ) 1/
V
. На рис. 5
приведен график АФЧХ, из которого следует, что при
изменении
0
ФЧХ
( )
равна
/2
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся форму-
лами
2 2
( ) | ( )| 1/
A W j U V
,
( ) 1
( )
( ) 0 2
V
arctg arctg
U
.
Отсюда следует, что ЛАХ
( ) 20lg(1/ ) 20lg
L
, построенная в ло-
гарифмическом масштабе
lg
, является графиком прямой линии с наклоном
20
дБ/дек относительно оси частот (рис. 6), а ЛФХ
( ) /2
.
Рис. 6
Тем самым ЛЧХ интегрирующего звена симметричны ЛЧХ дифференци-
рующего звена относительно оси частот.
1.4 Форсирующее звено первого порядка
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
( ) 1 ( ) ( )
W j Tj U jV
.
63
Отсюда следует, что
( ) 1
U
,
1
( ) /
V T
, где
1
1/
T
– сопря-
гающая частота. На рис. 7 приведен график АФЧХ, из
которого следует, что при изменении
0
ФЧХ
изменяется
0 ( ) /2
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся
формулами
2 2 2 2
1
( ) | ( )| ( ) ( ) 1 /
A W j U V
,
1
( )
( )
( )
V
arctg arctg
U
.
Отсюда следуют выражения для асимптот ЛАХ и ЛФХ:
1
2 2
1 1 1 1
1
20lg1 0,
при ;
( ) 20lg 1 / 20lg( / ) 20lg 20lg , при ;
20lg 2 3 дБ, при
;
L
1
1
1
1
0, при ;
( ) / 2, при ;
/ 4, при .
arctg
Графики ЛАХ и ЛФХ при
1
1
приведены на рис. 8.
Рис. 8
64
Из рис. 8 следует, что асимптотическая ЛАХ (отмечена пунктиром) дос-
таточно точно описывает ЛАХ за исключением окрестности сопрягающей час-
тоты
1
, в которой сопрягаются (пересекаются) две асимптоты. Это учитывает-
ся при приближенном ручном построении ЛАХ. Для приближенного построе-
ния ЛФХ следует учитывать, что при
1
10
значение
( )
arctg10 84,29
,
а при
1
100
значение
( )
arctg100 89,43
.
1.5 Апериодическое звено
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
1
2 2 2 2
1 1
1
( ) 1/( 1) ( ) ( )
1
/
/ 1 /
W j Tj j U jV
,
где
2 2
1
1
( )
1
/
U
,
1
2 2
1
( )
/
/
1
V
, где
1
1/
T
– сопрягающая частота.
На рис. 9 приведен график АФЧХ, из
которого следует, что при изменении
0
ФЧХ изменяется
/2 ( ) 0
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ
воспользуемся формулами
2 2
1
| 1
1 1
( ) | ( )|
1 /
|T
W j
j
A
,
1 1
( )
( )
( )
V
arctg arctg arctg
U
.
Отсюда следуют выражения для асимптот ЛАХ и ЛФХ:
2 2
1
( ) 20lg 1 /L
,
1
( )
arctg
,
которые отличаются от ЛАХ и ЛФХ форсирующего звена первого порядка
только знаком, т.е. симметричны им относительно оси частот (рис. 10).
65
Рис. 10
1.6 Форсирующее звено второго порядка
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
2 2
( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( )
W j T j T j U jV
.
Отсюда следует, что
2
2
1
( ) 1U
,
1
2
( )V
, где
1
1/
T
– сопрягающая
частота. На рис. 11 приведен график АФЧХ,
из которого следует, что при изменении
0
ФЧХ изменяется
0 ( )
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ
воспользуемся формулами
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
( ) | ( )| ( ) ( ) 1 / 4 /
A W j U V
,
1
1
2 2
1
1
1
2 2
1
2 /
, при ;
1 /
( )
( )
( )
2 /
, при .
1 /
arctg
V
arctg
U
arctg
66
Тогда ЛАХ будет иметь вид:
2
2 2 2 2 2
1 1
( ) 20lg 1 / 4 /
L
.
Для построения асимптот запишем следующие выражения:
1
2 2
1 1 1
1 1
20lg1 0,
при ;
( ) 20lg| ( ) | 20lg( / ) 40lg 40lg , при ;
20lg(2 / ), пр
и ;
L W j
1
1
1
1
0, при ;
( ) / 2, при ;
/ 4, при .
arctg
Графики ЛАХ и ЛФХ при
1
1
для различных значений
0 1
приве-
дены на рис. 12. Для
0
при
1
значение ЛАХ
1
( ) 20lg(0)L
, а
ЛФХ имеет скачок фазы со значения 0 до
. Физически это означает, что ам-
плитуда гармонических колебаний выходного сигнала на частоте
1
стре-
мится к нулю, т.е. сигнал на выходе системы отсутствует.
Рис. 12
67
1.7 Колебательное звено
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
2 2 2 2 2
1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
1 1 1 1
1 / 4 /
1 / 4 /
1
( )
( )
1 / 4
2 ( ) 1
( ) ( .
/
)
W j
T j T j
j U jV
Отсюда следует, что
2 2
1
2
2 2 2 2 2
1 1
/
1 4 /
( )
1
/
U
,
1
2
2 2 2 2 2
1 1
2 /
1
( )
/ 4 /
V
,
где
1
1/
T
– сопрягающая частота. На рис. 13 приведен график АФЧХ, из ко-
торого следует, что при изменении
0
ФЧХ изменяется
( ) 0
.
При
0
ФЧХ имеет скачок фазы со значения 0 до
, при этом АЧХ имеет
бесконечно большое значение.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся формулами
2
2
2 2 2 2 2
1
2
1
(
1 1
( ) | ( )|
|
1 / 4 /
) 2 ( ) 1|T j T j
A W j
,
1
1
2 2
1
1
1
2 2
1
2 /
, при ;
1 /
( )
( )
( )
2 /
, при .
1 /
arctg
V
arctg
U
arctg
68
Отсюда следует выражение для ЛАХ:
2
2 2 2 2 2
1 1
( ) 20lg 1 / 4 /
L
.
Тем самым ЛАХ и ЛФХ колебательного звена отличаются от ЛАХ и
ЛФХ форсирующего звена второго порядка только знаком, т.е. симметричны
им относительно оси частот. Графики ЛАХ и ЛФХ при
1
1
для различных
значений
0 1
приведены на рис. 14. Для
0
при
1
значение ЛАХ
1
( ) 20lg(0)L
, а ЛФХ имеет скачок фазы со значения 0 до
. Физически
это означает, что амплитуда гармонических колебаний выходного сигнала на
частоте
1
стремится к бесконечности. Данное явление называется резо-
нансом.
При
0
колебательное звено называется консервативным, имеющего
пару чисто мнимых полюсов
1,2
1/
p j T
.
Рис. 14
Аналогично определяются частотные характеристики для неминимально-
фазовых звеньев, приведенных в таблице 4.2. Для данных звеньев АФЧХ отли-
чаются от АФЧХ их аналогов знаком у реальной или мнимой части. Поэтому
69
АЧХ и ЛАХ неминимально-фазовых звеньев совпадают с соответствующими
АЧХ и ЛАХ минимально-фазовых звеньев, при этом отличаются только ФЧХ.
Чтобы не ошибиться в аналитическом представлении ЛФХ, необходимо пред-
варительно построить АФЧХ и определить диапазон изменения фазы
( )
.
В качестве примера рассмотрим особенности неминимально-фазовое зве-
ньев на примере аналогов форсирующего звена первого порядка и апериодиче-
ского звена.
1.8 Неминимально-фазовое форсирующее звено первого порядка
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
( ) 1 ( ) ( )
W j Tj U jV
.
Отсюда следует, что
( ) 1
U
,
1
( ) /
V T
, где
1
1/
T
– сопрягающая частота. На рис. 15 приведен
график АФЧХ, из которого следует, что при изменении
0
ФЧХ изменяется
/2 ( )
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся
формулами
2 2 2 2
1
( ) | ( )| ( ) ( ) 1 /
A W j U V
,
1
( )
( )
( )
V
arctg k arctg k
U
.
Отсюда следует выражение для ЛАХ
2 2
1
( ) 20lg 1 /
L
, которое
совпадает с ЛАХ звена
( ) 1
W p Tp
. Для того чтобы аналитическое выраже-
ние для ЛФХ соответствовало диапазону изменения фазы АФЧХ рис. 15 сле-
дует воспользоваться формулой
1
( ) arctg
.
Графики ЛАХ и ЛФХ при
1
1
приведены на рис. 16.
70
Рис. 16
1.9 Неминимально-фазовое апериодическое звено
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим
p j
и
выделим вещественную и мнимую часть:
1
2 2 2 2
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
1
1 1
/
/ /
W j j U jV
Tj
,
где
2 2
1
1
( )
1
/
U
,
1
2 2
1
( )
/
/
1
V
,
1
1/
T
– сопрягающая частота.
На рис. 17 приведен график АФЧХ, из которого следует, что при измене-
нии
0
ФЧХ изменяется
( ) /2
.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ
воспользуемся формулами
2 2
1
| 1
1 1
( ) | ( )|
1 /
|T
W j
j
A
,
1
( )
( )
( )
V
arctg arctg
U
.
Отсюда следуют выражения для ЛАХ: