Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ
Подождите немного. Документ загружается.
31
ЛЕКЦИЯ 3
Основные свойства преобразования Лапласа. Передаточные функции в символьном
виде и в изображениях Лапласа.
Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа, рассмотренного
на предыдущей лекции.
1. Основные свойства преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности. Для любых оригиналов
( )
i
u t
и постоянных
i
c
выполняется равенство:
1 1 1 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
pt pt
i i i i i i i i
i i i i
L cu t c u t e dt c u t e dt cU p
. (1)
Пример 1. Найдем изображение для функции
cos sin
j t
e t j t
. Со-
гласно примеру 2.3 при
a j
получим
2 2 2 2 2 2
1
.
j t
p j p
L e j
p j
p p p
С другой стороны с учетом свойства линейности имеем
cos sin
j t
L e L t jL t
,
и тем самым справедливы формулы
2 2
cos
p
L t
p
,
2 2
sinL t
p
.
2. Дифференцирование оригинала. Изображение производной оригинала
( )
u t
, если оно существует, при предначальном значении
( 0)
u
с учетом усло-
вия | ( )|
ct
u t Me
и
c
имеет вид:
0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pt pt pt pt
L u t u t e dt e du t u t e p u t e dt
( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
lim lim
0 ( 0) ( ) ( ) ( 0).
j t j t
t t
u t e u t e pU p
u pU p pU p u
32
Аналогично для второй производной оригинала
( )
u t
при дополнительном
начальном значении
( 0)
u
с учетом предыдущей формулы получим
2
( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0)
( ) ( 0) ( 0).
d
L u t L u t pL u t u p pU p u u
dt
p U p pu u
Очевидно, что для
n
- ой производной оригинала
( )
u t
при начальных зна-
чениях
( )
( 0)
i
u
,
0, 1
i n
по индукции получим
1
( ) 1 ( )
0
( ) ( ) ( 0)
n
n n n i i
i
L u t p U p p u
.
(2)
В частном случае при нулевых начальных значениях
( )
( 0) 0
i
u
,
0, 1
i n
получим простую формулу
( )
( ) ( )
n n
L u t p U p
.
(3)
Пример 2. Найдем изображение производной для функций
1( )
t
и
1( )
t
:
1
1( ) 1( 0) 1 1 0
d
L t p
dt p
,
1
1( ) 1( 0) 1 0 1
d
L t p
dt p
.
Полученные изображения указывают на принципиальное отличие функ-
ций
1( )
t
и
1( )
t
.
Пример 3. Найдем изображение производной для функций
cos( )
t
:
2 2 2
1
cos( ) cos( 0) 1
1 1 1
d p p
L t p p
dt
p p p
,
которому соответствует оригинал
sin( ) 1( )
t t
. Здесь функция
1( )
t
используется
для корректности записи оригинала в отличие от функции
sin( )
t
, не равной
нулю при
0
t
. Функция
1( )
t
в отличие от функции
1( )
t
не изменяет свойства
оригинала. Например, для функций
cos( ) 1( )
t t
и
cos( ) 1( )
t t
получим разные
предначальные значения:
cos( 0) 1( 0) 1
и
cos( 0) 1( 0) 0
(неверное значе-
ние).
33
3. Интегрирование оригинала. Найдем изображение для функции ориги-
нала
0
( ) (0) ( )
t
q t q u d
, которая является решением дифференциального
уравнения
( ) ( )
q t u t
с предначальным условием
( 0) (0)
q q
. Тогда используя
формулу (2) получим
( ) ( ) (
( )
0)q
L q t pQ p U p
.
Отсюда следует, что
0
1 1( 0) (0)
(0) ( )
( ) ( ) ( )
t
Q p L U p U p
p p p p
q q
q u d
.
(4)
В частном случае при
(0) 0
q
получим простую формулу
0
)
1
( ) ( )
(
t
Q p L p
u U
p
d
.
(5)
Пример 4. Изображение для функции
1
( )
at k
u t e t
имеет вид
1
0 0
1 1at k k at k
pt p t
L e dt e d
e t t е
t
t
,
где
p p a
– вспомогательный оператор Лапласа. Здесь условие
1 2
| 1 ( ) /2! ..
|
.
k c t
t Me M c t c t
,
0
c c a
выполняется, например, при
значениях
M
,
c
, удовлетворяющих неравенству
1
/( 1)! 1
k
Mc k
.
Воспользуемся формулой (5) учитывая, что
1 2
0
( 1)
t
k k
t k d
. Тогда
получим
1 2 2
00 0 0
( 1)
( 1)
p t p t
t
k k k
p t
e dt e dt e
k
t k d t
dt
p
.
Применяя последовательно этот прием к правой части равенства с учетом обо-
значения
0! 1
, найдем
1 1
0
( 1)! ( 1)!
( )
at k k p t
k k
L e dt
p p a
k k
e t t
.
34
В частном случае при
0
a
отсюда следует формула
1
( 1)!
k
k
k
L
p
t
.
4. Запаздывание аргумента оригинала. Если известен оригинал
( )
u t
, то
функция
( )
u t
, смещенная вправо функция
( )
u t
по оси абсцисс на величину
, т.е.
( ) 0
u t
при
t
, также является оригиналом, изображение которого
имеет вид:
( )
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pt p t p p pt p
L u t u t e dt u t e e d t e u t e dt e U p
.
5. Свертка оригиналов. Для оригиналов
( )
u t
и
( )
w t
сверткой является ин-
теграл
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
y t w t u d w u t d
, изображение которого с учетом
условия
( ) 0
w t
при
0
t
имеет вид
0 0 0
( )
0 0 0 0
( )
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t
pt
pt p t
p t p
L y t Y p L w t u d w t u d e dt
w t u d e dt w t e dt u d
w t e d t u e d
0 0
( ) ( ) ( ) ( ).
pt p
w t e dt u e d W p U p
Таким образом, для свертки справедливо изображение
( ) ( ) ( )
Y p W p U p
.
(6)
6. Начальное и конечное значение оригинала. По известному изображению
( )
U p
требуется определить начальное
( 0)
u
и конечное значение
( )
u
ориги-
нала
( )
u t
. Для этого воспользуемся формулой изображения для дифференциро-
вания оригинала, полагая
( 0) ( 0)
u u
:
35
0
( ) ( ) ( 0)
pt
u t e dt pU p u
.
Отсюда следует, что при
p
или
Re , 0; Im
p p
спра-
ведливо выражение
0 0
( ) ( ) 0 ( ) ( 0)
lim lim lim
pt pt
p p p
u t e dt u t e dt pU p u
; (7)
при
0
p
или
Re 0, 0; Im 0
p p
справедливо выражение
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0)
lim lim lim
pt pt
p p p
u t e dt u t e dt u t dt u u pU p u
.(8)
Из выражений (7) и (8) следуют формулы
0
( 0) ( ) ( )
lim lim
t p
u u t pU p
,
(9)
0
( ) ( ) ( )
lim lim
t p
u u t pU p
.
(10)
Отметим, что формулой (10) можно пользоваться только в том случае, ко-
гда известно, что предел
( )
u
существует.
Пример 5. Для функции
cos( )
t
с предначальным значением
cos( 0) 1
согласно формуле (9) получим правильный результат:
2
0
( 0) cos( ) 1
lim lim
1
t p
p
u t p
p
.
Поскольку предел
cos( )
lim
t
t
не существует, то формулой (10) пользовать-
ся нельзя, которая дает неверный результат:
2
0
( ) cos( ) 0
lim lim
1t p
p
u t p
p
.
Пример 6. Для функции
1( )
t
с предначальным значением
1( 0) 0
со-
гласно формулам (9), (10) найдем
0
1
1( 0) 1( ) 1
lim lim
t p
t p
p
,
0
1
1( ) 1( ) 1
lim lim
t p
t p
p
.
36
7. Определение оригинала с помощью разложения изображения на сумму
простейших дробей. Пусть задано изображение
( ) ( )/ ( )
U p m p d p
, где
1
1 1 0
( ) ...
m m
m m
m p b p b p b p b
,
m n
;
1
1 1 0
1
( ) ... ( )
n
n n
n i
i
d p p a p a p a p p
.
Здесь корни
i
p
уравнения
( ) 0
d p
называются полюсами, а корни уравнения
( ) 0
m p
называются нулями изображения
( )
U p
.
В случае различных полюсов
i
p
(
1,
i n
) изображение
( )
U p
можно пред-
ставить в виде:
1 2
1 2
( ) ...
n
n
c
c c
U p
p p p p p p
, (11)
где коэффициенты разложения
i
c
определяются по формуле
( )( )
i
i i
p p
c U p p p
,
1,
i n
, (12)
что следует из выражения (11).
Тогда оригинал
( )
u t
с помощью обратного преобразования Лапласа для
разложения (11) с учетом выражения
1
1/( )
i
p t
i
L p p e
будет иметь вид
1
( )
i
n
pt
i
i
u t c e
.
(13)
В случае различных полюсов
i
p
,
1,
i
кратности
i
n
(
1
...
n n n
) изо-
бражение
( )
U p
представляется в виде
1
( ) ( )
i
i
U p U p
, (14)
где каждое слагаемое также представляется в виде суммы
1 2
2
( ) ...
i
i
in
i i
i
n
i
i i
c
c c
U p
p p
p p p p
.
Здесь сначала определяется коэффициент
i
in
c
по формуле
37
( )( )
i
i
i
n
in i
p p
c U p p p
.
Затем находим разность изображений
( )
( ) ( )
( )
i
i
in
n
i
c
m p
U p U p
d p
p p
,
у которой после сокращения полином
( )
d p
имеет полюс
i
p
меньшей кратно-
сти, равной
1
i
n
. Тогда можно определить коэффициент
, 1
i
i n
c
по формуле
1
, 1
( )( )
i
i
i
n
i n i
p p
c U p p p
.
Повторяя последовательно этот прием, последним определяется коэффи-
циент
1
i
c
.
Тогда оригинал
( )
u t
для разложения (14) с помощью обратного преобра-
зования Лапласа с учетом выражения
1 1
1/( ) /( 1)!
i
p t
k k
i
L p p e t k
(при
0! 1
) будет иметь вид
1
1 1
( )
( 1)!
i
i
k
n
ik
p t
i k
c t
u t e
k
.
(15)
В формулах (13), (15) вещественным полюсам
i
p
соответствуют вещест-
венные коэффициенты разложения
i
c
или
ij
c
, комплексно-сопряженным полю-
сам
i i i
p j
,
1
i i i i
p p j
соответствуют комплексно-сопряженные
коэффициенты
i
c
,
1
i i
c c
или
ij
c
,
1,
i j ij
c c
, поэтому в результате преобразо-
ваний выражения (13), (15) будут вещественными.
Пример 7. Найдем оригинал изображения, разложенного на сумму про-
стейших дробей:
1 2
2 2
( )
( )( )
p p c c
U p
p j p j p j p j
p
,
при коэффициентах
1 2
1/2
c c
, вычисленных по формуле (12). Тогда ориги-
нал определяется по формуле
38
1
1 2
( ) ( ) cos
2
j t j t
j t j t
e e
u t L U p c e c e t
.
Свойство 1. Из формулы (13) следует, что если все полюсы
i
p
,
1,
i n
имеют отрицательные вещественные части
Re 0
i i
p
, то
lim ( ) 0
t
u t
. Это справедливо также для выражения (15), поскольку в этом
случае при любой степени
1
k
существует
1
lim 0
i
p t
k
t
e t
. Такие решения
( )
u t
называются асимптотически устойчивыми.
Свойство 2. Если хотя бы один полюс
i
p
имеют положительную ве-
щественную часть
Re 0
i i
p
, то lim ( )
t
u t
и такие решения
( )
u t
назы-
ваются неустойчивыми.
2. Передаточные функции.
Для упрощения записи дифференциального уравнения (2.5) используются
передаточные функции в символьном виде с использованием оператора диффе-
ренцирования
s
и передаточные функции в изображениях Лапласа с операто-
ром
p
.
1.1. Передаточные функции в символьном виде
С учетом символа дифференцирования
/
s d dt
,
2 2 2
/
s d dt
, рассмот-
ренное ранее, уравнение (2.5) можно переписать в виде
2
1 0 1 0 0
s a s a y b s b u d f
,
из которого следует выражение для выходной координаты
( ) ( )
yu yf
y W s u W s f
,
(16)
где передаточные функции
( )
yu
W s
и
( )
yf
W s
в символьном виде с учетом обо-
значений
2
1 0
( )
d s s a s a
,
1 0
( )
m s b s b
,
0
( )
l s d
определяются по форму-
лам
39
( )
( )
( )
yu
m s
W s
d s
,
( )
( )
( )
yf
l s
W s
d s
.
Здесь нижний индекс в передаточной функции указывает выход и соответст-
вующий вход.
Аналогичные передаточные функции строятся для дифференциального
уравнения вида (2.5) произвольного порядка, где
1
1 1 0
( ) ...
m m
m m
m s b s b s b s b
,
m n
,
1
1 1 0
( ) ...
n n
n
d s s a s a s a
.
Передаточные функции в символьном виде нельзя рассматривать как
обычную дробь, например, сокращать общие множители числителя и знамена-
теля, они являются лишь удобным способом записи уравнений.
1.2. Передаточные функции в изображениях Лапласа
Проведем преобразование Лапласа левой и правой части уравнения (2.5) с
учетом свойства линейности и дифференцирования оригинала. Тогда с учетом
обозначений
( ) { ( )}
Y p L y t
,
( ) { ( )}
U p L u t
,
( ) { ( )}
F p L f t
и выражений
{ ( )} ( ) ( 0)
L y t pY p y
,
2
{ ( )} ( ) ( 0) ( 0)
L y t p Y p py y
,
{ ( )} ( ) ( 0)
L u t pU p u
из уравнения (2.5) после преобразования получим
2
1 0 1 1 0 0 1
( ) ( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( 0)
p a p a Y p y p y a y b p b U p d f bu
.
Отсюда найдем выражение для изображения выхода
1 0 0
2 2
1 0 1 0
1 1
2
1 0
( ) ( ) ( )
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
.
b p b d
Y p U p F p
p a p a p a p a
y p y a y bu
p a p a
(17)
В отличие от уравнения (16) выражение (17) является алгебраическим,
допускающим, например, сокращение общих множителей числителя и знамена-
теля дробей, и позволяющим определять решение
( )
y t
с помощью обратного
40
преобразования Лапласа.
На практике часто предначальные значения входа, выхода и их производ-
ных у ФЭ являются нулевыми, т.е.
( 0) ( 0) 0
y y
,
( 0) 0
u
. Тогда из выра-
жения (17) получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yu yf
Y p W p U p W p F p
,
(18)
где передаточные функции
( )
yu
W p
и
( )
yf
W p
в изображениях Лапласа с учетом
обозначений
2
1 0
( )
d p p a p a
,
1 0
( )
m p b p b
,
0
( )
l p d
определяются по
формулам
( )
( )
( )
yu
m p
W p
d p
,
( )
( )
( )
yf
l p
W p
d p
.
Из выражения (18) согласно свойству линейности изображения Лапласа
следует принцип суперпозиции: реакция линейной системы на несколько вход-
ных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только один входной сигнал
u
,
полагая
0
f
и обозначая
( ) ( )
yu
W p W p
. Тогда из выражения (3) получим
формулу
( ) ( ) ( )
Y p W p U p
,
(19)
из которой следует два способа определения передаточной функции для диф-
ференциального уравнения вида (2.5) произвольного порядка.
Определение. Передаточной функцией называется:
1) отношение изображения выхода к изображению входа
( )
( )
( )
Y p
W p
U p
;
2) отношение оператора входа к оператору выхода
( )
( )
( )
m p
W p
d p
,
при нулевых предначальных условиях.