Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.

101

Пример 2. Пусть у системы (9) матрица

0 1

0 0

 



 

 

, т.е. представлена в

виде блока Жордана. Характеристическое уравнение

( ) | |

d p pE A







  

 







имеет кратные корни

1,2



. Тогда решение

( )

x t

можно записать с помощью

формулы (7.9) в виде





2 0 0

( ) ( ) ( )

x t E A t t x t

   ,

т.е.

1 1 0 0 2 0

( ) ( ) ( ) ( )

x t x t t t x t

  

2 2 0

( ) ( )

x t x t



(рис. 6).

Таким образом, система неустойчивая по Ляпунову.

Отметим, что система примера 1 в отличие от системы примера 2 не мо-

жет быть приведена к дифференциальному уравнению 2-го порядка. Это отра-

жается на устойчивости данных систем.

С учетом сказанного выше следует, корневой критерий устойчивости ли-

нейной системы:

Для асимптотической устойчивости линейной системы необходимо

и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы

имели отрицательные вещественные части, т.е. располагались в левой

комплексной полуплоскости. Если имеется хотя бы один корень с положи-

тельной вещественной частью, то система неустойчивая. Если имеются

корни, расположенные на мнимой оси, то устойчивость системы по Ляпу-

нову зависит от структуры матрицы системы, т.е. наличия жордановых

блоков для данных корней.

При отсутствии жордановых блоков для корней с нулевой вещественной

частью и остальных корней, расположенных в левой полуплоскости, система

устойчива по Ляпунову. В этом случае также говорят, что система находится на

границе устойчивости. При этом в случае нулевых корней система находится на

границе апериодической устойчивости, в случае чисто мнимых корней – на

границе колебательной устойчивости.

102

В дальнейшем для краткости асимптотически устойчивую линейную сис-

тему будем называть просто устойчивой. При этом корни характеристического

уравнения системы, имеющие отрицательные вещественные части, т.е. распо-

ложенные в левой комплексной полуплоскости, будем называть левыми, а рас-

положенные в правой комплексной полуплоскости – правыми.

Если исходная система имеет вид

x Ax Bu

 



0 0

( )

x t x



, (12)

то для исследования устойчивости запишем уравнение системы в отклонении

от установившегося режима

уст

, который будем считать невозмущенным дви-

жением, удовлетворяющим уравнению

уст уст

x Ax Bu

 



. (13)

Из уравнений (12), (13) следует уравнение в отклонении

уст

x x x

  

от

установившегося режима

x A x

  



0 0 уст

( )

x t x x

   .

Отсюда следует вывод:

Устойчивость линейной системы не зависит от вида входного воздей-

ствия, а определяется корнями ее характеристического уравнения.

Системе (12) согласно (6.3) соответствует зависимость «вход-выход»

( ) ( ) ( )

X p W p U p



с передаточной матрицей

 

( ) ( )

( )

W p pE A B A p B

d p



  



, у элементов ко-

торой знаменателем является характеристический полином

( )

d p

. Поэтому

справедливо следующее правило:

Для анализа устойчивости одномерных систем, представленных с по-

мощью передаточных функций, необходимо приравнять к нулю полином ее

знаменателя и определить его корни.

Установим связь устойчивости линейной системы по входу с устойчиво-

стью невозмущенного движения. Для этого рассмотрим систему

103

x Ax Bu

 



(0)

x x



, (14)

полагая

u u u

  



, | |

j j

u u

    

j m

 , т.е.

|| ||

  

. Решение сис-

темы (14) имеет вид

( )

( ) (0) ( )

At A t

x t e x e B u d



 



  



для которого согласно (10) справедливо неравенство

( )

1 1

|| ( )|| | | || || | | || ||

i i

n n

p t p t

i i

x t e c e c d





 

 

   

 

 

 





, (15)

где



– вектор, зависящий от значений



. Отсюда следует, что если корни

i n

 левые, то при

 

интеграл в правой части неравенства (15) огра-

ничен и, следовательно,

|| ( )||

x t

 

Таким образом, из условия устойчивости невозмущенного движения сле-

дует устойчивость системы по входу. Справедливо и обратное утверждение.

4. Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.

Возвращаясь к исходной нелинейной системе (8) возникает вопрос об ее

устойчивости в зависимости от устойчивости ее линейного приближения – сис-

темы (9). Впервые этот вопрос был поставлен и решен Ляпуновым в 1892 году

и сформулирован в виде следующих теорем.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризо-

ванной системы (9) левые, то невозмущенное движение нелинейной системы

(8) асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеари-

зованной системы (9) имеется правый корень, то невозмущенное движение не-

линейной системы (8) неустойчиво.

Теорема 3. Если характеристическое уравнения линеаризованной систе-

мы (9) имеет левые корни и корни, расположенные на мнимой оси (критиче-

ский случай), то в этом случае нельзя судить об устойчивости нелинейной сис-

темы (8) по линеаризованной системе (9).

Для исследования устойчивости линейных систем с помощью вычисли-

104

тельного пакета MATLAB коэффициенты характеристического уравнения сис-

темы (11) начиная со старшей степени полинома могут быть найдены с помо-

щью команды p=poly(A). Корни характеристического уравнения определяют-

ся с помощью команды roots(p) или команды eig(A).

Например, если требуется определить устойчивость системы с матрицей

0 1 0

0 0 1

3 2 1

 

 



 

  

 

то с помощью команд

A=[0 1 0;0 0 1;-3 -2 -1];a=poly(A),p=roots(a)

получим

a =

1.0000 1.0000 2.0000 3.0000

p =

0.1378 + 1.5273i

0.1378 - 1.5273i

-1.2757

Поскольку комплексно-сопряженные корни имеют положительную веще-

ственную часть, то система неустойчива.

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под устойчивостью системы?

2. В чем отличие устойчивости невозмущенного движения и устойчивости по

входу?

3. Какой геометрический смысл имеет устойчивость по Ляпунову?

4. Почему уравнение возмущенного движения в отклонениях от невозмущенно-

го движения является нестационарным?

5. В чем отличие устойчивости по Ляпунову от асимптотической устойчивости?

6. От чего зависит устойчивость линейной системы?

7. В каком случае система находится на границе устойчивости?

8. От чего зависит устойчивость нелинейной системы, имеющей линейное при-

ближение?

105

ЛЕКЦИЯ 9

Алгебраические критерии устойчивости линейных систем: Стодола, Гурвица. Час-

тотные критерии устойчивости: метод D-разбиения, критерий Михайлова.

В инженерной практике не всегда удобно проверять устойчивость линей-

ной системы по корням характеристического уравнения. Это связано в первую

очередь с необходимостью использования ЦВМ, поскольку для алгебраических

уравнений выше 3-его порядка требуется использование численных методов.

Кроме того, часто требуется определять область устойчивости системы по па-

раметрам. При этом вычисление корней характеристического уравнения для

множества значений параметров является нерациональным. В связи э этим воз-

никает задача определения устойчивости системы без вычисления корней, т.е.

определения условий при которых корни характеристического уравнения ле-

вые. Методы решающие указанную задачу называются критериями устойчиво-

сти. В зависимости от метода решения задачи критериями устойчивости делят-

ся на алгебраические и частотные критерии. Алгебраические критерии позво-

ляют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического

уравнения системы, а частотные – по виду соответствующих частотных харак-

теристик.

1. Алгебраические критерии устойчивости.

Пусть задано характеристическое уравнение линейной системы

0 1

( ) | | 0

n n

a pD p p A a p aE



    







. (1)

1.1. Критерий Стодола. Для устойчивости системы с характеристиче-

ским уравнением (1) необходимо, чтобы коэффициенты



i n

 .

Доказательство. В соответствии с теоремой Безу уравнение (1) можно

представить в виде произведения множителей, содержащих корни

i n

 :

0 1 2

( ) ( )( ) ( ) 0

D p a p p p p p p

    



. (2)

Пусть все корни левые, причем для вещественных корней коэффициенты

 

, а для комплексно-сопряженных корней

i i i

p j

 

 

i i i i

p p j

 



  

множители

106

2 2 2 2

1 1 1

( )( ) ( ) 2

i i i i i i i i i

p p p p p p p p p p p p

  

  

         

имеют полиномы 2-го порядка с положительными коэффициентами, поскольку



 

. Тем самым, если раскрыть полином (2) с положительными коэффици-

ентами и привести к виду уравнения (1), то его коэффициенты также будут по-

ложительными. Отсюда следует критерий Стодола.

Очевидно, что возможны случаи, когда некоторые коэффициенты урав-

нения (2) отрицательные, а коэффициенты уравнения (1) положительные, т.е.

критерий Стодола является только необходимым. Однако, если в уравнении (1)

хотя бы один коэффициент



, то система неустойчива. Это условие являет-

ся достаточным для неустойчивости системы.

1.2. Критерий Гурвица. Для устойчивости системы с характеристиче-

ским уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы матрица Гурвица

1 3 5

0 2 4

1 3

0 0

a a a

Г a a

 

 



 

 



   

 

имела положительные главные диагональные миноры:

1 1

  

1 3

0 2

a a

  

, …,

| | 0

n n n

Г a



    

Рассмотрим частные случаи:

1) при



условие устойчивости определяется неравенствами

1 1

  

2 1 2

0 2

a a

   

т.е.

1 0

 



, что совпадает с условием критерия Стодола, кото-

рый в этом случае дает необходимое и достаточное условие устойчивости.

2) при



условие устойчивости определяется неравенствами

1 1

  

1 3

2 1 2 0 3

0 2

a a

a a a a

a a

    

3 3 2

   

107

из которых следует, что



1,3



и должно выполняться условие

1 2 0 3

aa a a



Таким образом, из критерия Гурвица следуют необходимые условия ус-

тойчивости Стодола.

Пример 1. Пусть структурная схема САУ имеет вид рис. 1, где

1 2

( )

( 1)( 1)

W p

p T p T p



 

Требуется определить условие устойчивости

замкнутой системы по коэффициенту усиления

Для решения задачи составим характеристическое

уравнение замкнутой системы, полагая

1 ( ) 0

W p

 

. Отсюда получим

1 2

( ) ( 1)( 1) 0

D p p T p T p k

    

или

3 2

0 1 2 3

( ) 0

a p a p a aD p p

   

 ,

где

0 1 2

a TT

 

21 1

Ta T

 



a k

 

. Тогда условие устойчивости

замкнутой системы определяется неравенством

1 2 0 3

a a a a



или с учетом под-

становки

1 2

T T



  . (3)

Критерий Гурвица удобно использовать для систем невысокого порядка

(



), поскольку с ростом порядка увеличивается объем аналитических вы-

числений. Если требуется определить область устойчивости по одному пара-

метру, то для систем высокого порядка можно воспользоваться символьными

вычислениями пакета MATLAB.

Пример 2. Требуется определить область устойчивости системы

0 1 0

0 0 1

1 2

x x

 

 



 

  

 



по коэффициенту

с помощью символьных вычислений.

Для решения задачи воспользуемся следующим Script-файлом:

108

syms p k % символьные переменные

n=3; A=[0 1 0;0 0 1;-k -1 -2];

d=poly(A,'p')% определение характеристического уравнения

% вектор коэффициентов характеристического уравнения

aa=coeffs(d,p);n1=n+1;for i=1:n1; a(i)=aa(n1-i+1);end

% второй главный диагональный минор матрицы Грвица

delta2=[a(2) a(4);a(1) a(3)]

vpa(det(delta2),6)% выражение минора матрицы Гурвица

В результате выполнения данной программы на печать выводятся выра-

жение характеристического уравнения, второй главный диагональный минор

матрицы Гурвица и его выражение:

d =

p^3+2*p^2+p+k

delta2 =

[ 2, k]

[ 1, 1]

detG =

2.-1.*k

Таким образом, условие устойчивости по коэффициенту

определяется

неравенством

0 2

 

2. Частотные критерии устойчивости.

При значении порядка системы



использование критерия Гурвица

связано с решением сложных неравенств. В этом случае для определения об-

ласти устойчивости более эффективным является частотный метод D - разбие-

ния, предложенный Ю.И. Неймарком, который в отличие от алгебраического

метода является численным методом.

2.1. Метод D-разбиения.

Сущность метода D – разбиения по одному параметру заключается в сле-

дующем. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

( , ) ( ) ( ) 0

D p k d p k m p

   

, (4)

где

неизвестный параметр, по которому требуется определить область устой-

чивости системы. Из уравнения (4) запишем выражение для параметра

в опе-

109

раторной форме:

( )

d p

k p

m p

 

При подстановки

p j





для значений



   

определяется условие

на комплексный параметр

( )

k j



, при котором замкнутая система имеет корни

на мнимой оси. Построенная кривая D - разбиения

( ) ( ) ( )

k j X jY

  

 

при



   

разбивает комплексную плоскость на области с различным содер-

жанием устойчивых корней. При переходе из одной смежной области в другую

через кривую D - разбиения один вещественный или пара комплексных сопря-

женных корней переходит через мнимую ось. Область, содержащая наибольшее

число левых корней называется претендентом на устойчивую область. Для ус-

тановления правила, определяющего область претендент, рассмотрим пример

при



Полагая

( , ) 0

D p k p k

  

, получим

k p

 

и, следовательно,

( )

k j j

 



( ) 0





( )

 

 

. Тем самым кривая D - разбиения

( )

k j



проходит по

мнимой оси и разделяет комплексную плоскость на две области. Из характери-

стического уравнения следует, что система устойчива при



, т.е. при

( ) 0





. Если нанести штриховку на кривой D - разбиения

( )

k j



слева при

изменении



от



до



, то область устойчивости будет на стороне штрихов-

ки. Тем самым в данной области наибольшее число устойчивых корней (один

единственный корень). При переходе из правой полуплоскости (со стороны

штриховки) в левую полуплоскость один корень становится неустойчивым и

наоборот. Данные свойства также справедливы для



В общем случае для системы

-го порядка, если суммарное число пере-

ходов корней при переходах из области с наименьшим числом в область с наи-

большим числом левых корней равно

, то область претендент будет областью

устойчивости.

Если число таких переходов меньше

, то найденную область претендент

необходимо проверить на устойчивость для любого фиксированного вещест-

110

венного значения параметра

из данной области с помощью какого-нибудь

критерия устойчивости. Здесь можно воспользоваться, например, критерием

Гурвица с использованием численных методов вычисления главных диагональ-

ных миноров.

Построение области устойчивости по параметру

методом D - разбиения

можно проводить в системе MATLAB с помощью функции nyquist для опе-

раторного выражения параметра

( )

k p

Пример 3. Для примера 1 требуется построить кривую D-разбиения при

значении параметров



с,

0,1



с.

Для решения задачи воспользуемся командой

T1=1; T2=0.1; nyquist(-tf([T1*T2 T1+T2 1 0],[1]))

На рис. 2 представлен отредактированный график кривой D-разбиения,

разделяющей комплексную плоскость на три области. При этом область 1 явля-

ется областью претендентом на устойчивость со значением параметра

, удов-

летворяющего неравенству

0 11

 

, что совпадает с условием устойчивости

по критерию Гурвица (3).

Рис. 2

Метод D-разбиения также применяется для определения областей устой-

чивости по двум параметрам [5].