Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ
Подождите немного. Документ загружается.
141
соответствует
1,58
M
.
Для построения рис. 8 в системе MATLAB можно использовать команду
nyquist(W);grid
Величина показателя колебательности
M
может быть определена и в
случае использования ЛАХ и ЛФХ. В этом случае граница запретной области
для ЛФХ при известной ЛАХ строится по показателю колебательности
const
M
(рис. 7) как отображение полуокружности на логарифмическую
плоскость (рис. 9) с учетом ее расположения относительно АФЧХ
( )
W j
. По-
рядок отображения состоит в следующем: некоторому значению амплитуды
1 2
| ( )|
i
A W j A
при частоте
i
соответствует точка
i
B
на окружности со зна-
чением модуля
( ) | ( )|
i i
A W j
и фазы 180
i
, которая отмечается на гра-
фике ЛФХ.
Пример 2. Для разомкнутой системы с передаточной функцией
1 1
( )
( 1)( 1)
k
W p
p T p T p
при
2
k
,
1
1
T
с,
2
0,01
T
с построить запретную область ЛФХ при
1,54
M
.
Решение задачи в системе MATLAB проведем с помощью Script-файла:
k=2; T1=1; T2=0.01; M=1.54;
W=tf([k],[T1 1])*tf([1],[T2 1 0]);
[mag,phase,omega]=bode(W,{0.01,100}); [n,m]=size(omega)
subplot(2,1,1);
semilogx(omega,20*log10(mag(:))),grid on
subplot(2,1,2);
semilogx(omega,phase(:));hold on
for i=1:n; if mag(i)<M/(M+1)|mag(i)>M/(M-1);
fi(i)=-180;
else
fi(i)=-180+acos((M^2+mag(i)^2*(M^2-1))/(2*mag(i)*M^2))*180/pi;
end;
end;
semilogx(omega,fi), grid on
Результат выполнения программы после редактирования представлен на
рис. 9, где закрашенная запретная область указывает на то, что замкнутая сис-
тема имеет показатель колебательности
1,54
M
.
142
б) Для разомкнутой системы показатели качества замкнутой системы
также можно охарактеризовать запасами устойчивости по амплитуде и фазе для
ЛАХ и ЛФХ, рассмотренные в лекции 10 (рис. 10, рис. 11). В хорошо демпфи-
рованных системах запасы устойчивости по модулю
1
L
,
2
L
находятся в преде-
лах от 6 до 20 дБ, а запас по фазе
З
– от 30 до
60
. Время регулирования
p
t
замкнутой системы связано с частотой среза разомкнутой системы
cp
выра-
жением
p cp
/
t b
, где
b
поправочный коэффициент, значение которого зави-
сит от вида вещественной частотной характеристики
( )
P
замкнутой системы
[9].
3. Интегральные показатели качества позволяют судить о характере
переходного процесса по заданному функционалу, зависящего от переходной
составляющей ошибки
п уст
( ) ( )t t
(или отклонения от невозмущенного
движения), которая при
t
стремится к нулю.
143
В качестве функционала наиболее часто используются простейшая
0
J
или улучшенная
1
J
интегральная квадратичная оценка:
2
0 п
0
( )
J t dt
, (8)
2 2 2
1 п 1 п
0
( ) ( )
J t t dt
, (9)
где
1
0
– весовой коэффициент учитывает скорость
п
. Аналогично строятся
квадратичные оценки, учитывающие ускорение сигнала
п
( )
t
и т.д. Оценка (8)
характеризует значение площади под кривой
п
( )
t
: чем больше ее величина,
тем хуже качество переходного процесса. В оценке (9) процесс считается наи-
лучшим при наименьших значениях
п
( )
t
,
п
( )
t
. Это условие является проти-
воречивым, поскольку при малых значениях
п
( )
t
процесс
п
( )
t
будет затяги-
ваться во времени, что приведет к росту значения
1
J
. Тем самым, для оценки
(9), в отличие от оценки (8), существует некоторый оптимальный процесс.
Достоинство оценок (8), (9) состоит в том, что по заданному дифферен-
циальному уравнению для
п
( )
t
их вычисление можно свести к решению сис-
темы линейных уравнений. Рассмотрим эту процедуру для системы второго по-
рядка.
Пусть дифференциальное уравнение для переходной составляющей
ошибки имеет вид
п 1 п 2 п
0
a a
, (10)
для которого введем вектор состояния
п п
[ , ]
T
x
. Тогда систему (10) и оцен-
ку (9) можно записать следующим образом:
x Ax
, (11)
1
0
( ) ( )
T
J x t Qx t dt
, (12)
где
144
2 1
0 1
A
a a
,
2
1
1 0
0
Q
.
Найдем вспомогательную функцию ( )
T
V x x Kx
, для которой выполня-
ется свойство ( )
T
V x x Qx
. Тогда
0 0 0
( ) ( ) ( ( )) ( (0)) ( ) ( )
T
V x dt dV x V x V x x t Qx t dt
Поскольку при
t
выполняется условие
( ) 0
x t
, то
( ( )) 0
V x
и, следо-
вательно,
0
( (0)) ( ) ( )
T
V x x t Qx t dt
.
т.е.
1
( (0)) (0) (0)
T
J V x x Kx
.
С учетом уравнения (11) получим
( )
T T T T T
V x x Kx x Kx x A K KA x x Qx
.
Поэтому для произвольных значений вектора
x
справедливо равенство
T
A K KA Q
,
(13)
которое называется уравнением Ляпунова относительно неизвестной матрицы
K
.
Уравнение (13) обладает свойством
( )
T T T T T T
A K KA A K K A Q Q
,
из которого следует, что матрица
T
K
также является решением уравнения (13).
Следовательно, матрица
T
K K
, т.е. является симметричной.
Для рассматриваемой системы получим уравнение
2 11 12 11 12
2
1 12 22 12 22 2 1
1
1 0
0 0 1
1
0
a k k k k
a k k k k a a
,
из которого следуют равенства
2 12
2 1,
a k
145
2
12 1 22 1
11 1 12 2 22
2 2 ,
0.
k a k
k a k a k
Отсюда найдем выражение для элементов матрицы
K
:
2 2 2
1 2 1 1 2 2
12 22 11
2 1 2 1 2
1 (1 )
1
, , .
2 2 2
a a a a
k k k
a a a a a
Если задано начальное условие
п
(0) [ (0),0]
T
x
, то
2 2
2 2
1 1 2 2
1 11 п п
1 2
(1 )
(0) (0) (0) (0)
2
T
a a a
J x Kx k
a a
. (14)
При
1
0
получим выражение для
0
J
:
2
2
1 2
0 п
1 2
(0)
2
a a
J
a a
. (15)
Известно, что оценка (9) принимает минимальное значение на решении
уравнения
1 п п
0
, (16)
которое имеет вид
1
/
п п
( ) (0)
t
t e
. Поэтому параметр
1
можно выбрать по
заданному времени регулирования
p 1
3
t
, т.е.
1 p
/3
t
.
Из уравнения (10) следует уравнение (16), если положить
1 1 2
a a
и уст-
ремить
2
a
. В этом случае при
1
2
0
a
из уравнения
1
2 п 1 п п
0
a
,
получим уравнение (16) и оценка
2
1 1 п
(0)
J
.
При одних и тех же начальных условиях на рис. 10 приведены переход-
ные процессы для различных значений
2
a
при
1 1 2
a a
,
1
1
, где также ука-
заны соответствующие значения оценки (14).
Таким образом, с помощью интегральных квадратичных оценок (8), (9)
можно не только оценивать качество переходных процессов, но и осуществлять
выбор
l
- вектора
настраиваемых параметров системы из необходимых усло-
вий экстремума
1
/ 0
i
J
,
1,
i l
.
146
Рис. 10
Для решения уравнения Ляпунова (13) численным методом в системе
MATLAB можно использовать команду K=lyap(A',Q).
Вопросы для самопроверки
1. Что характеризуют основные показатели качества САР?
2. В чем отличие косвенных показателей качества от основных показателей?
3. От чего зависит установившаяся ошибка в замкнутой системы?
4. На чем основаны алгебраические показатели качества?
5. На чем основаны частотные показатели качества?
6. Что означает полоса пропускания системы?
7. Что характеризует частота среза?
8. Что характеризует показатель колебательности?
9. Как связан показатель колебательности с запасами устойчивости по ампли-
туде и фазе АФЧХ разомкнутой системы?
10. Как определяются интегральные квадратичные оценки?
147
ЛЕКЦИЯ 12
Задачи синтеза САР. Синтез типовых регуляторов. Синтез корректирующих уст-
ройств по ЛЧХ.
1. Задачи синтеза САР.
Обеспечение желаемого качества САР, т.е. заданной точности и качества
переходного процесса, осуществляется двумя способами. Первый способ связан
с настройкой регулируемых параметров заданной структуры САР, например,
коэффициентов усиления, постоянных времени. Такой способ называется па-
раметрическим синтезом. Если же изменением параметров не удается добить-
ся заданного качества процессов, то используется второй способ, связанный с
изменением структуры САР за счет введения в канал управления регулятора, в
котором реализуется закон управления. В качестве регулятора может быть ис-
пользован типовой регулятор с фиксированной структурой, настройкой пара-
метров которого добиваются заданного качества САР. Если с помощью таких
регуляторов не удается обеспечить требуемое качество процессов, то исполь-
зуются специальные корректирующие устройства, структура и параметры ко-
торых определяются в результате решения задачи синтеза.
2. Синтез типовых регуляторов.
В качестве типовых регуляторов в промышленности широко используют-
ся регуляторы, в которых реализуется закон управления от измеряемого сигна-
ла ошибки
( )
t
:
1 2 3
0
( )
( ) ( ) ( )
t
d t
u t k t k k d
dt
(1)
или в операторной форме записи:
рег
( ) ( ) ( )
u p W p p
, (2)
где
рег 1 2 3
( ) /
W p k k p k p
– передаточная функция регулятора в преобразо-
ваниях Лапласа, 0,0,0
3
2
1
kkk – соответствующие коэффициенты уси-
ления. Регулятор с законом управления (1) содержит пропорциональную, диф-
148
ференциальную и интегральную составляющую, и поэтому называется ПИД-
регулятором. Звено с передаточной функцией
2
k p
физически нереализуемо,
поэтому на практике используется приближенная передаточная функция
2
/( 1)
k p Tp
, где
T
– малая постоянная времени.
Для определения параметров
1 2 3
, ,
k k k
, при которых обеспечивается за-
данное качество переходных процессов замкнутой системы, можно использо-
вать различные методы.
1. Частотный метод определения параметров ПИД-регулятора.
Для закона управления (2) передаточную функцию разомкнутой системы
можно представить в виде
2
2 1 3
1
( )
( ) ( )
k p k p k
W p W p
p
. (3)
Будем полагать, что при
1
1
k
,
2 3
0, 0
k k
замкнутая система с переда-
точной функцией
1
( ) ( )
W p W p
имеет
l
правых корней. Найдем условие на вы-
бор параметров
1 2 3
, ,
k k k
, при которых разомкнутая система с передаточной
функцией (3) имеет заданный запас устойчивости по фазе
З
. В этом случае на
частоте среза
ср
должно выполняться равенство
)
ср
(
( )
З
j
W j e
. (4)
Для определения условий, при которых выполняется равенство (4), с уче-
том
( )
З З
j j
e e
запишем равенство
2
2 1 3
1
( )
( )
З
j
k p k p k
W p e
p
.
Полагая
p j
, получим уравнение
1 2
( ) 1/ ( )
W j W j
, (5)
где
2
2
3 2 1
1/ ( )
( )
З
j
j
W j e
k k k j
.
С учетом представления
2
3 2 1
( ) ( )
( )
j
U jV
k k k j
,
149
где
2
1
2 2 2 2
3 2 1
( )
( )
k
U
k k k
,
2
3 2
2 2 2 2
3 2 1
( )
( )
( )
k k
V
k k k
(6)
получим уравнение
1
( ) ( ) ( )
З
j
W j U jV e
. (7)
Непосредственной подстановкой можно проверить, что функции
( )
U
и
( )
V
удовлетворяют уравнению
2
2 2
( ) ( )
U C V R
со значениями
1
0,5/
C k
,
1
0,5/
R k
. Тем самым график правой части выраже-
ния (5) на комплексной плоскости представляет смещенную окружность, по-
вернутую против часовой стрелки на угол
З
(рис. 1).
Значение частоты среза
ср
, при которой выполняется равенство (4) оп-
ределяется в точке пересечения АФЧХ левой и правой части равенства (7).
После построения годографа
( )
W j
при заданном коэффициенте
1
k
оп-
ределяются точки пересечения с указанной окружностью при некоторых значе-
150
ниях частоты
ср
. Например, на рис. 1 имеются две точки пересечения при
двух значениях
ср1
и
ср2 ср1
. При этом здесь заданному запасу по фазе
З
соответствует отрезок
AB
, лежащий со стороны штриховки, если согласно ин-
тервальному критерию устойчивости (см. лекция 9) характеристическое урав-
нение
1
1 ( ) 0
W p
не имеет правых корней (
0
l
).
Тем самым, заданный запас по фазе может быть обеспечен и значение
частоты среза может принимать значения
ср1 ср ср2
. Для увеличения час-
тоты среза (уменьшения времени регулирования) можно увеличить значение
коэффициента
1
k
, что приведет к уменьшению радиуса повернутой окружно-
сти. Следует иметь в виду, что если указанная окружность окажется полностью
с незаштрихованной стороны, то желаемый запас по фазе
З
не достигается.
Найдем условия на выбор коэффициентов
2 3
,
k k
, полагая в точках пере-
сечения
ср
( )
i i
i
W j a jb
,
1,2
i
, где значения
i
a
,
i
b
определяются из графика
рис. 1. С учетом cos
sin
З
З
j
З
e j
из уравнения (7) получим
ср ср ср ср
sin( )cos ( ) ( ) ( )cosin s
i i i З i З i З i З
a jb U V U Vj
.
Запишем условия расположения отрезка
AB
со стороны штриховки. Из
рис. 1 следует, что отрезок
AB
лежит внутри угла
AOB
, поэтому должны вы-
полняться условия
ср1 ср1
1
1
1 ср1 ср1
( ) ( )cos
( )cos ( )
sin
sin
З З
З З
b
U V
U
tg
a V
, (8)
ср2 ср2
2
2
2 ср2 ср2
( ) ( )cos
( )cos ( )
sin
sin
З З
З З
b
U V
U
tg
a V
. (9)
С учетом выражений (6) из неравенств (8) и (9) получим соответственно
условия:
2
1 1
ср1 ср1
1 1
3 2 1
sinco
i
s
cs on s
З З
З З
a
k k k
b
b a
, (10)
2
2 2
ср2 ср 2
2 2
3 2 1
sinco
i
s
cs on s
З З
З З
a
k k k
b
b a
. (11)