Елизаров А.М. Математические методы в библиотечной работе

Подождите немного. Документ загружается.

личинами не является, вообще говоря, функциональ-

ной и носит вероятностный характер. Полезно иметь

численную характеристику, указывающую на меру

зависимости (или, как говорят в теории вероятнос-

тей,— корреляции) случайных величин. Таким показа-

телем является коэффициент корреляции.

Определение 1. Коэффициентом корреляции

случайных величин ξ и η называется число

Опишем основные свойства коэффициента кор-

реляции.

Теорема 1. Для любых случайных величин ξ, η

|р ( ξ, η)|≤1 (без доказательства).

Теорема 2. Для независимых случайных величин

ξ, η ρ(ξ, η) = 0.

Доказательство. Так как ξ и η независимы,

то для них E(ξ•η) = Eξ•Eη (см. теорему 7 из п. 3).

Поэтому

Заметим, что обратное к теореме 2 утверждение

неверно, т. е. коэффициент корреляции может рав-

няться нулю, а сами случайные величины при этом

могут и не быть независимыми. Поэтому вводят по-

нятие некоррелированных случайных величин.

Определение 2. Случайные величины ξ и η

называются некоррелированными, если р(ξ, η) = 0.

Пример. Пусть, например, ζ и ξ независимы и Eζ=

= Eξ = 0. Положим η = ξζ. Тогда ξ и η, очевидно,

зависимы, но Е(ξη) =E(ξ

ζ) =Eξ

•Eζ = 0 = Eξ•Eη.

Тогда и ρ (ξ, η) = 0, хотя величины ξ и η зависимы.

Имеет место

Теорема 3. |ρ(ξ, η)| = 1 тогда и только тогда, когда

между ξ и η существует линейная зависимость ξ = aη

+ b, а ≠ 0.

111

Если ρ (ξ , η) > 0, то случайные величины ξ и η на-

зываются положительно коррелированными, если

ρ(ξ, η) < 0 — отрицательно коррелированными.

§ 10. Основные законы распределения

1. Нормальный закон распределения

Определение 1. Случайная величина ξ назы-

вается распределенной по нормальному закону Гаус-

са, если ее плотность вероятностей задается фор-

мулой р (х) = ехр [— (х - m)

/(2σ

)], σ > 0.

По нормальному закону распределены многие слу-

чайные величины, которые являются результатом

действия большого числа различных факторов, при-

чем каждый фактор в отдельности влияет на случай-

ную величину незначительно и нельзя указать, какой

именно влияет в большей степени. Основная особен-

ность нормального закона состоит в том, что он

является предельным законом, к которому прибли-

жаются другие. В центральной предельной теореме

теории вероятностей доказывается, что при доста-

точно большом п сумма независимых случайных ве-

личин ξ

, ... , ξ

, подчиненных каким угодно законам

распределения, будет иметь закон распределения,

сколь угодно близкий к нормальному.

Вместо функции р (х) обычно используют функцию

φ (х) = ехр (—х

/2), для которой составлены таб-

лицы зависимости φ от х. Отметим некоторые ее

свойства:

1. Четность: φ (х) = φ (—х).

2. φ (х)>0 для всех вещественных х.

3. φ (x)→0 при х→∞.

Связь функций φ и р устанавливается

формулой

р (х) == Это означает, что график функции

φ (х) перемещается в точку т, а затем совершается

растяжение или сжатие к оси Ох в зависимости от σ.

Параметры т и σ в нормальном законе имеют вполне

определенный смысл: т = Еξ, σ

= Dξ. Отметим еще

одно свойство р(х).

112

4. Площадь фигуры между осью

Ох и графиком р (х) всегда равна 1,

независимо от т и σ.

Mы уже обсуждали вопрос о

том, что вероятность попадания

случайной величины ξ в интервал

(а, b) находится как площадь

заштрихованной фигуры (рис.

50). При подсчетах, связанных с

нормальным законом, используют

функцию Ф (х), Рис. 50. Нормальный

задающую площадь под графи- закон распределения

ком функции р(х) от начала координат до точки

х. Для Ф(х) также составлены таблицы. Можно

показать,

2. Биномиальное распределение. Пусть случайная

величина ξ выражает число появлений события А при

п независимых испытаниях, проводимых в одинаковых

условиях, причем Р(А) = р, P(Ā) = 1—p=q. Как

известно, вероятности определяются по формуле Бер-

нулли: P(ξ=m)=C

n-m

Определение 2. Дискретная случайная вели-

чина ξ имеет биномиальное распределение, если ряд

распределений задается формулой Бернулли.

Можно подсчитать, что Еξ = пр, Dξ = npq.

3. Распределение Пуассона. К этому распределе-

нию приводит решение следующей задачи: на оси

абсцисс случайным образом распределены точки,

причем: а) вероятность попадания некоторого числа-

точек на заданный отрезок не зависит от числа точек

на любом другом отрезке, не пересекающемся с дан-

ным;

б) точки распределены на оси с одинаковой сред-

ней плотностью λ>0;

в) вероятность попадания на малый участок двух

и более точек пренебрежительно мала по сравнению

с вероятностью попадания одной точки (т. е. практи-

чески невозможно совпадение двух или более точек).

Пусть Р

— вероятность того, что на отрезок

длины l попадает ровно т точек.. Можно показать,

8 т-743 113

чтo Р

= а

-a

/т!, где a=λl. Нетрудно подсчитать

что

Eξ =Dξ =a.

Распределение Пуассона является предельным для

биномиального распределения» когда число опытов

→∞, в каждом из которых событие

имеет очень

малую вероятность

р,

так что

np ≈ npq.

При большом

можно считать

пр.

Так как

предполагается

малым, то закон Пуассона называют законом редких

явлений.

По закону Пуассона распределены такие случай-

ные величины, как число вызовов на телефонной

станции за некоторое время

число отказов аппара-

туры за время

при условии их взаимной заменяе-

мости и т. д.

Пример 1. В фэнд библиотеки в течение опре-

деленного часа поступает в среднем 30 заказов. Найти

вероятность того, что в течение минуты поступает

не более двух заказов.

Случайная величина, характеризующая число за-

казов, распределена по закону Пуассона. Имеем

Eξ = 30/60 = 1/2 - математическое ожидание числа вызо-

вов в минуту. Тогда

1/2

(l + l/2 + l/8)

≈

0,98.

4. Геометрические распределения. Пусть случай-

ная величина ξ принимает дискретное множество зна-

чений

ξ = m, m

= 0, 1, 2, ..., a P(ξ =

) —вероятность того,

что

принимает фиксированное значение

т.

При

геометрическом распределении вероятности

Р(ξ = т)

являются членами геометрической прогрессии, т. е.

Р( ξ = m)=c(1-γ) γ

, m=0, 1, ... , c>0, 0 < γ < 1,

где

с,

γ — параметры распределения. Иногда исполь-

зуют модифицированное геометрическое распределе-

ние, отличающееся от предыдущего поведением при

m=0. Оно имеет вид

ξ = 0) = 1-c

γ, P(

ξ = m) = c (1-

γ)γ

≥ 1.

114

Рис. 51. Распределение Брэдфорда

Как и распределение Пуассона, геометрические:

распределения используют при построении математи-

ческих моделей комплектования, роста, хранения биб-

лиотечного фонда, старения и рассеивания информа-

ции. Некоторые такие модели будут описаны в главе 5.

5. Распределение Брэдфорда. Пусть функция рас-

пределения задана в виде

Графики функций F(x) и р(х) приведены на рис. 51.

Когда β и βх относительно велики, выражение для

F(x) можно упростить;

В = 1/ln(1 + β).

Аналогично для больших β имеем

х = 1/[р(х)ln(1 + β)]-1/β, т.е. х ≈ В/р(х). (2)

Если в (1) выделить только интервал изменения

0≤ x ≤1, то распределение F(x) будет обозначать

долю всех релевантных статей в журналах или всех

релевантных ссылок в документах, содержащуюся

115

где β > 0 —некоторый параметр. Плотность вероят-

ностей для F(x) есть

х-й

части журналов или документов. Получившееся

соотношение выражает закон Брэдфорда рассеяния

публикаций, подробно исследованный в гл. 5. Отметим,

что соотношение (2) является разновидностью закона

Ципфа (см. п. 3 § 16).

Пусть журналы разделены на

зон размеров

... ,

в порядке уменьшения их продуктивности.

Здесь

— доля журналов в зоне

Если зоны со-

ставлены так, что они содержат одинаковое число

документов (ссылок), то, согласно закону Брэдфорда,

i-l

l-1

, i=

l, 2, ... , m=2, 3, ... ,

где b

— множитель Брэдфорда, 0 <

< 1 <

Так

как

доли всех журналов в сумме дают единицу, то

1=∑ d

-1)/(b

-1)

i=1

и,

следовательно,

= (b

-1)/(b

-1),

= b

i-1

= b

i-1

- 1

)/(b

- 1).

Пусть

j,m

= ∑

= (b

-1)/(b

-1) =

i=1

= (b

j/m

- l)/(b -

1), j = 1, 2, ... , m, где b=b

Теперь обозначим через

F(x),

0≤x≤l долю сум-

марной продуктивности, содержащуюся в

х-й

части

журналов, где

обозначает адлю наиболее продук-

тивных журналов по данному профилю. Так как

jlm

есть минимально необходимая доля журналов, со-

держащая j/m-ю часть релевантных статей (ссылок),

то из предыдущего равенства выводим

=(b

-1)/(b-1), о ≤ х ≤ 1; b>1.

Разрешая это уравнение относительно

получаем,

что

F(x)= ln (1 + bx — x)/ ln b. Положим b = β + 1,

долучим формулу (1). Дальнейшие приложения рас-

пределений Брэдфорда и

Ципфа будут описаны в гл. 5.

ГЛАВА IV

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ В БИБЛИОТЕЧНОЙ

РАБОТЕ

В теории вероятностей мы имели дело с вероят-

ностями случайных событий, случайными величинами,

с законом распределения и т. п. При этом считалось,

что все они нам уже известны. Но при решении прак-

тических задач положение совершенно иное. Един-

ственное, что мы можем сделать — это ставить опы-

ты, эксперименты, только в результате которых можно

отыскать указанные характеристики. Всякий экспери-

мент сопряжен с погрешностями измерений, найден-

ные характеристики будут приближенными. Следова-

тельно, надо уметь оценить ошибку полученного

приближенного значения. Кроме того, в вероятност-

ных задачах важно учитывать степень надежности

получаемых результатов и организовать эксперименты

наиболее рациональным образом. Все эти задачи и

рассматриваются в математической статистике.

Математическая статистика — раздел математики,

посвященный созданию методов систематизации, обра-

ботки и использования статистических данных для

научных и практических выводов.

Статистическими данными называются сведения

о числе объектов в какой-либо обширной совокуп-

ности, выделяемых теми или иными признаками.

К основным задачам математической статистики отно-

сятся:

— оценка на основании результатов измерений

неизвестной функции распределения;

— оценка неизвестных параметров распределения,

входящих в эту функцию;

— проверка статистических гипотез, заключаю-

щаяся в обосновании или опровержении на основе

экспериментальных данных предполагаемого ответа.

Последние годы аппарат математической статистики

активно применяется при анализа библиотечных про-

цессов. Исследования, провадимые в Государственной

библиотеке СССР им. В. И. Ленина, ГПНТБ СССР,

117

Государственной публичной библиотеке им. М. Е. Caл-

тыкова-Щедрина и в ряде других организаций бази-

руются на результатах библиотечных статистических

экспериментов. Все это связано с широкими возмож-

ностями, заключенными в статистических методах

обработки эмпирического материала, получаемого

в конкретных библиотековедческих и библиографовед-

ческих исследованиях.

В настоящей главе мы познакомимся с ОСНОВНЫМИ

понятиями и методами математической

статистику, а также рассмотрим вопросы

организации и проведения статистических

экспериментов.

§ 11. Методы представления статистической

информации

В математической статистике, имеющей дело

с огромным числом цифровых данных, очень важно

умело распорядиться собранной информацией. Извест-

ны случаи, когда накопленная статистическая инфор

мация оставалась неиспользованной из-за неправиль-

ной обработки результатов наблюдений. Методам

представления (группировки) статистических данных

посвящён настоящий параграф.

1. Статистические совокупности. Предположим,

что нам требуется исследовать некоторый признак

свойственный большой группе однотипных объектов.

Определение 1. Множество объектов, подле-

жащих исследованию, называется генеральной сово-

купностью, а любое его подмножество — выбороч-

ной совокупностью (короче, выборкой). Число

объектов в совокупности называется ее объемом.

Совокупности могут состоять из объектов с не-

сколькими признаками (свойствами). Иногда рассмат-

ривают объекты, выделяемые лишь одним признаком.

Так, совокупность читателей библиотеки характери-

зуется возрастом, взятые ими книги — языком, на ко-

тором они написаны и т.д. Признаки могут быть

количественными и качественными (атрибутивными).

Количественный признак выражается числом одно-

родных и тождественных по данному признаку частей,

на которые можно (реально или мысленно) разделить

изучаемый объект. Например, возраст читателя, число

118

книг по тому или иному предмету, объем фонда

библиотеки.

Качественный признак выражает существенную

определенность объекта. Например, качественными

признаками могут служить: принадлежность книги

к тому или иному разделу, тема журнальной статьи,

язык, на котором она написана. Отметим, что атрибу-

тивные признаки могут быть закодированы при помо-

щи чисел (например, индексы УДК), однако эти числа

не. будут выражать количество однородных частей

объекта.

Определение 2. Вариацией признаков назы-

вается изменчивость величины признана у объектов

совокупности.

Различают несколько видов вариации.

а) Количественная вариация — это вариация коли-

чественного признака. Она в свою очередь подразде-

ляется на дискретную й непрерывную вариации. При

дискретной вариации отдельные значения признака

отличаются друг от друга на некоторое число (напри-

мер, количество книг в библиотеке). При непрерывной

вариации значения признака могут быть сколь угодно

близки (например, возраст читателя).

б) Атрибутивная вариация, свяаанная с вариацией

качественного признака, подразделяется на альтерна-

тивную и именованную вариации. При альтернатив-

ной вариации признак принимает только два взаимо-

исключающих значения (например, приход или непри-

ход читателя). При именованной вариации признаки

группируются в несколько классов (например, группы

языков, темы разделов УДК).

Определение 3. Вариант—это конкретное

значение варьируемого признака.

Например, 25 лет—возраст конкретного читателя,

517,5—раздел „Теория функций комплексного перемен-

ного" в УДК и т. д. Обычно в теоретических рас-

суждениях варианты обозначаются маленькими бук-

вами с индексами: х

, х

, ... , х

Определение 4. Измерением называется со-

поставление объектам совокупности значений при-

знака в соответствии с определенными правилами.

Для количественных признаков такое правило за-

ключается в сравнении измеряемого признака с еди-

ницей (шкалой) измерения и приписывании объекту

119

определенного числа единиц. Например, измерение

величины фонда библиотеки состоит в подсчете коли-

чества экземпляров, если за единицу измерения взят

экземпляр печатного издания, или в подсчете коли-

чества разных наименований, если за единицу измере-

ния взято наименование.

Измерение качественных признаков заключается

в сравнении признака с набором различных возмож-

ных классов и присвоении обозначения при отнесения

признака к одному из классов. Например, при ,,изме-

рении" языка можно приписать книге один из вариан-

тов („английский", „немецкий" и т. д.). Если каче-

ственный признак в ходе исследования может быть

оценен с точки зрения наличия в большей или мень-

шей степени, то объектам могут быть приписаны

числа—большие тем, у которых больше данного при-

знака. Примером может служить пятибальная система

оценок знаний студентов. Детальнее теория измере-

ния (теория шкалирования) изложена в главе V.

2. Упорядочение статистических данных. Опреде-

ляемая для объектов генеральной совокупности чис-

ловая характеристика—это случайная величина ξ, при-

нимающая на каждом объекте некоторое числовое

значение. Сделав выборку, мы получаем часть значе-

ний случайной величины ξ—ряд чисел х

, х

, ... , х

Как представить эти данные в том случае, когда k

достаточно велико? Начнем с простого примера.

Пример 1. Рассмотрим данные о составе и харак-

теристике читателей мини-библиотеки по трем призна-

кам: наличию образования, профессии, количеству

прочитанных за год книг (табл. 22).

Таблица 22

Фамилия Образование Профессия

Число книг, про-

читанных за год

1. Александров среднее слесарь

2. Борисов

высшее

оператор

3. Володина

среднее

слесарь

4. Гришин

высшее

инженер

5. Данилов

среднее

сварщик

6 Екатеринина

высшее

оператор

7. Женина

среднее

слесарь

8. Захаров

среднее

сварщик

9 Йвано в

ысшее

оператор

10. Кириллов

высшее

оператор

120