Елизаров А.М. Математические методы в библиотечной работе

Подождите немного. Документ загружается.

десятилетий почти вся математика была перестроена

на теоретико-множественной основе. Подобная ши-

рокая распространенность связана прежде всего с

тем, что понятие множества является столь общим,

что с ним можно столкнуться в любой области окру-

жающей действительности. С другой стороны, теория

множеств представляет удобный универсальный язык,

с помощью которого создаются структурные модели

тех или иных явлений. В данном параграфе излага-

ются основные понятия теории множеств и операции

над ними.

1. Основные понятия. Множество — первичное по-

нятие, которому нельзя дать строгое определение,

его можно лишь описать интуитивным образом. Так,

Г. Кантор говорил, что „множество есть многое,

мыслимое как единое". Поэтому при описании мно-

жеств мы объединяем некоторые предметы в одно

целое. Предметы, составляющие множество, называ-

ются его элементами.

Еще одним исходным понятием теории множеств

является отношение принадлежности — „элемент ...

принадлежит множеству ...". Его также невозможно

определить, хотя во всех рассматриваемых примерах

сразу становится ясно, о чем идет речь.

Условимся об обозначениях. Множества, как пра-

вило, в дальнейшем обозначаются прописными буква-

ми А, В, С, ..., X, У, Z, а элементы множеств —

строчными а, b, с, ..., х, у, z. Принадлежность

некоторого элемента а множеству А обозначается

а А. Если же элемент а не принадлежит

множеству A то это записывается в виде а А.

Имеются два основных способа задания множеств:

перечислительный и описательный.

Перечислительный способ заключается в пере-

числении всех элементов множества, которые запи-

сываются в фигурных скобках» например: А={1, 2, 3,

...10}, В = {книга, библиотека, читатель}. Он применя-

ется для задания множеств, состоящих из конечного

числа элементов, причем каждый элемент, входящий

в множество, записывается в фигурных скобках лишь

один раз.

Описательный способ задания множеств заклю-

чается в том, что данное множество выделяется

из всевозможных других тем или иным свойством,

например: А = {х | х — первые десять натуральных

чисел}, В = {х | х — элемент библиотековедческого тре-

угольника}. В общем случае пишем:

А={х|Р(х)}

и читаем: „множество А состоит из таких элементов

х, что свойство Р(х) выполнено (истинно) ". Кратко

это можно прочесть: „множество А таких х, что Р(х)".

Как правило, при помощи описательного способа

задают множества, состоящие из бесконечного числа

элементов, например: N= {n|n — натуральное число},

R = {х |х — вещественное число}.

Чтобы сравнивать между собой конечные множе-

ства, вводится понятие мощности. Мощностью мно-

жества А называется количества принадлежащих ему

элементов (обозначается | А |). Множества одинаковой

мощности называются эквивалентными. Например,

если | А | = 10, | В | = 3, значит, множества A и В не

эквивалентны. В случае бесконечных множеств поня-

тия мощности и эквивалентности определяются слож-

нее и требуют дополнительных знаний (см. далее п. 5

§ 3). Отметим лишь, что множества, эквивалентные

множеству натуральных чисел N (т. е. имеющие

столько же элементов, сколько и N), называются

счетными, неэквивалентные — несчетными.

2, Соотношения между множествами. После зна-

комства с основными понятиями перейдем к описанию

способов сравнения множеств.

Определение 1. Два множества А, В равны

между собой {пишется A = B), если они состоят

из одних и тех же элементов.

Обратим сразу же внимание на то, что два равных

множества могут быть записаны по-разному, например:

A = {1; 2; ..., 10} = {х|х — первые десять натураль-

ных чисел}.

Данное выше определение позволяет сформулировать

правило, которому нужно следовать при сравнении

двух множеств.

Если

Справедливо и обратное правило, которое мы схема-

тически запишем так:

Если

Пример 1. Два множества A = {1; 2; ..., 10} и

= {10; 9; ..., 1} равны (А = A

), т. к. любое из

чисел множества А есть в A

и наоборот.

Пример 2. Два множества А = {1; 2; 3; ..., 10} и

={{1; 2}; 3; ..., 10} не равны, т. к. множество

содержит элемент (обратите внимание!) {1, 2},

которого нет в множестве А.

Введенное отношение равенства позволяет про

любые два множества сказать — равны они друг другу

или нет. В том случае, когда множества не равны

между собой, полезно выяснить, содержит ли одно

из них другое или нет.

Определение 2. Множество А называется

подмножеством множества В, если каждый эле-

мент множества А является элементом множества

В (обозначается А В). В этом случае говорят,

что дано отношение включения между множества-

ми, и запись А В читают: „множество А включа-

ется в множество В" (рис. 2).

Пример 3. Рассмотрим множество всех книг в

библиотеке. Его подмножеством являются множество ХЛ

художественных книг (ХЛ

), множество ОПЛ

общественно-политических книг (ОПЛ

), множество

H научных монографий (H К), множество П

популярных книг (П К) и т. д.

Отметим свойства включения» сформулировав их

в следующем утверждении.

Теорема. Отношение вклю-

чения между множествами обла-

дает следующими свойствами:

(1)А А;

(2) А В, В

, тогда А=В;

(3) А В, В С, тогда А С.

Доказательство.(1)Включение А А очевидно,

т. к. каждый элемент множества А безусловно является

элементом того же самого множества А.

Рис. 2. Подмножество

(2)

Это свойство представляет собой другую фор-

мулировку правила равенства двух множеств, запи-

санную с помощью отношения включения.

(3)

Пусть

А В, В

С. Докажем, что

С. Пусть

— произвольный элемент множества А, т. е.

х А.

Так как

В, то любой элемент из

является эле

ментом множества

В,

т. е.

х В.

Далее,

—подмно

жество С, значит, все элементы из

содержатся в С,

тогда и

С. Таким образом, любой элемент

мно

жества

является элементом С, следовательно,

А С

■*.

Замечание.

Свойства, перечисленные выше, по-

лезно сравнить с числовыми неравенствами:

(1)

≤ а;

(2)

а≤b, b

≤а, тогда а = b;

(3)

≤

b, b

≤

с, тогда а≤с.

Среди всевозможных множеств имеются множе-

ства со специальными свойствами. Прежде всего, это

пустое множество Ø, которое не содержит ни одного

элемента. Считают, что любое непустое множество

всегда содержит в качестве подмножества пустое

множество Ø. В то же время нельзя писать что

Ø — это неверно.

Пример 4. Пусть

А —

множество книг на полке,

тогда для описания книг на пустой полке необходи-

мо ввести пустое множество Ø.

Обычно все множества, с которыми имеют дело

в тех или иных рассуждениях, являются подмножествами

некоторого фиксированного множества U. Мы будем

в этом случае называть множество

универсальным

множеством. Так, в примере 3 универсальным

является множество

всех книг данной библиотеки.

Пример 5. Еще одним важным примером уни-

версального множества является библиотечный фонд.

На основе той или иной классификации (УДК, ББК,

МКИ) он разбивается на подмножества разделов

фонда. Например, порядок следования подмножеств,

связи и зависимости между ними, представленные

графически фрагментом отдела ББК, позволяют на-

глядно представить указанное разбиение (рис. 3).

■

— знак окончания доказательства.

Рис. 3. Разбиение универсального множества на подмножества

3. Операции над множествами. Обратимся к задачам

создания из заданных множеств новых множеств.

Определение 1. Объединением двух множеств А,

В (обозначается А В) называется множество,

состоящее из элементов, которые принадлежат

хотя бы одному из множеств А или В:

А В = {х|х А или х В}.

Для наглядного представления вводимых операций

над множествами условимся изображать множества

фигурами на плоскости и заштриховывать результат

применяемой операции. Такие интерпретации носят

название диаграмм Эйлера—Венна.

Например, если множество А изобразить квадра-

том, а В —кругом, то объединение А и В будет

выглядеть, как доказано на рис. 4.

Пример 1. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4},

тогда А

В =

{1, 2, 3, 4}.

Рис. 4. Объединение множеств

Можно рассматривать объеди-

нение не только двух, но и не-

скольких множеств ( А В) С

(рис. 5) и т. д. Легко проверяются

следующие свойства операции

объединения:

(AM 1) (А В) С = А (В С);

(AM 2) А В = В А;

(AM 3) A

= U.

Рис.5.объединение

АUBUC

Замечание 1. Сравним эти

свойства операции объединения с операцией сложе-

ния чисел:

(a + b) + с = а + (b + c), а + b = b + a.

Определение 2. Пересечением двух множеств

А, В (обозначается А В) называется множество,

состоящее ив элементов, которые принадлежат и

множеству А, и множеству В одновременно:

= {х|х А и х В}.

Диаграммы Эйлера—Венна для пересечения изобра-

жены на рис. 6.

Пример 2. Пусть А={1, 2, 3}, В={2, 3, 4}, тогда

А В={2, 3}.

Пример 3. Пусть H —множество всех научных

книг, П—множество популярных книг, тогда Н

—

множество научно-популярных книг.

Как и в случае объединения, можно рассматривать

пересечение нескольких множеств (А В) С и т. д.

(рис.7). Для операции пересечения имеют место свой-

ства, аналогичные AM 1 — AM 3:

Рис. 6. Пересечение множеств

(АМ 1')(А∩B)∩С=А∩

(B∩С);

(AM 2') A∩B=B∩A;

(AM 3') A∩Ø = Ø.

На доказательстве этих очевидных

соотношений мы также не оста-

навливаемся.

Замечание 2. Операция пере-

сечения множеств во многом

сходна с операцией умножения

чисел, Сравните: (а•b)•c=а•(b•c),

a•b = b•a.

Определение 3. Разностью двух множеств

А, В (обозначается А\В) называется множества

всех элементов А, которые не содержатся в В:

А\В = {x|x А и х B}.

Диаграммы Эйлера — Венна для |разности| множеств

изображены на рис. 8.

Пример 4. Пусть A={1, 2, 3}, B={2, 3, 4},

тогда A\В = {1}.

Пример 5. Опять обозначим через НП множе-

ство научно-популярных книг, через H—множество

научных монографий, тогда НП\Н составит мно-

жество популярных книг.

Для дополнения множества А до универсального,

множества U вводится специальное обозначение Ā

(читается „А с чертой" или „дополнение А"): Ā=

= U\A = { x | x А} (рис.9). Нетрудно убедиться в

простой взаимосвязи множеств А и Ā:

(AM 4) A

Ā=U, А∩ Ā = Ø.

Рис. 8. Разность множеств

2 Т-743

Рис. 7. Пересечение

А∩

∩

Отметим, что для этого свойства

операции дополнения мы уже не

можем найти аналогов среди

операций над числами.

4*. Алгебра множеств. Целью

ее изучения,являются выработка

умения применять операции

∩,

и установление связей

между ними. Алгебра множеств

представляет собой совокуп-

ность равенств, справедливых

независимо от того, какие кон-

кретные множества выбраны в качестве входящих в

эти равенства. Некоторые равенства алгебры множеств

мы уже отметили выше в п. 3 — это свойства

AM 1-AM 4.

Прежде чем переходить к получению новых фор-

мул, условимся о порядке выполнения операций:

самой первой выполняют операцию дополнения

затем операцию пересечения ∩ и операцию объеди-

нения . Подобное соглашение позволяет

значительно упростить запись в формулах.

Рассмотрим еще одну формулу алгебры множеств

(АМ 5)А∩(B С)=(А∩В) (А∩С),

доказательство которой проведем достаточно подроб-

но. Прежде всего убедимся в правильности этого

равенства» построив диаграммы Эйлера — Венна для

множеств из обеих частей AM 5 (рис. 10).

Доказательство. Ранее в теореме из п. 2 от-

мечалось, что для равенства двух множеств доста-

точно проверить соотношения

Рис. 9. Дополнение

множества

а) А∩(В С) (А

∩B)

(А∩С);

в) (А∩В) (A∩C) А∩(В С).

Докажем а). Доказательство распадается на два этапа:

анализ и синтез. На этапе анализа мы, исходя из при-

надлежности элемента х множеству A∩(B С), выяс-

ним все возможные случаи принадлежности (или

непринадлежности) этого элемента к каждому из

множеств А, В и С. Затем на этапе синтеза построим

множество (А∩В) (А∩С), выясняя во всех случаях

принадлежит к нему элемент x или нет. Итак,

приступим к анализу а).

Вывод (1) сделан на основе определения операции

пересечения. Вывод (2) сделан на основе определения

операции объединения множеств В С: х В С в

одном из трех случаев х В и х С, или х В

и х С, или х В и х С.

Перейдем к синтезу а). При этом мы должны

построить сначала множества А∩В и А∩С, а затем

выяснить, принадлежит ли элемент х к объединению

(А∩B) (А∩С).

Выводы (3)—(5) сделаны на основе определения

операции пересечения. Вывод (6) сделан из того, что

х во всех трех случаях принадлежит хотя бы одному

из множеств А∩В или А∩С.

Докажем в). При этом приведем лишь краткую

схему доказательства без подробных обоснований.

2* 19

Анализ в).

Если х (А∩В) (А∩С),

или

x А∩В

A∩C, тогда х A, х В, x С;

то

А∩В

A∩C, тогда х А, х В, x С;

или

х А∩В и х А∩С, тогда x А, x В, x С.

Синтез в).

х А, х В, х С,

C,,

А, x В, х С,

тогда x А, х В С,

тогда x А, х В С, тогда x

∩(B С)

тогда х А, х В С,

Указанный выше прием доказательства позволяет

убедиться в справедливости любых равенств алгебры

множеств, однако он достаточно трудоемкий. При

доказательствах новых соотношений часто используют

основные законы алгебры множеств, которые приве-

дены в таблице 1 (рядом для сравнения даны аналоги

в алгебре чисел, если таковые имеются).

§ 2. Бинарные отношения

При познании явлений окружающей действитель-

ности мы часто сталкиваемся с необходимостью

установления зависимостей между свойствами, кото-

рыми обладают исследуемые объекты. Например, при

изучении читательского спроса нетрудно отметить

связь между количеством заявок и количеством вы-

полненных требований — чем больше заявок, тем

больше выполненных заказов. Адекватной математи-

ческой моделью при анализе подобных зависимостей

является понятие отношения, с помощью которого

можно описывать причинно-следственные связи. В

данном параграфе мы рассмотрим элементы матема-

тической теории отношений, применяемой при мате-

матическом моделировании библиотечных процессов.

1. Основные понятия. Понятие отношения или

зависимости подразумевает наличие двух объектов

или явлений, одно из которых некоторым образом

взаимосвязано с другим. Например, в описанных ниже