Елизаров А.М. Математические методы в библиотечной работе
Подождите немного. Документ загружается.
ходит чаще. Если проделывать это достаточно долго,
то, в конце концов, долю опытов, в которых прои-
зошло событие А, разумно принять зa вероятность
события А. В приведенном выше рассуждении мы
подошли к иному, так называемому статистическому
определению вероятности.
Определение 1. Частотой или статисти-
ческой вероятностью Р* события А в серии из N
опытов называется отношение числа М опытов, в
которых это событие произошло, к общему числу
произведенных опытов: P*(A) = M/N.
Отметим некоторые свойства частоты.
(Ч1) Частота любого события неотрицательна,
Р*(А)≥0;
(Ч2) Частота достоверного события равна 1,
Р
*
(U) =
1.
Свойство (Ч1) очевидно, а свойство (Ч2) следует
ИЗ того, что достоверное событие всегда происходит
в результате опыта, следовательно, в серии из N опы-
тов событие U произойдет N раз. Значит, Р* (U) =
= N/N = 1;
(Ч3) Пусть события А и В несовместны, тогда
P*(А В)=Р*(А) + Р*(В).
Действительно, пусть событие А произошло М
А
раз
в серии из N опытов, а событие В — М
B
раз. Тогда
соответствующие частоты
P* (А) = M
A
/N, P* (В) = М
B
/N.
События А и В несовместны, т. е. если одно из них
происходит, то другое уже невозможно, следователь-
но, событие А В произошло в М
А
+ М
В
опытах.
Отсюда следует свойство (Ч3).
Мы могли бы продолжать дальше развивать ,,ста-
тистическую" теорию вероятностей, приняв в качест-
ва основы приведенное выше определение частоты.
Однако полученные свойства Ч1—Ч3, по сути дела,
идентичны соответствующим свойствам вероятности
В1—ВЗ, следовательно, теоремы сложения, понятия
условной вероятности и т. д. в „статистической" тео-
рии вероятностей будут теми же. Как согласованы
между собой эти две теории?
Покажем, что для опытов с равновозможными эле-
ментарными событиями статистическое и классическое
91
определения вероятности совпадают. Пусть опыт
включает n равновозможных событий и т из них
благоприятствуют событию А. Тогда вероятность
Р(А) = т/п. Определим частоту события А. Для этого
посмотрим на наш исходный опыт как на серию
опытов, производимых над элементарными (!) собы-
тиями. Так как т элементарных событий из п благо-
приятствуют А, то А произойдет ровно в т случаях
из п, т. е. Р*(A) = m/n. Увеличим число исходных
опытов до N. Тогда в эту серию будет входить N•n
элементарных событий» из которых N•m благоприят-
ствуют A, т. е. в N•т случаях событие А произой-
дет. Следовательно, P*(A) = Nm/(Nn) = m/n, т. е.
удлинение серии опытов не изменяет частоты в клас-
сическом случае. Окончательно, Р(А)=Р* (А).
Доказанное только что соотношение показываем
что статистический подход к теории вероятностей
не хуже, чем классический, а рассмотренный пример
позволяет утверждать, что существуют ситуации,
когда статистическое определение вероятности сра-
батывает, а классическое — нет. Значит, надо разви-
вать и „статистическую" теорию версятностей.
2*. Аксиомы теории вероятностей. Как и для
всякой математической науки, путь, пройденный
теорией вероятностей (и наш с вами — в предыдущих
разделах), типичен — от накопления фактов к
обобщениям, а затем к формулировке основных
понятий и результатов на абстрактном языке в виде
аксиоматической теории.
Наиболее простая и содержательная аксиоматика
теории вероятностей была предложена в 1933 году
выдающимся советским математиком А. Н. Колмого-
ровым. Она охватила все рассмотренные ранее под-
ходы и получила в дальнейшем широкое распростра-
нение. В качестве исходных аксиом приняты несколько
основных свойств» характеризующих вероятность, а
затем из этих предпосылок путем логических рассуж-
дений выводят те или иные следствия, справедливые
в любой из возможных моделей аксиоматической тео-
рии (либо в классической, либо в статистической),
Выбранный общий путь устраняет дублирование рас-
суждений, которые необходимо было проводить за-
ново при каждом новом подходе. Заодно четко вы-
деляется логическая основа, суть теории вероятностей.
92
Опишем кратко аксиомы, которым подчиняются
вероятности случайных событий. Прежде всего, вве-
дем абстрактное понятие случайного события.
Пусть задано множество U (конечное или беско-
нечное), элементы которого назовем элементарными
событиями. Выделим из U систему F подмножеств,
называемых событиями. Эти подмножества должны
быть такими, чтобы конечное или даже счетное
объединение (и пересечение) событий из F снова
принадлежало F. Событием вместе с A U должно
быть и Ā = U
A
. Кроме того, U и Ø
включаются, в систему событий F. При атом U
называется достоверным, а Ø- невозможным
событием. События А и В из F несовместны, если
А∩В = Ø.
Каждому событию из F мы припишем число, на-
зывая его вероятностью события. Более строго, ве-
роятность есть числовая функция р, отображающая
множество событий F в множество чисел, т. е.
p:F→R. Для вероятности должны выполняться сле-
дующие свойства.
Аксиома 1. (Неотрицательность). Вероятность
любого события неотрицательна, Р(А)≥ 0.
Аксиома 2. (Реализуемость). Вероятность дос-
товерного события равна единице, Р(U) = 1.
Аксиома 3. (Объединение). Если А и В — несов-
местные события, то Р(А В) = Р(А) + Р(В).
Перечисленные аксиомы являются абстрактнoй
формулировкой свойств классическсй вероятности
(В1-ВЗ) и частоты (Ч1-Ч3).
Замечание. Для оперирования с бесконечными
множествами элементарных событий в аксиоматике
А. Н. Колмогорова вводится еще одна
Аксиома 4. (Непрерывность). Для убывающей,
последовательности А
1
А
2
... А
п
... событий
из F такой, что А
1
∩А
2
∩ ... ∩A
n
∩... = Ø, имеет место
равенство lim Р(А
п
) = 0.
Впрочем, аксиома 3 и 4 можно заменить одним-
требованием: для попарно несовместных событий А
1
,
A
2
, ..., А
n
, ... выполнено обобщенное правило сло-
жения Р(А
1
А
г
...
А
п
...) = Р(A
1
) + Р(A
2
) + ... +
+ Р(A
п
) + ... Мы ограничимся в примерах множествами
с конечным числом элементарных событий, поэтому
для них выполнимость аксиомы 4 требовать.
93
не нужно (более того, ее можно доказать, исходя из
аксиом 1— 3). Покажем возможности применения вве-
денных аксиом для построения теории вероятностей
на множествах с конечным числом элементарных со-
бытий с неравновозможными исходами.
Теорема 1. Пусть А — некоторое событие из
U={e
1
, e
2
, ... , е
п
}. Тогда: а) для пустого множества
А=Ø вероятность Р(Ø) = 0;
в) для непустого множества А вероятность Р(А)
равна сумме вероятностей элементарных событий,
доставляющих А.
Доказательство. Убедимся в справедливо-
сти а). Пусть А = Ø. События U и Ø несовместны .
(т. к. U∩Ø = Ø), следовательно, по аксиоме 3 P(U) =
= Р (U Ø)=P(U)+P (Ø), откуда находим Р (Ø) =
=P(U) - P(U) =0.
Докажем в). Пусть теперь А=Е
1
... Е
т
, где
E
k
={ei
k
}, k = 1, ... , т — элементарные события. Если
m =1, то А = Е
1
и P(A)=P(E
1
). Если т = 2, то А =
Е
1
Е
2
и Е
1
∩Е
2
=Ø. Тогда аксиома 3 дает нам P(A) =
= P(Е
1
Е
2
) = Р(Е
1
) + Р(Е
2
). Доказательство для любого
т можно провести, используя метод математической
индукции ■.
Приведенная теорема позволяет вычислять веро-
ятность событий сразу же после того, как заданы
вероятности элементарных событий.
Пример. Вернемся к опыгу с волчком из п. 1.
Множество элементарных событий состоит из А —
,, волчок упал острием вниз" и В =„волчок упал
острием вверх", причем А и В неравновозможны.
Предположим, что из каких-то соображений (стати
стических или других) мы приписали элементарному
событию А вероятность р. Покажем, что в этом
случае легко определить вероятности всех остальных
событий.
События А и В несовместны, значит, Р(А В) =
=Р(А)+Р(В). Но для данного опыта A B=U,
следовательно, 1 =Р(U)=Р(А) +Р(В), откуда Р(В)=
=1—Р(A)=1—p.
Событие А∩В=Ø, для него P(A∩B) =0. Нако-
нец, Ā=В, а = A, поэтому Р(Ā)= 1 — р, а Р( )=р.
Других событий в опыте нет — слишком уж бедно
множество элементарных событий.
94
В предыдущем параграфе (п. 2) были доказаны две
теоремы сложения. Анализ проведенных доказательств
показывает, что мы использовали только три свойства
вероятности, которые сформулировали теперь в ка-
честве аксиом. Следовательно, эти утверждения спра-
ведливы и в общем случае. Отметим для полноты
их еще раз.
Теорема 2. Для любых двух событий А, B
Р(А B) = P(A) + P(B)-P(A∩B).
Теорема 3. Для события Ā вероятность Р (Ā) =
=1 - Р (A).
Отметим еще одно полезное утверждение, легкое
доказываемое с помощью метода математической ин-
дукции с использованием аксиомы 3.
Теорема 4. Если A
1
, ... , А
п
— попарно несов-
местны, то Р(А
1
..
. А
п
) = Р(А
1
) + ... + Р(А
п
).
3. Полная вероятность и фоpмула Байеса. Поня-
тия зависимости и независимости случайных событий,
подробно рассмотренные в п. 3 § 7, также обоб-
щаются на произвольный случай. При этом формаль-
ное определение независимости остается точно та-
ким же; А и В независимы, если Р(A∩B) = Р(А)•Р(В).
Приведем без доказательства утверждение о незави-
симых событиях.
Теорема 1. Если события А и В независимы,
то независимы также события Ā и В, А и В, Ā и В.
Понятие условной вероятности события А, при
условии, что произошло событие В, также определя-
ется в общем случае как Р(А|В) = Р(А∩B)/Р(В).
При этом свойства условной вероятнссти, отмеченные
ранее, имеют место и в абстрактнoй теории вероят-
ностей: для независимых событий Р(А|В) = Р(А),
Р(В|А) = Р(В).
В качестве применения понятия условной вероят-
ности докажем формулу полной вероятности.
Теорема 2. Пусть А — некоторое событие, В
1
, B
2
,
... , В
п
— попарно несовместные с положительными
вероятностями, такиее, что А В
1
В
2
... В
n
. Тогда
Р(А) = Р(А|В
1
)•Р(В
1
) + ... + Р(А|В
п
)•Р(В
п
).
Доказательство. Из условий теоремы следует,
что событие А можно представить в виде:
А = А∩(В
1
... B
n
)|=(A∩B
1
) (A∩B
2
)... (A∩B
n
).
95
Здесь события A∩B
i
и A∩B
j
, i≠j,, попарно несов-
местны. Поэтому теорема 4 из п. 2 дает возможность
записать Р(А) = Р(А∩B
1
) + P(A∩B
2
) + ... + Р(А∩В
п
).
Используя теперь определение условной вероятности,
окончательно имеем
Р(А) = Р(А|В
1
)•Р(В
1
) + ... + Р(А|В
л
)•Р(В
л
)
.
Формула полной вероятности указывает, какова
вероятность наступления события А при появлении
одного из несовместных событий (гипотез) B
v
В
г
, ...,В
п
,
составляющих для А множесгво элементарных собы-
тий.
Пример 1. В мини-ИПС последовательно осу-
ществлен поиск по трзм критериям релевантности.
В результате после поиска по 1-му критерию было
найдено 20% документов, по 2-му —30%, по 3-му—
50%. Для поиска по 1-му критерию вероятность вы-
дачи нерелевантного документа равна 0,1, по 2-му-0,5,
по 3-му—0,6. Нас интересует вероятность того, что
любой документ, найденный при поиске, окажется
нерелевантным запросу.
Пусть событие А = „выдан нерелевантный доку-
мент", а В
i
= „документ выдан на основа i-гo крите-
рия", i = 1, 2, 3. Эти события попарно несовместны
(т. к. поиск осуществляется последовательно). Кроме
того, из условий ясно, что
Р(В
1
)= 0,2, Р(B
2
) = 0,3, Р(B
3
) = 0,5, а
Р(А|В
1
)=0,1, Р(А|B
2
) = 0,5, Р(А|B
3
)= 0,6.
Применение фoрмулы полнoй вуроятности дает
Р(А)=0,47.
Сейчас мы получим утверждение, обратное теореме
2. Если в формуле полной вероятности по условным
вероятностям сооытия А при вьполнении одной из
гипотез B
k
находилась полная вероятность события
А, то в следующей теореме по уже произвольному
событию А можно переоценить вероятности гипотез.
Теорема 3. (Байес). Пусть A и B
1
, ... , В
n
—
события, удовлетворяющие условиям теоремы 2.
Тогда P(B
k
|A)=P(В
k
) Р(А|B
k
)/P(А), где
Р(А)=Р(А|В
1
)
.
Р(В
1
) + ...+Р(А|В
п
)
.
Р(В
п
). 96
Доказательство. По определению условной
вероятности P(A∩B
k
)=P(A|B
k
)•P(B
k
). С другой стороны,
Р (А∩В
k
) = Р (В
k
| А) • Р (А). Сравнивая эти равенства и
выписывая для Р(А) формулу полной вероятности,
получаем требуемое
.
Пример 2. В мини-ИПС поиск осуществляется
по двум критериям релевантности. По 1-му критерию
отбирается вдвое больше документов, чем по 2-му.
Поиск по критерию 1 дает в среднем 60% нереле-
вантных документов, а по критерию 2—30%. Доку-
мент, взятый из общего числа выданных по обоим
критериям, оказался нерелевантным. Какова вероят-
ность того, что он отобран на основе 1-го критерия?
Сохраним для событий те же обозначения, что и
в примере 1. Поскольку по 1-му критерию отбира-
ется вдвое больше документов, то P(B
l
) = 2/3, a
Р(В
2
)==1/3. Условные вероятности того, что доку-
мент нерелевантен, если он отобран по 1-му или 2-му
критериям, равны Р(А|B
1
) = 0,6, Р(А|В
2
) =0,3. Ве-
роятность того, что взят нерелевантный документ,
по формуле полной вероятности равна Р(А) =0,6•
•2/3 + 0,3• 1/3 = 0,5. Искомая вероятность по формуле
Байеса равна Р(В
1
| А) = 0,6 • (2/3)/0,5 = 0,8.
4*. Схема Бернулли. Как видим, вероятности не-
зависимых событий задавать и вычислять значительно
проще, чем условные вероятности. Поэтому вероят-
ностные модели с независимыми событиями гораздо
чаще встречаются на практике. Рассмотрим простей-
шую модель подобного типа, называемую схемой
Бернулли, которая заключается в следующем. Про-
деланы n независимых опытов. В результате каждого
опыта может наступить либо событие А = „успех" с
вероятностью Р(А) = р, либо событие Ā = „неудача"
с вероятностью Р (Ā) = q = 1— р. Поставим
вопрос о нахождении вероятности Р
n,m
того, что в
результате проведения п опытов по схеме Бернулли
успех наступит ровно т раз. Ответ на поставленный
вопрос дает формула Бернулли:
Р
n,m
= С
n
m
р
m
q
n-m
.
Пример1. Какова вероятность того, что при 10
бросаниях монеты 5 раз выпадет герб?
7 т-748 97
Здесь п = 10, т =5, вероятность Р (Г) = р = 1/2,
q = 1 - р = 1/2. Тогда Р
10,5
= C
5
10
(l/2)
10
≈ 0,26.
Пример 2. Десять человек идут в два читаль-
ных зала с одинаковым числом мест. Каждый выби-
рает один из залов с вероятностью 1/2 и независимо
от других. Сколько мест нужно иметь в каждом зале,
чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 читатель
не ждал очереди?
Нас интересует вероятность события А = ,,в чи-
тальных залах нет очереди". Введем события А
т
=
„в первом зале — т читателей". Пусть в каждом зале
по 5 мест. Для решения задачи достаточно найти
Р(А
5
), т. к. в этом случае все места в залах будут
заняты и очереди не будет. По формуле Бернулли
Р(А
k
)=С
k
10
(1/2)
10
. При k=5 мы уже отыскивали А
10,5
= 0,26 < 0,8, т. е. пяти мест мало. Пусть в каждом зале
по 7 мест. Тогда А = А
3
А
4
А
5
А
6
А
7
.
Действительно, если произошло A
k
, 3≤ k ≤ 7 (т.е. в
первый зал пришли k человек), то во втором зале
будет 10 — k человек и при 3 ≤ k ≤ 7 очереди не бу-
дет. Так как А
k
независимы, то Р(А) = Р(А
3
... А
7
) =
= 2
-10
(C
3
10
+ ... +С
7
10
) ≈ 0,89. Итак, достаточно
иметь по 7 мест. Можно проверить, что 6 мест будет
мало.
Большой интерес вызывает рассмотрение предель-
ного случая, когда число производимых опытов по
схеме Бернулли неограниченно возрастает. Я. Бер-
нулли на рубеже XVII и XVIII веков была установлена
замечательная теорема, относящаяся к этому случаю.
Теорема Бернулли. Пусть проделаны, п не-
зависимых опытов по схеме Бернулли, в каждом из
которых вероятность успеха равна р. Пусть, далее,
число успехов равно т. Тогда для любого положи-
тельного сколь угодно малого числа е справедливо
Равенствo
Мы не приводим доказательства этой теоремы
ввиду его сложности, но поясним суть сформулиро-
ванного свойства.
После осуществления серии из п независимых опы-
тов число успехов т может оказаться любым от 0
до п, так что выполнение неравенства |т/п-p| ≤
есть случайное событие, вероятность которого
Р (| m/n — р | ≤ ) = p
n
представляет некоторую функ-
98
цию, зависящую от n. Итак имеется последователь-
ность чисел р
n
, для которой отыскивается предел
при n→∞. В теореме Ъернулли утверждается, что
этот предел равен 1. Это означаем что какое бы по-
ложительное число ε мы ни взяли, для достаточно
больших значений п вероятность выполнения нера-
венства |m/n-p|≤ε будет сколь угодно близка к 1.
Иначе говоря, мы имеем практически достоверное
событие. Указанное неравенство означает, что с любой
степенью точности (с точностью до произвольного ε)
частота успеха—число m/n — дает нам величину р
вероятности этого успеха. И происходит это практи-
чески достоверно, если число опытов п достаточно
велико.
Теорема Бернулли представляет простейшую форму
так называемого закона больших чисел — общего
принципа, согласно которому совместное действие
случайных факторов приводит при некоторых (достаточ-
но общих) условиях к результату, почти независящему
от случая. Сближение частоты наступления случайного
события с его вероятностью при возрастании числа ис-
пытаний, о котором говорилось в теореме Бернулли,
является первым примером использования указанного
принципа. Многочисленные обобщения отмеченной,
теоремы и составили содержание закона больших чи-
сел. Он еще раз подчеркивает, что при выполнении
определенных условий статистический и классический
подходы к построению теории вероятностей смыка-
ются, и при введении вероятностей элементарных собы
тий допустимо (при выполнении соответствующих ус-
ловий !) пользоваться эмпирическими значениями, най
денными при подсчете частот происхождения событий.
Более детально этот вопрос будет изучен в разделе
математической статистики.
§ 9. Случайные величины
В этом параграфе вводится основной аппарат тео-
рии вероятностей — случайные величины, способы их
задания и числовые характеристики. Рассмотрены
наиболее часто встречающиеся на практике примеры
случайных величин, даны приложения этих понятий к
решению, некоторых, библиотековедческих задач.
99
1. Закон распределения. Мы уже сталкивались с
событиями, в результате которых случайным образом
получаются числа. Например, при бросании игральной
кости появлялось одно из чисел 1, 2, ... , 6. Точно
так же при изучении читательского потока мы
отмечаем число читателей, пришедших в библиотеку в
тот или иной день. Эти числа носят случайный
характер. В таких случаях говорят, что мы имеем дело
со случайными величинами. В опыте с игральной
костью каждому элементарному событию
соответствовало выпавшее число, поэтому естественно
рассматривать случайную величину как соответствие
между событиями и числами.
Определение 1. Случайной величиной ξ на-
зывается числовая функция, заданная на множестве
элементарных событий опыта, т. е. ξ:U→R.
Напомним, что задать числовую функцию—это
значит каждому элементарному событию u
k
поставить
в соответствие единственное число х
k
, которое назы-
вается значением случайной величины ξ на элемен-
тарном событии u
k
: x
k
= ξ(u
k
).
Случайная величина называется дискретной, если
число ее возможных значений не более чем счетно,
и непрерывной, если ее значения непрерывно запол-
няют некоторый интервал (более строгое определение
непрерывности увело бы нас в сторону, поэтому мы
ограничиваемся интуитивным представлением). С при-
мерами дискретных случайных величин мы уже по-
знакомились выше. Примерами непрерывной слу-
чайной величины могут служить время присутствия
читателя в читальном зале, время обслуживания чи-
тателя на абонементе и т. д.
Дискретная случайная величина чаще всего зада-
ется таблицей 16.
Таблица 16
Элементар-
ные события
u
1
u
2
. . . |
u
n
ξ
x
1
x
2
• • • | x
n
Так как значения случайной величины - числа, то
случайные величины можно складывать, умножать,
100