Электротехника и электроника
Подождите немного. Документ загружается.
31
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
ïîëóïåðèîäà ïðîõîäèò òàêîé æå çàðÿä Q, ÷òî è ïðè ïåðåìåííîì òîêå:
I
ñð
= 2 I
m
/ π; ( 2.7 )
U
ñð
= 2 U
m
/π; ( 2.8 )
E
ñð
= 2 E
m
/π. ( 2.9 )
2.2.4. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
Ñîâîêóïíîñòü äâóõ èëè áîëüøåãî ÷èñëà âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ
ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû îäíîé ÷àñòîòû â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîé äèàãðàììîé.
Ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû èçîáðàæàþòñÿ ñèíóñîèäàìè,
ïîêàçûâàþùèìè ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, èëè
âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè. Ñèíóñîèäà ñòðîèòñÿ òàê, ÷òîáû åå îðäèíàòû
ðàâíÿëèñü ìãíîâåííûì çíà÷åíèÿì âåëè÷èíû, à àáñöèññû âðåìåíè,
îòñ÷èòàííîìó îò ìîìåíòà, âûáðàííîìó çà íà÷àëî îòñ÷åòà (t = 0). Òàêîå
èçîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò íàéòè àìïëèòóäó, íà÷àëüíóþ ôàçó è ïåðèîä. Ïðè
èçîáðàæåíèè ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû, íàïðèìåð, ÝÄÑ
E = E
m
sin (wt + ψ), âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì íà ïëîñêîñòè xy (ðèñ.2.1), äëèíà
âåêòîðà ÎÀ â âûáðàííîì ìàñøòàáå ïðåäñòàâëÿåò àìïëèòóäó E
m
; óãîë ìåæäó
âåêòîðîì è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ õ â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè (t = 0) ðàâåí íà÷àëüíîé ôàçå ψ, à óãëîâàÿ ñêîðîñòü âåêòîðà,
íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ðàâíà óãëîâîé
÷àñòîòå w. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå Å(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïðîåêöèåé âåêòîðà íà îñü
îðäèíàò y.
Ðèñ. 2.1
 ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ÝÄÑ Å (0) = E
m
sin ψ. Ýòó æå âåëè÷èíó âûðàæàåò
è ïðîåêöèÿ âåêòîðà ÎÀ íà îñü y. Â ìîìåíò âðåìåíè t ÝÄÑ E(t) = E
m
sin (ωt +
ψ). Ïðîåêöèÿ âåêòîðà, çàíÿâøåå íîâîå ïîëîæåíèå ÎÂ, âûðàæàåò òó æå
âåëè÷èíó E( t).  ìîìåíò âðåìåíè t′ íàïðàâëåíèå âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà
ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè y. Ïðîåêöèÿ E(t′) ðàâíà äëèíå
âåêòîðà E
m
.
Íà âåêòîðíûõ äèàãðàììàõ èçîáðàæàþòñÿ òîêè, íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ òîëüêî
îäíîé ÷àñòîòû. Óãëîâûå ñêîðîñòè âñåõ âåêòîðîâ íà äèàãðàììå îäèíàêîâû, è
32
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
âçàèìíîå ïîëîæåíèå âåêòîðîâ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì.
Äëÿ ñèíóñîèäàëüíûõ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí íà÷àëî îòñ÷åòà
âðåìåíè âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå îäèí èç âåêòîðîâ
íàïðàâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíî, îñòàëüíûå âåêòîðû ðàñïîëàãàþòñÿ ïî îòíîøåíèþ
ê ïåðâîìó ïîä óãëàìè, ðàâíûìè ñîîòâåòñòâóþùèì óãëàì ñäâèãà ôàç. Îñè
êîîðäèíàò â ýòîì ñëó÷àå îïóñêàþòñÿ. Èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí
âåêòîðàìè ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ãðàôè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñóììû
èëè ðàçíîñòè ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí.
Ïðè ñëîæåíèè ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí îäíîé ÷àñòîòû ïîëó÷àåòñÿ
ñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà òîé æå ÷àñòîòû, àìïëèòóäà êîòîðîé ðàâíà
ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå àìïëèòóä ñëàãàåìûõ âåëè÷èí. Ïðè ñëîæåíèè äâóõ
ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí ðàçëè÷íîé ÷àñòîòû ïîëó÷àåòñÿ íåñèíóñîèäàëüíàÿ
âåëè÷èíà, êîòîðóþ íåëüçÿ èçîáðàæàòü âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì.
2.2.5. Çàêîí Îìà â êîìïëåêñíîé ôîðìå
Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ ìîæíî
èçîáðàçèòü ïðîåêöèåé âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà íà íåïîäâèæíóþ îñü.
Âðàùàþùèåñÿ âåêòîðû è èçîáðàæàåìûå èìè ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû ìîæíî
âûðàæàòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Åñëè âåêòîð I
m
, äëèíîé I
m
, ïîâåðíóòûé îòíîñèòåëüíî îñè äåéñòâèòåëüíûõ
âåëè÷èí íà óãîë ψ, âðàùàòü â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
ω, òî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà i èçîáðàçèòñÿ ïðîåêöèåé âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà
I
m
å
j(ωt + ψ)
íà ìíèìóþ îñü.
Ýòî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
i = I
m
[I
m
å
j(ωt + ψ)
] = I
m
[I
m
å
jψ
å
jωt
].
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ íà âåêòîðíîé äèàãðàììå ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè íå èçìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó íåò íåîáõîäèìîñòè âðàùàòü âåêòîðû ïðè
èçîáðàæåíèè ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè, äîñòàòî÷íî èçîáðàçèòü âåêòîðû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè,
ïðåäñòàâèòü èõ êîìïëåêñàìè.
Òàê êàê íà âåêòîðíûõ äèàãðàììàõ îáû÷íî îòêëàäûâàþò íå àìïëèòóäû, à
äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí, òî êîìïëåêñíîå çíà÷åíèå
òîêà èëè êîìïëåêñà òîêà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
I = I å
jψ
.
Àíàëîãè÷íî ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü íàïðÿæåíèÿ (êîìïëåêñ íàïðÿæåíèÿ)
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå:
U
m
= U
m
å
jα
è U = U å
jα
.
×àñòíîå îò äåëåíèÿ êîìïëåêñà íàïðÿæåíèÿ íà êîìïëåêñ òîêà íàçûâàåòñÿ
êîìïëåêñíûì ñîïðîòèâëåíèåì è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
,
ϕ−
====
j
ø
)
j(
á
j
ø
j
á
eZeZ
eI
Ue
U/IZ
èëè Z = Z
jϕ
= Z cosϕ + j z sinϕ = r + jx,
33
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
ãäå r = Z cosϕ - àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå;
õ = Z sinϕ - ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå;
22
xrZ
+=
- ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå.
Èç âûøåñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî çàêîí Îìà â êîìïëåêñíîé ôîðìå
çàïèøåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:
I = U/Z = U/(r+jx).
2.3. Àêòèâíîå, ðåàêòèâíîå è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèÿ
2.3.1. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå
Ñîïðîòèâëåíèå r ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà, â êîòîðîì ýëåêòðè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëî, íàçûâàåòñÿ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì.
Ðåçèñòîð ÿâëÿåòñÿ íåîáðàòèìûì ïðåîáðàçîâàòåëåì ýëåêòðîìàãíèòíîé
ýíåðãèè.  öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîëî÷íîãî ðåçèñòîðà
çàâèñèò îò ÷àñòîòû. Ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà ïåðåìåííîìó òîêó íàçûâàåòñÿ
àêòèâíûì, à ïîñòîÿííîìó ýëåêòðè÷åñêèì. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà
áîëüøå åãî ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
2.3.2. Ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîñòè
(èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå)
Åñëè öåïü îáëàäàåò èíäóêòèâíîñòüþ L, íàïðèìåð êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè
(ðèñ.2.2), ïîòåðÿìè êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, è ïî íåé ïðîõîäèò
ñèíóñîèäàëüíûé òîê i = I
m
sin ωt, òî ïîòîêîñöåïëåíèå öåïè ðàâíî:
ψ = L i = L I
m
sin ωt = ψ
m
sin ωt,
ãäå ψ
m
= L I
m
àìïëèòóäà ïîòîêîñöåïëåíèÿ.
Ðèñ. 2.2
34
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
Èçìåíåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ âûçûâàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè:
e
L
= - L I
m
ω cos ωt = E
lm
sin (ωt-π/2), ( 2.14)
ãäå E
lm
= L I
m
ω - àìïëèòóäà ÝÄÑ.
Òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå öåïè r = 0, òî ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ñóììà
íàïðÿæåíèÿ íà âûâîäàõ öåïè è ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè e
L
ðàâíà íóëþ: u + e
L
= 0.
Íàïðÿæåíèå öåïè:
u = - e
L
= L I
m
sin(ωt + 2π) = U
m
sin(ωt + π/2) = U
m
cos ωt, ( 2.15 )
ãäå U
m
= E
m
.
Ïðèëîæåííîå ê öåïè íàïðÿæåíèå âûçûâàåò â íåé òàêîé òîê, êîòîðûé ïðè
ñâîåì èçìåíåíèè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè èíäóöèðóåò ÝÄÑ, ðàâíóþ ïî
àìïëèòóäå è ïðîòèâîïîëîæíóþ ïî çíàêó ïðèëîæåííîãî ê öåïè íàïðÿæåíèþ.
ÝÄÑ óðàâíîâåøèâàåò ýòî íàïðÿæåíèå.
Íà ðèñ.2.3 ïðèâåäåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà öåïè.
Ðèñ. 2.3
Íàïðÿæåíèå îïåðåæàåò òîê ïî ôàçå íà óãîë π/2 èëè 1/4 ïåðèîäà. Â ìîìåíò
âðåìåíè, êîãäà òîê ïðîõîäèò ÷åðåç íóëåâûå çíà÷åíèÿ, ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ
íàèáîëüøàÿ, ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèå ÝÄÑ e
L
è óðàâíîâåøèâàþùåå åå
íàïðÿæåíèå u.  òå ìîìåíòû, êîãäà òîê ïðîõîäèò ÷åðåç ñâîè àìïëèòóäíûå
çíà÷åíèÿ, ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ ðàâíà íóëþ, ðàâíû íóëþ ÝÄÑ e
L
è íàïðÿæåíèå
u. Ïðè íàðàñòàíèè òîêà ÝÄÑ e
L
íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó òîêó, à ïðè óìåíüøåíèè
òîêà íàïðàâëåíà â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è òîê.
Èç ( 2.10 ) è ( 2.11 ) ñëåäóåò, ÷òî:
U
m
= E
lm
= ω LI
m
. ( 2.12 )
35
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
Èç ( 2.12 ) ñëåäóåò çàêîí Îìà äëÿ àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé:
I
m
= U
m
/ ωL. ( 2.13 )
Ðàçäåëèâ ( 2.13 ) íà
2
, ïîëó÷èì çàêîí Îìà äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé
òîêà è íàïðÿæåíèÿ:
I = U / ωL = U / X
L
, ( 2.14 )
ãäå X
L
= ωL = 2πfL èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Èíäóêòèâíîå
ñîïðîòèâëåíèå èçìåðÿåòñÿ â Îìàõ:
[ X
L
] = [ ωL ] = 1/ñ Ãí = 1/ñ Îì ñ = Îì.
Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî èíäóêòèâíîñòè è ÷àñòîòå.
Ïðè ïîñòîÿííîì òîêå èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ. Ïðè
ïåðåìåííîì òîêå öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ èìååò ñîïðîòèâëåíèå, ðàñòóùåå ñ
óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû òîêà.
Äëÿ öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ çàêîí Îìà ìîæíî ïðèìåíÿòü òîëüêî äëÿ
àìïëèòóäíûõ è äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêà è íàïðÿæåíèÿ, è îí íå ïðèìåíèì
äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé.
2.3.3. Ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå åìêîñòè
(åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå)
Åñëè öåïü, îáëàäàþùàÿ òîëüêî åìêîñòüþ (êîíäåíñàòîð áåç ïîòåðü èëè
åìêîñòíîé ýëåìåíò), íàõîäèòñÿ ïîä ïåðåìåííûì íàïðÿæåíèåì (ðèñ.2.4), òî
çàðÿä èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî íàïðÿæåíèþ q = C u, ñëåäîâàòåëüíî, â
öåïè ïðîõîäèò ïåðåìåííûé òîê. Ïðè ñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè íà âûõîäàõ
öåïè:
u = Umax sin( ωt ), ( 2.15 )
òîê â öåïè, ðàâíûé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ çàðÿäà:
i = C ω U
m
cos( ωt ) = C ω U
m
sin( ωt + π/2 ) = I
m
sin( ωt + π/2 ), ( 2.16 )
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî òîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèÿ íà âûõîäàõ öåïè
íà óãîë π/2 èëè íà 1/4 ïåðèîäà. Àìïëèòóäà òîêà:
I
m
= ω c U
m
. ( 2.17 )
Ðèñ.2.4
36
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà öåïè ñ åìêîñòüþ ïðèâåäåíà íà ðèñ.2.5.
Ðèñ.2.5
Åñëè ðàçäåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ( 2.17 ) íà
2
, òî ïîëó÷èì çàêîí
Îìà äëÿ öåïè ñ åìêîñòüþ:
I
m
/
2
= ω c U
m
/
2
;
I = ω c U = U / ( 1/ ω c ) = U / Xc. ( 2.18 )
Âåëè÷èíà Xc = 1/ ω c = 1 / 2πfC íàçûâàåòñÿ åìêîñòíûì ñîïðîòèâëå-
íèåì.
Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå èçìåðÿåòñÿ â Îìàõ:
[Xc] = [1/ w c] = 1 / ( Ô 1 / Ñ ) = 1 / ( À / Â ) = Â / À = Îì.
Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå èçìåíÿåòñÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå
f è åìêîñòè Ñ. Óìåíüøåíèå ÷àñòîòû âûçûâàåò óâåëè÷åíèå åìêîñòíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ. Ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè, ïðè f = 0, åìêîñòíîå
ñîïðîòèâëåíèå Õñ = ∞, è ïîñòîÿííûé òîê ÷åðåç åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå íå
ïðîõîäèò.
Äëÿ öåïè ñ åìêîñòüþ çàêîí Îìà ïðèìåíèì òîëüêî äëÿ àìïëèòóäíûõ è
äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêà è íàïðÿæåíèÿ.
Äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé: åñëè íà÷àëüíàÿ ôàçà íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè
âûáðàíà ðàâíîé íóëþ u = U
m
sin( ωt ), òî òîê â öåïè i = I
m
sin( ωt + π/2 ), åñëè
íà÷àëüíàÿ ôàçà - π/2 u = U
m
sin( ωt - π/2 ) = - U
m
cos( ωt ), òîê â öåïè ñ åìêîñòüþ
ðàâåí i = C ω U
m
sin(ωt) = I
m
sinωt.
2.3.4. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå
Åñëè öåïü îáëàäàåò ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L, òî òàêàÿ öåïü
íàçûâàåòñÿ rL öåïüþ.
Âåëè÷èíà
22
t)(rZ
ω+=
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì rL öåïè.
Ãðàôè÷åñêè ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå Z èçîáðàæàåòñÿ ãèïîòåíóçîé
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñîïðîòèâëåíèé, à ñîïðîòèâëåíèÿ r è ωL = õ
L
åãî êàòåòàìè. Åñëè öåïü îáëàäàåò ñîïðîòèâëåíèåì r è åìêîñòüþ Ñ, òî òàêàÿ
öåïü íàçûâàåòñÿ rÑ öåïüþ.
37
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
Âåëè÷èíà
222
c
2
)
c/1
(
rõrz
ω+=+=
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ñîïðî-
òèâëåíèåì rc öåïè. Åñëè öåïü îáëàäàåò ñîïðîòèâëåíèåì r, èíäóêòèâíîñòüþ L
è åìêîñòüþ ñ, òî òàêàÿ öåïü íàçûâàåòñÿ rLc öåïüþ.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå rLc öåïè ðàâíî:
,xr)xx(rZ
22
CL
2
+=−+=
ãäå õ = õ
r
õ
ñ
ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå.
2.4. Àêòèâíàÿ, ðåàêòèâíàÿ è ïîëíàÿ ìîùíîñòè
2.4.1. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü
Ïðîèçâåäåíèå ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i íàçûâàåòñÿ
ìãíîâåííûì çíà÷åíèåì ìîùíîñòè èëè ìãíîâåííîé ìîùíîñòüþ:
p = u i. ( 2.19 )
Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â öåïè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.  öåïè ñ
ñîïðîòèâëåíèåì r ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ïîêàçûâàåò ñêîðîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ:
Ð = u i = r i
2
. ( 2.20 )
Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó ( 2.20 ) âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà ( 2.1 ) è íàïðÿæåíèÿ
( 2.2 ), ïîëó÷èì:
Ð = u i = U
m
sin(ωt) I
m
sin (ωt) = U
m
I
m
sin
2
(ωt),
ò.ê. U
m
=
2
U, à I
m
=
2
I , òî
Ð = 2 U I sin
2
(ωt). ( 2.21 )
Âûðàæåíèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè ( 2.21 ) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì :
Ð = 2 U I sin
2
(ωt) = U
m
I
m
( 1 cos 2ωt ) / 2 = U I U I cos 2ωt , ãäå
UI = U
m
I
m
/2. Ñëåäîâàòåëüíî, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü èìååò ïîñòîÿííóþ
ñîñòàâëÿþùóþ UI è ïåðåìåííóþ U I cos 2ωt, èçìåíÿþùóþñÿ ñ äâîéíîé ÷àñòîòîé.
Ìîùíîñòü â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà ïîëîæèòåëüíà, ò.ê. ýëåêòðè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîâóþ íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ òîêà â öåïè.
Çíà÷åíèå ìîùíîñòè Ð èçìåíÿåòñÿ îò íóëÿ â ìîìåíò âðåìåíè t = 0; t = T / 2;
t = T, ò.ê. â ýòè ìîìåíòû âðåìåíè òîê i = 0, äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ:
P
max
= U
m
I
m
= r I
m
2
â ìîìåíòû âðåìåíè T = T / 4; t = 3T / 4, ò.ê. â ýòè ìîìåíòû âðåìåíè òîê
èìååò ìàêñèìàëüíûå àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ: i = I
m
è i = - I
m
.
Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è òîêà öåïè.
Ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü ðàâíà:
38
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
P = U I = r I
2
= U
2
/ r. (2.22)
Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü öåïè íàçûâàåòñÿ àêòèâíîé ìîùíîñòüþ.
Ñðåäíÿÿ èëè àêòèâíàÿ ìîùíîñòü õàðàêòåðèçóåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü
íåîáðàòèìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ, ñâåòîâóþ,
ìåõàíè÷åñêóþ, õèìè÷åñêóþ è äð. âèäû ýíåðãèè.
Ïðè îïðåäåëåíèè ýíåðãèè, êîòîðàÿ ðàñõîäóåòñÿ â òå÷åíèå äëèòåëüíûõ
ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, âî ìíîãî ðàç ïðåâîñõîäÿùèõ ïåðèîä, èñïîëüçóþò
ïîíÿòèå àêòèâíîé ìîùíîñòè. Ïðè îïðåäåëåíèè ýíåðãèè, ðàñõîäóåìîé â òå÷åíèå
äîëåé ïåðèîäà, èñïîëüçóþò ïîíÿòèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè.
 Ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìå åäèíèö èçìåðåíèÿ ÑÈ åäèíèöåé ìîùíîñòè
ñëóæèò Âàòò ( ÂÒ ) ìîùíîñòü, ïðè êîòîðîé â êàæäóþ ñåêóíäó 1 Äæ
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïðåîáðàçóåòñÿ â äðóãîé âèä ýíåðãèè:
1 Âò = 1 Äæ / 1 ñ.
Èç ôîðìóëû ( 2.22 ) âèäíî, ÷òî [ P ] = [ U I ] = B A, ò.å. 1 Âò = 1Â 1À.
2.4.2. Ðåàêòèâíàÿ èíäóêòèâíàÿ ìîùíîñòü
Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ
ïðîèçâåäåíèåì ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è òîêà:
p = u i = U
m
sin (ω + π/2 ) Im sin( ωt ) = U
m
I
m
cos(ωt)
sin(ωt) = U I sin(2ωt).
Èç óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ
èçìåíÿåòñÿ ñ äâîéíîé ÷àñòîòîé äâà ðàçà â òå÷åíèå ïåðèîäà äîñòèãàåòñÿ
ïîëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì U I = w L
2
I è äâà ðàçà îòðèöàòåëüíûé ìàêñèìóì ïî
âåëè÷èíå, ðàâíîé ïîëîæèòåëüíîìó. Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ â òå÷åíèå ïåðâîé
è òðåòüåé ÷åòâåðòåé ïåðèîäà ðàáîòàåò â ðåæèìå ïîòðåáëåíèÿ, çàïàñàÿ ýíåðãèþ
W
Lmax
= L I
m
I
m
/ 2 = L I
2
.  òå÷åíèå âòîðîé è ÷åòâåðòîé ÷åòâåðòåé â ðåæèìå
èñòî÷íèêà, âîçâðàùàÿ îáðàòíî çàïàñåííóþ öåïüþ ýíåðãèþ W
lmax
. Òàêèì îáðàçîì,
ýíåðãèÿ, ïîëó÷åííàÿ öåïüþ ñ èíäóêòèâíîñòüþ çà êàæäóþ ïîëîâèíó ïåðèîäà,
ðàâíà íóëþ.
Ðàâíà íóëþ è ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü öåïè.
 öåïè ñ èíäóêòèâíûì ýëåìåíòîì ïðîèñõîäèò ïåðèîäè÷åñêèé îáìåí
ýíåðãèåé ìåæäó èñòî÷íèêîì ïèòàíèÿ è ìàãíèòíûì ïîëåì öåïè áåç
íåîáðàòèìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Ýíåðãèþ, êîòîðîé
îáìåíèâàþòñÿ èñòî÷íèê ïèòàíèÿ è öåïü ñ èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì,
õàðàêòåðèçóåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè öåïè, è íàçûâàþò
ðåàêòèâíîé èíäóêòèâíîé ìîùíîñòüþ.
Ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ:
Q
L
= U I = ω L I
2
= ω W
lmax
. ( 2.23 )
Åäèíèöà ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè Âàòò, òàêàÿ æå êàê è àêòèâíîé. Åäèíèöó
ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè íàçûâàþò âîëüò-àìïåð ðåàêòèâíûé ( âàð ).
39
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
2.4.3. Ðåàêòèâíàÿ åìêîñòíàÿ ìîùíîñòü
Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ åìêîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì
ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Åñëè íàïðÿæåíèå íà âûâîäàõ öåïè
ðàâíî u = U
m
sin(ωt - π/2 ), à òîê â öåïè i = I
m
sin(ωt), òî ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü
ðàâíà :
p = u i = U
m
sin(ωt - π/2) I
m
sin(ωt) = - U I sin(2ωt).
Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü â öåïè èçìåíÿåòñÿ ñ äâîéíîé ÷àñòîòîé, äâà ðàçà
â òå÷åíèå ïåðèîäà, äîñòèãàÿ ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà U I = ω c U
2
è äâà
ðàçà òàêîãî æå îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà.
 òå÷åíèå ïåðâîé ÷åòâåðòè ïåðèîäà ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü îòðèöàòåëüíà,
êîíäåíñàòîð ðàçðÿæàåòñÿ, ìàêñèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
êîíäåíñàòîðà Wcmax = C U
2
m
/ 2 = C U
2
óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ. Ýíåðãèÿ
âîçâðàùàåòñÿ èñòî÷íèêó ïèòàíèÿ.  òå÷åíèå âòîðîé ÷åòâåðòè ïåðèîäà
ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà, íàïðÿæåíèå îò íóëÿ óâåëè÷èâàåòñÿ äî
U
m
. Êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ. Ýíåðãèÿ, ïîëó÷åííàÿ îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ,
âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Wcmax.  òå÷åíèå òðåòüåé è
÷åòâåðòîé ÷åòâåðòåé ïåðèîäà ïðîöåññû â öåïè ïîâòîðÿþòñÿ ñ òîé ëèøü
ðàçíèöåé, ÷òî äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ
òîêà â ïåðâûé ïîëóïåðèîä.
Ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü öåïè ñ åìêîñòüþ p = u i îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü
ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ â ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ýíåðãèÿ, ïîëó÷åííàÿ öåïüþ ñ åìêîñòüþ çà êàæäûé ïîëóïåðèîä, ðàâíà íóëþ.
Ðàâíà íóëþ è ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü öåïè.  òàêîé öåïè ïðîèñõîäèò ïåðèîäè÷åñêèé
îáìåí ýíåðãèåé ìåæäó èñòî÷íèêîì ïèòàíèÿ è êîíäåíñàòîðîì. Ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèå ìãíîâåííîé ìîùíîñòè â öåïè, ñîñòîÿùåé èç èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ è
êîíäåíñàòîðà, íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé åìêîñòíîé ìîùíîñòüþ:
Qc = U I = ω C U
2
= ω Wcmax. ( 2.24 )
2.4.4. Òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé, ïîëíàÿ ìîùíîñòü
 ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ.2.6, ýëåìåíòû R, L è C
ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî
íàïðÿæåíèÿ. Òîê â ýòîé öåïè èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó.
Óðàâíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ öåïè äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé
íàïðÿæåíèé èìååò âèä:
U = U
R
+ U
L
+ U
c
= R I
m
sin(ωt ) + ω L I
m
sin(ωt + π/2) + (1/ωC)
I
m
sin(ωt - π/2).
Óðàâíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî òàê æå, êàê
ñóììà âåêòîðîâ íàïðÿæåíèé, ò.å. âåêòîð íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå öåïè ðàâåí
ñóììå âåêòîðîâ íàïðÿæåíèé íà ýëåìåíòàõ R, L è C:
.UUUU
CLR
rrrr
++=
40
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
Ðèñ.2.6
Ðèñ.2.7
Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ,
çàïèñàííûå äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé è â âèäå âåêòîðîâ, âèäíî, ÷òî
íàïðÿæåíèå U
R
íà ýëåìåíòå R ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ òîêîì, íàïðÿæåíèå U
L
íà
ýëåìåíòå L îïåðåæàåò òîê íà óãîë π/2, íàïðÿæåíèå U
c
íà ýëåìåíòå C îòñòàåò
îò òîêà íà óãîë π/2. Óðàâíåíèå â âèäå ñóììû âåêòîðîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ãåîìåòðè÷åñêóþ ñóììó âåêòîðîâ íà âåêòîðíîé äèàãðàììå. Ïîñòðîåíèå
âåêòîðíîé äèàãðàììû íà÷èíàþò ñ âåêòîðà òîêà
I
r
, ò.ê. ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì
ñîåäèíåíèè R, L è C îí ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ â öåïè (ðèñ.2.7).
Íàïðàâèì âåêòîð òîêà ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè (ðèñ.2.7). Âåêòîðû íàïðÿæåíèé
íà ó÷àñòêàõ ñòðîÿòñÿ íà óñëîâèÿõ îáõîäà êîíòóðà ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ òîêà.
Âåêòîðà íàïðÿæåíèé íàïðàâëÿþòñÿ â ñòîðîíó âîçðàñòàþùåãî ïîòåíöèàëà.
Ïîòåíöèàë òî÷êè Î ïðèðàâíèâàåòñÿ ê íóëþ, âåêòîð
R
U
r
ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì
òîêà è íàïðàâëåí îò òî÷êè Î ê òî÷êå ñ. Íàïðÿæåíèå íà ýëåìåíòå L îïåðåæàåò
Î