Электротехника и электроника

Подождите немного. Документ загружается.

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

Êîãäà R

âò

ñîèçìåðèìî èëè ìåíüøå R

íàãðóçêè

, èñïîëüçóþò ñõåìó ñ ÝÄÑ, â

ñëó÷àå R

âò

íàãðóçêè

 ñõåìó ñ èñòî÷íèêîì òîêà.

1.2. Îñíîâíûå çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

1.2.1. Îáîáùåííûé çàêîí Îìà

Ïðîñòåéøàÿ ôîðìà ìàòåìàòè÷åñêîé çàïèñè çàêîíà Îìà èìååò âèä:

U = R ⋅ I èëè I = U / R.

Â ñõåìàõ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ áîëåå ñëîæíûå ñîåäèíåíèÿ, êîãäà â âåòâè

îêàçûâàþòñÿ âêëþ÷åííûìè íå òîëüêî ïàññèâíûå ýëåìåíòû, íî îäíà èëè

íåñêîëüêî ÝÄÑ (ðèñ.1.9). Â ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó

íàïðÿæåíèåì íà çàæèìàõ âåòâè U è ñèëû òîêà â âåòâè I.

Ðèñ.1.9

Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêîé ñâÿçè âûáèðàþò óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîå

íàïðàâëåíèå òîêà. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè à è â äëÿ ñõåìû 1.9

îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

= ϕ

 ϕ

= R

I  E

+ R

I + E

+ R

I. (1.21)

Ñèëà òîêà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

I = (ϕ

 ϕ

+ E

 E

) / ( R

+ R

). (1.22)

Ôîðìóëà (1.22) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí Îìà äëÿ ó÷àñòêà ñõåìû èëè

îáîáùåííûé çàêîí Îìà.

Åñëè â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà ïî ôîðìóëå (1.22) òîê ïîëó÷àåòñÿ

îòðèöàòåëüíûì, òî äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà íå ñîâïàäàåò ñ

âûáðàííûì óñëîâíî ïîëîæèòåëüíûì.

1.2.2. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà

Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ïðèìåíèì ê óçëàì ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì è âûòåêàåò

èç ïðèíöèïà íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Îí ôîðìóëèðóåòñÿ

ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìå äëÿ êàæäîãî åå óçëà è â ëþáîé

ìîìåíò àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ âñåõ âåòâåé, ïîäñîåäèíåííûõ ê óçëó,

ðàâíà íóëþ:

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

∑

0(t)I

(1.23)

Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà â òåîðèè öåïåé

ïðèíÿòî òîêàì, íàïðàâëåííûì îò óçëà, ïðèïèñûâàòü çíàê +, à òîêàì,

íàïðàâëåííûì ê óçëó,  çíàê -.

Äëÿ óçëîâ À è Á (ðèñ.1.10), ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, ìîæíî

çàïèñàòü:

+ I

 I

= 0;

+ I

 I

= 0.

Ðèñ.1.10

Åñëè íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â âåòâÿõ íå èçâåñòíû, òî ïðè ñîñòàâëåíèè

óðàâíåíèé ïî çàêîíó Êèðãîôà èõ íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî âûáðàòü

ïðîèçâîëüíî è îáîçíà÷èòü íà ñõåìå ñòðåëêàìè.

Åñëè â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà öåïè êàêèå-ëèáî òîêè áóäóò âûðàæåíû

îòðèöàòåëüíûìè ÷èñëàìè, òî äåéñòâèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ýòèõ òîêîâ îáðàòíû

âûáðàííûì ïîëîæèòåëüíûì.

1.2.3. Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà

Âòîðîé çàêîí Êèðãîôà ïðèìåíèì ê êîíòóðàì ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì è

âûòåêàåò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Âòîðîé çàêîí Êèðãîôà ãëàñèò: â

çàìêíóòîì êîíòóðå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÝÄÑ ðàâíà

àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ ó÷àñòêàõ êîíòóðà:

∑∑

(1.24)

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

Ðàññìîòðèì êîíòóð, ïðèâåäåííûé íà ðèñ.1.11.

Ðèñ.1.11

Íà ó÷àñòêå öåïè ìåæäó òî÷êàìè À è Á ïîòåíöèàë óìåíüøàåòñÿ íà ïàäåíèå

íàïðÿæåíèÿ r

, ò.ê. íàïðàâëåíèå îáõîäà, ïðîèçâîëüíî âûáðàííîå ïî ÷àñîâîé

ñòðåëêå, ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà. Íà ýòîì ó÷àñòêå ÀÁ ïîòåíöèàë

óìåíüøàåòñÿ íà çíà÷åíèå ÝÄÑ Å

, ò.ê. ïðè îáõîäå êîíòóðà èäåì íàâñòðå÷ó

ÝÄÑ. Îòñþäà ñëåäóåò:

= ϕ

 r

 E

Ïðè îáõîäå êîíòóðà îò òî÷êè Á ê òî÷êå Â ïîòåíöèàë óâåëè÷èâàåòñÿ íà

ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ r

, ò.ê. íàïðàâëåíèå îáõîäà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ

òîêà I

. Íà ýòîì ó÷àñòêå ïîòåíöèàë ïîâûøàåòñÿ íà çíà÷åíèå ÝÄÑ Å

= ϕ

+ r

+ E

= ϕ

 r

 E

+ r

+ E

Îáîéäÿ âåñü êîíòóð è âåðíóâøèñü â òî÷êó À, ïîëó÷èì ïîòåíöèàë ϕ

= ϕ

 r

 E

+ r

+ E

+ r

 E

+ r

èëè

-E

+ E

 E

= r

 r

1.2.4. Áàëàíñ ìîùíîñòåé

Ïðè ïðîõîæäåíèè òîêîâ ÷åðåç ðåçèñòîðû â ïîñëåäíèõ âûäåëÿåòñÿ

òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ. Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ëþáîé çàìêíóòîé

öåïè äîëæåí ñîáëþäàòüñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé áàëàíñ, ò.å. êîëè÷åñòâî òåïëà,

âûäåëÿþùåãîñÿ çà åäèíèöó âðåìåíè â ðåçèñòîðàõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, äîëæíî

ðàâíÿòüñÿ ýíåðãèè, ïîñòóïàþùåé â ýòó öåïü îò èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè. Ïðè

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

ñîñòàâëåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî áàëàíñà â ðåçèñòèâíûõ ñõåìàõ ñëåäóåò

ó÷èòûâàòü, ÷òî ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà ëþáîì ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå,

âñåãäà ïîëîæèòåëüíà è ðàâíà RI

, òîãäà êàê çíàê ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè

çàâèñèò îò ðåæèìà èõ ðàáîòû. Åñëè èñòî÷íèê îòäàåò ýíåðãèþ, òî Ð

èñò

> 0, åñëè

ïîòðåáëÿåò, òî Ð

èñò

< 0. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíàêîâ ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè

íåîáõîäèìî çíàòü íàïðàâëåíèå íàïðÿæåíèé íà çàæèìàõ èñòî÷íèêîâ è

íàïðàâëåíèÿ ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç èñòî÷íèêè òîêîâ. Åñëè íàïðàâëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ

è òîêà ïðîòèâîïîëîæíû, èñòî÷íèê îòäàåò ìîùíîñòü ( Ð

èñò

> 0 ), åñëè íàïðàâëåíèÿ

íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñîâïàäàþò, èñòî÷íèê ïîòðåáëÿåò ìîùíîñòü ( Ð

èñò

< 0 ).

Îáùèé âèä óðàâíåíèÿ áàëàíñà ìîùíîñòåé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

∑∑∑

===

kjk

JUIEIR

(1.25)

ãäå J

- ñèëà òîêà èñòî÷íèêà òîêà, ðàâíàÿ ñèëå òîêà, ïðîõîäÿùåãî ïî

çàêîðî÷åííîé öåïè.

1.3. Ìåòîäû àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

1.3.1. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé

Àíàëèç ëþáîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íà÷èíàåòñÿ ñ ïîñòðîåíèÿ åå ìîäåëè,

êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ñõåìîé çàìåùåíèÿ.

Â ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ ðàçëè÷àþò ñëåäóþùèå ïðîñòåéøèå ñîåäèíåíèÿ

ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ: ïîñëåäîâàòåëüíîå, ïàðàëëåëüíîå, ñîåäèíåíèå â âèäå

òðåóãîëüíèêà è â âèäå òðåõëó÷åâîé çâåçäû. Ïðåæäå ÷åì íà÷èíàòü àíàëèç ñõåìû,

æåëàòåëüíî ïðîâîäèòü ïðåäâàðèòåëüíûå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ

ñõåìû. Ñóòü òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîñòîèò â çàìåíå íåêîòîðîé ÷àñòè ñõåìû

äðóãîé, ýêâèâàëåíòíîé åé â ýëåêòðè÷åñêîì îòíîøåíèè, íî ñ áîëåå óäîáíîé

äëÿ ðàñ÷åòà ñòðóêòóðîé. ×àùå äðóãèõ èñïîëüçóþò äâà âèäà òàêèõ

ïðåîáðàçîâàíèé: çàìåíó ïîñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ

ýëåìåíòîâ îäíèì ýêâèâàëåíòíûì; ïðåîáðàçîâàíèå òðåõëó÷åâîé çâåçäû â

òðåóãîëüíèê è îáðàòíî.

Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ

ðàâíî àðèôìåòè÷åñêîé ñóììå èõ ñîïðîòèâëåíèé:

∑

kýê

(1.26)

Ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòèâíûõ

ýëåìåíòîâ ðàâíà àðèôìåòè÷åñêîé ñóììå èõ ïðîâîäèìîñòåé:

∑

kýê

(1.27)

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè òðåóãîëüíèêà (ðèñ.1.12) â çâåçäó (ðèñ.1.13) ïðè

çàäàííûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà R

ÀÁ

, R

ÁÂ

, R

ÂÀ

îïðåäåëÿþòñÿ

ýêâèâàëåíòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ëó÷åé çâåçäû R

, R

Ðèñ. 1.13

Ðèñ. 1.12

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

Ýêâèâàëåíòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ëó÷åé çâåçäû ðàâíû:

= ( R

ÀÁ

ÂÀ

) / ( R

ÀÁ

+ R

ÁÂ

+ R

ÂÀ

);

= ( R

ÁÂ

ÀÁ

) / ( R

ÀÁ

+ R

ÁÂ

+ R

ÂÀ

); (1.28)

= ( R

ÂÀ

ÁÂ

) / ( R

ÀÁ

+ R

ÁÂ

+ R

ÂÀ

Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè çâåçäû â ýêâèâàëåíòíûé òðåóãîëüíèê ïðè çàäàííûõ

, R

ýêâèâàëåíòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ÀÁ

= R

+ R

/ R

;

ÁÂ

= R

+ R

/ R

; (1.29)

ÂÀ

= R

+ R

/ R

1.3.2. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ ðàñ÷åò ñëîæíîé ñèñòåìû

ðàçáèâàþò íà äâà ýòàïà:

ïåðâûé ýòàï  ââîäÿòñÿ è îïðåäåëÿþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå âåëè÷èíû 

êîíòóðíûå òîêè, ÷èñëî êîòîðûõ ìåíüøå îáùåãî ÷èñëà òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ

èëè íàïðÿæåíèé íà çàæèìàõ âñåõ âåòâåé;

âòîðîé ýòàï  ïóòåì àëãåáðàè÷åñêîãî ñóììèðîâàíèÿ íàõîäÿò èñêîìûå

òîêè ðàññ÷èòûâàåìîé ñõåìû.

Íà ðèñ.1.14 âûáðàíû ýëåìåíòàðíûå êîíòóðû, è äëÿ êàæäîãî èç íèõ

ïðîèçâîëüíî âûáðàíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà, çàìûêàþùåãîñÿ â ýòîì

êîíòóðå,  êîíòóðíîãî òîêà.

Ðèñ.1.14

Äëÿ êàæäîãî êîíòóðà ñîñòàâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó

Êèðõãîôà, íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà ïðèíèìàåòñÿ ñîâïàäàþùèì ñ

íàïðàâëåíèåì êîíòóðíîãî òîêà. Êîíòóðû îáîçíà÷àþòñÿ ðèìñêèìè öèôðàìè,

êàæäûé êîíòóðíûé òîê îòìå÷àåòñÿ èíäåêñîì, ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîåìó êîíòóðó.

Êàê ñëåäóåò èç ðèñ.1.14, ìåæäó êîíòóðíûìè òîêàìè è òîêàìè âåòâåé èìåþòñÿ

ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

= I

;

= I

 I

;

= I

; (1.30)

= I

+ I

III

;

= I

III

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

Àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ÝÄÑ â êîíòóðå íàçûâàþò êîíòóðíîé ÝÄÑ. Ñî çíàêîì

+ çàïèñûâàåòñÿ ÝÄÑ, äåéñòâóþùàÿ â íàïðàâëåíèè, ñîâïàäàþùèì ñ

íàïðàâëåíèåì êîíòóðíîãî òîêà.

Óðàâíåíèÿ, ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà, ïðè îáõîäå êàæäîãî

êîíòóðà ïî íàïðàâëåíèþ åãî êîíòóðíîãî òîêà ïðèíèìàþò âèä:

+ R

= E

;

- R

+ R

= 0;

+ R

= E

Ó÷èòûâàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.30), ïîëó÷èì:

( R

+ R

) I

 R

= E

;

( R

+ R

) I

 R

+ R

III

= 0; (1.31)

( R

+ R

) I

III

+ R

= E

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.31) íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé êîíòóðíûõ óðàâíåíèé.

1.3.3. Ìåòîä íàëîæåíèÿ

Ìåòîä íàëîæåíèÿ, âûòåêàþùèé èç ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ (ñóïåðïîçèöèè)

èëè íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ñèë â ëèíåéíîé ñèñòåìå, ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ

îïðåäåëåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè, â êîòîðîé

îäíîâðåìåííî äåéñòâóåò íåñêîëüêî ÝÄÑ.

Ñóùíîñòü ïðèíöèïà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òîê â âåòâè öåïè ñ

ñîïðîòèâëåíèÿìè, êîòîðûå íå çàâèñÿò îò òîêîâ è íàïðÿæåíèé, ðàâåí

àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÷àñòè÷íûõ òîêîâ, ñîçäàâàåìûõ â ýòîé âåòâè âñåìè

ïîî÷åðåäíî äåéñòâóþùèìè ÝÄÑ. Ïðîâîäÿ ðàñ÷åò ñ ïðèìåíåíèåì ïðèíöèïà

íàëîæåíèÿ (ñóïåðïîçèöèè), âíà÷àëå ïîëàãàþò, ÷òî â öåïè äåéñòâóåò òîëüêî

ïåðâàÿ ÝÄÑ Å

. Âñå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè, âêëþ÷àÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ

èñòî÷íèêîâ, ÝÄÑ êîòîðûõ ïðèðàâíèâàþòñÿ íóëþ, îñòàþòñÿ íåèçâåñòíûìè. Äëÿ

òàêîé öåïè íàõîäÿò ÷àñòè÷íûå òîêè âî âñåõ âåòâÿõ. Çàòåì ðàñ÷åò ïîâòîðÿåòñÿ,

ïðè ýòîì ïîëàãàþò, ÷òî äåéñòâóåò òîëüêî âòîðàÿ ÝÄÑ Å

. Àíàëîãè÷íî ðàñ÷åòû

ïðîèçâîäÿòñÿ ïîî÷åðåäíî äëÿ âñåõ èñòî÷íèêîâ.

Äëÿ êàæäîé âåòâè ïîëó÷àåòñÿ ñòîëüêî ÷àñòè÷íûõ òîêîâ, ñêîëüêî

èñòî÷íèêîâ ñîäåðæèò öåïü. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ýòèõ ÷àñòè÷íûõ òîêîâ ðàâíà

òîêó I â âåòâè ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè âñåõ èñòî÷íèêîâ:

I = I

+ I

III

+ … I

, (1.32)

ãäå I

, I

, … I

- ÷àñòè÷íûå òîêè.

1.3.4. Ìåòîä äâóõ óçëîâ

Åñëè ðàçâåòâëåííàÿ öåïü èìååò òîëüêî äâà óçëà, èëè ïóòåì

ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äâóì óçëàì, òî àíàëèç òàêèõ öåïåé

âåäåòñÿ ìåòîäîì äâóõ óçëîâ, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì óçëîâîãî

íàïðÿæåíèÿ.

Ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, êàê è ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ, òðåáóåò

ñîâìåñòíîãî ðåøåíèÿ ìåíüøåãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé ïî ñðàâíåíèþ

ñ ìåòîäîì óçëîâûõ è êîíòóðíûõ óðàâíåíèé. Îí îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè ïåðâîãî

çàêîíà Êèðõãîôà. Äëÿ ðàñ÷åòà òîêîâ ìåòîäîì óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ ïðèìåíÿåòñÿ

îáîáùåííûé çàêîí Îìà.

Ðàññìîòðèì ìåòîä äâóõ óçëîâ íà ïðèìåðå ñõåìû, ïðèâåäåííîé íà

ðèñ.1.15.

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

Ðèñ.1.15

Ñóììà òîêîâ â âåòâÿõ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå 2:

+ I

= I

Ïîòåíöèàë îäíîé èç òî÷åê öåïè ïðèíèìàåì ðàâíûì íóëþ. Äëÿ ñõåìû,

ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ.1.15, ïðèìåì U

= 0. Íàõîäèì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ

äëÿ ïåðâîé âåòâè: U

= E

 R

, îòêóäà:

= ( E

 U

) / R

= ( E

 U

) G

ãäå G

= 1 / R

 ïðîâîäèìîñòü ïåðâîé âåòâè.

Ïî àíàëîãèè íàõîäÿò âûðàæåíèÿ äëÿ òîêîâ â äðóãèõ âåòâÿõ.

Òîê I

= U

; I

= ( E

 U

) G

;

ò.ê. I

+ I

 I

= 0, ïîëó÷èì ( E

 U

) G

+ ( E

 U

) G

 U

= 0.

Ðåøàÿ óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî U

, ïîëó÷èì:

= ( E

+ E

) / ( G

+ G

Ïîäñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå U

â âûðàæåíèå äëÿ òîêîâ, îïðåäåëÿþò òîêè â

âåòâÿõ.

Åñëè ìåæäó óçëàìè âêëþ÷åíî n âåòâåé, â òîì ÷èñëå m àêòèâíûõ

(ñîäåðæàùèõ ÝÄÑ), òî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:

∑

(1.33)

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

2. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÒÎÊÀ

2.1. Ïðåäñòàâëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí

2.1.1. Ïåðåìåííûé òîê

Ïåðåìåííûì íàçûâàåòñÿ òîê, çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå êîòîðîãî

èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè.

Åñëè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òîê ðàâåí i (t) , òî ÷åðåç èíòåðâàë,

ðàâíûé îò îäíîãî äî ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà ïåðèîäîâ, òîê èìååò òàêîå æå

çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå, òàê ÷òî óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ìîæíî çàïèñàòü

ñëåäóþùèì îáðàçîì: i ( t )=i ( t + k T ), ãäå k  öåëîå ÷èñëî.

Îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî ïåðåìåííîãî òîêà çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíîñòè

ïðîñòî è ñ ìàëûìè ïîòåðÿìè ýíåðãèè ïðåîáðàçîâàòü íàïðÿæåíèå, ïîëó÷àÿ

âûñîêîå íàïðÿæåíèå äëÿ ïåðåäà÷è ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè íà áîëüøîå

ðàññòîÿíèå è ïîëó÷àÿ íèçêîå íàïðÿæåíèå äëÿ ïåðåäà÷è íà áëèçêîå ðàññòîÿíèå

è äëÿ ïèòàíèÿ ïðèåìíèêîâ ýíåðãèè. Ãåíåðàòîðû è äâèãàòåëè èìåþò áîëåå

ïðîñòîå óñòðîéñòâî, áîëåå íàäåæíîå â ðàáîòå ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàøèíàìè

ïîñòîÿííîãî òîêà.

2.1.2. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà, íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ

Çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà, íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ è äðóãèõ èçìåíÿþùèõñÿ

âåëè÷èí â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííûì çíà÷åíèåì.

Ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêà, íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ, çàðÿäà îáîçíà÷àþòñÿ

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

i = i ( t ) ; u = u ( t ) ; e = e ( t ) ; q = q ( t ).

2.1.3. Ñèíóñîèäàëüíûé òîê (íàïðÿæåíèå, ÝÄÑ)

Â ãåíåðàòîðàõ ïåðåìåííîãî òîêà ïîëó÷àþò ñèíóñîèäàëüíûé òîê, ïðè

ýòîì ñèíóñîèäàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèå íà âûâîäàõ êîíäåíñàòîðîâ,

ðåçèñòîðîâ, ýëåêòðîäâèãàòåëåé è ò.ä. Èçìåíåíèå òîêà ïî ñèíóñîèäàëüíîìó

çàêîíó ïðîèñõîäèò ïëàâíî, áåç ñêà÷êîâ è ðåçêèõ ïåðåïàäîâ, ÷òî áëàãîïðèÿòíî

ñêàçûâàåòñÿ íà ðàáîòå ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí. Ñèíóñîèäàëüíûé òîê ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â âèäå:

i = I

⋅

sin(2

t / T) = Im

⋅

sin(2

ft),

èëè i = I

⋅ sin(ωt); (2.1)

u = U

⋅ sin(ωt); (2.2)

e = E

⋅ sin(ωt), (2.3)

ãäå ω = 2πf.

Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ( t = 0 ) òîê i ≠ 0; u ≠ 0; e ≠ 0 , òî óãëû,

îïðåäåëÿþùèå òîê, íàïðÿæåíèå è ÝÄÑ ïðè t = 0, íàçûâàþùèåñÿ íà÷àëüíûìè

ôàçíûìè óãëàìè (íà÷àëüíûìè ôàçàìè), îáîçíà÷àþòñÿ ψ

 íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà;

 íàïðÿæåíèÿ; ϕ

- ÝÄÑ.

Òîãäà ôîðìóëû (2.1)  (2.3) çàïèøóòñÿ â âèäå:

i = I

sin(ωt + ψ

);

u = U

sin(ωt + ψ

);

e = E

sin(ωt + ϕ

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò

2.1.4. Ïåðèîä

Íàèìåíüøèé èíòåðâàë âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ

ïåðåìåííîãî òîêà ïðèíèìàþò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì

Ò. Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ïåðèîäó, íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ïåðåìåííîãî òîêà è

îáîçíà÷àåòñÿ f. Åñëè âðåìÿ ïåðèîäà Ò âûðàçèòü â ñåêóíäàõ, òî f = 1 / Ò, ò.å.

÷àñòîòà ïåðåìåííîãî òîêà ÷èñëåííî ðàâíà ÷èñëó ïåðèîäîâ â ñåêóíäó è

âûðàæàåòñÿ â ãåðöàõ ( Ãö ).

Ñòàíäàðòíàÿ ÷àñòîòà íàïðÿæåíèÿ â ýíåðãåòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ Ðîññèè

f = 50 Ãö. Âåëè÷èíó ω = 2π / Ò = 2πf íàçûâàþò óñëîâíîé ÷àñòîòîé. Îíà

èçìåðÿåòñÿ â ðàä/ñåê (ðàäèàí â ñåêóíäó).

2.2. Ìàêñèìàëüíîå, ñðåäíåå è äåéñòâóþùåå çíà÷åíèÿ

ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé, ÝÄÑ

2.2.1. Àìïëèòóäà ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà (íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ)

Íàèáîëüøèå èç ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèõñÿ

âåëè÷èí íàçûâàþòñÿ ìàêñèìàëüíûìè, à ïðè ñèíóñîèäàëüíîì èçìåíåíèè 

àìïëèòóäíûìè çíà÷åíèÿìè èëè àìïëèòóäàìè. Îíè îáîçíà÷àþòñÿ: àìïëèòóäà

òîêà  Im, àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ  Um, àìïëèòóäà ÝÄÑ  Em.

2.2.2. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà

(íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ)

Ïðè ðàñ÷åòå öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà ÷àùå âñåãî ïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèåì

äåéñòâóþùèõ èëè ýôôåêòèâíûõ çíà÷åíèé òîêà, íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ.

Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà ðàâíî çíà÷åíèþ òàêîãî

ýêâèâàëåíòíîãî ïîñòîÿííîãî òîêà, êîòîðûé, ïðîõîäÿ ïî öåïè ñ òåì æå

ñîïðîòèâëåíèåì, ÷òî è ïåðåìåííûé òîê, âûäåëÿåò çà ïåðèîä òî æå êîëè÷åñòâî

òåïëà. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî òîêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå çíà÷åíèå òîêà çà ïåðèîä.

Äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå

)tsinI(I

ω=

Ò.ê. ñðåäíåå çíà÷åíèå çà ïåðèîä sin

ωt = (1- cos 2ωt) / 2 = 1 / 2,

ïîëó÷èì:

I = I

. ( 2.4 )

Ïî àíàëîãèè äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ

ðàâíû:

U = U

; ( 2.5 )

Å = Å

. ( 2.6 )

2.2.3. Ñðåäíåå çíà÷åíèå òîêà (íàïðÿæåíèÿ, ÝÄÑ)

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà I

ñð

âû÷èñëÿþò çà ïîëóïåðèîä, â

òå÷åíèå êîòîðîãî òîê îñòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, ò.å. íàïðàâëåíèå òîêà íå

èçìåíÿåòñÿ. Îíî ðàâíî òàêîìó ïîñòîÿííîìó òîêó, ïðè êîòîðîì â òå÷åíèå