Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Ассоциация дипломированных а^иторов

545

(ii) коэффициент детерминации (3 балла)

(iii) остаточное стандартное отклонение (3 балла)

б) Используя линованную бумагу, пострюйте по исходным данным диаграмму

рассеяния и нанесите на нее линию регрессии, построенную с помощью

метода наименьших квадратов (4 балла)

в) Pacc4HTaifrre доверительный интервал для количества заявок на недельные

ссуды при 95%-ном уровне значимости, если ставка процента по закладным

равна 14%. (6 балпп»}

(20 баллов)

6. Отдел рыночных исследований планирует провести выборючное обследование в

форме анкеты. В нижеследующей таблице представлены задачи, которые необ-

ходимо выполнить, непосредственно им предшествующие задачи, а для продол-

жительности выполнения каждой задачи, наиболее вероятная, оптимистическая

и пессимистическая оценки.

Наименование задачи

A. Разработка анкеты

План выборочного обследования

C. Предварительный сбор информации

D Найм интервьюеров

E. Обучение интервьюеров

Распределение интервьюеров

G. Проведение интервью

Н. Ввод данных в компьютер

I. Заключительное собр>ание интервьюеров

J. Анализ данных

К. Письменный отчет

Предшест

аующие

задачи

D,A

C.E.F

Продолжительность, дни

наиболее

вероятная

(т)

оптимис-

тическая

(а)

пессимис-

тическая

(Ь)

Используя метод ПЕРТ, средний срок ц и стандартное отклонение ст для

продолжительности вьшолнения каждой задачи оцениваются на основе наиболее веро-

ятной (т),оптимистической (а) и пессимистической (в) оценок с помощью формул:

Т'

(

4т

-н

а -f Ь),

б(Ь-а).

Требуется:

а) Найти среднюю продолжительность и стандартное отклонение для каж-

дой задачи; (4 балла)

б) Построить сетевой граф данного обследования и найти критический путь

в графе, опираясь на показатели средних сроков; (8 баллов)

546

Ассоциация дипломированных аудиторов

в) Определить среднее значение и стандартное отклонение продолжитель-

ности критического пути; (4 балла)

г) Какова вероятность того, что длина критического пути превысит 50 дней?

Обоснуйте все предпосылки, которые вы вводите. (4 балла)

(20 баллов)

На большинстве заводов корпорации "Hoopoint", занимающейся производством

кухонного оборудования, вводится новая структура заработной платы. Данные

о выработке за 1 чел-ч. были получены по 8 случайно отобранным заводам до

введения новой структуры заработной платы и сразу же после него по другим

8 заводам (в целом данные по 16 заводам).

Выработка за

Старая структура

заработной платы

/ чел.-ч.

Новая структура

заработной платы

Требуется:

а) Рассчитать доверительный интервал для общей средней выработки за

1 чел.-ч. при 95%-ном уровне значимости в условиях новой структуры

заработной платы. Какие предположения вы делаете при вычислении

границ этого интервала? (6 баллов)

б) Предполагается, что изменение в структуре заработной платы фактически

не привело к изменению выработки за

чел.-ч. в целом.

i) Поясните, почему попарный t-критерий не является подходящим

инструментом при проверке данного положения (2 балла)

Ю Проверьте данную гипотезу, используя более подходящий t-критерий,

и зафиксируйте ваши выводы. Зафиксируйте также все предпосылки,

которые вы сделали; (W баллов)

iii) Объясните, почему для таких данных желательно использовать тест,

не предполагающий какого-либо конкретного распределения элемен-

тов совокупности. (2 балла)

(20 баллов)

547

НОВЫЕ ФОРМУЛЫ И ВЫДЕРЖКИ ИЗ ТАБЛИЦ

А. Выборочные статистики:

(i) Арифметическое среднее

—

V~S^EI§!

•NTS^IIX}'^'^"

(ii) Стандартное отклонение

п -

п - 1

В.

Распределение вероятностей:

(i) Биномиальное Р (г) = "С, p4l - р)""'

(ii) Распределение Пуассона Р(г) =

С.

Стандартные ошибки:

(i) Среднего -г=

е ш

г!

(ii) Доли V^HIS

Критерии проверки гипотез:

(i) Z = ^- (одна выборка),

о/\ п

где о известно;

(ii) t = ~—р- (одна выборка),

о /у п

. д/1(х-х)^

где о = \ — ;

п - 1

(

Х2

) - (ц, -

И2)

t = • , • (две выборки),

ON — + —

П, П2

„ ^ (п, - 1) й^ +

(П2

- 1) ai

где о = \ ;

(п,

П2

- 2)

548 Новые формулы и выдержки из таблиц

(ш) X =2- ]Е •

Е.Корреляция и регрессия

(i) Смешанный момент корреляции

~ V [ п 2:х' -

(Sx)^]

[ п ly^ -

(ХУ)']

(ii) Ранговый коэффициент корреляции Спирмена

6Ed2

R= 1

п(п2 - 1)"

(iii) Линия регрессии по методу наименьших квадратов

у = а + Ьх,

^.. п^ху-^х^у

пХх^-(Хх)^ •

1У

Ь^Х

а = ;

п п

(iv) Для конкретного значениях стандартное отклонение отдельного наблюдения

'• лГ, i (х-30^

., 1(У-У)^

где о " г—.

п - 2

F. Контроль статистических процессов (для неизвестных параметров

генеральной совокупности)

(i) Средние

Контрольные границы X ± А R

где X — среднее значение внутригрупповых средних,

R — среднее значение внутригрупповых размахов;

(ii) Размахи

Нижняя контрольная граница В R

Верхняя контрольная граница С R,

где А,В.С приведены в таблице.

(Ш) Доли

Новые формулы

и выдержки из таблиц

549

Контрольные границы р ± 3 V ^-^ ^,

где р

—

общая доля изделий, имеющих дефекты.

G. Сетевой анализ: метод ПЕРТ

Ожидаемый срок выполнения операщ1и ^ (а

4т

ч-

Ь)

с дисперсией :^ (Ь - а) .

Н. Управление запасами

EOQ = V^.

Студентам разрешается при ответах на вопросы использовать таблицы нор-

мального распределения, t - распределения и распределения

Факторы для построения контрольных карт

о' для средних и размахов

Число

наблюдений

в подгруппах, п

1,88

1,02

0,73

0,58

0,48

0,42

0,37

0,34

0,31

0,29

0,27

0,25

0,24

0.22

0,21

0,20

0,19

0,18

0,08

0,14

0,18

0,22

0,26

0,28

0,31

0,33

0,35

0,36

0,38

0,39

0,40

0,41

3,27

2,57

2,28

2,11

2,00

1,92

1,86

1,82

1,78

1,74

1,72

1,69

1,67

1,65

1,64

1,62

1.61

1,60

1,59

550

ОТВЕТЫ АВТОРОВ МОДЕЛЕЙ

НА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

ПО ТЕМЕ

"КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

(декабрь 1990, АССА)

Две причины, почему нормальное распределение является важным элементом

статистического анализа:

(i) Нормальное распределение очень часто прис)ггствует в естественных

и производственных процессах. Например, вес чая, который сортируется

по пачкам с помощью загрузочного станка, должен иметь нормальное

распределение. Большинство статистических тестов было разработано в

предположении,

4TQ

исходные данные подчиняются нормальному закону

распределения.

(ii) Если несколько выборок определенного размера случайньщ образом

сделаны из нормальной генеральной совокупности, выборючное распреде-

ление выборочных средних также будет нормальным, причем его среднее зна-

чение будет совпадать со средним значением генеральной совокупности.

Более того, если генеральная совокупность не подчиняется нормальному

закону [)аспределения, то выборочное распр)еделение выборочных средних

приближается к нормальному (см. центральную предельную теорему). Это

позволяет использовать выборочное среднее для оценки генерального среднего,

а) Показатель нагрузки на р)ессоры SX-1 имеет нормальное распределение

со средним значением 2,5 кг и стандартным отклонением 0,2 кг. Требуемое

допустимое отклонение для нового вида рессор составляет от 2,7 кг до 3,1 кг.

а -

0,2

кг

•

Нагрузка,

кг.

Ответы авторов моделей

на экзаменационные

вопросы

Для рессор SX-1 2,7 кг составляет z стандартных отклонений от среднего

значения, равного 2,5 кг, где

а ^,о

Из таблиц для стандартного нормального распределения находим, что

Р (z> 1,0) = 0,15866.

Аналогично 3,1 кг равны 3,0 стандартным отклонениям от среднего. Из

таблицы для стандартного нормального распределения Р (z > 3,0) = 0,00135.

Следовательно, (0,15866 - 0,00135) = 0,15731, или

15,731%

рессор SX-1 удовле-

творяет требуемому интервалу.

б) Число рессор SX-1, которое необходимо прюверить, чтобы получить 800

рессор с требуемыми параметрами.

Пусть необходимо проверить X рессор. Тогда из п. а) следует, что число

рессор, параметры которых удовлетворяют спецификации, будет равно:

0,15731 = 800,

т.е.

X = 5085,5 рессор.

Следовательно, для чюлучения 800 рессор, удовлетворяющих допустимому

отклонению, необходимо провести проверку и замеры 5086 рессор. Ожидаемая

стоимость такой проверки составит: 0,20 х 5086 = 1017,20 ф. ст.

в) Общая стоимость получения 800 рессор, удовлетворяющих допустимому

отклонению:

(i) из рессор SX-1:

стоимость проверки — 1017,20 ф. ст.,

издержки производства

—

3,50 х 800 = 2800 ф. ст.,

общая стоимость

—

3817,20 ф. ст. за 800 рессор,

(ii) издержки производства особой партии рессор:

5,20

800 = 4160 ф. ст.

Получить рессоры особого типа из существующего запаса рессор SX-1 по

сравнению с их производством как особой партии дешевле на 342,80 ф. ст.

г) Процентное изменение первоначальных издержек производства особой

партии рессор, необходимое для изменения решения, принятого в п. в);

Единичные издержки должны снизиться до 3817,20/800 = 4,77 ф. ст. за одну

рессору. По сравнению с 5,20 ф. ст. это означает снижение на 0,43 ф. ст., или на 8,27 %.

д) Издержки производства рессор SY-2 равны 4,25 ф. ст. за единицу, тогда

как рессор SX-1

—

5,20 ф. ст. за единицу. Тем не менее средняя нагрузка

рессор 8У-2 составляет 2,7 кг для неизвестного стандартного отклонения.

Для какого интервала значений стандартного отклонения было бы дешев-

ле выбирать рессоры, требуемые в заказе, из рессор типа 5У-2 или SX-1?

Общая стоимость получения требуемых рессор из рессор типа SY-2 должна

быть меньше, чем 3817,20 ф. ст. Стоимость рессор SY-2 - это общая стоимость =

= издержки производства

стоимость проверки = 4,25 ф. ст. х 800

-•-

0,20 ф. ст. х 800 /

/ (доля рессор SY-2, удовлетворяющих спецификации) = 3400 +160/(доля рессор

SY-2,

удовлетворяющих спецификации).

552

Ответы авторов моделей на экзаменационные

вопросы

Следовательно, 3400 + 160/(доля SY-2, удовлетворяющих спецификации)

< 3817,20, т.е. (доля SY-2, удовлетворяющих спецификации) > 160/417,20 = 0,3835.

Таким образом, менее чем (0,5 - 0,3835) =

0,1165

элементов распределения

должны превышать значение 3,1 кг, являющееся верхним пределом допустимого

отклонения в соответствии со спецификацией.

^ Нагрузка, кг

Так как 3,1 кг составляют z' стандартных отклонений от среднего, имеем:

P(z>z')= 0,1165.

Из таблиц для стандартного нормального распределения находим, что z'= 1,19

(округление до двух десятичных знаков).

Так как

г-=

^^^^^^.

то 1,19

2-^-^^.

о а

Следовательно,

0 = 0,4/1,19 =

0,336

кг.

Если стандартное отклонение для рессор типа SY-2 будет меньше, чем

0,336

кг,

то выбирать рессоры, требуемые в заказе, из данного типа рессор будет дешевле.

а) Ниже приводится дерево решений.

б) В предположении, что все доходы рассчитываются на конец года, определить

приведенный доход для каждой возможной комбинации действий и результа-

тов, используя коэффициент дисконтирования, равный

15%

годовых.

В соответствии с деревом решений необходимо сделать шесть вариантов расчетов

для конечных узлов F-K.

Узел

Исследова-

ние рынка

да

нет

Прогноз

хороший

плохой

Спрос

высокий

низкий

прежний

высокий

низкий

прежний

Ежегодный

доход.

тыс. ф. ст.

Общий приве-

денный доход

за пять лет

при 15%

годовых

136,16

58,15

50,58

102,64

41,39

50,58

Ответы

авторов

моделей на экзаменационные

вопросы

553

Необходимо найти ожидаемый приведенный доход для узла

дерева решений:

Е (А) = 0,6

(0,9

136,16 + 0,1

58,15) + 0,4 х 50,58 =97,25 тыс.ф. ст.

Стоимость проведения исследования рынка равна 10000 ф. ст., поэтому ожи-

даемая чистая приведенная стоимость исследования рынка составит 97,25 - 10 =

87,25 тыс.ф. ст.

г) Рекомендуемый план действий с использованием критерия максимизации

ожидаемого приведенного дохода состоит в том, чтобы предпринять ис-

следование рынка. Это позволит получить ожидаемый приведенный

доход, равный 87250 ф. ст. Если исследование рынка даст хорошие

прогнозные результаты, следует внедрить выпуск нового оборудования.

Если же оно даст плохие прогнозы, следует продолжить выпуск старой

продукции.

д) Предположим, что вероятность того, что исследование рынка приведет к

хорошим прогнозам, изменится с 0,6 до 0,5. Это приведет к изменению

ожидаемого приведенного дохода:

Е (А) = 0,5

(0,9

136,16 + 0,1

58,15) + 0,5 х 50,58 - 10=79,47 тыс.ф. ст.

Данное значение ниже, чем ожидаемый приведенный доход для узла D,

равный 84,26 тыс. ф. ст.

Такое изменение значения вероятности изменило бы и наши рекомендации.

Мы бы уже не рекомендовали проведение исследования рьшка, однако по-прежнему

придерживались бы программы выпуска нового осветительного оборудования.

Этот факт говорит о чувствительности решения к небольшим изменениям значения

вероятности прогноза.

а) Модель линейного программирования для производства компанией "Crown

Chemical" химикатов ростик, сеноупур и телтрейт. Рассчитаем доход от произ-

водства каждого вида продукта:

Единичный доход = Цена продажи

кг - Единичные переменные издержки.

В данном примере нам даны только затраты на сырье. Поскольку никакие

иные переменные издержки не указаны, мы предположим, что они одинаковы для

всех трех видов продукции и, следовательно, не влияют на любые решения,

принятые на основе критерия максимизации дохода.

Доход от производства 1 кг:

Ростик 35 - (0,4

15 + 0,3 х 16 + 0,3 х 20) = 18,20 ф.ст за 1кг.

Сеноупур: 32 - (0,4 х 15

^•

0,2 х 25 + 0,3 х 16 + 0,1 х 20) = 14,20 ф.ст за 1кг.

Телтрейт: 45 - (0,4 х 25 + 0,2 х \6 + 0,4 х 20) = 23,80 ф. ст. за 1 кг.

По условию задачи даны только две группы ограничений - на наличие сырья

и максимальный спрос на телтрейт.

Переменные модели:

Пусть R кг в день - объем производства и продажи химиката ростик,

S кг в день - объем производства и продажи химиката сеноупур,

Т кг в день - объем производства и продажи химиката телтрейт.

554

Ответы авторов моделей на экзаменационные

вопри^ы

Общий доход через пять п*т:

лриавд«ннов зночение

гхт

15% годо»ых (тыс. ф. ст.)

,ГР)

1Эв,1в

-10

Проведение , V_y.

исследования ,''

рынка ^'''

,,''(-10)

Хороший

прогноз ^

Плохой

прогноз

И'"

Выпуск

сторон продукции

^0 ©

Отсутствие '^'^.

исследовония

рынка

Выпуск ^'

старой

продукции

Выпуск

(50^) старой продукции

-0 0

56^15

a^se

10(^64

41,?9

HV»

В качестве примера расчета приведенного дохода используем потоки наличности,

соответствующие узлу F: "

Общий приведенный доход при

15%

годовых

30 50 60 40 20

•

+ г + J + 7 +

1.15 1,15^ 1,15^

1,15''

1,15^

Используя коэффициенты дисконтирования, данные в условии задачи, получим:

Общий приведенный доход = 30 х 8696

50 х

0,7561

0,6575

40 х

0,5718

+ 20 х

0,4972

136,16

тыс.ф-

ст

в) Рассчитайте ожидаемый приведенный доход, если компания:

(i) внедряет выпуск нового оборудования без проведения исследований

рынка:

Необходимо найти ожидаемый приведенный доход Е (D), соответствующий

узлу D дерева решений:

Е (D)= 0,7

102,64 + 0,3 х 41,39 = 84,265 тыс.ф.ст;

(ii) не внедряет выпуск нового оборудования:

В предположении, что в этом случае исследование рынка также не проводится.

Требуется найти ожидаемое приведенное значение дохода для узла Е:

Е (Е) = 50,58 тыс.ф. ст..

(iii) предпринимает исследование рынка: