Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

ГА.

14.

Имитационное моделирование

513

Таблица 14.16. Распределение интервалов случайных чисел

для интервалов приезда клиентов

IAT, мин

Вероятность

0,04

0,08

0,15

0,30

0,20

0,13

0,08

0,02

Кумулятивная

вероятность

0,04

0,12

0,27

0,57

0,77

0,90

0,98

1,00

Случайные

числа

00-3

04-11

12-26

27-56

57-76

77-89

90-97

98-99

Таблица 14.17. Распределение интервалов случайных чисел

для продолжительности обслуживания

Время^мин

Вероятность

0,05

Кумулятивная

вероятность

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0.35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

Случайные

числа

00-04

05-09

10-14

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

80-84

85-89

90-94

95-99

Процесс моделирования мы начнем с одной монтажной площадкой и макси-

мальной очередью, состоящей из трех автомобилей, установив моделируемый

счетчик времени на нулевой отметке. Первый клиент прибудет в момент времени:

+ первый IAT.

В процессе моделирования потока из 25 клиентов 10 из них уехали из-за

отсутствия места для стоянки. Этот факт приводит к потере прибыли, составившей

50 ф. ст. = 500 ф. ст. Среднее время ожидания окончания обслуживания до

того момента, когда получивший услугу клиент покинет мастерскую, составляет

50 мин.

514

Ч.

Моделирование

бизнесе

Таблица 14.18. Иннтациошиш модель сложившейся ситуации

по обслуживанию шшситов коипаяяей 'АМС Tyres"

Авто-

мобиль

Модель приб

ытия

клиентов

Слу-

чай-

ное

число

84 •

IAT,

мин

Время

начи-

ная с

0 мин

105

120

125

140

160

165

195

200

220

230

260

285

305 •

325

350

370

390

395

405

Размещение

автомобилей

Обслу-

жива-

ние

Пло-

щадка

Пло-

щадка

—

обслуживание.

парковка

Слу-

чай-

ное

число

Время,

мин Нача-

ло

Окон-

чание

95 40 15 55

23 25 55 80

10 23 80 103

76 36 103 139

30 27 139 166

F Не может встать в очередь

76 36 166 202

Н Не может встать в очередь

I Не может встать в очередь

28 26 202 228

К Не может встать в очередь

L Не может встать в очередь

75 36 228 264

N Не может встать в очередь

39 28 264 292

30 27 292 319

Q Не может встать в очередь

90 39 319 358

14 23 358 381

80 37 381 418

и Не может встать в очередь

52 31 418 449

91 39 449 488

X Не может встать в очередь

Y Не может встать в очередь

Ожи-

дание

обслу-

жива-

ния.

мин

Теперь построим имитационную модель для двух монтажных площадок и

одного места парковки. Воспользуемся указанными в табл. 14.18 моментами

времени прибьггия клиентов. Используемое распределение времени обслуживания

останется неизменным, однако, соответствующие случайные числа будут

иными. В целях упрощения таблицы их значения опущены.

Легко заметить, что новая модель значительно отличается от построенной

ранее. В ней не получают обслуживание только 2 водителя. Значительно сокращается

и время обслуживания, а стоянка для парковки часто оказывается пустой. В целом

модель отражает большее удовлетворение клиентов.

Что касается затрат, то следует сопоставить значения стоимости, связанной с

потерей клиентов, и стоимости эксплуатации второй монтажной площадки. Для потока

из 25 клиентов время ее работы составило 461 мин., или 7,68 ч. Общая стоимость

эксплуатации второй площадки, соотвегствзтощая потоку из 25 клиентов, составила:

7,68

35 + 2

50 = 368,80 ф. ст.

В данной ситуации по сравнению с задачей для одной монтажной площадки

достигается экономия в 131,20 ф. ст. Однако нельзя забывать о том, что процесс

Гл.

14.

Имитационное моделирование

515

моделиртвания следует продолжить и рассчитать экономию, приходящую иа 1 ч

работы второй площадки, более точно, прежде чем принять какое-либо решение.

Кроме того, что имитационная модель позволяет получить информацию о

возможной сумме экономии, она воспроизводит процесс обслуживания клиентов.

Воспользовавшись моделью, можно вычислить среднее время ожидания клиента-

ми окончания обслуживания и время простоя монтажных площадок.

Таблица 14.19. Имитационная моделыфедполагаемой

системы обслуживания клиентов коишшней 'АМС Tyres"

Автомо-

биль

Прибы-

тие

кли-

ентов,

начиная

0,мш1.

105

120

125

140

160

165

195

200

220

230

260

285

305

325

350

370

390

395

405

Размещение

автомобилей

Плогцад-

ка 1

Площад-

ка

Плошрд-

ка

А - -

А В -

ABC

С D -

Е D -

Е D F

Е F G

0 I

0 I J

О I J

J L -

М - -

М N -

М N О

МОР

Q О -

0 R -

S R -

S Т -

и т -

и V -

W V -

W V X

W X Y

Время,

МШ1.

Обслуживание

i Парковка

Начало Оконча-

ние

2 Парковка

Начало Оконча-

ние

25 63

55 78

75 102

85 125

102 125

125 161

Н Не может встать в очерель

125 162

161 187

К Не может встать в очередь

165 194

195 231

200 224

224 261

231 258

260 297

285 324

305 328

325 361

350 382

370 405

390 429

405 426

426 461

Ожида-\

Hue

об-

служи-

вания.

мин.

14.4. ПРИМЕНЕНИЕ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

В УПРАВЛЕНИИ ЗАПАСАМИ

Алгоритмы, аналогичные описанным выше, могут быть использованы в имитаци-

онном моделировании сложных проблем, возникающих в управлении запасами.

Они позволяют учитывать неопределенность как спроса, так и срока поставки

заказа. В таких случаях должна быть собрана информация, на основе которо

можно построить распределения вероятностей для соответствующих переменных-

516

Ч. 4. Моделирование в

бизнесе

О Пример 14.3. Корпорация "ELA" занимается производством легковых авто-

мобилей. Аккумуляторы для модели "Lunar" компания закупает на стороне, у

внешнего поставщика. На основе прошлого опыта специалисты "ELA" оценили,

что спрос на аккумуляторы за неделю можно аппроксимировать нормальным

распределением со средним значением 500 и стандартным отклонением 10 для

прюмежзтка от 470 до 530.

Начальный запас аккумуляторов составляет 2000 шт., причем администрация

компании приняла решение о подачах заказов на партии аккумуляторов размером

в 2500 шт. каждый раз, когда их запас опускается ниже уровня в 1500 шт. Кроме

того,

прошлый опыт показывает, что интервалы времени между подачей заказа и

осуществлением поставок изменяются следующим образом:

Таблица 14.20. Распределение времени поставки заказа,

корпорации 'ELA"

Время поставки

заказа, недель

Вероятность

0,20

0,50

0,25

0,05

Единичная стоимость хранения запасов равна 0,50 ф. ст. в неделю и рассчиты-

вается для общего размера запаса, оставшегося на конец недели. Стоимость заказа

—

50 ф. ст., а отсутствие аккумуляторов на складе оценивается в 20 ф. ст. в неделю.

Используя имитационную модель для периода в 20 недель, оценим среднюю

стоимость проведения изложенной выше политики в неделю. Принимается пред-

посылка о том, что все расчеты производятся в конце недели, а подачи заказов и

поставки по ним

—

в начале недели.

Решение.

Переменными являются спрос и время поставки заказа. Так как спрос аппрок-

симируется непрерывным нормальным распределением, будем моделировать пере-

менную спроса с шагом в 5 аккумуляторов. Например, верюятность спроса,

равного 510 аккумуляторам, будет оцениваться с помощью соотношения

Р(507,5 < спрос < 512,5).

Среднее значение спроса

—

10,050/20 = 502,5 аккумуляторов в неделю.

Средний размер запаса на конец недели

—

22,865/20 = 1143,25 аккумулято-

ров в неделю.

Средний размер дефицита

—

1020/20 = 51,0 аккумуляторов в неделю.

Число заказов, поданных в течение 20 недель, равно, 4, следовательно,

среднее число заказов в неделю

—

4/20 = 0,2.

Ожидаемая стоимость в неделю = 1143,25 х 0,50 +

х 20

н-

0,2 х 50 = 1602 ф. ст.

Как и в предыдущих примерах, процесс моделирювания следует продолжить,

чтобы убедиться, что достигнутые условия действительно характеризуют стацио-

нарное состояние модели.

Имитационные модели можно также применять при исследовании поведения

системы управления запасами в условиях альтернативных вариантов политики

подачи заказов. Это позволит администрации выбрать тот вариант, который

наилучшим образом отвечает поставленным целям.

Гл.

14. Имитационное моделирование

517

Таблица

14.21.

Распределение

интервалов случайных чисел

для времени поставки заказа

Время

постав-

ки,

не-

дель

Вероят-

ность

0,20

0,50

0,25

0,05

Кумуля-

тивная

вероят-

ность

0,20

0,70

0,95

1,00

Случай-

ные

числа

00-19

20-69

70-94

95-99

Небольшие отклонения ввиду

ошибок округления

Таблица 14.22. Распределение

интервалов случайных чисел

для сароса за неделю

Спрос

за

неделю

470

475

480

485

490

495

500

505

510

515

520

525

530

Вероятность

0,003

0,009

0,028

0,066

0,121

0,175

0,197

0,175

0,121

0,066

0,028

0,009

•

0,003

Кумулятив-

ная

верояттюсть

0,003

0,012

0,040

0,106

0,227

0,402

0,599

0,774

0,895

0,961

0,989

0,998

1,000

Случайные

числа

00-002

003-011

012-039

040-105

106-226

227-401

402-598

599-773

774-894

895-960

961-988

989-997

998-999*

Теперь можно осуществить моделирование.

Неделя

Та

Запас

на

начало

недели

2000

1520

1015

510

2500

1995

1490

985

495

2500

1995

1485

3485

2995

2595

1980

1470

975

блица

14.23.

Моделировани

Спрос

Случай-

ное

число

Объем

034

480

743

505

738

505

636

505

964

520

736

505

614

505

698

505

637

505

162

490

332

495

616

505

804

510

560

500

111

490

410

500

959

515

774

510

246

495

762

505

Итого 10050

Запас

>ш конец

недели

1520

1015

510

1995

1490

985

495

1995

1485

985

2995

2495

1980

1470

975

470

22865

управления запасами

Повтор-

ный

заказ,

Да/нет

Да

Время поставки

Случай-

ное

число

Недели

Дефицит

515

505

1020

t. ч.

моОелирование

в бизнесе

РЕЗЮМЕ

Имитационное моделирование является одним из методов, который применяется

специалистами в случаях, когда использование математических моделей вызывает

определенные трудности или когда лежащие в их основе предпосылки неадекватны

реальным условиям. Метод имитационного моделирования можно применять в

сложных ситуациях, не принимая никаких предпосылок об исходных данных.

Мы рассмотрели метод Монте-Карло, в котором всем переменным модели

ставится в соответствие определенное множество дискретных значений. Данный

метод позволяет на основе собранной исходной информации сгенерировать для

каждой переменной соответствующее распределение вероятностей. Из этих рас-

п(>еделений с помощью случайных чисел получают значения переменных модели,

•которые используют затем в процессе моделирования. Построение каждой модели

начинают с определения входящих в нее переменных и формулирования правил

их функционирования. Результаты расчетов по имитационным моделям небольшой

размерности обычно представляют в виде таблиц, легко поддающихся количест-

венному анализу.

Существует возможность модификации имитационной модели, по которой

вновь производятся расчеты, а затем проводится сравнительный анализ новых

результатов с полученными ранее. Методы имитационного моделирования, хотя и

не приводят к получению оптимальных решений, как, например, методы линейного

программирования, однако, позволяют выработать направления политики, приво-

дящей к лз'чшим результатам. Но прежде, чем внедрять какой-либо из результатов,

полученных по имитационной модели, в практику, необходимо произвести оценку

ее надежности и, осуществив расчеты на более длительный период, получить

репрезентативные характеристики. Обычно расчеты по имитационным моделям

проводятся с помощью пакетов прикладных программ.

УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 14.1

Городская администрация Баттербай Сити контролирует услуги микроавтобусов,

которые развозят туристов и покупателей с автобусов и железнодорожного вокзалов

в различные районы города. О потоке пассажиров, прибывающих на автобусную

остановку, находящуюся около железнодорожного вокзала, были собраны сле-

дующие данные:

Время между моментами

прибытия пассажиров, мин

Вероятность

0,04

0,16

0,24

0,28

0,16

0,10

0,02

По расхшсанию микроавтобусы должны прибывать каждые 10 мин, однако измен-

чивость транспортных условий привадит к сле^дующему распределению их прибытия:

Интервал между последовательными

прибытиями автобусов, мин

Вероятность

0,10

0,38

0,28

0,15

0,09

Гл.

14. Имитационное моделирование

519

Число мест в автобусе определяется следующим распределением:

Число свободных мест

Вероя 0,06 0,18

0,27

Требуется:

Построить имитационную модель потока из 30 пассажиров, прибывающих на

автобусную остановку, в предположении, что моделируемый счетчик времени

установлен на нулевой отметке.

Оценить среднее время ожидания автобуса пассажиром и среднюю длину

очереди.

Упражнение 14.2

Решите пример 14.3 (раздел 14.4) в предположении, что подача повторного заказа

производится, если уровень запаса аккумуляторов опускается ниже 1000 шт.

Сравните полученные вами результаты с результатами примера 14.3.

Упражнение 14.3

Опишите преимущества и недостатки применения имитационных моделей в

исследовании систем массового обслуживания по сравнению с методами теории

массового обслуживания.

По данным проведенных наблюдений было установлено, что интервалы между

поступлениями жалоб от покупателей в крупном универмаге подчиняются

следующему распределению:

Время между поступ-

лениями жалоб, мин.

Вероятность

0-4

0,25

4-8

8-12

0.45 I 0,20

12-16

0,10

Жалобы покупателей рассматриваются одним служащим универмага, однако

все покупатели, которые сочли свои претензии "серьезными" или которым при-

шлось ждать 5 мин и более, прежде чем быть принятыми служащим, который

рассматривает жалобы, требуют переговоров с главным администратором, кото-

рый принимает их жалобы самостоятельно. Продолжительность рассмотрения

жалоб клиентов соответствующим служащим аппроксимируется нормальным рас-

пределением со средним значением 7 мин и стандартным отклонением, равным 2

мин. Было оценено, что 20% покупателей, имеющих жалобы, считают свои

претензии "серьезными".

Требуется:

а) Пользуясь приведенными выше данными, таблицей случайных чисел и

нижеследующей таблицей, полученной из таблицы кумулятивного стан-

дартного нормального распределения, описать этапы построения имита-

ционной модели потоков прибытия и обслуживания клиентов в условиях

данной системы.

520

Ч. 4. Моделирование в

бизнесе

Случайное

число

00-01

02-04

05-10

11-21

22-38

39-60

Число

отклонгяшй

от

среднего значения

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

Случайное

число

61-77

78-88

89-94

95-97

98-99

Число j

отклонений

от среднего

+0,5

+1,0

+1,5

+2,0

+2,5

б) Используя приведенные ниже случайные числа, построить имитацион

ную модель обслуживания 10 имеющих жалобы покупателей, если пре

тензии некоторых из них являются серьезными.

Интервалы между при-

бытием покупателей, мин

Серьезные претензии,

кол-во

Продолжительность

обслуживания

•) Используя построенную имитационную модель, оценить долю покупате-

лей, которые действительно встретятся с главным администратором уни-

вермага. Затем оценить общее время, которое главный администратор

затратит на рассмотрение жалоб в предположении, что у него

8-часовой

рабочий день, а время, которое он затрачивает на рассмотрение одной

жалобы, подчиняется соответствующему распределению для служащего

универмага, рассматривающего жалобы клиентов.

г) Кратко поясните, каким образом можно использовать имитационную модель

для принятия решения о целесообразности или нецелесообразности принятия

на работу еще одного служащего, рассматривающего жалобы покупателей.

(АССА. июнь 1988 г.).

Упражнение 14.4

Корпорация "Pomulus Products" производит операции со всеми клиентами в

30-дневный срок. Как показывает опыт, 80% всех счетов закрывается в течение

одного месяца, а 70% оставшихся счетов

—

в течение следующего месяца после

того,

как клиенту посылается стандартное письмо-напоминание о просроченных

счетах. Половина счетов остается неоплаченной в течение двух месяцев. После

того,

как было отправлено письмо, содержащее "последнее предупреждение",

выплаты производятся в течение третьего месяца.

Со всеми счетами, которые оказгитсь неоплаченными в течение трех месяцев,

поступают одним из двух возможных способов. Если сумма на счету превышает

1000 ф. ст., то для того, чтобы вернуть деньги, компания прибегает к законода-

тельным процедурам. Принимая во внимание связанные с судебными процедурами

издержки, доля исходной суммы, которую в конечном счете удается вернуть,

варьирует следующим образом:

Гл.

14. Имитационное м

оделирование

1 Доля исходной денежной суммы,

1 которую удается вернуть,

1 Вероятность

0-40

0,1

40-60

0,3

60-80

0,4

521

80-100

0.2

Прежде, чем окончательные выплаты будут произведены, проходит, как пра-

вило,

не менее трех месяцев.

Если денежная сумма на счету составляет менее 1000 ф. ст., то компания

продает неоплаченные счета другой компании, специализирующейся на скупке

долговых обязательств, получая за это 50% исходной суммы, вьшлаты которой

прюизводятся в течение одного месяца, т.е. к концу четвертого месяца.

Суммы счетов, выписанных компаний за последние месяцы, распределяются

следующим образом:

Сумма на

счету, ф. ст.

Вероятность

0-200

0,1

200-500

0,2

500-1000

0,3

1000-2000

0,3

2000-5000 1

0,1

Примем П1}едпосылки о том, что связь между суммой счета в момент его

оплаты и долей общей суммы, которую удается возвратить, отсутствует, а также о

том, что оплата всех счетов производится в последний день каждого месяца.

Темпы роста основного капитала компании равны 1,5% в месяц.

Требуется:

Определить вероятность того, что выплаты по любому счету будут произведены

в конце:

а) второго месяца;

б) третьего месяца;

в) четвертого месяца;

г) шестого месяца.

Определить, какова ожидаемая стоимость в настоящий момент нового счета,

размер неоплаченной суммы которого составляет 2000 ф. ст.?

Значения ежемесячных коэффициентов дисконтирования:

Месяц

Коэффициент

0,9852

0,9707

0,9563

0,9422

0,9283

0,9145

Показать, используя указанные ниже случайные числа, каким образом можно

построить имитационную модель системы в целом и определить текущее значе-

ние стоимости двух моделируемых счетов.

Счет 1

Счет 2

(АССА, декабрь 1986 г.).

522

Ч. 4.

Моделирование

в бизнесе

Упражнение 14.5

Администрация корпорации "Hentor Products pic" рассматривает вопрос о покупке

новой упаковочной машины с автоматическим управлением. Новая машина позво-

лит ликвидировать две старые, которые в настоящее, время используются для

упаковки продукта X. Ввиду более высокой автоматизации технологического

процесса новая машина также позволит сократить затраты на оплату труда, а

ввиду ее более высокой производительности

—

увеличить объемы производства. В

связи со значительным ростом спроса на продукт X, по оценкам специалистов,

установка новой машины приведет к увеличению прибыли за каждый из ближай-

ших трех лет. Однако ввиду неопределенности спроса ежегодный приток капитала

(включая сумму экономии), вызванный покупкой новой машины, нельзя оценить

точно, поэтому при его расчете за каждый год использовались следующие вероят-

ностные оценки:

/м год

Ежегодный приток капитала, тыс. ф. ст.

Вероятность

0,3

0,4

0,3-

2-й год

Вероятность

0,1

0,2

0,4

0,3

3-й

год

Вероятность

0,3

0,5

0,2

Поскольку в объемах продаж продукта X также существует неопределенность,

то для решения вопроса о целесообразности или нецелесообразности покупки

новой упаковочной машины необходимо учитывать величину притока капитала

только за ближайшие три года. Чистая стоимость новой машины за вычетом

ликвидационной стоимости старого оборудования составит 42000 ф. ст. Воздейст-

вие налоговой политики можно не учитывать.

Требуется:

Не принимая во внимание изменение стоимости во времени, определить, какая из

комбинаций ежегодных притоков капитала приведет к отрицательному значению

общего притока капитала, а также вероятность появления этого события.

Рассчитать на основе средних значений притока капитала за каждый год текущее

значение чистой стоимости новой машины, если стоимость капитала для компании

равна 15%. Соответствующие коэффициенты дисконтирования имеют следующие

значения:

Год

Значение коэффициента

дисконтирования

0,8696 j

0,7561

0,6575 1

Построив имитационную модель расчета текущего значения чистой стоимости,

оценить значение риска, соответствующее данной ситуации. При моделировании 5

множеств притоков капитала используйте приведенные значения случайных

чисел. На основе полученных по имитационной модели результатов рассчитать