Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

7. Статистический контроль качества

233

Та(

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

5лица 7.8.

Зерожгаость

приемки партии продукции

при ааданной доле бракованных

Р(г

0,23783

0,05233

0,01056

0,00193

0,00032

0,00005

0,00001

0,00000

Р(г=1)

0,35048

0,16282

0,05219

0,01354

0,00296

0,00055

0,00009

0,00001

Р(г=2)

0,24903

0,24423

0,12433

0,04570

0,01333

0,00319

0,00063

0,00010

иаделий

Р(г=3)

0,11359

0,23518

. 0,19015

0,09901

0,03852

0,01186

0,00295

0,00060

Р(гйЗ)

0,95093

0,69456

0,37723

0,16018

0,05513

0,01565

. 0,00368

0,00071

Если AQL=0,05, то Р(отказа от приемки пригодной партии продукции) =

1 - 0,951 = 0,049. Полученное значение достаточно близко к заданному риску

производителя, равному 0,05.

Если LTPD=0,25, то Р(ошибочной приемки непригодной партии продукции)=0,055.

Это значение также близко к заданному риску потребителя, равному 0,05.

РЕЗЮМЕ

Статистический контроль технологических процесов — лишь часть общего

подхода к обеспечению качества. Следует иметь в виду, что существует также

множество организационных проблем, которые не рассматривались в данной

главе, но являются не менее важными, чем сами статистические методы. Статисти-

ческий контроль технологических процессов основывается на выборках из готовой

продукции, полученной в ходе данного технологического процесса. Характеристи-

ки этих выборок позволяют сделать выводы о функционировании процесса произ-

водства. Первый шаг состоит в определении производственных возможностей

технологического процесса в условиях, когда он находится под контролем, т.е.

когда существует соответствующая система управления, операторы соответствующей

квалификации и соответствующее сырье. Неустранимая или простая изменчивость

характеристик выпускаемой продукции измеряется с помощью данных о выборках

из готовой продукции. Обычно производственные возможности прюцесса опреде-

ляются как промежуток в ±3 стандартных отклонения.

Показатель производственных возможностей используется в процессе принятия

решения о том, какие виды операций можно выполнять с помощью данного

технологического процесса и для того, чтобы выявить, когда технологический

процесс становится неконтролируемым под воздействием неслучайных причин.

Одним из методов проверки того, находится ли технологический процесс под

контролем и функционирует ли он в пределах заданных производственных возмож-

ностей, являются контрольные карты Шухарта. Если измеряются количественные

признаки, например, длина изделия, с помощью юитгрольных карт обычно проводится

проверка изменений среднего значения и разброса или размаха результатов измерений.

В случаях, когда осуществляется проверка качественных характеристик продукции,

контрольные карты используются для регулирювания доли бракованных изделий в

234 4.2. Анализ данных как состеиная часть

пршаипия

решений

выборке. В предположении, что процесс является контролируемым, определяются

предупреждающие границы и границы регулирования. Их уровень рассчитывают,

как правило, с использованием нормального распределения. Положение предуп-

реждающих границ устанавливается на уровне ±2 стандартных ошибки, а положоше

границ регулирования

—

на уровне ±3 стандартных ошибки. При нахождении этих

границ используются также биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Вне пределов каждой из предупреждающих границ находятся значения 2,5%

выборок для процесса, который является контролируемым. Аналогично вне каждой

из границ регулирования находится 0,1% выборок для процесса под контролем.

Если выборочная характеристика лежит вне предупреждающих границ, то это

. может означать, что технологический процесс вьопел из-под контроля. В таком

сл]гчае сразу же осуществлякгг следующую выборку. Если результаты выборки

оказываются за пределами границ регулирования, немедленно останавливают

процесс производства и выявляют причины такой ситуации.

Схемы выборочного контроля при приемке товара используются для определения

доли брака в партии продукции. Производитель и потребитель товара оговаривают

допустимый (допустимый уровень качества

—

AQL) и максимальный (допустимый

процент бракованных изделий в партии

—

LTPD) уровни брака. Разрабатывается

схема выборки, по которой рассчитывается риск производителя, заключающийся

в ошибочном отказе потребителя от приемки пригодной партии продукции, и риск

потребителя, заключаюпщйся в ошибочной приемке партии продукции, в которой

число бракованных изделий оказалось максимальным. Схемы выборки основаны

на биномиальном распределении, при их построении используются специальные

таблицы.

УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 7.1

В некоторой компании планируется использовать для производства медных дис-

ков диаметром 25 t 0,2 мм штамповочный пресс. Производственная возможность

пресса по данным измерений равна 0,28 мм.

Требуется:

Определить, можно ли использовать данный пресс для производства дисков,

удовлетворяющих спецификации.

Если ответ в п.1 положительный, определить границы изменения среднего

значения параметра наладки пресс таким образом, чтобы не производить диски,

диаметр которых выходит за пределы, оговоренные в спецификации.

Упражнение 7.2

Для производства стержней из нержавеющей стали диаметром 60,30 ± 0,25 мм

используется токарный станок. Производственная возможность станка по данным

измерений, произведенных в нормальных условиях, составляет 0,40 мм.

Гл.

Статистический контроль

качества 235

Т1ребуется:

Определить, может ли токарный станок удовлетворить требуемой спецификации.

Имеется второй токарный станок, производственная возможность которого

равна 0,60 мм. Может ли этот токарный станок удовлетворить спецификации

на производство стальных стержней?

Предположим, что для выполнения этой операции должен использоваться

токарный станок, о котором шла речь в п. 2. Стержни с диаметром, меньшим

оговоренного в спецификации, придется выбросить, а стержни с диаметром,

большим оговоренного в спецификации, можно после предварительной сорти-

ровки пустить в дальнейшую переработку. Каково среднее значение диаметра,

на которое должен быть настроен токарный станок, если стержни с диаметром,

меньшим оговоренного в спецификации, должны появляться не чаще одного

раза из 1000? Какую долю стержней при данном значении параметра нагрузки

придется пустить в дальнейшую переработку?

Упражнение 7.3

Компания "Small pic" занимается производством столовых приборов. Она располага-

ет режущими станками для нарезки заготовок из нержавеющей стали на отрезки

определенной длины. Производственные возможности трех станков по данным

измерений равны:

Режущий станок А: 0,16 см;

Режущий станок В: 0,29 см;

Режущий станок С: 0,10 см.

Заготовки для производства ножей, вилок и ложек различны и, следовательно,

их нарезка осуществляется в соответствии с различными спецификациями.

Нож

—

длина равна 21,25 ± 0,06 см;

Вилка

—

длина равна 20,00 ± 0,09 см;

Ложка

—

длина равна 21,20 ± 0,16 см.

Т^ребуется:

Определить при условии, что каждый из имеющихся режущих станков налажен

на изготовление определенного вида заготовок в определенный момент времени,

можно ли одновременно выпускать все три типа заготовок? Как в этом случае

следует распределить заготовки по станкам?

Найти значения верхней и нижней границы параметра наладки каждого из

станков.

Упражнение 7.4

Компания "Greois Food Products" выпускает консервированные супы нескольких

видов. В настоящее время фасовочный станок налажен на расфасовку банок с овощным

супом весом в 425 г. По данным измерений, производимых в течение длительного

периода времени, было установлено, что сгандартное отклонение станка равно 10 г.

Контроль за работой фасовочного станка осуществляется с помощью выборок

объемом в 5 банок, которые производятся через каждые 20 мин. Содержимое

каждой банки тщательно взвешивается.

236

4.2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Требуется:

Построить для фасовочного станка контрольные карты средних арифметичес-

ких и изменчивости технологического процесса.

Ниже приведены результаты измерений для восьми выборок. Нанести эти

показатели на контрольные карты средних арифметических и изменчивости

технологического процесса и размаха. Описать работу фасовочного станка за

период времени, в течение которого производились выборки.

Номер выборки

453,3

393,8

374,0

447,7

461,8

379,7

439,2

447.7

Вес банки с супом

417,5

411,2

419,3

416,5

413,7

405,2

423,7

431,8

423,2

433,5

422,2

431,8

428,2

427,8

406,8

422,2

424,3

426,5

427,8

425,5

423,2

433,7

407,2

426,3

407,3

428,8

407,3

428,0

424,7

426,3

429,2

Упражнение 7.5

Компания "HVJ Engineering pic" выпускает детали для производства автомобилей.

На одной из производственных линий осуществляхзтся нарезка и обработка стальных

осей. Длина каждой из заготовок, нарезаемых в настоящее время, равна 6,65 см.

По результатам наблюдение за режущим ставком в условиях, когда его работа

была контролируемой, было установлено, что стандартное отклонение технологи-

ческого процесса составляет 0,07 см. Контроль за ходом процесса осуществляется

с помощью случайных выборок в количестве 4 оси, производимых

через,

каждые

30 мин, и точных замеров осей, попавших в выборку.

Т)>ебуется:

Построить для данного режущего станка вышеуказанные контрольные карты

средних арифметических и изменчивости технологического процесса и размаха

Ниже в таблице приведены результаты измерений по последним десяти выбор-

кам из деталей, изготовленных на данном станке:

Номер выборки

Длина

стальной

оси, см

6,79

6,46

6,39

6,65

6,62

6,65

6,69

6,65

6,55

6,61

6,68

6,56

6,60

6,72

6,67

6,58

6,73

6,51

6,66

6,70

6,60

6,75

6,61

6,73

6,70

6,75

6,61

6,72

6,71

6,59

6,61

6,59

6,63

6,56

6,70

6,79

6,61

6,73

6,58

6,74

Гл.

Статистический контроль

качества

237

Нанести эти данные на контрольные карты средних арифметических и измен-

чивости технологического процесса и размаха, построенные в

п.1.

Описать работу

режущего станка за период времени, в течение которого производились выборки.

При условии, что режущий станок был ошибочно налажен таким образом, чтр

средняя длина заготовки оказалась равной 6,78 см, определить вероятность

того,

что ближайшая следующая выборка не обнаружит эту ошибку.

Повторить расчеты границ регулирования в контрольных картах средних

арифметических и изменчивости технологического процесса в предположении,

что стандартное отклонение технологического процесса неизвестно.

Упражнение 7.6

В компании по производству одежды осуществляется контроль за выпуском

рубашек типа Т два раза в день путем проверки изделий, попавших в случайную

выборку объемом в 150 единиц. Каждый экземпляр считается либо прошедшим

приемку, либо бракованным. Результаты последних 20 выборок изделий, изготов-

ленных работником соответствующей квалификации на машине, тщательно подго-

товленной и отлаженной, с использованием хорошего сырья, использовались для

построения контрольной карты по доле брака. Ниже приводятся соответствующие

результаты:

Номер

выборки

Число бтжоваиных

изделии

на

каждые

150

рубашек

Номер

выборки

Число бракованных

изделии

на

каждые

150

рубашек

Требуется:

Используя приведенные выше данные, построить конгрольные карты для доли

брака р. Определить контрольные границы, используя для аппроксимации бино-

миального распределения нормальное распределение и распределение Пуассона.

По контрольной карте, построенной для аппроксимации распределением Пуас-

сона, проверить результаты следующих 10 выборок.

238

4.2. Анализ дшшых как составная часть принятия решений

Номер

выборки

2з

Число

бракованных

изделии на

каждые

150

рубашек

Номер

выборки

Число

бракованных

изделии на

каждые

ISO

рубашек

Прокомментирз^е свои действия.

Упражнение 7.7

Компания "Taylors pic" закупает электронные детали у "JC Jones Ltd". Taylors

собирается разработать схему выборочного контроля приемки продукции, чтобы

проверить качество закупаемых деталей. В настоящее время рассматриваются три

варианта схем выборки.

Ниже приведены кривые оперативной характеристики, соответствующие каж-

дому из трех вариантов:

Схема А

Производится случайная выборка 10 деталей из каждой партии. Приемка партии

деталей принимаются, если в выборке обнаружшо не более одной бракованной детали.

СхамаА

1,0

Вароатносгк ""^ '

примжи

партии 0>о •

продукции

0,4

0,2

п-10, с-1

•

0,1 0,2 0,3 0,4

Дали брака

парши прояукции

Схема В

Производится случайная выборка 20 деталей из каждой партии. Партия деталей

принимается, если в выборке обнаружою не более двух бракованных деталей.

Гл.

Статистический контроль

качества

239

п-20, е-2

. 0,1 0,2 0,3 0,4

Дою брака • лартми

nponfom»

Схема С

Производится случайная выборка 40 деталей из каждой партии. Партия деталей

принимается, если в выборке обнаружено не более трех бракованных деталей.

СхмиС

1,0

приамки . ,

порти "•*

продукции

0,4

•40,

- 3

0,1 0,2 0,3 0,4

Доля брака

партии продукции

Требуется:

Определить, для какой из двух схем

—

А или В

—

приемка партии деталей,

содержащей более

брака, является наиболее вероятной?

Определить, для какой из двух схем

—

А или В

—

отказ от приемки партии

деталей, содержащей более 30% брака, наиболее вероятен?

Какая из схем в наибольшей степени отвечает интересам Taylor?

Какая из схем в наибольшей степени отвечает интересам Jones?

При условии, что допустимый уровень качества составляет 10%, какая из трех

схем

—

А, В или С

—

является наиболее жесткой?

6. Если Taylor устанавливает, что допустимый уровень качества (AQL) равен 5%,

а допустимый процент брака в партии (LTPD)

—

20%, каковы значения риска

производителя и риска потребителя в каждой из трех схем? Какая из этих трех

схем является наи^кучшей с точки зрения Taylor?

240 4.2. Анализ данных как составная

часть принятия

решений

Если с использованием схемы С осуществляется проверка 100 партий деталей,

каждая из которых содержит 8% брака, каким приблизительно будет число

партий деталей, которые не прюшли приемку?

8. Если с использованием схемы С осуществляется проверка 1000 партий деталей,

каждая из которых содержит 3% брака, каким приблизительно будет число

партий деталей, которые прошли приемку?

Упражнение 7.8

Компания "Denton pic" выпускает пружины. По окончании процесса производства

осуществляется контроль готовой продукции с использованием следующей схемы

выборки: из каждой партии продукции случайным образом отбираете^ 33 пружин.

Если в выборке обнаружено не более одного бракованного изделия, то осущест-

вляется приемка всей партии продукции.

Заказчик "Denton pic" установил, что AQL равен 1%, а LTPD

—

10%. Опре-

делите риск производителя и риск потребителя.

Упражнение 7.9

Администрация некоторого промьпиленного предприятия собирается сравнить две

следующие схемы выборочного контроля качества поступающих деталей:

Схема А: п = 12, с = 1;

Схема В: п = 25, с = 2.

Администрация считает приемлемыми AQL, равный 4%, и LTPD, равный 25%.

Требуется:

Построить кривую оперативной характеристики для каждой из схем.

Сравнить обе схемы и определить, какая из них лучше.

241

Глава 8. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

8.1.

ВВЕДЕНИЕ

Статистический анализ в предыдущих главах касался поведения отдельных

переменных. Теперь перейдем к анализу поведения двух или более переменных и

связи между ними.

Например, рассмотрим компанию, которая регулярно помещает рекламу на

один из своих товарюв в местную газету. Компания ведет записи ежемесячно о

суммах денег, затраченных на рекламу и поступивших от продажи этого товара.

Если реклама эффективна, то можно предположить, что вероятно существует

какая-то связь между затратами на рекламу и соответствующими ежемесячными

объемами продаж. Предположим, что чем больше сумма затрат на рекламу, тем

больше объем продаж (по крайней мере, в определенных пределах). Не существу-

ет теоретической основы, исходя из которой мы могли бы написать уравнение,

которое точно показало бы связь продаж с расходами на рекламу. Имеется ряд

факторов, неразрывно связанных между собой, которые точно определяют

ежемесячный объем реализаций. Это такие факторы, как цена товара, цена

товара-конкурента, период времени, погодные условия. Тем не менее, если

расходы на рекламу являлись бы главным фактором, определяющим продажу, то

знание связи между этими двумя перемеиньош было бы очень полезным для

оценки объема продаж и соответствующего планирования финансовой политики

компании.

Обычно для определения связи между переменными используется термин

«ассоциация». Термин «регрессия» используется для описания природы связи,

термин «корреляция»

—

для измерения тесноты связи.

Нам необходимо знать, например, сильная ли связь между ежемесячными

расходами на рекламу и ежемесячным объемом продаж. Знание этого фактора

может обеспечить надежную оценку продаж. Если связь слабая, то ее изучение

обеспечивает только описание продаж при весьма низкой надежности

этх>го

описания.

Процедура анализа связи между переменными необходима для установления

природы любой связи. Теперь мы может разработать математическое уравнение

или модель для описания

этой

связи с математической точки зрения. Линейные

уравнения — простейшие для анализа, поэтому мы постараемся описать связь

между переменными посредством линейной модели. Этот процесс носит название

построения линейной регрессии. Степень пригодности линейной модели к исход-

ным данным является индикатором силы линейной связи между переменными, а

следовательно, и надежности любых оценок, производимых при помощи этой

модели. На этой стадии полезно фафическое подставление данных.

742 4.2.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

Рис. 8.1 показывает, что линейная модель может быть применена при описа-

нии связи между продажей и расходами на рекламу,

Проложо,

ф. сг./мес

Рооюви но решому,

ф.

а/чес

Рве. 8.1. Пример лявейаой

ешшяя

Если бы

мы

получили другой график (см. рис, 8.2), то можно было

бы

сделать

вывод, что линейная модель не применима при описании связи между объемом

продаж и расходами на рекламу.

Пройожо,

ф. сг./мес

Роаюяына рекламу,

ф. ст./мк.

Рис. 8.2. Щмрюр иелшейяой свяан

Линейная регрессия — первый пример использования математических моделей.

Цель любой модели — помочь понять конкретную ситуацию, а, возможно, и

объяснить ее путем последующего анализа. Мы можем использовать модель для

того,

чтобы делать какие-либо прогнозы или предсказания. Модель обычно является

упрощением реальной ситуации.

Мы

должны сделать простейшие предположения,

чтобы суметь сконструировать модель, коггорая давала бы возможность управления,

но сама по себе модель должна быть все-таки достаточно реалистичной, чтобы

заслуживать внимания. Модели линейной регрессии используются наиболее часто.