Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Статистический контроль

качества

213

ц + Зв/Л

МборКМХ

H-2e/Vn

|i-3o/Vn

^ Варкнм прмупреж-

аавш» громш

-I 1 1 1 1 1

1—•Но-.р

12 3 5 6 7 8

Ннжим прввупрвж-

Нтаэш грамма

рагупироннт

Рис.

7.7. Контрольная карта Шухарта выборочного среднего

предпринимаются немедленные действия по остановке процесса производства и

выявлению неисправностей. Если некоторое среднее значение лежит за пределами

предупреждающих границ, следующая выборка производится сразу же, до момента

проведения очередной выборки.

Если точки на графике образуют явный возрастающий или убывающий тренд,

предпринимаются определенные меры даже в случаях, когда эти точки находятся

в прюделах предупреждающих границ. Этот тренд может оказаты:я индикатором

наличия неслучайных причин, например, снижения параметров наладки станка.

Применение этой процедуры иногда приводит и к необоснованным остановкам

технологического прюцесса, однако это случается крайне редко. Любые издержки,

связанные с остановками процесса производства, будут больше, чем та экономия,

которая может быть получена вследствие улучшения качества продукции.

Данная процедура в сущности представляет собой не что иное, как проверку

гипотез, о которой шла речь в гл. 6. Нулевая гипотеза заключается в том, что

технологический процесс находится под контролем, причем все технологические

параметры соответствуют установленным производственным возможностям. Аль-

тернативная гипотеза утверждает, что процесс не является контролируемым.

Каждый раз, когда мы проводим выборку, осуществляется процедура проверки

гипотез. Если выборочное среднее лежит за предупреждающими границами. Но

отклоняется при 5%-ном уровне значимости. Если оно находится за пределами

границ регулирования, мы отклоняем

при 2%-ном уровне значимости. С помощью

контрольных карт можно без труда показать результаты периодически повторяю-

шейся поовеоки гипотез.

214

4.2. Анааиз данных как

составная

часть принятия решений

О Пример 7.3. Производится расфасовка чая в упаковки объемом по 125 г.

Известно, что фасовочный станок работает со стандартным отклонением в 0,15 г.

Для обеспечения необходимого веса достаточно наладить станок на среднее значение

в 125 г. Через каждые полчаса производится случайная выборка объемом в 5 упаковок.

Каждую упаковку взвешивают. Ниже приведены результаты шести последова-

тельных выборок.

Номер

выборки

Вес

упаковки,г

125,1

125,3

125,1

124,8

125,1

124,9

125,0

125.1

124,9

124,7

125,2

125,1

125,3

125,0

125,1

125,0

124,7

125,2

125.1

124,8

125,2

125,1

124,9

125,1

125,0

124,9

125,2

Построим по этим данным контрольную карту арифметического среднего и

опишем функционирование процесса расфасовки.

Решение

Центральная ось контрольной карты соответствует уровню ц = 125 г.

Предупреждающие границы строятся на уровнях:

ц±2х^=125±2х°515,

т.е.

для 124,866 г и 125,134 г.

Границы регулирования строятся на уровнях:

ц±3х:т-=125±3х^4^,

т.е.

для 124,80 г и 125,20 г.

Вычислим среднее значение каждой из выборок.

Номер выборки

Среднее значение, х, г

125,08

124,92

125,14

125,0

124,96

125,02

Нанесем средние значения на контрольную карту.

Среднее значение выборки 3 находится выше верхней предупреждающей

границы, однако, среднее значение следующей выборки находится внутри кон-

трольных границ и, следовательно, можно предположить, что поводов для беспо-

койства нет. Предполагается, что выборка 4 производится сразу же после выборки

в которой были обнаружены некоторые отклонения параметра.

Гл.

7. Статистический

контроль

качества

215

125^-

125,1-

Сядм««

«ыборкп,

124,9 •

124,8

•

1 1

I 2

•

B«pe4tM фотцй

рагуямрошнт

ЬрММ ПР<ШУТ1Р«Ж-

доющо* границо

Ъ.

1 1 ^

Нмхмм прчпулраж-

доющо* граница

KtwMa грам«ш

рвп/плролат»

Рис.

7.8. Контрольная карта •ыборочного среднего

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ

ТЕХНОЛОгаЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Результатом процесса производства может быть выпуск изделий, параметры кото-

рых в среднем удовлетворительны, однако возрастание значений относительно

средней должно являться причиной для беспокойства. Производственные возмож-

ности станка изменяются, и его работа становится неконтролируемой. Размеры

значительной доли изделий могут оказаться слишком большими или слишком

маленькими даже в случае, когда среднее значение является допустимым. Показа-

тель размаха значений каждой выборки может использоваться при построении

контрольной карты размаха, характеризующей изменения стандартного отклоне-

ния. Эту карту строят строго с учетом данных контрольной картой среднего, а

затем обе карты используются одновременно.

Размах = Максимальное значение Минимальное значение.

В основу контрольной карты размаха положено достаточно сложное распреде-

ление, поэтому при определении положения линии центра предупреждающих

границ и границ ре1улирования, используются специальные таблицы. Как правило,

определяют только верхнюю предупреждающую границу и границу регулирования,

поскольку в основном только большой размах приводит к осложнениям в техноло-

гическом процессе. Однако иногда для выявления чрезвычайно низких размахов,

которые могут означать либо ул)гчшение процесса производства, либо наличие

измерительной ошибки, используются и нижние границы контрольной карты.

216

4.2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Положение каждой из прямых определяется следующим образом:

Цеитральвая

а,

Верхняя предуп- ty/

реждающм

граяица

Ве(иоша грашща

Гл

х о

регулирования

где п

—

объем выборки, о

—

стандартное отклонение

технологического процесса;

отсекает 2,5% значений в верхней части распределения,

т.е. при условии нормального протекания процесса

размах выборки превысит данное значение в одном

случае из 40;

отсекает

0,1%

значений в верхней части распределения,

т.е. при условии нормального протекания процесса

размах выборки превысит это значение в одном случае

из 1000.

dj,

, г^ , г^ — параметры распределения вероятностей размахов выборок, получен-

ных из нормального распределения. Их значения зависят от объема выборки п и

определяются по статистическим таблицам. Ниже приводится выдержка из соот-

ветствующей таблицы.

Таблица 7.1. Параметры, используемые

для построения контрольной карты размахов

ГА

1,128

3,17

4,65

1,693

3,68

5,05

2,059

3,98

5,30

2,326

4,20

5,45

2,534

4,35

5,60

2,704

4,49

5,70

2,847

4,61

5,80

2,970

4,70

5,90

3,078

4,79

5,95

3,173

4,86

6,05

LJ Пример 7Л. По данным примера 7.3, относящихся к весу упаковок с чаем,

построим контрольную карту размахов.

Решение.

Размер выборки равен 5, стандартное отклонение процесса составляет 0,15 г.

Используя данные табл. 7.1, находим:

dr"

2,326 , г„ » 4,20 , г.

«=

5,45, следовательно

Центральная ливня

Верхняя предунреждаиинэя фаница

Верхняя граница регулирования

о = 2,326

0,15 - 0,35 г.;

о - 4,20

0,15 - 0,63 г.;

ГА

0 = 5,45x0,15 = 0,82 г.

Соответствующий график приведен на рис. 7.9.

Используя данные, приведенные в примере 7.3, вычислим размах каждой выборки.

Номер выборки

Размах

выборки,

0,5

0,4

0.3

0,5

0,4

0,3

Гл.

Статистический контроль

качества 217

Нанесем полученные значения размахов на контрольную карту (рис. 7.9).

В данном примере и контрольная карта средних значений, и контрольная карта

размахов говорят о том, что технологический процесс находится под контролем.

0.8

ОЛ

О,*

0.J

о о

Верхняя 1раница

регулирования

Верхняя предупровк'

дающая границо

Центрольноя линия

^ Номер выборки

12 3 4 5 6

Рис.

7.9. Коятрольняя карта размахов

Обе карты

—

примеры наиболее часто используемых типов контрольных карт.

Необходимо, чтобы они находились вблизи от оператора станка, что обеспечит

возможность быстро и без труда их заполнить.

Для того, чтобы облегчить поиск неисправностей в случае их появления, на

контрольной карте необходимо отмечать такие собьпия, как начало новой смены,

переналадка станка, получение новой партии сырья. Цель построения контрольных

карт

—

предотвратить технологический процесс при наличии неисправностей,

выявляя появившиеся неслучайные причины.

7.4.2. Контрольные карты количественных признаков

при неизвестных

ц и

в разделе 7.4.1 перед тем, как начать построение контрольных карт, мы предпо-

лагали, что значения ц и а известны. Однако это не всегда так, и в этих случаях

приходится осуществлять оценку значений цист. Один из методов получения

оценок основан на использовании данных предыдущих выборок.

Оценка ц вычисляется как среднее всех индивидуальных значений. Это

равносильно нахождению среднего значения выборочных средних. Для каждой

выборки рассчитывается х, а затем

—

среднее из всех полученных значений х.

Это и есть X.

Если значение а неизвестно, оценку разброса значений в генеральной

совокупности получают с использованием среднего значения размахов выборки к..

Для того, чтобы оценить о, мы должны знать характер взаимосвязи между R и а.

218 4.2.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

В табл. 7.1 приводится коэффшшент, применяемый при расчете центральной

линии контрольной карты размахов. Эта центральная линия и есть R. Следова-

тельно, искомая взаимосвязь достаточно проста:

d„

о .

где п

—

размер выборки, а d„ находится из табл. 7.1. Таким образом, вместо

используемого во всех предшествующих расчетах а мы воспользуемся

o-R/d,.

Применение этого метода проиллюстрируем на примере расчета границ регули-

рования. Отметим, что эта же процедура может использоваться и при нахождении

предупреждающих границ. Границы регулирования контрольной карты среднего

рассчитывались как

-т^..

В данном случае эта формула примет следующий вцд:

Верхняя граница регулирования контрольной карты размахов рассчитывалась

как

Гд

а. В данном случае имеем:

где

Гд

и d^ приведены в табл. 7.1.

(лметим, что при изложении вопроса о вероятности статистического превыше-

ния границ регулирования в различных учебниках, к сожалению, используются

различные обозначения и исходные предпосылки. Это приводит к появлению

таблиц и формул, которые дают несколько отличные друг от друга значения

границ. Американские учебники отличаются в этом отношении от английских, и

все это сопровождается изменениями во времени.

Несмотря на то, что описанные выше методы определения положения границ

регулирования и предупреждающих границ сами по себе являются сложными, они

тем не менее требуют проведения некоторых дополнительных расчетов. Если

контрольные карты будет использовать работник, не имеющий достаточного уров-

ня статистических знаний, то очевидное преимущество будет иметь подход, позво-

ляющий предельно упростить все вычисления.

Вернемся вновь к границам регулирования контрольной карты среднего. Эти

границы рассчитываются по следующей формуле:

Гл.

Статистический контроль

качества

219

х±-

/d„

3/d„

В данном случае -т—- является константой. Обозначим ее через А, тогда

юложение границ регулирования будет определяться как

X ±AR .

Существует специальная таблица значений Л для различных значений п.

Верхняя граница регулирования контрольной карты размахов определяется как:

'AR

В данном случае -г- вновь представляет собой константу. Назовем ее, например

С, тогда уровень верхней границы регулирования будет равен CR. Значения С

определяются в зависимости от значений п по специальным таблицам.

Наконец, нижняя граница регулирования контрольной карты размахов опре-

деляется как BR. Значения В находятся из соответствующих таблиц в зависимости

от значений А и С (см. статистические таблицы).

О Пример 7.5. В примере 7.3 приводятся данные о 125-граммовых упаковках с

чаем. Через равные интервалы в 30 мин проводится случайная выборка, в примере

приводятся результаты измерений по шести выборкам. Используем зти данные

для того, чтобы проиллюстрировать получение оценок ц и о.

Выборочное среднее и размах выборки рассчитаны в разделе 7.4.1 и будут

использоваться при нахождении х и R.

Таблица 7.2

Номер

выборки

Итого

Среднее

значение

х, t

125,08

124,92

125.14

125,00

124,96

125.02

750,12

Размах R, г

0,5

0.4

0,3

0,5

0.4

0.3

2,4

Среднее значение х = 125,02 г, R = 0,4 г.

220 4.2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

Оценка границы регулирования для контрольной карты среднего имеет сле-

дующий вид:

X ±AR.

Находим из таблиц, что при п = 5, А = 0,58, следовательно, граница регулиро-

вания равна 125,02 ± 0,58 х 0,4 = (125,02 ±

0,232)

г. Полученные границы

регулирования, равные 125,25 г и 124,79 г, можно сравнить с теми значениями,

которые были получены в разделе 7.4.1 с использованием ц и а, и равны 125,2 г

и 124,8 г соответственно.

Контрольная карта раамахов

Центральная линия R

•=

0,4 г

Верхняя граница регулирования CR

2,11 х 0,4 =

0,844

Сравните со значением 0,82 г, полученным в разделе

7.4.1.

Нижняя граница регулирования BR =

х 0,4 = 0.

Значения С и В определяются из соответствующих таблиц при п = 5.

7.4.3. Контрольные карты качественных признаков

Оценка качества продукции через измерение количественных параметров, например,

длины изделия, не всегда целесообразна. В некоторых случаях наличие или

отсутствие у изделия дефектов зависит от определенных качественных признаков.

Например, керамическая фабрика производит китайскую керамику. По окончании

процесса обжига каждое изделие подвергается проверке. Контролер выявляет

изделия с дефектами лакового покрытия: трещинами, отколотыми кусочками и

т.д.

Если некоторое изделие имеет хотя бы один из этих признаков, оно относится

к браку. В каждой партии продукции обязательно найдется несколько бракованных

изделий. Конечно, ошибки всегда имеют место, но их появление должно быть

редким и носить случайный характер. Вопрос, который должен задать себе

производитель: соответствует ли доля бракованных изделий той доле, которая

бывает при нормальных условиях, или имеются какие-то неполадки. В случае,

если удельный вес брака слишком высок, каковы причины такой ситуации? К

примеру, температура в печи для обжига может изменяться в процессе обжига и

оказывать воздействие на качество лакового покрытия.

Различают два типа контрольных карт качественных признаков. В р-картах

используется удельный вес бракованных изделий, а в с-картах

—

число бракованных

изделий, приходящихся на одну выборку. В данном параграфе мы остановимся

более подробно на р-картах.

Долю бракованных изделий в генеральной совокупности р в условиях контроли-

руемого технологического процесса оценивают на основе большого числа выборок:

,, Общее число бракованных изделий во всех выборках

Наилучшая оценка р

rrz •= -: '^

' Общее число изделий, подвергшихся проверке

В р-картах долю бракованных изделий в выборке размера а принято обозна-

чать через р.

Гл.

Статистический контроль

качества

221

л Число бракованных изделий в выборке £

"' Число нааеяий в выборке п'

Число бракованных изделий г в выборке размером в п изделий, полученной

случайным образом из достаточно большой генеральной совокупности, имеет

биномиальное распределение, если вероятность того, что изделие окажется брако-

ванным, р является константой.

Р (г дефектов в выборке размера п) =

"С^

р""

, гдег

О,

1, 2, ..., п.

Так как р

> —

. Р также имеет биномиальное распределение.

Стандартная ошибка распределения р равна:

Р п

Расчет параметров биномиального распределения достаточно трудоемок, поэ-

тому для упрощения расчетов его можно аппроксимировать либо распределением

Пуассона, либо нормальным распределением. Мы не будем приводить точные

формулировки правил такой аппроксимации, а ограничимся лишь ее общими

принципами, которые состоят в следующем:

В процессе аппроксимации используется распределеиие Пуассона, если п 2 30, р

< 0,1 и пр < 5.

В процессе аппроксимации используется нормальное распределение, если

п г 30, 0,1 < р < 0,9, пр > 5 и п(1 р) > 5.

При использовании любого из указанных распределений в процессе аппрокси-

мации построение контрольной карты типа р аналогично построению контрольной

карты среднего. Однако при аппроксимации нормальным распределением проце-

дура значительно упрощается, что показано ниже.

Центральная линия: она строится на уровне доли бракованных изделий в

условиях контролируемого технологического процесса р,

оцененной по выборочным значениям в течение достаточно

длительного промежутка времени.

о + 2

V-^ " Условиях контролируемого ^

п технологического процесса значение р

окажется за пределами этих границ

примерно в одном случае из 40.

Грашщы о ± 3

V^ " условиях контролируемого

регулирования: п технологического процесса значение р

окажется за пределами этих границ

примерно в одном случае из 1000.

Построенную в результате этого алгоритма контрольную карту можно интер-

претировать точно так же, как и контрольные карты среднего и размахов. Е*^^

для аппроксимации использовалось нормальное распределите, значения нижней

Предупреждающие

границы:

222

4.2. Анализ данных как составная часть принятия решений

предупреждающей границы и нижней границы регулирования могут о1сазаться

отрицательными. Поскольку в данном случае отрицательные значения недопустимы,

можно либо не принимать во внимание нижние границы карты, либо провести

аппроксимацию заново с использованием распределения Пуассона.

О Пример 7.6. Компания производит пластмассовые походные чашки. В течение

времени, когда было точно известно, что технологический процесс находится под

контролем, было проведено 25 выборок, каждая объемом в 100 единиц. Оборудова-

ние было соответствующим образом налажено, использовалось сырье допустимого

качества, наблюдение за ходом процесса осуществлял оператор соответствующей

квалификации. Был произведен контроль изделий в каждой выборке. В табл. 7.3

приведены данные об обнаруженных бракованных изделиях'.

Таблица 7.3. Число бракованных изделий

в каждой из 25 выборок размером в 100 единиц

Номер

выборки

Чисяо

бракованных

изделий

Номер

выборки

Число

бракованных

изделий

Нужно построить контрольную карту качественного признака.

Решение

Общее число бракованных изделий в 25 выборках равно 123, следовательно,

оценка доли бракованных изделий в генеральной совокупности составит:

123

100

0,049

Хотя значение р достаточно мало и пр = 4,9, т.е. меньше 5, прибегнем сначала

к аппроксимации нормальным распределением и определим положение границ на

контрольной карте.