Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Статистический контроль качества

223

Цевтральная линия: 0,049.

Предупреждающие граинцы:

0,049

± 2 х уЩШл^^^Ш .

о,049

± 0,043,

т.е.

0,006

и 0,092.

Границы регулирования:

0.049

t 3

>^Ж^^1М .

0.049

± 0,065.

т.е.-0,016 и 0,114.

Нижняя граница регулирования отрицательная, поэтому ее либо не наносят на

контрольную карту, либо полагают равной нулю.

Так как р < 0.1 и пр < 5, в данном случае аппроксимация с использованием

распределения Пуассона, вероятно, позволила бы получить лучшие результаты.

Среднее число дефектов в выборке пр - 4,9. Следовательно, распределение

вероятностей Пуассона имеет вид:

Э'

е"^"*

Р (г дефектов

выборке) =

—'—j

О,

1, 2, ...

Значения предупреждающих границ и границ регулирования, равные 0,001,

0,025,

0,975

и 0,999, определяются в процессе расчета кумулятивных вероятнос-

тей,

что показано в табл. 7.4.

Положим, что нижняя граница регулирования равна нулю, поскольку она не

может иметь отрицательные значения. Положение оставшихся трех границ опре-

деляется как середина соответствующего интервала. Например, верхняя предуп-

реждающая граница лежит между р = 0,09 и р •• 0,10 и, следовательно, находится

на уровне р = 0,095.

Таблица 7.4. Использование аппроксниащш распредеденнеи Пуассона

для определеши положешш

грашщ

па контрольной карте

Чисяо

бракованных

изделий, г

Доля

бракованных

издаягЛ,

0,00

0,01

0,02

Вероятность,

Р(г)

0,0074

0,0365

0,0894

Кумулятивная

вероятность,

Нижняя

граница

регулирования

0,001

0,0074

Нижняя

предупреждающая

граница

0,025

0,0439

0,1333

224 4.2. Анализ данных как составная

часть

принятия решений

Продолжение табл. 7.4

0.03

0.04

0.05

0,06

0,07

0.08

0,09

0,10

0,11

0,12

0.13.

0,14

0,1460

0,1789

0,1753

0,1432

0,1002

0,0614

0,0334

0,0164

0,0073

0,0030

0,0011

0,0004

0,2793

0,4582

0,6335

0.7767

0,8769

0,9382

0,9717

0,9880

0,9953

0,9983

0,9994

0.9998

Верхняя

предупреждающая

граница

0.975

Верхняя

граница

регулирования

0,999

Ниже приведены результаты аппроксимации двумя указанными распределениями.

Нижняя граница

регулирования

Нижняя предупреждаюищя

граница

Верхняя

предупреждающая граница

Верхняя

граница

регулирования

Положение контрольной границы

по результатам аппроксимации

нормальным

распределением

(-0.016)

0.006

0,092

0,114

распределением

Пуассона

0,005

0.095

0.125

На рис. 7.10 построена контрольная карта по результатам аппроксимации

распределением Пуассона.

О Пример 7.7. Та же компания продолжает осуществлять случайную выборку

из готовой продукции, полученной в ходе данного технологического процесса,

объемом в 100 чашек. Табл. 7.5 содержит информацию о числе бракованных

изделий в 15-ти следующих друг за другом выборках. Используя эти данные,

оценим, является ли технологический процесс контролируемым.

Гл.

7. Статистичккмй контроль качества 225

0,10

Дот

opwOtttMIK

«шборк*, р

Ofii

Верхняя граница

рагудирования

Варжняя прадупраж-

доющоя граница

->•

Номер ямборки

'Нижняя пр«д>лр«ж-

юютаяфоницо

Нижняя фаницо

рагулироюния

Рис. 7.10. Котрольнжя карта качестшевного прнанака

Таблица 7.5. Число бракованных иаделнй • каждой на 15 выборок

объеиом в 100 тук

Номер

выборки

Число бракованных

изделий

Доля

брака

0,05

0,04

0.02

0,04

0,06

0,04

0,05

0,03

Номер

выборгси

Число бракованных

изделий

Доля

брака

0,04

0,07

0,11

0,04

0,03

0,04

0,02

Решение

Нанесем выборочные доли на контрольную карту, построенную на рис. 7.10

(рис. 7.11).

Как следует из рис. 7.11, процесс находился под контролем до момента

проведения выборки №11. Доля бракованных изделий в выборке №11 выходит

за пределы верхней предупреждающей границы. Предполагается, что выборка № 12

производится не через установленный интервал времени, а сразу после выборки

№11.

Поскольку значение выборки № 12 вновь попадает в промежуток между

двумя предупреждающими границами, мы можем еделать вывод о том, что

выборка № 11 является исключением, а не индикатором того, что процесс вышел

из-под контроля. Кроме того, следует отметить, что большая часть значений лежит

ниже уровня центральной линии, равного 0,049. Этот факт можно интерпретиро-

вать как улучшение технологии.

226 4.Z Анализ данных как составная часть принятия решений

0,13

0,11

Of»

Дом

брокоммиих

• •ыбор», р

tfli

Варвш гроиицо

раг^троини

В<р«нм лр^цтрш-

мюшри громикр

-¥ Номармборш

Нижмм лрмупротг-

дгитцпи фоницо

НмжНМ |р011ИЦВ

рагупиромим

Рис. 7.11. Копрольвая карта качественного прмавака

дяя процесса пронзводспа шнютассспых чашек

7.5. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПРИЕМОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ

КАЧЕСТВА НЕКОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

В предыдущем параграфе мы предполагали, что продукция производится с исполь-

зованием станков и технологий внутри компании, которые также находятся под её

контролем. Между тем компания может иметь намерение проверять качествЬ

продукции, закупаемой у внешних поставщиков, чтобы определить, удовлетворяет

ли она стандартам, оговоренным в соглашении. Аналогичным образом клиенты

компании Moiyr потребовать, чтобы перед отправкой им продукции была произведена

ее последняя проверка. Такие проверки качества входящих и исходящих потоков

продукции и составляют две области применения выборки при приемочном контроле

качества. Эта процедура представляет собой итоговую проверку результатов всех

мероприятий по контролю качества, которые имели место в ходе технологического

процесса компании.

Когда на одном из этих этапов осуществляется проверка продукции, нужно

сформулирсяать правила, которыми следует руксжадотвоваться в случае обнаружения

бракованных изделий. Количество бракованных изделий в выборке позволяет

сделать вывод о доле брака в партии продукции в целом. Таким образом соответ-

ствующие правила касаются решений, которые следует принять по поводу партии

продукции, если в выборке было обнаружено определенное число бракованных

изделий. Приведем пример такой схемы выборки:

Производится случайная выборка из пгцртии продукции объемом в IS единиц,

затем проверяется каждое изделие в выборке.

Гл.

7. Статистический контроль качества 227

Если в выборке не было ни одного или обнаружено одно бракованное изделие,

предполагается, что все изделия в партии имеют приемлемые уровень качества.

Партия продукции принимается.

Если в выборке было обнаружено два или более бракованных изделия, предпо-

лагается, что качество всей партии продукции ниже допустимого уровня. Партия

продукции отклоняется.

Это — пример схемы одноэтапной выборки. При необходимости можно поль-

зоваты^ схемой, предполагающей двухэтапную выборку. Например:

Производится случайная выборка из партии продукции объемом в 15 единиц,

затем проверяется каждое изделие в выборке.

Если в выборке не было ни одного бракованного изделия, предполагается, что

все изделия имеют приемлемый уровень качества, и партия продукции принимается.

Если в выборке было обнаружено одно или два бракованных изделия, произво-

дится вторая выборка объемом в 20 единиц, затем проверяется каждое изделие в

этой выборке:

а) если во второй выборке обнаружено не более одного бракованного изделия,

осуществляется приемка партии продукции;

б) если во второй выборке обнаружено более одного бракованного изделия, то

отказываются от приемки всей партии продукции.

Если в первой выборке обнаружено три или более бракованных изделия,

предполагается, что качество всей партии продукции ниже допустимого уровня, и

принимается решение об отказе от приемки партии продукции.

Этот вид схемы выборочного приемочного контроля качества основан на

биномиальном распределении вероятностей, что означает, что большинство расче-

тов сложны и требуют длительных временных затрат. В результате этого при

вычислении параметров схемы выборки обычно используют специальные таблицы

и карты. Так как основная идея этого метода достаточно проста, в данном

параграфе мы остановимся на принципах работы алгоритма. Детали расчетов

оговариваются в приведенном ниже примере.

О IIiHmep. Ос^гщвствляется поставка партии продукции от внешнего поставщика.

Случайным образом производится выборка, и попавшие в нее изделия подвергаются

проверке. Система проверки характеризуется тремя параметрами — удельным

весом бракованных изделий р, объемом выборки п и максимально допустимым

числом бракованных изделий в выборке с. Схема выборки определяется с помо-

щью п и с. Если, например, п •< 12, а.с » 1, из партии продукции производится

выборка 12 изделий. Акт приемки партии имеет место, если в выборке не было ни

одного или было о(к1аружено одно бракованное изделие. Если же число бракованных

изделий равно двум или более, от партии продукции отказываются.

Совершекно необязательно, чтобы объем выборки представлял собой опреде-

ленный процент от размера всей партии продукции, однако важнейшим условием

228

4.2. Анализ данных как составная часть принятия решений

является принцип случайности выборки, обеспечивающий репрезентативность

партии продукции.

Выбор численных значений п и с зависит от доли бракованных изделий в

партии продукции, которую допускает клиент. Например, заказчик намерен

осуществлять приемку любой партии продукции, число бракованных изделий в

которой не превышает 4%, и отказывается от партий продукции с большей долей

бракованных изделий. Максимально допустимая доля бракованных изделий на-

зывается допустимым уровнем качества (AQL). В идеале необходима такая

схема выборки, с помощью которой осуществлялась бы приемка всех партий

продукции, доля бракованных изделий в которых не превышает AQL, и отказ от

тех партий продукции, доля бракованных изделий в которых превосходит AQL

(рис.

7.12).

Вероятность

приемки

портии

продуктов

СИСПОЛМО'

еонием

схемы

еыборки

Присмко

•сах портии

Отказ

от приемки

ftCftx портии

продукции

Доля брака • партии, %

Рис. 7.12. Идеальная кривая оперативной характернстики

Приведенный на рис. 7.f2 график

—

пример построения кривой оперативной

характеристики (О-С Curve — кривая О-С). На практике таких идеальных

ситуаций не существует, поэтому обычно заказчика просят установить еще один

измеритель. Он получил название допустимого процента бракованных изделий

в партии (LTPD). LTPD определяет максимальную долю бракованных изделий,

которую заказчик допускает в партии продукции. Клиент готов осуществить

приемку некоторых партий продукции, доля бракованных изделий в которых

лежит в промежутке между AQL и LTPD, но он отказывается принимать те

партии продукции, в которых этот показатель выше LTPD. Производитель не

должен поставлять партии продукции, в которых удельный вес брака выше, чем

LTPD.

Следовательно, схема выборки должна быть продумана таким образом,

чтобы выявить такие партии продукции как можно более точно. Кривая О-С для

этого случая приведена на рис. 7.13.

Гл.

7. Статистический

контроль

качества

229

К сожалению, пока еще не разработаны методы практического построения схем

выборки, которые работали бы в точном соответствии со схемой, приведенной на рис.

7.13.

На практике кривая О-С выглядит чаще всего так, как показано на рис. 7.14.

приемке одних партий продукции

и отказ от приемки

других партий продукции

Доля брака в портии, %

Приемке

всех порий

Рис.

7.13. Почти ндеалымя кривая оперативной характеристики

Обратимся теперь к проблеме вероятности принятия неверных решений. Риск

производителя а

—

это вероятность того, что применение схемы выборки приве-

дет к отказу от приемки партии продукции, которая оказалась бы приемлемой с

точки зрения потребителя. Риск потребителя р

—

это вероятность того, что приме-

нение схемы выборки приведет к приемке партии продукции, неприемлемой для

потребителя. Схема выборки, применяемая на практике, должна быть направлена

на сведение каждой из вероятностей к минимуму.

Вероятность

приемки

портии

продукте»

с испольэо-

•онием

схемы

выборки

,js--

•t^"""""^

^Ч Риск производитапя, а

\^ Рим потребитвля, р

|Н**^ »•

АСЙ

LTPD

Доля брака в партии, %

Рис.

7.14. Реальная кривая оперативиой характеристики

230 4.2. Анализ данных как составная часть

пршиипия

решений

Для того чтобы выработать подходящую схему выборки, производитель и

потребитель должны заключить соглашение по следующим вопросам:

Допустимый уровень качества.

Риск производителя а , т.е. вероягаость того, что применение данной схемы

ошибочно приведет к отказу от приемки партии прадукщш, в которой удельный вес

бракованных изделий равен AQL

—

партии, которую потребитель мог бы принять.

Допустимый процент бракованных изделий в партии.

Риск потребителя Р, т.е. вероятность того, что применение данной схемы

ошибочно приведет к приемке партии продукции, удельный вес брака в которой

равен LTPD

—

партии, от приемки которой потребитель бы отказался.

Для любых заданных объема выборки п и максимально допустимого числа

отказов от приемки с легко можно построить кривую оперативной характеристики,

используя биномиальное распределение. Для лх)бых заданных значений AQL и

LTPD можно найти соответствующие верояпюсга а и р. Гораздо сложнее построить

соответствующую кривую, если значения аир заданы априорно. В данном случае

нужно обратиться к литературе, содержащей готовые таблицы систем контроля.

О Пример 7.8. Построим кривую оперативной характеристики:

Построим кривые оперативной характеристики для следующих двух схем

выборочного контроля.

Схет А: объем выборки п ~ 8, с 1, т.е. осуществляется приемка партий

продукции, если число бракованных изделий в вьсборке не больше

одного включительно.

Схема В: объем выборки а = 16, с

<»

2, т.е. осуществляется приемка партий

продукции, если число бракованных изделий в выборке не больше

двух включительно.

Рассмотрим значения доли бракованных изделий в партии р от 0,05 до 0,40,

двигаясь с шагом 0,05.

Если производитель и потребитель приходят к соглашению о том, что AQL

равен 5%, риск производителя равен 0,05, если LTPD составляет 25%, а риск

потребителя

—

0,05, какая из схем будет предпочтительнее в данной ситуации?

Разработаем более подходящую схему выборки и построим кривую ОС.

Решение

По формулам для биномиального распределения находим вероятность наличия г

бракованных изделий в выборке размером п:

Р(г) -

"С,

р'

-', где

О,

1. 2 п.

Вероятность приемки партии продукции определяется как Р(г £ с).

ГА.

7. Статистический контроль качества

231

Схемш А:

Р(г) =

*С,

X р' X q"-', где г =

О,

1, 2, .... 8,

т.е.

Р(0) =

и Р(1) = 8 X р X q^

Р(приемхи партии) = Р(г S 1) = Р(г = 0) + Р(г = 1).

Таблица 7.6. Верожгяость приемки партии продукции с ааданной долей

бракованных надоюй (р) — примевенне схемы А

0,05

0,10

0,15

0,20

0.25

0,30

0,35

0,40

0,95

0,90

0,85

0,80

0,75

0,70

0,65

0,60

Р(г=0)

0,66342

0,43047

0,27249

0,16777

0,10011

0,05765

0,03186

0,01680

Кг=/;

0,27933

0,38264

0,38469

0,33554

0,26697

0,19765

0,13726

0,08958

P(rSi)

0,94275

0,81311

0,65718

0.50331

0,36708

0,25530

0,16912

0.10638

Щжмечанне.

Эти расчеты можно значительно облегчить путем применения таблиц

рассеяния.

Значения Р(г £ 1), т.е. Р(приемки партии продукции при заданном р)

нанесены на график (рис. 7.15) в зависимости от значений р.

Схема В:

Р(г) - "с, X р' X q'*-' , где г -

О,

1, 2 16.

Р(приемки партии) = Р(г S 2) = Р{г = 0) + Р(г = 1) + Р(г = 2).

Таблица 7.7. Вероятность врнемш шфпш вродукцяи

с ааданяой долей бракованных наделнй (р) — применение схемы В

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Р(г=0)

0,44013

0,18530

0,07425

0,02815

0,01002

0,00332

0,00102

0,00028

Р(г-1)

0.37063

0,32943

0.20965

0,11259

0,05345

0.02279

0,00875

0.00301

Иг'2)

0,14630

0.27452

0,27748

0,21111

0,13363

0,07325

0,03533

0,01505

Pfrs 2).

0,95706

0.78925

0,56138

0,35185

0,19710

0,09936

0.04510

0.01834

Значения Р(г ^ 2), т.е. Р(приемки шфтии продукции с использованием схемы В)

также нанесены на график (ряс. 7.15).

232

4.2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Из графика, приведенного на рис. 7.15, следует, что вероятность отказа от

приемки удовлетворительной партии продукции для AQL, равного 0,05, составляет:

1,0-

Ввроитиоел "•*

примдки

портим 0#«

продукиим

0,4

0,2

СхамоВ

|п-16,

с-2|

Сх«мо А

(п-12,

C-I)

•

0,1

0,2 0,3 0,4

Рнс. 7.15. Характернетшсн кривых по схемам А и В

Схема А:

Р(ошибочвого отказа от приокки приголи1Л партии продукции) = 1 -

0,943

» 0,057.

Схема В:

Р(ошибочного отказа от приемки пригодной партии продукции) = 1 -

0,957

' 0,043.

В обеих схемах риск производителя составляет приблизительно 0,05.

Если LTPD равно 0,25 (достаточно высокое значение), вероятность приемки

партии продукции составит:

Схема А:

Схема В:

Р(ошибочной приемки непригодной партии продукцш1)= 0,367.

Р(ошибочной приемки непригодной партии продукцни)= 0,197.

В обеих схемах риск потребителя очень велик и значительно превышает 0,05.

Обе схемы непригодны для потребителя, мнение которого в процессе выработки

соглашения является более весомым. Ведь именно потребитель оплачивает заказ

на партию продукции.

Для ответа на этот вопрос должны использоваться понятия "испытания" и

ошибки при определении соответствующей комбинации п и с. Это достаточно

легко сделать с помощью составления таблиц рассеяния или использования гото-

вых таблиц без них трудоемкость расчетов заметно возрастает.

Удовлетворительной является комбинация о - 28 и с = 3.