Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Белорусский государственный экономический университет
Е.И.Шилкина, М.П. Дымков, В.А. Рабцевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-практическое пособие
1 часть
Минск
БГЭУ
2010
Утверждено
на заседании кафедры
Высшей математики
26 ноября 2010г., протокол № 4
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ………………………..……………………………………7
Общие рекомендации студенту при самостоятельной работе
над математическими курсами………..………………………….. 8
1. Многомерное арифметическое пространство ……..……….9
1.1. Геометрическое понятие вектора …………………….……….9
1.2. Арифметические точки и арифметические векторы.
Линейные операции над векторами.
n-мерное арифметическое пространство ……………………16
1.3. Скалярное произведение n-мерных векторов. Модуль
вектора. Угол между n-мерными векторами. Расстояние
между точками n-мерного пространства……………………..18
2. Системы векторов ……………………...……………………..19
2.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы
векторов …………………………...…………………………...19
2.2. Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по
базису……………………………………………….…………..21
2.3. Эквивалентные системы векторов……………………………21
3. Матрицы и определители……………………………………..22
3.1. Матрицы. Основные определения……………………………22
3.2. Операции над матрицами и их свойства……………………..25
3.3. Определители второго порядка……………………………... 31
3.4. Определители n-го порядка……..……………………………32
3.5. Определители третьего порядка……..……………………….34
3.6. Свойства определителей…….………………………………..35
3.7. Обратная матрица, ее свойства и вычисление..……………..38
3.8. Ранг матрицы……..……………………………………………43
4. Системы линейных уравнений………………………………48
4.1. Основные понятия……………………………………………..48
4.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило Крамера………...……….…………………………..49
4.3. Метод Гаусса решения и исследования систем
линейных уравнений ………………..…….…………………..53
4
5. Геометрия пространства R
n
………………………………….60
5.1. Прямая в R
2
……………………………………………………60
5.2. Прямая и плоскость в пространстве…….……………………68
5.3. Гиперплоскость в пространстве R
n
…...……………………..75
5.4. Выпуклые множества..………………………………………...76
6. Теория пределов ..………….………………………………….81
6.1. Числовые последовательности……..…..……..…………..…..81
6.1.1. Числовые последовательности. их виды и арифметические
операции над ними..……………..………...…………...……..81
6.1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности и связь между ними…………......…...83
6.1.3. Свойства бесконечно малых последовательностей…….…85
6.2. Сходящиеся последовательности…….………………..……..86
6.2.1. Определение предела последовательности………...………86
6.2.2. Свойства сходящихся последовательностей….........……...87
7. Предел и непрерывность функции……..........…..…….….…89
7.1. Понятие функции одной переменной…………...….…….…..89
7.1.1. Определение функции. Элементарные функции……….....89
7.1.2. Свойства функции одной независимой переменной………90
7.1.3. Некоторые функциональные зависимости,
используемые в экономике………………………..…….…..91
7.2. Предел функции…………………………………...…..……….91
7.2.1. Понятие предела функции в точке……………….…………91
7.2.2. Теоремы о пределах функций……………………...…..…...93
7.2.3. Замечательные пределы……………………………….…….94
7.2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции…...….95
7.2.5. Сравнение бесконечно малых функций…………….....…...96
7.2.6. Раскрытие неопределенностей………………………….…..97
7.3. Непрерывность функции……………………...……………...101
7.3.1. Непрерывность функции в точке и на множестве……....101
7.3.2. Арифметические операции над непрерывными
функциями.……………………………………………..…...102
7.3.3. Непрерывность сложной и обратной функции……….…..103
7.3.4. Точки разрыва функции и их классификация…………….103
7.3.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке…………….105
5
8. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной….………………………...….……….…..106
8.1. Производная…..………………….................……………….106
8.1.1. Понятие производной функции в точке.
Односторонние и бесконечные производные…………......106
8.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения
касательной и нормали к плоской кривой.
Угол между двумя кривыми………….…………………….108
8.1.3. Физический смысл производной………………..…………110
8.1.4. Непрерывность дифференцируемой функции.……….…..110
8.1.5. Основные правила дифференцирования……………….…110
8.1.6. Таблица производных основных элементарных
функций………………………………………………...…...112
8.1.7. Производная степенно-показательной функции……........117
8.1.8. Примеры вычисления производных………..………...…...117
8.1.9. Производная неявной функции………..……………...…...121
8.2. Дифференциал……..……………..…………………………...122
8.2.1. Понятие дифференциала функции в точке.
Геометрический смысл дифференциала….……….………122
8.2.2. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям………………………………………………….124
8.2.3. Производные и дифференциалы высших порядков……...125
8.2.4. Основные теоремы для дифференцируемых функций….126
8.2.5.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей…….....127
8.3. Исследование функций с помощью производных…...........131
8.3.1. Условия постоянства, возрастания и убывания функции..131
8.3.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.132
8.3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке..135
8.3.4. Выпуклость и вогнутость графика функции…..………….135
8.3.5. Асимптоты графика функции ……..………………………137
8.3.6. Общая схема исследования функций и построения
графиков……………………………………………………….139
Вопросы для повторения и тренировочные задания……….142
1. Многомерное арифметическое пространство………...…..142
Тренировочное задание 1 ……………………………....……..143
6
Решение тренировочного задания 1 …………...……………..143
2. Системы векторов..…………………………………………...146
Тренировочное задание 2...……………….………………..…..148
Решение тренировочного задания 2..……………………….....149
3. Матрицы и определители…….………………….…………..150
3.1. Матрицы и операции над ними…….……………………..150
Тренировочное задание 3.1………………………………..152
Решение тренировочного задания 3.1…...………………..153
3.2. Определители и их свойства ……………………………..156
Тренировочное задание 3.2 ……………..……...………...157
Решение тренировочного задания 3.2..………….………..158
4. Системы линейных уравнений …………………...………..160
Тренировочное задание 4 …………….………..……..…...162
Решение тренировочного задания 4…..………..…..……...163
5. Аналитическая геометрия ……………………………….....168
5.1. Элементы аналитической геометрии на плоскости...........168
Тренировочное задание 5.1………………………………..168
Решение тренировочного задания 5.1………………..…...169
5.2. Элементы аналитической геометрии в пространстве.............174
Тренировочное задание 5.2 …………………..…………..175
Решение тренировочного задания 5.2 ……….…………..176
6. Сходимость числовых последовательностей …………..…180
Тренировочное задание №1 ……..……………………......181
Решение тренировочного задания № 1 …..…………........182
7. Предел и непрерывность функции ……………………........184
Тренировочное задание №2 ………………………….........185
Решение тренировочного задания № 2 ………..................186
8. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной……………………………………………….….....192
Тренировочное задание №3 ……………………...…..........194
Решение тренировочного задания № 3 …………..…........196
Вопросы к экзамену ……………………………………………...203
Литература ………………………………………………………..206
7
Введение
Современный уровень требований, предъявляемых к
специалистам по экономике и управлению, требует постоянного
ознакомления с передовыми идеями модельной структуризации и
анализа, в основе которых лежат математические методы. Эти методы
опираются на линейную алгебру, анализ функций одной и многих
переменных и некоторые другие разделы математики, которые
необходимо изучить студенту экономического вуза.
Учебные планы экономических специальностей по дисциплине
«Высшая математика», как правило, предусматривают три
самостоятельные и вместе с тем тесно связанные части: 1. Общий
курс высшей математики. 2. Теория вероятностей и математическая
статистика. 3. Математическое программирование.
Целью и задачами изучения математических дисциплин в
экономическом вузе являются:
1) ознакомить студентов с основами математического аппарата,
необходимого для решения теоретических и практических задач
экономики;
2) привить студентам умение самостоятельно изучать учебную
литературу по математике и приложениям;
3) развить логическое мышление и повысить уровень
математической культуры студентов;
4) выработать навыки математического исследования
прикладных задач и умение перевести экономическую задачу на
математический язык.
Основной формой обучения студента заочной и дистанционной
формы обучения является самостоятельная работа над учебным
материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение
тренировочных заданий, ответы на вопросы теста по пройденным
разделам. Завершающим этапом изучения каждого из математических
курсов или отдельных его частей является сдача тестов, зачетов и
экзаменов в соответствии с учебным планом.
Данное учебно-практическое пособие (УПП) ни в коей мере не
заменит учебник по высшей математике, оно лишь служит
своеобразным “путеводителем”, обращая внимание студента на
принципиальные моменты курса.
8
Общие рекомендации студенту по самостоятельной
работе над математическими курсами
Основной и наиболее плодотворной формой обучения
студентов –заочников является самостоятельная работа над учебным
материалом, которая может быть представлена в виде следующих
этапов: изучение теоретических сведений по учебникам и пособиям,
решение задач, самопроверка.
При чтении учебника следует переходить к следующему
вопросу только после правильного понимания предыдущего,
проделывая самостоятельно рекомендуемые к решению задания,
восстанавливая все промежуточные вычисления. Весьма полезным
является краткое конспектирование изучаемого теоретического
материала с выделением в конспекте важнейших формул. Как
правило, при сдаче экзамена или зачета, в случае необходимости
разрешается воспользоваться таким конспектом.
Чтение учебника или пособия должно сопровождаться
решением задач. Решение каждой задачи должно содержать
обоснование каждого ее этапа и должно быть доведено до ответа. При
этом следует обращать серьезное внимание на правильность
арифметических вычислений. Задачи заданного типа необходимо
решать до приобретения твердых навыков и только в случае полной
уверенности в отработке приемов решения задач данного типа можно
пропускать однотипные примеры.
Самопроверка состоит в ответе на теоретические вопросы и
решение тренировочных заданий, не заглядывая в ответ. Не стоит
расстраиваться и паниковать, если какие-то задания не будут сразу
получаться. Нужно попытаться выяснить, из-за чего конкретно не
получается правильный ответ, найти аналогичное задание в
литературе, а лишь потом обращаться за консультацией, если есть в
этом необходимость.
9
Основные теоретические сведения
1.
Многомерное арифметическое пространство
1.1. Геометрическое понятие вектора
Связанным вектором называется отрезок
прямой, для которого указаны его начальная
точкаиконечнаяточка,например
АВ
.
Длиной связанного вектора называется рас-
стояние между начальной и конечной точками
отрезка. Длину (или модуль) связанного вектора
обозначают
, , , .
AB AB b b
Вектор,длинакоторогоравнаедини-
це,называетсяединичнымилиортом.
Если
А
≡
В
,тосвязанныйвек-
торназываютнулевым(обозначение:
0, 0,
0)–егодлинаравнанулю,
анаправлениенеопределено(можновыбратьлюбым).
Дваненулевыхсвязанныхвектора
АВ
и
CD
называютэквива-
лентными,еслиониимеютодинаковуюдлинуисонаправлены.
Свободным вектором или просто вектором называется множе-
ство всех эквивалентных между собой связанных векторов. Часто
векторыобозначаютспомощьюстрочныхбуквсострелкойнадними:
, , , ...
a b c
(или с черточкой наверху:
, , , ...
a b c
).Впечатныхизданияхвекторыобо-
значают также буквами жирного шрифта:
a, b, c,
Вектор однозначно задается двумя
характеристиками–длинойинапрвлением.
Векторы
1 2
, , ,
n
a a a
называются колли-
неарными, если они параллельны одной и той
жепрямой.Нулевой вектор считается коллинеарным любому векто-
ру. Записывают
,
a b
если векторы
a
и
b
одинаково направлены
(говорятсонаправлены),и
,
a b
еслиэтивекторыпротивоположно
направлены.
, ,
a b c
коллинеарны
,
m n
неколлинеарны
АВ
А
В
b
a
c
10
Двавектора
a
и
b
называютсяравными(записывается
a b
),
еслиони коллинеарны,направленыводну и туже сторону и имеют
одинаковыедлины.
a b
Равные
c d
Противоположные
m n
Неравные
Векторы
1 2
, , ,
n
a a a
в трехмерном пространстве называются
компланарными,еслионипараллельнынекоторойплоскости.
Произведением вектора
а
на число
называется вектор
а
,
коллинеарныйвектору
а
, длина кото-
рого
а а
; направление совпа-
дает с направлением вектора
а
, если
0
, и противоположно ему, если
0
.
Суммой двух векторов
АВ а
и
ВС b
называется вектор
АС
иобозначается
а b
.
Разностью двух векторов
a
и
b
называется вектор
1
а b a b
иобозначается
a b
.
Аналогичноопределяетсясумманесколькихвекторов:есливекто-
ры
, , ,
a OA b AB l KL
образуют ломаную
KL
OAB
...
, то
суммойэтихвекторовявляетсявектор
OL
,замыкающийэтуломаную.
a a
a
(
>0)
a
(
<0)